非欧几何简介
非欧几何简介Non
非欧几何简介Non
一、欧几里得几何与欧几里得空间
这里的欧氏几何描述二维平面的几何，高维的欧氏几何叫欧几里得空间（三维欧氏几何叫做立体几何）。
一句话概括，欧氏空间是欧氏几何在多维情况下的推广。
所以欧几里得几何又叫平面几何(plane geometry)（两要素：二维、曲率为0），它基于五条公设：
二、欧几里得几何与非欧几何
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波约指出，第五条平行公理不一定在所有的几何情况下都成立，并非几何真理，也就是三角形内角和不一定为180。
基于“三角形内角≠180°”的几何学叫做非欧几何。
以下图为例，在球上的三角形的内角和就大于180°，所以在球上的几何是非欧几何，叫做球面几何(spherical geometry)，它描述的是二维球面(2-dim surface)的几何，而不是包括球内部的球体(ball, solid sphere)。
三、第五公理/平行公理
第五公理为：
它也可以等价为：
如果将公设改为“可引最少两条平行线”引申的几何为罗氏几何（双曲几何）；
如果将公设改为“一条平行线也不能引”引申的几何为黎曼几何（椭圆几何）。
这第五公理的三个版本不能说都错或者都对，只是需要一定条件。
如果（曲面的）曲率=0，原公理成立；曲率＜0，双曲几何的平行公理成立；曲率＞0，椭圆几何的平行公理成立。
非欧几何简介
非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。
平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。
他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。
为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。
球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。
表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。
在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。
在球面上的几何中角超大于零。
不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。
所以我们可以说：当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。
因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。
因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。
另一种非欧几何通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。
当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。
有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？我们简单回顾一段几何发展史。
在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。
数学分支之非欧几何
数学分支之非欧几何非欧几何学是一门大的数学分支,一般来讲,他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的?几何原本?提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字表达冗长,而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在?几何原本?一书中直到第二十九个命题中才用到,而且以后再也没有使用。
也就是说,在?几何原本?中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何开展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论〞的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐疑心证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为根底的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设。
我们知道,这其实就是数学中的反正法。
但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一,第五公设不能被证明。
第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中,可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
非欧几里得几何学（non-Euclidean
⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）不同于欧⼏⾥得⼏何学的⼏何体系。
简称为⾮欧⼏何。
⼀般是指罗巴切夫斯基⼏何（双曲⼏何）和黎曼的椭圆⼏何。
它们与欧⽒⼏何最主要的区别在于公理体系中采⽤了不同的平⾏公理。
⾮欧⼏何起源于对欧⼏⾥得平⾏公设的讨论。
公元前3世纪初，欧⼏⾥得《⼏何原本》问世，开篇列出定义、公理和公设，其中第五公设是：同⼀平⾯内⼀条直线与另外两条直线相交，若在某⼀侧的两个内⾓之和⼩于⼆直⾓，则这⼆直线经过⽆限延长后在这⼀侧相交。
它不像其他公设那样显然，因此很快就引起⼈们的争议，认为欧⼏⾥得把它放在公理（公设）之列，不是因为它不能证明，⽽是找不到证明，这是欧⼏⾥得⼏何体系的唯⼀“污点”。
