几何基础与非欧几何简介
非欧几何简介Non
非欧几何简介Non
一、欧几里得几何与欧几里得空间
这里的欧氏几何描述二维平面的几何，高维的欧氏几何叫欧几里得空间（三维欧氏几何叫做立体几何）。
一句话概括，欧氏空间是欧氏几何在多维情况下的推广。
所以欧几里得几何又叫平面几何(plane geometry)（两要素：二维、曲率为0），它基于五条公设：
二、欧几里得几何与非欧几何
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波约指出，第五条平行公理不一定在所有的几何情况下都成立，并非几何真理，也就是三角形内角和不一定为180。
基于“三角形内角≠180°”的几何学叫做非欧几何。
以下图为例，在球上的三角形的内角和就大于180°，所以在球上的几何是非欧几何，叫做球面几何(spherical geometry)，它描述的是二维球面(2-dim surface)的几何，而不是包括球内部的球体(ball, solid sphere)。
三、第五公理/平行公理
第五公理为：
它也可以等价为：
如果将公设改为“可引最少两条平行线”引申的几何为罗氏几何（双曲几何）；
如果将公设改为“一条平行线也不能引”引申的几何为黎曼几何（椭圆几何）。
这第五公理的三个版本不能说都错或者都对，只是需要一定条件。
如果（曲面的）曲率=0，原公理成立；曲率＜0，双曲几何的平行公理成立；曲率＞0，椭圆几何的平行公理成立。
非欧几何简介
非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。
平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。
他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。
为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。
球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。
表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。
在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。
在球面上的几何中角超大于零。
不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。
所以我们可以说：当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。
因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。
因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。
另一种非欧几何通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。
当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。
有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？我们简单回顾一段几何发展史。
在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。
非欧几里得几何学（non-Euclidean
⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）不同于欧⼏⾥得⼏何学的⼏何体系。
简称为⾮欧⼏何。
⼀般是指罗巴切夫斯基⼏何（双曲⼏何）和黎曼的椭圆⼏何。
它们与欧⽒⼏何最主要的区别在于公理体系中采⽤了不同的平⾏公理。
⾮欧⼏何起源于对欧⼏⾥得平⾏公设的讨论。
公元前3世纪初，欧⼏⾥得《⼏何原本》问世，开篇列出定义、公理和公设，其中第五公设是：同⼀平⾯内⼀条直线与另外两条直线相交，若在某⼀侧的两个内⾓之和⼩于⼆直⾓，则这⼆直线经过⽆限延长后在这⼀侧相交。
它不像其他公设那样显然，因此很快就引起⼈们的争议，认为欧⼏⾥得把它放在公理（公设）之列，不是因为它不能证明，⽽是找不到证明，这是欧⼏⾥得⼏何体系的唯⼀“污点”。
2000多年来，许多⼏何学家⽤不同的⽅法试图证明第五公设，可是都失败了，因为在他们的每⼀个所谓“证明”中都引进⼀个新的假定，⽽这个假定等价于第五公设。
