2015宜春市高一数学期末统考试卷
江西省宜市高一数学下学期期末试卷(含解析)
2014-2015学年江西省宜春市高一（下）期末数学试卷一、选择题（12×5=60分）1．（2015春•宜春期末）某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，该单位为了解职工每天的业余生活情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8 B．12 C．20 D．30考点：分层抽样方法．专题：数系的扩充和复数．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，则40﹣50岁的职工有350﹣70﹣175=105人，年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为=12人，故选：B．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．2．（2015春•宜春期末）已知点P（tanα，cosα）在第四象限，则角α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：由点P（tanα，cosα）在第四象限，可得，即可得出．解答：解：∵点P（tanα，cosα）在第四象限，∴，∴α在第三象限．故选：C．点评：本题考查了角所在象限的符号、点在各个象限的坐标符号，属于基础题．3．（2015春•宜春期末）某居民小区年龄在20岁到45岁的居民共有150人，如图是他们上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在的人数分别是39、21人，则年龄在=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故将y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度单位可得函数y=cos2x的图象，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．8．（2015春•宜春期末）函数y=sin2（x﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω为（）A． 2 B．C． 4 D．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．解答：解：∵函数y=sin2（x﹣）==﹣sinωx 的最小正周期为=π，则ω=2，故选：A．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．9．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜ϕ＜），其部分图象如下图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A． g（x）=sin（x+1）B．g（x）=sin（x﹣）C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x）的解析式，再利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象可得A=1，=4（1+1），求得ω=．再根据五点法作图可得×（﹣1）+ϕ=0，求得ϕ=，可得函数f（x）=sin（x+）．把f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向右平移1个单位得到g（x）=sin=sin （x﹣]的图象，故选：B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．（2015春•宜春期末）的值是（）A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差公式、诱导公式即可得出．解答：解：原式===sin30°=．故选：C．点评：本题考查了两角和差公式、诱导公式，属于基础题．11．（2011•石狮市校级模拟）一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B． C． D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比，进而计算可得答案．解答：解：根据几何概型知识，其概率为体积之比，即，故选A点评：本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．12．（2015春•宜春期末）△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知等式先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．解答：解：因为3+4+5=，所以3+4=﹣5，所以，因为A，B，C在圆上，所以．代入原式得=0，同理=所以===﹣；故选A．点评：本题考查了平面向量在几何问题中的应用．要利用向量的三角形法则，将所求进行化归，从而将问题转化为数量积．二、填空题（4×5=20分）13．（2015春•宜春期末）箱子中有4个分别标有号码1、2、3、4的小球，从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，则两次记下的号码至少一个奇数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，共4×4=16种情种情况，而两次之都为偶数的情况有2×2=4种，进而可得两次记下的号码至少一个奇数的情况有12种，由等可能事件的概率公式计算可得答案．解答：解：根据题意，设两个号码至少一个奇数的事件为A，从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，共4×4=16种情况，而两次之都为偶数的情况有2×2=4种，则两个号码至少一个为偶数的情况有16﹣4=12种；故两次记下的号码至少一个奇数的概率为P（A）==，故答案为：点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，属于基础题．14．（2015春•宜春期末）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）= ﹣7 ．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求cosα，tanα，利用两角和的正切函数公式即可得解．解答：解：∵α∈（，π），sinα=，∴cos=﹣，t anα==﹣，∴tan（α+）===﹣7．故答案为：﹣7．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，同角三角函数基本关系的运用，两角和的正切函数公式的应用，属于基础题．15．（2012•广州二模）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若，则的值为﹣2 ．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：计算题．分析：取BC的中点M，连接DM，交AC于N，由平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE 与AC相交于点F，知AF=FN=CN，故=﹣，由此能求出结果．解答：解：取BC的中点M，连接DM，交AC于N，∵ABCD是平行四边形，且点E、M分别为AD、BC的中点∴DE∥BM，DE=BM，∴四边形BEDM是平行四边形，∴BE∥DM，在△AND中，∵EF∥DN且点E为AD中点，∴点F也为AN中点，∴AF=FN，同理可得CN=FN，∴AF=FN=CN，∴=﹣+=﹣，∵，∴m=，n=﹣，∴．故答案为：﹣2．点评：本题考查向量的线性运算性质及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是①③④．（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）（x∈）的单调递增区间是；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：①，利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的增区间，即可判断出正误；②将代入f（x），即可判断出正误；③f（x）=，向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为，由题意得，即可判断出正误；④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解，结合函数及y=m的图象即可得出．解答：解：①，∴函数的增区间为，又∵，∴增区间为．∴①正确；②将代入f（x）得，∴②不正确；③，∴向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为，由题意得，∵，因此m的最小值是，∴③正确；④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解，结合函数及y=m的图象可知，必有x=0，x=2π，此时，另一解为，即x1，x2，x3满足，④正确．