2000多年来，许多⼏何学家⽤不同的⽅法试图证明第五公设，可是都失败了，因为在他们的每⼀个所谓“证明”中都引进⼀个新的假定，⽽这个假定等价于第五公设。
公元2世纪，古希腊数学家托勒密试图从欧⼏⾥得其他9个公理、公设以及与平⾏公设⽆关的欧⼏⾥得命题1～28来证明平⾏公设，但假设了两直线平⾏后，另⼀与之相交直线⼀侧内⾓成⽴的东西也必在另⼀侧同样成⽴。
公元5世纪的普罗克洛斯基于亚⾥⼠多德⽤于证明宇宙有限的公理来证明平⾏公设，实际上是把⼀个有问题的公理⽤另⼀个来代替09世纪阿拉伯数学家塔⽐·伊本·库拉在《欧⼏⾥得著名的公设证明》中假设：如果两条直线与第三条直线相交，并且它们在（第三条直线的）某⼀侧靠近或相离，则它的（在第三条直线的）另⼀侧就相离或靠近。
13世纪的纳西尔丁在《平⾏线问题释疑》中也应⽤了这样的假设：同⼀平⾯上的若⼲直线，若在⼀个⽅向上是分离的，则它们在这个⽅向上就不会靠近。
他在此基础上证明了垂线与斜线⼀定相交，⾃⾓内任⼀点必可作⼀直线与⾓的两边都相交等命题，这些都与第五公设等价。
纳西尔丁的⼯作于1663年由英国数学家沃利斯重新阐发，引起欧洲⼈的重视。
非欧几何简介
非欧几何简介
非欧几何是一种生活方式，许多人认为它是享受生活的最佳方式。
它指的是未
受传统的几何模式限制的自由性和创造性。
它可以被理解为一种娱乐方式、表达方式，可以用来探索文化的未知领域，解放人的创造力，使其表达自我的能力更为多元化。
非欧几何的精神内涵，是不受任何模式和逻辑思维所绑定的创造和表达，它强
调心灵解放、空间中释放自由，以独特的思考方式，唤起个人创新和表达的潜能，能够自圆其说，创造出奇特而独具个性的形式。
在参与非欧几何活动中，人们可以获得自由表达的乐趣，可以不受对称度、折
痕规则、记忆度等局限性，完全以自己的方式来创造素材，以这种方式去发现生活的乐趣，体验来自心灵的自由，找到自我表达的可能性。
总之，非欧几何提供了一种新的娱乐方式，让我们能够在艺术创作和审美能力
上有新的体验。
不受传统几何模式的束缚，使人们能够通过发掘生活细节中的乐趣，进而得到扩充想象力、美学以及创造性的激励。
非欧几里得几何学
非欧几里得几何学
非欧几里得几何学不同于欧几里得几何学的几何体系，简称非欧几何．一般是指：罗巴切夫斯基几何即双曲几何(见罗巴切夫斯基几何学)和黎曼的椭圆几何(见椭圆几何学)．
非欧几何的发现打破了长期以来欧氏几何的一统天下，从根本上革新和拓广了人们关于几何学的观念．非欧几何的发现还促使人们对几何基础的深入研究，继希尔伯特于1899年建立了欧几里得的公理体系之后，数学家们又建立并研究了如算术、数理逻辑，概率论等一些学科的公理体系．逐渐形成了数学的公理化方法．
非欧几何的发现不仅推广了几何学观念，而且对于物理学在20世纪初期所发生的关于空间和时间的物理观念的变革也起了重大作用．按照A．爱因斯坦的相对论的观点，宇宙结构的几何学不是欧氏几何学而是接近于非欧几何学．许多人采用了非欧几何学作为宇宙的几何模型．
非欧几何学在数学的一些分支中有着重要的应用，它们互相渗透促进着各自的发展．。
什么是非欧几何在相对论中的应用
什么是非欧几何在相对论中的应用在探索科学的浩瀚宇宙中，相对论无疑是一颗璀璨的明星，而其中非欧几何的应用则如同神秘的密码，为我们开启了理解宇宙本质的新大门。
那么，究竟什么是非欧几何，它又是如何在相对论中发挥关键作用的呢？要理解非欧几何在相对论中的应用，首先得明白什么是非欧几何。
简单来说，非欧几何是与我们熟知的欧几里得几何不同的几何体系。
在欧几里得几何中，有一些被我们视为理所当然的公理，比如“过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行”。
然而，非欧几何打破了这些传统的观念。
非欧几何主要包括两种类型：罗氏几何和黎曼几何。
罗氏几何中，过直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行；而在黎曼几何里，根本不存在平行线这一概念。
这些看似奇特的设定，却在描述真实世界的某些现象时，展现出了惊人的准确性。
相对论，特别是爱因斯坦的广义相对论，是对引力现象的全新理解。
在广义相对论中，引力不再被看作是一种力，而是时空弯曲的表现。
而时空的弯曲，就需要用非欧几何来进行精确的描述。
想象一下，一个巨大的天体，比如太阳，它的质量会使周围的时空发生弯曲。
在这种弯曲的时空中，物体的运动轨迹不再是欧几里得几何所描述的直线或者简单的曲线，而是遵循着非欧几何的规则。
例如，光在经过太阳附近时会发生偏转。
按照欧几里得几何的观点，光应该沿直线传播，但在广义相对论中，由于太阳造成的时空弯曲，光实际上沿着弯曲的路径前进。
这种现象的解释和计算，就离不开非欧几何的理论支持。
再比如，黑洞的存在也是相对论中非欧几何应用的一个典型例子。
黑洞是一种极度强大的引力源，其周围的时空被极度弯曲，形成了一个“事件视界”。
在这个区域内，时空的性质完全超出了欧几里得几何的范畴，必须借助非欧几何才能准确描述。
非欧几何还帮助我们理解了宇宙的膨胀。
根据观测，宇宙正在不断地膨胀，星系之间的距离在逐渐增大。
这种膨胀的宇宙模型，如果用欧几里得几何来描述，会遇到很多无法解释的难题。
但引入非欧几何后，我们可以更加合理地描述宇宙的大尺度结构和演化。
大学 数学专业 空间解析几何第五章 非欧几何简介 PPT
19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯 基在否定第五公理的同时，假设其 反面之一：“过已知直线外一点， 可作多于一条的直线与已知直线平 行”，得到了一系列定理，并且认 为他得到了一门新的几何学。这是 过去2000年以来的重大突破。
π(α)
罗巴切夫斯基1826年2月11日宣布 自己建立了新的几何学之后，得到 了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德 国诗人歌德也出来讽刺他。实际上， 罗巴切夫斯基的理论得到世界的认 可是在他去世几十年后的事了.