公元2世纪，古希腊数学家托勒密试图从欧⼏⾥得其他9个公理、公设以及与平⾏公设⽆关的欧⼏⾥得命题1～28来证明平⾏公设，但假设了两直线平⾏后，另⼀与之相交直线⼀侧内⾓成⽴的东西也必在另⼀侧同样成⽴。
公元5世纪的普罗克洛斯基于亚⾥⼠多德⽤于证明宇宙有限的公理来证明平⾏公设，实际上是把⼀个有问题的公理⽤另⼀个来代替09世纪阿拉伯数学家塔⽐·伊本·库拉在《欧⼏⾥得著名的公设证明》中假设：如果两条直线与第三条直线相交，并且它们在（第三条直线的）某⼀侧靠近或相离，则它的（在第三条直线的）另⼀侧就相离或靠近。
13世纪的纳西尔丁在《平⾏线问题释疑》中也应⽤了这样的假设：同⼀平⾯上的若⼲直线，若在⼀个⽅向上是分离的，则它们在这个⽅向上就不会靠近。
他在此基础上证明了垂线与斜线⼀定相交，⾃⾓内任⼀点必可作⼀直线与⾓的两边都相交等命题，这些都与第五公设等价。
纳西尔丁的⼯作于1663年由英国数学家沃利斯重新阐发，引起欧洲⼈的重视。
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用首先简单说说我对欧氏几何与非欧氏几何的陋见，欧氏几何与非欧氏几何都是数学几何学中的一块，做一个不是十分恰当的比喻，欧氏几何与非欧氏几何之间的关系就像是牛顿基本力学与后来爱因斯坦创立的相对论之间的关系。
那么接下来我将从学术上简单谈谈欧氏几何与非欧氏几何，欧氏几何是由以欧几里得几何学为基础的经典集合理论，它包括五条基本定理，整个欧氏几何的大厦都建立在这五条基本理论上，也就是说欧氏几何的一切定理、推论就是通过这些定义五个公设和数量公理的演绎、推理证明而得到的。
非欧氏几何即是区别于传统平面几何学的三维几何，它是建立在三维的现实生活中的，相较于二维几何它更加复杂更加具有动态的美，它的主要发展是在计算机的发明之后，人们开始利用计算机辅助技术来建立三维模型并寻找其中的数学规律，非欧氏几何的代表有拓扑几何、凸体几何等。
那么我们为什么要选择在建筑数字技术概论这门课上讲欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用呢？计算机辅助技术看起来和我们的课题并无直接联系，建筑数字技术是指一些服务设计的软件比如CAD、Rhino、Revit、Sketchup等软件，它们大都是一些辅助人们建立模型的软件，我们这门课也是简要介绍这些软件，让同学们心里对这些软件有一定的认识，这好像与欧氏几何与非欧几何并无联系。
其实并不然，正如我之前所说，非欧氏几何的快速发展正是借助计算机强大的建模能力，而想要把它们都运用到我们的建筑设计中光靠传统的手绘是远远不够的，也无法表达清楚我们想要的效果，这只是其一。
其二，就算我们通过手绘解决出了非欧几何造型的难题，这只是完成了建筑设计中的一小部分——造型设计，还有设备设计，结构设计等方面内容，试想一下，想要在复杂的非欧几何建筑里不借助计算机辅助就做好结构、设备等处理设计这几乎是不可能实现的，由此可见，通过对欧氏几何非欧氏几何对我们建筑设计的影响就可以看出，计算机辅助技术对我们设计帮助之大，对我们建筑设计进步推动之大。
数学中的非欧几何与应用知识点
数学中的非欧几何与应用知识点数学作为一门学科，其中的几何学一直以来都是研究空间、形状和变换的重要分支。
而欧几里得几何作为传统几何学的基础，主要研究了平面和空间中的几何关系和性质。
然而，19世纪的数学家们通过对平行公设的思考和推翻，引入了非欧几何的概念，开辟了几何学的新篇章。
本文将介绍非欧几何的概念、基本理论和应用知识点。
一、非欧几何的概念和分类非欧几何是与欧几里得几何相对应的一个几何学分支，它不满足欧几里得几何中的平行公设。
根据非欧几何的不同特性，可以将其分为以下两种类型：1. 椭圆几何椭圆几何是一种非欧几何，其中的平行公设被取否定，即不存在平行线。
相反，任意两条直线在某一点处相交。
椭圆几何主要研究了曲率为正的几何空间，如球面。
2. 双曲几何双曲几何也是一种非欧几何，其中的平行公设被替换为双曲公设，即通过一点外一直线的平行线可以有无数条。
相比于椭圆几何，双曲几何研究的是曲率为负的几何空间。
二、非欧几何的基础理论非欧几何的基础理论包括非欧空间、非欧几何公设和非欧运动等。
1. 非欧空间非欧空间，也称为开平面，是非欧几何的基础。
它是一个无穷大的平面空间，没有边界和界限。
在非欧空间中，平行线不再存在，给几何学带来了全新的视角。
2. 非欧几何公设非欧几何的公设与欧几里得几何不同。
非欧几何中的公设包括反证法、证明方法和平行公设的改变等。
其中最为重要的是改变平行公设，也是区分椭圆几何和双曲几何的关键因素。
3. 非欧运动非欧运动是指在非欧几何中的刚体运动。
在椭圆几何和双曲几何中，刚体在空间中的平移、旋转和翻转等运动被重新定义，不再满足欧几里得几何中的性质。