综上知，只有①③④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（10分）（2015春•宜春期末）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，而终边经过点P（1，﹣2）．（1）求tanα的值；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意，根据P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值即可；（2）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，而终边经过点P （1，﹣2），∴tanα=﹣2；（2）∵tanα=﹣2，∴原式===6．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=﹣cos2x+2cos2（﹣x）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用诱导公式，倍角公式及辅助角公式，可将函数f（x）的解析式化为，由ω=2可得f（x）的最小正周期；（2）借助正弦函数的图象和性质，分别f（x）在区间上最值，可得答案．解答：解：（1）（2分）=（4分）∵ω=2，∴f（x）最小正周期为T=π，（6分）（2）因为，所以（8分）当时，函数取最小值﹣2；当时，函数取最大值；所以，所以f（x）取值范围为．点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，难度中档．19．（2015春•宜春期末）已知，，是一个平面内的三个向量，其中=（1，3）．（1）若||=2，∥，求及；（2）若||=，且﹣3与2+垂直，求与的夹角．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量平行的性质得到坐标的关系；=（λ，3λ），利用模求参数λ；（2）利用已知向量垂直得到数量积为0，求出，的数量积，利用数量积公式求夹角．解答：解：（1）因为||=2，∥，所以设=（λ，3λ），并且λ2+9λ2=40，解得λ=±2，所以=（2，6）或者（﹣2，﹣6），=±20；（2）因为||=，且﹣3与2+垂直，所以（﹣3）（2+）=0，所以2=0，又=10，，所以=，所以与的夹角的余弦值为=，所以与的夹角60°．点评：本题考查了平面向量平行和垂直的性质；向量数量积公式求向量夹角．20．（2015春•宜春期末）从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量，被抽取学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，如图是按上述分组方法得到的条形图．（1）根据已知条件填写下面表格：组别 1 2 3 4 5 6 7 8频数（2）估计这所学校高三年级800名学生中身高在175cm以上（含175cm）的人数；（3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为同性别学生的概率是多少？考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图分析可得各数据段的频率，再由频率与频数的关系，可得频数．（2）求出这所学校高三年级800名学生中身高在175cm以上（含1175cm）的频率，即得频数（3）第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，列出基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（1）由条形图得第七组频率为.1﹣（0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3）=0.06，∴0.06×50=3人∴第七组的人数为3人．（1分）组别 1 2 3 4 5 6 7 8频数 2 4 10 10 15 4 32（4分）（2）由条形图得前四组频率为0.04+0.08+0.2+0.2=0.52，后四组频率为1﹣0.52=0.48．估计这所学校高三年级身高在175cm以上（含175cm）的人数800×0.48=384（人）．（8分）（3）第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：a b c d1 1a 1b 1c 1d2 2a 2b 2c 2d3 3a 3b 3c 3d所以基本事件有12个，恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a共7个，因此实验小组中，恰为两男或两女的概率是=．点评：本题考查了古典概型概率计算及频率分布直方图的应用，关键是正确分析频率分布直方图的数据信息，准确计算．21．（2015春•宜春期末）x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x．（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的y（y＜5）的概率；（3）求输出的y（6＜y≤8）的概率．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；概率与统计；算法和程序框图．分析：（1）由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，分析程序各分支对应的操作可得程序框图所表示的函数表达式；（2）求出输出的y（y＜5）的x值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；（3）求出输出的y（6＜y≤8）的值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；解答：解：（1）由已知可得程序框图所表示的函数表达式是；（3分）（2）当y＜5时，若输出y=x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，所以0≤x＜4，若输出y=x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，所以0≤x＜6（不合），所以输出的y（y＜5）的时x的范围是0≤x＜4．则使得输出的y（y＜5）的概率为；（7分）（3）当x≤7时，输出y=x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足6＜x+1≤8解得5＜x≤7；当x＞7时，输出y=x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足6＜x﹣1≤8解得7＜x≤9；综上，输出的y（6＜y≤8）的时x的范围是5＜x≤9．则使得输出的y满足6＜y≤8的概率为．点评：本题考查的知识点是程序框图，分段函数，几何概型，是概率，函数与算法的综合应用，难度不大，属于基础题．22．（2015春•宜春期末）已知向量=（﹣cos（π﹣θ），sin（﹣θ）），=（，2cos2﹣1）．（1）求证：⊥（2）设=+（t2+3），=﹣k+t，g（t）=（λ∈），若存在不等于0的实数k 和t（t∈），满足⊥，试求g（t）的最小值h（λ），并求出h（λ）的最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）首先化简两个向量的坐标，然后进行数量积的运算；（2）由可得，进一步利用k，t表示，化简后根据解析式特点，讨论最小值的取得．解答：解：（1）=（﹣cos（π﹣θ），sin（﹣θ））=（cosθ，﹣sinθ）=（，2cos2﹣1）=（sinθ，cosθ）所以=sinθcosθ﹣sinθcosθ=0，∴；（3分）（2）由可得，即，∴，∴，又∵，∴﹣k+t3+t=0，∴k=t3+3t，∴g（t）=，（t∈）（7分）①当即λ＞﹣2时，g（t）min=g（1）=λ+4②当即﹣4≤λ≤﹣2时，③当即λ＜﹣4时，g（t）min=g（2）=2λ+7∴（10分）∴h（λ）min=﹣9点评：本题考查了利用三角函数的诱导公式以及逆用两角和与差的三角函数公式化简三角函数式、平面向量的数量积公式的运用以及讨论思想的考查；属于中档题．。
2015-2016年江苏省宜春市丰城中学高一下学期数学期末试卷及参考答案(理科)
19． （12 分）已知函数 （Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 ，求△ABC 的面积．
，a=2，
20． （12 分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名 学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数 与频率的统计表和频率分布直方图： 分组 [10，15） [15，20） 频数 m 24 频率 P n
2015-2016 学年江苏省宜春市丰城中学高一（下）期末数学试卷 （理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． （5 分）学校教务处要从某班级学号为 1﹣60 的 60 名学生中用系统抽样方法 抽取 6 名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（ A．5，10，15，20，25，30 B．3，13，23，33，43，53 C．1，2，3，4，5，6 D．2，4，8，16，32，48 2． （5 分）在△ABC 中，如果 sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么 cosC 等于（ A． B． C． D． ） ） ）