平行公理通常以如下的等价形式出现：过直线 外一点有唯一的一条直线与其平行。所谓平行就是 永不相交的意思，这就牵涉到“无穷”——一个不 很自明、无法亲身经验到的观念。 欧几里得不采取 后一种形式的平行公理，也许也是要使平行公理显 得更自明的缘故。
其中第五公理是说：过已知直线外 一点，可作一条也只可作一条直线 与已知直线平行。
A+B+C=π
第五平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧பைடு நூலகம்里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833)
平行公理
A
这个平行公理在所有公理之中是最不明显的， 所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其他的 公理去推得平行公理。 而这努力延持了两千年， 后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的 发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的 事实，是西方数学和中国数学不同的地方。
非欧几何的其他发明人
高斯是最先认识到非欧几何是 一种逻辑上相容并且可以描 述物质空间,像欧氏几何一样 正确的新几何,但他未发表过 任何有关非欧几何的论著,主 要是担心世俗的攻击.
另一位对非欧几何有研究的是 匈牙利青年波约，
在罗氏几何产生后的1854年，德国 数学家黎曼把欧氏第五公理改为： “过已知直线外一点，没有与其平 行之直线”，得到的一种新的几何 学——黎曼非欧几何，为非欧几何 的另一翼。
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非欧几何简介
欧氏几何与球面几何的区别与联系
比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：
表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异
，其中A、B、C
为单位球面上三角形的三个内角（弧度
制）
通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。
平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成
系统的理论。
他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。
为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。
球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。
表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征
两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
首先分析一下球面三角形的面积公式
把这个公式改写成
这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。
在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。
在球面上的几何中角超大于零。
不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，
即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。
所以我们可以说：
当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。
因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。
因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。
另一种非欧几何
通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。
当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。
有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？
我们简单回顾一段几何发展史。
在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。
但是到了十七、十八世纪，数学家在对几何理论的基础进行深入研究时，首先把注意力集中在“平行公理”上。
图6-1
平行公理是这样叙述的：在平面上，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线不相交(如图6-1)。
人们没有怀疑这条公理的真伪，而是感到这条公理涉及到无穷的概念，不够直观，人们希望能够证明它，或者用一条更简单、更直观的公理代替它。
在探索过程中，人们证明了平行公理与“三角形内角和等于”是等价的。
即可以用“三角形内角和等于”来代替平行公理。
当然，这没有什么实质意义，因为它并不比平行公理简单多少。