三、非欧几何的应用知识点非欧几何在现实生活中有着广泛的应用，特别是在相对论、地理学和计算机图形学等领域。
1. 相对论相对论是物理学中的一项重要理论，其中的时空观念受到了非欧几何的影响。
爱因斯坦的相对论通过引入非欧几何的概念，重新定义了时空的结构，改变了传统的欧几里得空间观念，从而对现代物理学产生了深远影响。
高中数学大纲非欧
高中数学大纲非欧摘要：一、高中数学大纲非欧几何部分简介1.非欧几何的定义2.非欧几何与欧氏几何的区别3.高中数学大纲非欧几何部分的重要性二、非欧几何的主要内容1.罗氏几何a.罗氏几何的基本概念b.罗氏几何的性质和定理2.黎曼几何a.黎曼几何的基本概念b.黎曼几何的性质和定理三、非欧几何在现实生活中的应用1.物理学中的应用2.工程学中的应用3.计算机科学中的应用四、学习非欧几何的意义和方法1.培养学生的抽象思维能力2.拓宽数学视野，提高数学素养3.学习非欧几何的方法和建议正文：一、高中数学大纲非欧几何部分简介非欧几何，顾名思义，是与欧氏几何不同的几何体系。
它主要研究在非欧几里得空间中的几何图形和性质。
在我国高中数学大纲中，非欧几何作为一个选修模块，旨在培养学生的抽象思维能力，拓宽数学视野，提高数学素养。
二、非欧几何的主要内容1.罗氏几何罗氏几何是一种非欧几何，它的基本假设是：在平面内，任意两点都可以用直线段连接，而且可以作无数条直线通过一点，使得这些直线段的长度都相等。
罗氏几何的性质和定理与欧氏几何有很大差异，如罗氏几何中不存在平行线，所有的角都是锐角或直角。
2.黎曼几何黎曼几何是另一种非欧几何，它的基本假设是：在平面内，任意两点之间存在一条曲线，使得这条曲线上的任意一段长度都小于等于连接这两点的直线段长度。
黎曼几何的性质和定理也与欧氏几何有很大不同，如黎曼几何中不存在直线，所有的曲线都可以用某种方式进行比较。
三、非欧几何在现实生活中的应用非欧几何虽然在日常生活中不常直接应用，但在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
例如，在相对论中，我们需要使用非欧几何来描述弯曲的时空；在计算机图形学中，非欧几何可以用来模拟曲面和曲线等。
四、学习非欧几何的意义和方法学习非欧几何，对于培养学生抽象思维能力具有重要意义。
非欧几何与欧氏几何有很大的不同，它要求学生跳出习惯的思维框架，学会从不同角度看问题。
同时，非欧几何的学习也有助于提高学生的数学素养。
欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。
它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。
1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。
十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。
从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
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第五，利用图形移动不变性，用重合来证明 全等，此法至少有两点不足： 一是移动、重合概念没有逻辑依据， 二是为什么会有图形的移动不变性？ • 哪些几何性质在图形移动中不变都没有交 代清楚，也不可能交代清楚等。
• 为了克服以上缺陷，后来者，从多方面展 开了研究。从公元三世纪的帕善朗到后来 的法国数学家达朗贝尔于1757年首次对 《几何原本》提出批判意见、勒让德于 1794年编写新几何教材对《几何原本》也 提出了的批判。最后，集大成者应该是德 国数学家希尔伯特。
• 现在我们认定线段与线段之间、角与角之 间具有一种相互关系，这个关系我们用 “合同”或“相等”一词表示。有时也用 “＝”来标记。
• 这组公理有5个： Ⅲ1 设A，B是直线a上两个不同的点，A’是 同一或另一直线上a’的点，那么在a’和A’的 指定一侧恒有点B’，使线段AB和线段A’B’ 合同(相等或全合),记为AB= A’B’ 。 Ⅲ2 如果两个线段（相同或是不同的）都与 第三个线段合同，那么这两个线段合同 （相等）。简言之，若AB= A’B’ ， AB A '' B '' 则 A ' B ' A '' B ''
第一，定义含糊不清，有时无法理解，所用 的都是一些日常用语，而不是精准的数学 语言，如“点是没有部分的”，“线是有 长度但是没有宽度的”等等。 第二，证明过程常常依赖直观，这样可能由 于作图的不精准或直观错觉，导致得出不 正确的结论。