3． （5 分）设 0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（ A．a3＞b3 B． C．ab＞1 D．lg（b﹣a）＜0
4． （5 分） 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 a5=3， S5=10， 则 a13 的值是 （ A．1 B．3 C．5 D．7
）
5． （5 分）下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这 五个散点的线性回归直线方程为 =0.8x﹣155，后因某未知原因第 5 组数据的 y 值模糊不清，此位置数据记为 m（如表所示） ，则利用回归方程可求得实数 m 的 值为（ x y ） 196 1 197 3 200 6 203 7 204 m
2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一(上)数学期末试卷 及解析(重点班)
7． （5.00 分）已知直线 l1：ax﹣y+2a=0，l2： （2a﹣1）x+ay+a=0 互相垂直，则 a 的值是（ A．0 B．1 ） C．0 或 1 D．0 或﹣1 ）
8． （5.00 分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A．y=|x|（x∈R） B．y=﹣x3（x∈R） C． D．
9． （5.00 分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，其中主视图和左 视图均为等腰三角形，俯视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4 ）
10． （5.00 分）函数 y=lg（﹣x2+2x）的单调递增区间是（ A． （﹣∞，1） B． （1，2） C． （0，1） D． （1，+∞）
18． （12.00 分）已知集合 A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1} （Ⅰ）当 m=3 时，求 A∩B． （Ⅱ）若 B⊆A，求实数 m 的取值范围． 19． （12.00 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱 PA⊥面 ABCD， BD 交 AC 于点 E，F 是 PC 中点，G 为 AC 上一动点． （1）求证：BD⊥FG； （2）在线段 AC 上是否存在一点 G 使 FG∥平面 PBD，并说明理由．
3． （5.00 分）已知 A（2，0，1） ，B（1，﹣3，1） ，点 M 在 x 轴上，且到 A、B 两点的距离相等，则 M 的坐标为（ A． （﹣3，0，0） B． （0，﹣3，0） ） C． （0，0，﹣3） D． （0，0，3） ）
4． （5.00 分）已知函数 f（x）= A． B． C．4 D．9
与直线 kx﹣y﹣2k+4=0 有两个相异的交点时，
2014-2015年江西省宜春市奉新一中高一下学期数学期末试卷及参考答案
2014-2015学年江西省宜春市奉新一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．lna＞lnb B．0.3a＞0.3b C．D．2．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣33．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．5 B．9 C．log345 D．104．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞B．0＜x＜2 C．＜x＜2 D．＜x≤26．（5分）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．88．（5分）在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈[0，]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）若2m+2n＜2，则点（m，n）必在（）A．直线x+y=1的左下方B．直线x+y=1的右上方C．直线x+2y=1的左下方D．直线x+2y=1的右上方11．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，=2，=，则b=（）且S△ABCA．4 B．3 C．2 D．112．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1 B．3：2：2 C．：2：1 D．：1：2二．填空题：（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为．14．（5分）已知x＞0，y＞0且=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是．15．（5分）锐角△ABC中，，则=．16．（5分）有限数列D：a 1，a2，…，a n，其中S n为数列D的前n项和，定义为D 的“德光和”，若有99项的数列a1，a2，…，a99的“德光和”为1000，则有100项的数列8，a1，a2，…，a99的“德光和”为．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（10分）已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（）=﹣，b=1，c=，且a＞b，求角B和角C．20．（12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求频率分布直方图中m的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[70，80），[80，90），[90，100]中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[80，100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80，90）中的概率．21．（12分）三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}及f（x n）=a1x+a2x2+…+a n x n，f n（﹣1）=（﹣1）n n，n ∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和T n；（Ⅲ）若（n）•a n≤m2+m﹣1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年江西省宜春市奉新一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．lna＞lnb B．0.3a＞0.3b C．D．【分析】不妨令a=﹣1、b=﹣2，代入各个选项检验，可得结论．【解答】解：不妨令a=﹣1、b=﹣2，代入各个选项检验可得A、B、C都不成立，只有D成立，故选：D．2．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣3【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值．【解答】解：∵l1⊥l2∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）=0，即（a﹣1）（a+3）=0解得a=1或a=﹣3故选：D．3．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．5 B．9 C．log345 D．10【分析】利用等比中项、对数性质可知log3a1+log3a2+…+log3a10=5log3a4a7，进而计算可得结论．a n=a1•q11﹣n﹣1•a1•q n﹣1=•q9为定值，【解答】解：依题意当n≤10时，a11﹣n又∵a5a6+a4a7=18，∴a4a7=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3a1a10+log3a2a9+log3a3a8+log3a4a7+log3a5a6=5log3a4a7=5log39=10，故选：D．4．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩==90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩==88.4+当X=8或9时，≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣=故选：C．5．（5分）已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞B．0＜x＜2 C．＜x＜2 D．＜x≤2【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入表示出sinB，根据B 的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可．