非欧几何
三角形内角和 非欧几何
三角形内角和非欧几何
在非欧几何中，三角形的内角和可以大于180度或小于180度。
在欧几何中，三角形的内角和总是等于180度。
这是因为在平面上，直线是无限延伸的，而角度的度量是基于直线的夹角。
在欧几里得平面中，三个角的和总是180度。
然而，在非欧几何中，直线是有限的，角度的度量也不同于欧几里得几何。
在双曲几何中，三角形的内角和总是小于180度。
在椭圆几何中，三角形的内角和总是大于180度。
这是非欧几何与欧几里得几何的一个重要区别。
非欧几何的发现和发展，打破了欧几里得几何中一些基本的假设和定理，从而为数学领域的发展带来了新的可能性。
非欧几里得几何学
非欧几里得几何学
非欧几里得几何学不同于欧几里得几何学的几何体系，简称非欧几何．一般是指：罗巴切夫斯基几何即双曲几何(见罗巴切夫斯基几何学)和黎曼的椭圆几何(见椭圆几何学)．
非欧几何的发现打破了长期以来欧氏几何的一统天下，从根本上革新和拓广了人们关于几何学的观念．非欧几何的发现还促使人们对几何基础的深入研究，继希尔伯特于1899年建立了欧几里得的公理体系之后，数学家们又建立并研究了如算术、数理逻辑，概率论等一些学科的公理体系．逐渐形成了数学的公理化方法．
非欧几何的发现不仅推广了几何学观念，而且对于物理学在20世纪初期所发生的关于空间和时间的物理观念的变革也起了重大作用．按照A．爱因斯坦的相对论的观点，宇宙结构的几何学不是欧氏几何学而是接近于非欧几何学．许多人采用了非欧几何学作为宇宙的几何模型．
非欧几何学在数学的一些分支中有着重要的应用，它们互相渗透促进着各自的发展．。
高中数学人教新课标A版选修3-3第八讲欧式几何与非欧几何
结合图8-1，我们具体说明如下：
设 l 为 内垂直于x的射线，或者圆心在
x上的半圆，点A为 l 外的一点，则过点A必 可作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆
心在x上，且与 l 相切（显然，切点在x上，
球面上的大圆可视为“直线”．在球 面上有这样一个结论：任意两条“直线” （大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交．
也就是说，对球面上的大圆而言，欧 氏平行公理是不成立的．于是，在球面上 产生了一些与欧氏平面几何完全不同的定 理．
在欧氏平行公理不成立的条件下， 推导出来的所有定理与其结果所组成的 几何体系，称为非欧几何．
把“过直线外一点，没有一条直线与该 直线不相交”作为公理推导出的几何称为椭 圆几何．
非欧几何主要有椭圆几何和双曲几何， 它们与欧氏几何有明显的差异．
欧氏几何
椭圆几何
双曲几何
过直线外 一点，有且只有 一条直线与该直 线不相交．
过直线外一 点，没有一条直线 与该直线不相交．
过直线外一点， 不只一条直线与该 直线不相交．
教学重难点
• 球面几何与平面几何的比较． • 非欧几何的概念和意义． • 庞加莱模型．
一 平面几何与球面几何的比较
平面几何
球面几何
1.平面（球面）三角形两边之和大于第三边．
2.若两个平面（球面）三角形的三对边对应相等，则两个三 相 角形全等．
同 3.若两个平面（球面）三角形的两对边对应相等，且其夹角 的 对应相等，则两个三角形全等． 定 4.若两个平面（球面）三角形的两对角对应相等，且其夹边 理 对应相等，则两个三角形全等．
什么是非欧几何在相对论中的应用
什么是非欧几何在相对论中的应用在探索科学的浩瀚宇宙中，相对论无疑是一颗璀璨的明星，而其中非欧几何的应用则如同神秘的密码，为我们开启了理解宇宙本质的新大门。
那么，究竟什么是非欧几何，它又是如何在相对论中发挥关键作用的呢？要理解非欧几何在相对论中的应用，首先得明白什么是非欧几何。
简单来说，非欧几何是与我们熟知的欧几里得几何不同的几何体系。
在欧几里得几何中，有一些被我们视为理所当然的公理，比如“过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行”。
然而，非欧几何打破了这些传统的观念。
非欧几何主要包括两种类型：罗氏几何和黎曼几何。
罗氏几何中，过直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行；而在黎曼几何里，根本不存在平行线这一概念。
这些看似奇特的设定，却在描述真实世界的某些现象时，展现出了惊人的准确性。
相对论，特别是爱因斯坦的广义相对论，是对引力现象的全新理解。
在广义相对论中，引力不再被看作是一种力，而是时空弯曲的表现。
而时空的弯曲，就需要用非欧几何来进行精确的描述。
想象一下，一个巨大的天体，比如太阳，它的质量会使周围的时空发生弯曲。
在这种弯曲的时空中，物体的运动轨迹不再是欧几里得几何所描述的直线或者简单的曲线，而是遵循着非欧几何的规则。
例如，光在经过太阳附近时会发生偏转。
按照欧几里得几何的观点，光应该沿直线传播，但在广义相对论中，由于太阳造成的时空弯曲，光实际上沿着弯曲的路径前进。
这种现象的解释和计算，就离不开非欧几何的理论支持。