第三，公理系不完备，缺少顺序公理、合同 公理和连续公理（事实上欧几里得在逻辑 推理中曾经使用了“连续”的概念，但是 在《几何原本》中从未提到过这个概念）。 第四，有些公理不独立，例如第四公设“所 有直角都相等”，很容易从其它公理推导 出来。
几何基础是研究几何学的理论基 础，以及相关问题的一门学科。 ——题 记
提 纲
一、希尔伯特公理体系 二、非欧几何
一、希尔伯特(Hilbert，David)公理体系
• 在人类认识的长河中，无论怎 样高明的前辈和名家，都不可 能把问题全部解决。欧几里得 的“几何公理体系”也并不另 外。有人就曾经列举过《几何 原本》至少存在的以下五个方 面的不足：
• 第一类公理 结合公理（也称为关联公理或从属 公理） Ⅰ1 对于两个不同的点，必有一条直线通过这两 点。 Ⅰ2 对于两个不同的点，至多有一条直线通过这两 个点。 Ⅰ3 每条直线上至少有两个不同的点，至少有三个 点不在同一直线上。 Ⅰ4 对于不在一条直线上的三个点，恒有一个平面 通过其中每一个点，每个平面上至少有一个点。 Ⅰ5 对于不在同一直线上的三个点，至多有一个平 面通过其中每一个点。
无序两点A和B的集合叫做线段，记为AB或 BA．A和B之间的点叫线段AB内部的点或内点或线 段AB上的点．点A和B都称为线段AB的端点．在直 线AB上, 除去点A、B和线段AB的内点外, 其它的点 叫做线段AB外部的点或外点． 点A和B之间的一切 点的集叫做线段AB的内部或开线段，记为(AB)．
Ⅱ3 在同一条直线上任意三个不同的点中， 至多有一个点在其它两个点之间。 Ⅱ4 （帕须公理）设A，B，C三点不在同一 条直线上，而直线在平面ABC上，但不通过 A，B，C中任何一点，如果上有一点在A和B 之间，则必还有一点在A和C或B和C之间。
• 最后一个公理是德国数学家帕须 （Pasch,1843-1930年）首先提出来的， 也叫截割公理。
• 同样，如果只是建立平面几何学体系，可 以去掉最后一个公理。
• 第三类公理
合同公理
Hale Waihona Puke • 有了“在……之间”的概念和顺序公理， 就可以得出以下定义： • 线段：介于A、B两点之间，有无限多个 点。这些点的全体叫做线段。
的“局部公理化体系”意义下的几何发生
关联。
• 第二类公理 顺序公理（也称为介于公理） • 设有同在一直线上的三点，则我们由经验 上知道有一个点介于两点之间。“介 于……之间”或“在……之间”这个概念 乃表示三点的“顺序关系”，希尔伯特采 用它作为原始概念或称元谊。 • 本组公理有四条： Ⅱ1 如果点B在点A和点C之间，那么A，B，C 是同一直线上的不同的三个点，而且点B也 在点A和点C之间。 Ⅱ2 对于任意不同的两个点A和点B，至少有 一点C，使得点B在点A与点C之间。
• 由Ⅰ4 、Ⅰ5 也可得到如下我们熟悉的一个 推论： 推论3：任意不在同一直线上的三个点确定唯 一的通过它们的平面。（“不在同一直线 的三点确定唯一平面”）
• 另外，如果只是建立平面几何学体系，可 以去掉后五个公理。当然，在《标准》意 义下，我们主张作为教师还是要全面理解
整个体系并能与现行中小学教材中所采用
• 射线：设O和A是直线上两点。则除这两点 外，在直线上还有无限个点X，使得O不介 于A和X之间，又有无限个点Y，使得O不介 于A和Y之间。所有一切X点连同A点组成的 总体，以及一切Y点合成的全体，各叫做一 条半线或射线。记着射线OX及0Y.点0叫端 点或原点。
• 角：一点0及由这点发出的两条射线0X与 0Y合起来叫做一个角。
• 希尔伯特于1899年出版了《几何基础》这 一世界公认的公理化方法的经典不朽之作， 在前人研究成果的基础上建立起了一个相 对更加和谐、独立和完备的新的几何公理 体系——希尔伯特公理体系。它是欧几里 得“公理体系”的继承发展和升华。
• 希尔伯特公理体系包括三个原始概念：点、 线、面；三个不定义关系：在……之间、 在……之上、合同于；五个基本关系：两 个结合关系（点与直线结合、点与平面结 合）；一个顺序关系（一点在另两点之 间）；一个合同关系（线段与线段合同、 角与角合同）；以及以下五类（结合公理、 顺序公理、合同公理、平行公理、连续公 理）共二十条公理的公理体系。
Ⅰ6 如果一直线有不同两点在某一平面上， 那么直线全在平面上。 Ⅰ7 如果两个平面有一个公共点，那么至少 还有另一个公共点。 Ⅰ8 至少有四个点不在同一平面上。 • 显然，由Ⅰ1 、Ⅰ2 可以得到我们熟悉的 两个推理： 推论1：任意不同的两个点确定唯一通过它们 的直线。（“不同两点确定唯一直线”） 推论2：不同两条直线至多有一公共点。