【解答】解：∵在△ABC中，a=x（x＞0），b=2，A=60°，∴由正弦定理得：sinB==∵A=60°，∴0＜B＜120°，要使三角形有两解，得到60°＜B＜120°，且B≠90°，即＜sinB＜1，∴＜＜1，解得：＜x＜2，故选：C．6．（5分）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．8．（5分）在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈[0，]的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为π，满足sinx∈[0，]的，求出区间长度，由几何概型公式解答．【解答】解：在区间[0，π]上，当时，，由几何概型知，符合条件的概率为．故选：C．9．（5分）若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．【分析】==，而=，代入已知条件即可算出．【解答】解：由题设知，，又=，所以=，所以===，故选：D．10．（5分）若2m+2n＜2，则点（m，n）必在（）A．直线x+y=1的左下方B．直线x+y=1的右上方C．直线x+2y=1的左下方D．直线x+2y=1的右上方【分析】由已知利用基本不等式得到m+n＜1，再由二元一次不等式表示的平面区域得答案．【解答】解：由2m+2n＜2，得，∴，即m+n＜1．∴点（m，n）必在直线x+y=1的左下方．故选：A．11．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，=2，=，则b=（）且S△ABCA．4 B．3 C．2 D．1=求得a=1，【分析】由条件利用正弦定理可得c=2a，sinB=．再由S△ABC可得c=2，再利用余弦定理求得b的值．【解答】解：△ABC中，cosB=，=2，∴由正弦定理可得c=2a，sinB=．===a2•，可得a=1，∴c=2，再由S△ABC∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=1+4﹣4×=4，∴b=2，故选：C．12．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1 B．3：2：2 C．：2：1 D．：1：2【分析】利用正弦定理化简已知表达式，通过，不共线，求出a、b、c的关系，利用正弦定理求解即可．【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，若2a=0，则2a+=﹣3c=﹣3c（﹣﹣），即（2a﹣3c）+（b﹣3c）=，又因∵，不共线，则2a﹣3c=0，b﹣3c=0，即2a=b=3c，由正弦定理可知：sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：2，故选：B．二．填空题：（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为4x﹣y﹣13=0或x=3．【分析】根据题意，求出经过点P且与AB平行的直线方程和经过P与AB中点C 的直线方程，即可得到满足条件的直线方程．【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线．∵A（2，﹣3），B（4，5），∴AB的斜率k==4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x﹣3），化简得4x﹣y﹣13=0，又∵AB中点为C（3，1）∴经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4x﹣y﹣13=0或x=3．14．（5分）已知x＞0，y＞0且=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，16] ．【分析】不等式x+y≥m恒成立⇔（x+y）min≥m．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0且=1，∴x+y==10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∵不等式x+y≥m恒成立⇔（x+y）min≥m．∴m∈（﹣∞，16]，故答案为：（﹣∞，16]．15．（5分）锐角△ABC中，，则=4．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用余弦定理列出关系式，两者联立得到4abcosC=c2，原式提取tanC，利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用正弦定理变形，将4abcosC=c2代入即可求出值．【解答】解：∵+==6cosC，由余弦定理得：a2+b2﹣2abcosC=c2，∴4ab•cosC=c2，则原式=tanC•=tanC•=，由正弦定理得：=，∴上式===4．故答案为：416．（5分）有限数列D：a1，a2，…，a n，其中S n为数列D的前n项和，定义为D 的“德光和”，若有99项的数列a1，a2，…，a99的“德光和”为1000，则有100项的数列8，a1，a2，…，a99的“德光和”为998．【分析】通过S1+S2+S3+…+S n=na1+（n﹣1）a2+（n﹣2）a3+…+2a n﹣1+a n入手，计算即可得到结论．【解答】解：∵S1=a1，S n=a1+a2+…+a n，∴S1+S2+S3+…+S n=na1+（n﹣1）a2+（n﹣2）a3+…+2a n﹣1+a n，对于数列a1，a2，…，a99有：S1+S2+S3+…+S99=99a1+98a2+97a3+…+2a98+a99=1000n=99000，对于数列8，a1，a2，…，a100有：S1+S2+S3+…+S100=800+99a1+98a2+97a3+…+2a98+a99=99800；所以数列8、a1、a2、a3、…、a99的“德光和”为998，故答案为：998．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（10分）已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（1）利用斜率计算公式即可得出；（2）求出与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积计算公式和二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）直线l过点（m，0），（0，4﹣m），则2，解得m＞0或m＜﹣4且m≠4．∴实数m的取值范围是m＞0或m＜﹣4且m≠4；（2）由m＞0，4﹣m＞0得0＜m＜4，则，则m=2时，S有最大值，直线l的方程为x+y﹣2=0．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求a n及S n；（Ⅱ）求出b n的通项公式，利用裂项法即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有，解得a1=3，d=2，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n====（﹣），所以数列{b n}的前n项和T n=（1﹣﹣）=（1﹣）=，即数列{b n}的前n项和T n=．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（）=﹣，b=1，c=，且a＞b，求角B和角C．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换，把f（x）化为Asin（ωx+φ）的形式，求出它的最小正周期与递增区间；（Ⅱ）由f（）=求出B的值，再由正弦定理求出A、C的值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=cos2x•（﹣）+sin2x•﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=（•sin2x﹣cos2x）=sin（2x﹣），∴故函数f（x）的最小正周期为T==π；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z ）；（Ⅱ）f（）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣．∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=．由正弦定理得：==，∴sinC=，∵0＜C＜π，∴C=或；当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍）；综上，B=，C=．20．（12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求频率分布直方图中m的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[70，80），[80，90），[90，100]中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[80，100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80，90）中的概率．