再比如，黑洞的存在也是相对论中非欧几何应用的一个典型例子。
黑洞是一种极度强大的引力源，其周围的时空被极度弯曲，形成了一个“事件视界”。
在这个区域内，时空的性质完全超出了欧几里得几何的范畴，必须借助非欧几何才能准确描述。
非欧几何还帮助我们理解了宇宙的膨胀。
根据观测，宇宙正在不断地膨胀，星系之间的距离在逐渐增大。
这种膨胀的宇宙模型，如果用欧几里得几何来描述，会遇到很多无法解释的难题。
但引入非欧几何后，我们可以更加合理地描述宇宙的大尺度结构和演化。
数学的几何学分支
数学的几何学分支几何学是数学的一个重要分支，研究物体的形状、大小、相对位置以及它们之间的关系。
几何学的广泛应用范围涵盖了建筑设计、计算机图形学、物理学、天文学等众多领域。
在数学中，几何学可分为多个分支，包括平面几何、立体几何、非欧几何等。
本文将重点介绍数学中几个重要的几何学分支。
一、平面几何学平面几何学是几何学中最基础的一个分支，研究平面内的几何关系和性质。
它通过欧几里得几何的基本公理和定理，探讨了平面上点、直线、角等基本元素的特性。
平面几何学的研究内容包括平面图形的性质、平行线的性质、三角形的性质等。
在平面几何中，欧几里得几何是最为常见和应用广泛的。
二、立体几何学立体几何学是研究三维空间中的几何关系和性质的分支，也是几何学的重要组成部分。
与平面几何学不同，立体几何学关注的是由点、线、面构成的立体图形，如立方体、圆锥体、棱锥等。
立体几何学的研究内容包括体积、表面积、相交性质等。
它在物理学、工程学等领域中有着广泛的实际应用，如建筑设计、三维模型制作等。
三、非欧几何学非欧几何学是相对于欧几里得几何学而言的，研究不满足欧几里得几何公理的几何系统。
欧几里得几何学假设的五条公理中，第五条平行公理是非欧几何学的研究目标。
非欧几何学包括椭圆几何学、双曲几何学和椭球几何学等分支。
这些非欧几何系统所呈现的几何性质与欧几里得几何学不同，给了人们对空间性质更多的认识和探索。
四、复几何学复几何学是几何学与复数理论相结合的研究领域，它在解析几何中发挥着重要作用。
复几何学主要研究复数平面上的几何性质，通过使用复数代数中的运算和概念，描述和分析平面上的点、线、圆等图形的特征和性质。
复几何学的应用广泛，不仅在数学中有着重要地位，同时也在物理学、工程学等领域提供了实质性的帮助。
总结：几何学是数学中一个重要的分支，它通过研究物体的形状、大小、相对位置和关系，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在几何学中，平面几何学、立体几何学、非欧几何学和复几何学是主要的分支。
欧氏几何与非欧几何(修订版)
欧氏几何与非欧几何整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5 条几何公理( 公设) 的基础之上，这5 条公理是：(1) 从任一点到另外一点能作一条直线( 简言之，即通过任意两点可作一条直线) ；(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4) 凡直角皆相等；(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条( 称“第 5 公设”) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748 —1819) 提出的等价命题最为著名：过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。
非欧几何
非欧几何非欧几何的产生与著名的第五公设问题密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行的长期努力的结果。
公元前3世纪，欧几里得从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，建立第一个几何学公理体系－欧几里得几何学，这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范，但人们感到欧氏几何中仍存在某种瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”（即平行公理）。
大家普遍认为，这条公理所说明的事实通过直线外一点能且仅能作一条平行直线）并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它似乎缺少作为一条公理的自明性。
因此，尽管人们并不怀疑平行公理本身，但却怀疑它作为公理的资格。
历史上关于公理的证明遵循两条思路：其一是直接证明，妈试图将平行公理用欧几里得的欺中用一个更为自明的命题代之，沿着这条途径几乎毫无所获；其二是间接证明，即用反证法来证明，这种方法对非欧几何的产生具有特别重要的意义。
首先开创间接法证明的是17世纪意大利数学爱萨开里，尽管他始终相信平行公理是可以证明的。