在经过漫长的研究历程和许多数学家的失败与挫折之后，俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky,1793-1856）认识到“平行公理”是不可能证明的。
如果用一条与“平行公理”对立的命题来替换“平行公理”，将会得到一种新的几何理论。
这个命题最后被称为“罗氏平行公理”。
罗氏平行公理是这样叙述的：
在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交（如图6-2）。
罗巴切夫斯基用这条罗氏平行公理代替了原来的欧氏平行公理，同时，保留欧氏几何中其他所有公理，在此基础上，推导出了一套几何理论。
虽然这种几何理论中有许多看似荒谬的不符合人类实际经验的结论，但是在逻辑上这套理论却是无矛盾的。
后人就把这种几何理论称为罗氏几何。
这也是人们最早发现的非欧几何。
在罗氏平面几何中，过已知直线AB外一点C有无穷多条直线与已知直线AB 不相交。
当然还有无穷多条直线与已知直线AB相交。
因此存在两条界限直线b
和，界于交与不交两类直线之间。
这两条直线称为直线AB的平行线。
过点C 的其它与AB不相交的直线称为AB的离散线。
图6-3 图6-4 图6-5 图6-6
罗巴切夫斯基证明了：
两条平行线，在一侧无限接近，而在另一侧无限远离（如图6-3）；
三角形的三个内角之和小于（如图6-4）；
存在边长无限而内角和为零的三角形（如图6-5）；
罗巴切夫斯基在世时，由于罗氏几何的结论与人类的直觉不一致，当时并没有被大多数数学家接受。
1868年意大利数学家贝尔特拉米（Beltrami，
1835-1900）找到了一种称为伪球面的像两朵喇叭花形状的旋转曲面（如图6-6）。
在这种曲面的一片区域上，他发现三角形的三个内角之和小于。
这等价于这种曲面上可以建立罗氏几何。
这相当于给罗氏几何找到了一种有实际意义的模型。
后来，法国数学家庞加莱（Poincare,1854-1912）构造出罗氏几何的另一个模型，这种模型有助于对罗氏几何的直观理解。
具体模型如下：设C是一圆，D 是C的内部，如图6-7所示。
（1）庞加莱模型中的点是D中的点，称为“罗氏点”；
（2）庞加莱模型中，过点A、B的“直线”l是过点A、B的圆在D内的那部分圆弧。
其中是和C在交点处垂直的圆，即在交点E、F处分别作两个圆
的切线，它们相互垂直。
图6-7 当A、B在C的直径上时，过点A、B的“直线”即是该直径。
若D中两条“直线”（即上述圆弧）相交于圆C上，称这两条直线平行；若D中两条直线不相交时，称这两条直线离散（如图6-8）。
图6-8
根据平面几何的知识，可以得到以下结果（图6-9）：
图6-9
(1)经过两个罗氏点，有唯一的罗氏直线；
(2)罗氏平行公理成立：在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交。
(3)三角形的三个内角之和小于。
庞加莱的模型说明罗氏几何可以在欧氏平面的一个开圆盘上实现。
因此，只要欧氏几何是无矛盾的，罗氏几何也就是无矛盾的。
有了贝尔特拉米和庞加莱等人的模型后，罗氏几何逐渐被人们真正接受，成为一种典型的非欧几何。
比较欧氏几何与非欧几何的性质，我们可以总结出以下显著的差别：
，其中C、D为圆
，其中A、B、
分别叫做双曲正弦、双曲余弦、双曲正切和双曲余切，
其中，
罗氏几何的发现有着重要的理论意义。
它打破了欧氏几何对人类认识的束缚，使人们认识到除了欧氏几何以外，还可以有其它的几何。
为了实际问题的需要，完全可以把原本不属于几何范畴的问题，通过一种适当的解释，转化为几何问题。
再根据它所遵循的基本规律，建立起一套新的几何理论。
于是就构造出一种新的几何。
正是在这种思想指导下，在现代数学中，才有了多种多样的几何理论。
学习非欧几何的意义
1．通过学习球面几何与罗氏几何，使我们看到“几何学”并不是欧氏几何的一统天下。
虽然欧氏几何在我们的日常生活、生产实践与科学试验中有着广泛的应用，但是在某些领域或某种场合欧氏几何并不适用。
例如在地球上要测量相距较远的两地之间的距离，或者较大范围的面积时，用欧氏几何的知识会产生很大的误差，而用球面几何的知识才能真实地反映出客观现实。
所以，非欧几何往往也有很重要的实际应用价值，也是我们应该学习的重要理论。
2．历史上，从罗氏几何产生以来，逐步地把人们的思想从欧氏几何的束缚中解放出来。
特别是使一些科学家认识到，为了解决某一类实际问题（虽然这些问题并不属于几何范畴），也可以仿照几何中的办法，建立起一个空间和一套几何理论，来适应解决这一类问题的需要。
于是，人们对“几何”的理解大大扩展
了。
正是这种思想促使数学科学获得了长足发展，使得在现在数学中出现了多种多样的几何理论，它们各自有着不同的应用范围。
这种思想也逐渐形成了数学理论发展的一种模式。
3．非欧几何的出现还自然而然地引发出一个问题：我们的宇宙到底是一种什么样的空间？它适用什么样的几何理论？人类对宇宙的探索从来没有停止过。
长期以来，人们一直把宇宙空间简单地理解为三维欧氏空间。
但是从非欧几何产生后，人们开始有了怀疑。
直到二十世纪初，一些天文学家、物理学家经过反复观测与研究，证实了“光线在通过大质量星球时会产生弯曲”。
在宇宙中只有光线才能代表直线，而光线又是弯曲的。
这很像球面几何中只有大圆才能代表直线，而大圆是弯曲的。
由此可以断定宇宙中应该适用一种非欧几何。
爱因斯坦的广义相对论，也是建立在这样一种几何之上来描述宇宙的。
这种几何一般称为黎曼几何。
探索大自然的奇妙是全人类共同的神圣任务，而要成为一个探索者，必学掌握丰富的科学知识。