【分析】（Ⅰ）根据各小组频率和等于1，求出m的值；（Ⅱ）利用频率=，计算成绩落在[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生人数；（Ⅲ）用列举法求出从[80，100]中的学生抽取2人的基本事件数以及此2人的成绩都在[80，90）的基本事件数，求出概率即可．【解答】解：（Ⅰ）根据各小组频率和等于1，得；10×（2m+3m+4m+5m+6m）=1，∴m=0.005；…（3分）（Ⅱ）成绩落在[70，80）中的学生人数为20×10×0.03=6，成绩落在[80，90）中的学生人数是20×10×0.02=4，成绩落在[90，100]中的学生人数2是0×10×0.01=2；…（6分）（Ⅲ）设落在[80，90）中的学生为a1，a2，a3，a4，落在[90，100]中的学生为b 1，b2，则Ω1={a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2}，基本事件个数为n=15，设A=“此2人的成绩都在[80，90）”，则事件A包含的基本事件数m=6，∴事件A发生的概率为．…（13分）21．（12分）三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理化简可得：=，结合A的范围，可得＜sin（A）＜1，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，即C=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B=，∴由正弦定理可得：====，∵0，A＜，＜sin（A）＜1，∴＜＜，从而解得：∈（1，）．22．（12分）已知数列{a n}及f（x n）=a1x+a2x2+…+a n x n，f n（﹣1）=（﹣1）n n，n ∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和T n；（Ⅲ）若（n）•a n≤m2+m﹣1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过令n=1、2、3代入计算可知a1、a2、a3的值，利用（﹣1）n+1•a n+1=f n+1（﹣1）﹣f n（﹣1）计算即得通项公式；（Ⅱ）通过a n=2n﹣1可知当n≥时b n≥0，分类讨论即得结论；（Ⅲ）通过令c n=，通过作差可知当n=2时c n取最大值，进而解不等式m2+m﹣1≥即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f1（﹣1）=﹣a1=﹣1，∴a1=1，∵f2（﹣1）=﹣a1+a2=2，∴a2=3，∵f3（﹣1）=﹣a1+a2﹣a3=﹣3，∴a3=5，∵（﹣1）n+1•a n+1=f n+1（﹣1）﹣f n（﹣1）=（﹣1）n+1•（n+1）﹣（﹣1）n•n，=（n+1）+n=2n+1，∴a n+1∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）∵a n=2n﹣1，∴b n=a n﹣10=2n﹣11，∴数列{b n}的前n项和S n==n2﹣10n，由b n≥0得n≥，∴当1≤n≤5时，T n=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣S n=﹣n2+10n；当n≥6时，T n=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+…+b n=S n﹣2S5=n2﹣10n﹣2（52﹣10×5）=n2﹣10n+50；综上，T n=；（Ⅲ）令c n=，则c n+1﹣c n=﹣=，∴当n=1时，c1=；当n=2时，c2=；＜c n，．当n≥2时，c n+1∴当n=2时，c n取最大值，又（n）•a n≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，∴m2+m﹣1≥对一切正整数n恒成立，解得：m≥1或m≤﹣7．。
宜春市2014-2015学年第一学期期末统考高一数学试卷
宜春市2014-2015学年第一学期期末统考高一数学试卷 一、选择题:1.集合U={}6,5,4,3,2,1，A={}5,3,1,B={}5,4,2,则A ⋂()B C U 等于 A.()6,3,1 B {}3,1 C. {}1 D.{}5,4,22.已知集合A=[]6,0，集合B=[]3,0,则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( ) A. f: x →y=61x B. f: x →y=31xC. f: x →y=21x D. f: x →y=x 3.已知A(2,0,1),B(1,-3,1),点M 在x 轴上，且到A 、B 两点间的距离相等,则M 的坐标为( ) A.(-3,0,0) B.(0,-3,0) C.(0,0,-3) D.(0,0,3)4.函数y=x 2+2(m-1)x+3在区间()2,-∞-上是单调递减的，则m 的取值范围是( )A. m ≤3B. m ≥3C. m ≤-3D. m ≥-3 5.函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间( ) A.(81,41) B. (41,21) C.(21,1) D.(1,2) 6.视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是( ) A.1 B. 2 C . 3 D.47.已知二次函数f(x)=x 2-x+a(a>0)，若f(m)<0，则f(m-1)的值是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a 有关8.直线x+y+6=0截圆x 2+y 2=4得劣弧所对圆心角为( ) A.6π B. 3π C. 2π D. 32π9.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是A.EF 与BB 1垂直B. EF 与A 1C 1异面C.EF 与CD 异面D.EF 与BD 垂直 10.已知偶函数f(x)在[]2,0单调递减，若a=f(0.54),b=f(log 214),c=f(26.0),则a, b, c 的大小关系是( )A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>b D .b>c>aDA B CEF D 1A 1B 1C 1 主视图左视图11.已知圆C 与直线3x-4y=0及3x-4y=10都相切，圆心在直线4x+3y=0上，则圆C 的方程为( ) A. (x-53)2+(y+54)2=1 B. (x+53)2+(y+54)2=1 C.(x+53)2+(y-54)2=1 D. (x-53)2+(y-54)2=1 12.对于函数f(x),若任给实数a,b,c ，f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为 “可构造三角形函数”。
江西省宜春市高安二中2015-2016学年高一下学期期末数学试卷 含解析
2015-2016学年江西省宜春市高安二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要的）1．已知，则等于（）A．B．7 C． D．﹣72．在四边形ABCD中，=（1,2），=（﹣4，2),则该四边形的面积为（）A．B． C．5 D．103．等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=(）A．B．﹣C．2 D．﹣24．设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A． +与﹣B．3﹣2与4﹣6C． +2与+2D．和+5．若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x)在单调递减C．f（x）在单调递增D．f(x）在单调递减6．若x,y满足约束条件，且向量=（3，2）,=（x，y)，则•的取值范围（）A．[，5］B．［，5]C．[，4]D．[,4］7．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是(）A．B．C．D．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣)=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．在等比数列{a n｝中，若，，则=（）A．B．C． D．10．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，9）D．11．设等差数列{a n｝的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N＊，且m≥2），则必定有(）A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0,且S m+1＜012．已知数列｛a n}满足：a n=log(n+2)定义使a1•a2•…•a k为整数的数k（k∈N＊）叫做希（n+1)望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（)A．2026 B．2036 C．