在观念上与非欧几何相去其远，但是他珙富于启发性的新方法，并由此开辟了一条直接通往非欧几何的途径。
另一位对非欧几何的产生作出重大贡献的是瑞士几何学家兰贝尔特，人地对平行公理的可证明性提出了怀疑。
这是观念上的重大突破。
显然，沿着兰贝尔特的思路，贯彻萨开里的方法就会引向非欧几何学。
非欧几何学的创立直接归功于三位的数学家，他们是高斯、波耶和罗巴切夫斯基从时间上说，高斯在先，但高斯从未公开发表过这方面的论著。
在非欧几何方面论著最多，并为确立和发展非欧几何始终不渝的当扒罗巴切夫斯基。
罗巴切夫斯基出生在一个分期的公务员家庭。
大给在1815年左右开始研究平行公理问题。
1823－1826年间，他浓度用萨开里相同的方法证明第五公设，到了一系列重要的结果。
罗巴切夫斯基以深刻的洞罕力导致几何学革命的新思想。
人果断地放弃了关于欧氏几何惟一性的传统观念，大胆地确信：由再运行公理否定命题出发而得到的结果代表一种新的几何学，尽管这种几何学有许多结果是令人惊异的，甚至是不可思议的，例如，在这种几何里，三角形的内角和小于180度。
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非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异欧氏几何球面几何过两点有唯一一条直线过两个非对径点有唯一一条直线（大圆）直线直线可以无限延伸大圆是封闭的、有限的角的含义两直线的交角两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角）两点间距离含义连结它们的直线段长度过两点的大圆中的劣弧弧长三角形内角和等于180°大于180°三角形面积底边长乘高线长的一半，其中A 、B 、C 为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）三角形全等条件SSS ，SAS ，ASA SSS ，SAS ，ASA ，AAA 相似性存在不全等的相似三角形同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念平行性过直线外一点有且只有一条直线与之平行任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念勾股定理余弦定理正弦定理 通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。
平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid ，公元前300年左右）整理成系统的理论。
他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。
为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。
球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。
表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征欧氏几何球面上的几何直线都是两点间距离最短的道路大边对大角，大角对大边；三角形的性质两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三角形全等的条件SSS，SAS，ASA两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。
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非欧几何
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。
因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。
在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
下面举几个例子加以说明：
欧式几何：
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何：
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。
所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。
但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。
他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。
在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。
它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。