2046 D．2048二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知向量=（1，）,=(3，y），若向量，的夹角为,则在方向上的投影是______．14．（几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，，BC=3,BE⊥AC，垂足为E，则ED=______．15．函数y=log a（x+3)﹣1（a＞0,a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为______．16．设数列｛a n}，（n≥1,n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n)=2，若[x］表示不超过x的最大整数,则［++…+］=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．设函数f（α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．（1）若P点的坐标为（,1),求f（α）的值;（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围,并求函数f(α）的最小值和最大值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ)求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n｝的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求｛}的前n项和S n．19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．20．数列{a n｝前n项和为S n，a1=4，a n+1=2S n﹣2n+4．（1)求证：数列｛a n﹣1｝为等比数列；（2）设,数列｛b n｝前n项和为T n，求证：8T n＜1．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC,∠C=90°，AB=2百米,BC=1百米，现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图，使得EF∥AB，EF ⊥ED，在△DEF喂食,求S△DEF的最大值．22．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为(cosωx,sinωx)，其中ω＞0．设f（x）=•．(1)记函数y=f(x）的正的零点从小到大构成数列｛a n}（n∈N＊），当a=，b=1，ω=2时,求{a n}的通项公式与前n项和S n；（2）令ω=1，a=t2,b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈［0，1］恒成立，求θ的取值范围．2015—2016学年江西省宜春市高安二中高一(下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）1．已知，则等于（）A．B．7 C． D．﹣7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．【解答】解：已知,则,∴=,故选A．2．在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2),则该四边形的面积为（) A．B． C．5 D．10【考点】向量在几何中的应用；三角形的面积公式;数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状,然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0,所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又,，该四边形的面积：==5．故选C．3．等比数列{a n｝的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=()A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：设等比数列｛a n}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得,解得:．∴．故选：A．4．设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（)A． +与﹣B．3﹣2与4﹣6C． +2与+2D．和+【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由共线的向量不能作为平面向量的一组基底,能求出结果．【解答】解：在A中，∵，不共线是两不共线的向量，∴+与﹣不共线，∴+与﹣能作为平面向量的一组基底．在B中．，∵，不是两不共线的向量,∴3﹣2=（4﹣6）共线，∴3﹣2与4﹣6不能作为平面向量的一组基底在C中,∵，不是两不共线的向量,∴+2与2+不共线，∴+2与2+能作为平面向量的一组基底，在D中,∵,是两不共线的向量，∴和+不共线,∴和+能作为平面向量的一组基底．故选B．5．若f（x）=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π,f（0)=，则（）A．f(x）在单调递增 B．f（x）在单调递减C．f(x）在单调递增D．f(x）在单调递减【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由f(0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x)=sin(ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）(ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+)=1，ϕ+=2kπ+,k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，）,函数f（x）=cos2x 没有单调性,故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x)=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．6．若x，y满足约束条件，且向量=(3,2)，=(x，y),则•的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4］D．[，4]【考点】简单线性规划．【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y,设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解:∵向量=（3，2），=(x,y),∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y,则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大,由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5,经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小,由，解得，即A(，），此时z min=3×+2×=,则≤z≤5故选：A．7．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为,令,则．故选：A．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=,cos(﹣）=，则cos（α+）=(）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin(+α)和sin（﹣)的值，进而利用cos(α+)=cos［（+α）﹣（﹣)］通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜,＜﹣＜∴sin(+α）==,sin（﹣）==∴cos（α+)=cos［（+α）﹣(﹣）］=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣)=故选C9．在等比数列{a n}中，若，，则=()A．B．C． D．【考点】等比数列．【分析】先用首项和公比表示，再用等比数列｛｝与等比数列｛a n}的联系系求解．【解答】解：∵∴∴故选C10．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，9）D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合抛物线的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当a≤0时，不满足条件，则a＞0，抛物线y=ax2开口向上，当抛物线经过点B时，a取得最大值,当经过点C时，取得最小值，由，解得，即B（3，8），此时8=9a，解得a=．由，解得，即B（3,8)，此时8=9a，解得a min=．由，解得，即C（1,9)，此时9=a，解得a max=9．∴≤a≤9，故选：D．11．设等差数列｛a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1(m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0，且S m+1＜0【考点】等差数列的性质．【分析】由﹣a m＜a1＜﹣a m+1，可得a1+a m＞0，a1+a m+1＜0,结合等差数列的求和公式即可求解【解答】解：∵﹣a m＜a1＜﹣a m+1，∴a1+a m＞0，a1+a m+1＜0∴＞0，＜0故选A12．已知数列{a n}满足：a n=log（n+2)定义使a1•a2•…•a k为整数的数k(k∈N＊)叫做希望（n+1）数，则区间［1，2012］内所有希望数的和M=（）A．2026 B．2036 C．2046 D．2048【考点】数列的求和．【分析】利用a n=log n+1（n+2），化简a1•a2•a3…a k，得k=2m﹣2,给m依次取值，可得区间[1,2012］内所有希望数，然后求和．【解答】解：a n=log n+1（n+2），∴由a1•a2•a3…a k为整数得，log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2)为整数，设log2（k+2）=m,则k+2=2m，∴k=2m﹣2;因为211=2048＞2012,∴区间[1，2012］内所有希望数为22﹣2，23﹣2，24﹣2，210﹣2，其和M=22﹣2+23﹣2+24﹣2+…+210﹣2=2026．故选:A二、填空题（本题共4个小题，每小题5分,共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知向量=（1，)，=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义求出y的值,然后根据投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵向量=（1,），=(3，y）,若向量,的夹角为，∴cos=，即=，平方得y=,即=（3,）∴在方向上的投影是｜｜•cos＜，＞===3．故答案为:3．14．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中,，BC=3,BE⊥AC,垂足为E，则ED=．【考点】余弦定理．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形,由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°,且利用射影定理求出EC的长,在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解:∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中,AB=，BC=3,根据勾股定理得：AC=2,∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°,在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得:ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1,把要求的式子化为4++，利用基本不等式求得结果．【解答】解：由题意可得定点A（﹣2,﹣1）,又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8,当且仅当时，等号成立，故答案为：8．16．设数列｛a n},（n≥1,n∈N）满足a1=2,a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣(a n+1﹣a n）=2,若［x]表示不超过x的最大整数，则[++…+］=2015．【考点】等差数列的通项公式．【分析】构造b n=a n+1﹣a n,可判数列｛b n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a n=n （n+1）,裂项相消法可得答案．【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2,故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2(n﹣1）=2n+2，=2n,故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=，解得a n=n（n+1），故++…+=2016（++…+）=2016（1﹣+﹣+…+﹣)=2016﹣，∴[++…+］=2015，故答案为：2015．三、解答题(本大题共6小题，共70分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．设函数f(α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．（1）若P点的坐标为（，1）,求f（α）的值；（2）若点P(x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f(α）的最小值和最大值．【考点】任意角的三角函数的定义;简单线性规划．【分析】（1）由三角函数的定义，算出sinα=，cosα=,代入即可得到求f（α）的值; （2）作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，运动点P 并加以观察，可得α∈[，］．利用辅助角公式化简得f（α）=2sin（α+），由α+∈［，］结合正弦函数的图象与性质加以计算，可得函数f(α)的最小值和最大值．【解答】解：（1）∵P点的坐标为（，1），可得r=|OP｜==2,∴由三角函数的定义，得sinα=，cosα=，故f(α）=sinα+cosα=+×=2．（2）作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，其中A（0，1）、B（0。
2014-2015年江西省宜春市高安中学高一下学期数学期末试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式x（x+2）≥0的解集为（）A．{x|x≥0或x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x≤0}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0或x≥2}2．（5分）数列{a n}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n+1（n∈N+）B．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）C．a n=（﹣1）n+1（n∈N+）D．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）3．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）在等差数列{a n}中，a2，a10是方程2x2﹣x﹣7=0的两根，则a6等于（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5分）sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．6．（5分）在等比数列中，，则项数n为（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）已知不等式＞0的解集为（﹣1，3），那么=（）A．3 B．﹣ C．﹣1 D．18．（5分）若=，则tan2α=（）A．﹣ B．C．﹣ D．9．（5分）在△ABC中，角A、B的对边分别为a、b且A=2B，sinB=，则的值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=（n∈N+），设{a n}的前n项积为s n，则使s n＜成立的自然数n（）A．有最大值62 B．有最小值63 C．有最大值62 D．有最小值3111．（5分）已知c osα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，则β=（）A．B．C．D．12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式＞0的解集为．14．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1=20，公差d=﹣2，则前n项和S n的最大值为．15．（5分）函数f（x）=sin22x﹣cos22x的最小正周期是．16．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）当a为何值时，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且=1，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（I）求a n及S n；（II）求数列{}的前n项和为T n．20．（12分）已知b2+c2=a2+bc．（1）求角A的大小；（2）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．21．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．22．（12分）设各项均为正数的等比数列{a n}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设b n=log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1=1，c n+1=c n+，求证：c n＜3．（3）是否存在正整数k，使得++…+＞对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．2014-2015学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式x（x+2）≥0的解集为（）A．{x|x≥0或x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x≤0}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0或x≥2}【分析】解方程x（x+2）=0，得x1=0，x2=﹣2，由此能求出不等式的解集．【解答】解：解方程x（x+2）=0，得x1=0，x2=﹣2，所以不等式x（x+2）≥0的解集为{x|x≥0或x≤﹣2}；故选：A．2．（5分）数列{a n}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n+1（n∈N+）B．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）C．a n=（﹣1）n+1（n∈N+）D．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）【分析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，即可得出结论．【解答】解：观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，故选：D．3．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．4．（5分）在等差数列{a n}中，a2，a10是方程2x2﹣x﹣7=0的两根，则a6等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】根据等差数列的性质，利用根与系数的关系，即可求出a6的值．【解答】解：等差数列{a n}中，a2，a10是方程2x2﹣x﹣7=0的两根，∴a2+a10=，∴a6=（a2+a10）=×=．故选：B．5．（5分）sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵sinα+cosα=，则1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．6．（5分）在等比数列中，，则项数n为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用等比数列的通项公式，可求项数n．【解答】解：∵等比数列中，，∴，∴n=4．故选：C．7．（5分）已知不等式＞0的解集为（﹣1，3），那么=（）A．3 B．﹣ C．﹣1 D．1【分析】由题意可得ax+b=0的解为x=﹣1，求得a=b，从而求得的值．【解答】解：不等式＞0的解集为（﹣1，3），可得ax+b=0的解为x=﹣1，即﹣a+b=0，即a=b，∴==﹣，故选：B．8．（5分）若=，则tan2α=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【分析】将已知等式左边的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵==，∴tanα=﹣3，则tan2α===．故选：B．9．（5分）在△ABC中，角A、B的对边分别为a、b且A=2B，sinB=，则的值是（）A．B．C．D．【分析】由已知可求cosB，由正弦定理可得，从而得解．【解答】解：∵A=2B，sinB=，∴B为锐角，cosB==，∴由正弦定理可得：=2×=．故选：B．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=（n∈N+），设{a n}的前n项积为s n，则使s n＜成立的自然数n（）A．有最大值62 B．有最小值63 C．有最大值62 D．有最小值31【分析】利用数列的通项公式，求出乘积，结合不等式求出n的最小值即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式a n=（n∈N+），设{a n}的前n项积为s n，s n==，使s n＜成立，可得，解得n＞62，则使s n＜成立的自然数n为63．故选：B．11．（5分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，则β=（）A．B．C．D．【分析】由cos（a﹣β）=，可得cosαcosβ+sinαsinβ=，因为cosa=，0＜β＜a＜，所以sinα==，即cosβ+sinβ=，即2cosβ+8sinβ=13，又根据sinβ2+cosβ2=1，即可求解．【解答】解：∵cos（a﹣β）=，∴cosαcosβ+sinαsinβ=，∵cosa=，0＜β＜a＜，∴sinα==，∴cosβ+s inβ=，即2cosβ+8sinβ=13，又∵sinβ2+cosβ2=1，解得sinβ=，∴β=，故选：C．12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，+1a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} ．【分析】用穿根法求得所给的分式不等式的解法．【解答】解：用穿根法求得不等式＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1，或x ＞3}，故答案为：{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}．14．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1=20，公差d=﹣2，则前n项和S n的最大值为110．【分析】求出等差数列的前n项和，结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项a1=20，公差d=﹣2，∴前n项和S n=20n+×（﹣2）=﹣n2+21n=﹣（n﹣）2+（）2，则对称轴为n=，∴当n=10或11时，S n取得最大值，最大值为S10=﹣102+21×10=210﹣100=110，故答案为：11015．（5分）函数f（x）=sin22x﹣cos22x的最小正周期是．【分析】先将函数f（x）=sin22x﹣cos22x化简为：y═﹣cos4x，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x∴T==故答案为：16．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）当a为何值时，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R．【分析】讨论a2﹣1=0时和a2﹣1≠0时，不等式解集的情况，从而求出满足题意的a的取值范围【解答】解：当a2﹣1=0时，a=±1，若a=1，不等式化为﹣1＜0，满足题意，若a=﹣1，不等式化为2x﹣1＜0，不满足题意；当1﹣a2≠0时，即a≠±1，∴，即；解得﹣＜a＜1；综上，a的取值范围（﹣，1]．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且=1，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．【分析】（1）由题意和基本不等式可得xy=2x+8y≥2，解关于xy的不等式可得；（2）由题意可得x+y=（x+y）•（+）=10++，由基本不等式可得．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，=1，∴xy=2x+8y≥2即xy≥8，∴≥8，平方可得xy≥64，当且仅当2x=8y即x=16，y=4时，“=”成立，∴xy的最小值为64；（2）∵x＞0，y＞0，且+=1．∴x+y=（x+y）•（+）=10++≥10+2=18，当且仅当=，即x=2y=12时“=”成立．∴x+y的最小值为1819．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（I）求a n及S n；（II）求数列{}的前n项和为T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S n=n2+2n，可得S n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S n=n2+2n，∴S n==，∴T n=+…+=．=﹣．20．（12分）已知b2+c2=a2+bc．（1）求角A的大小；（2）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的余弦值求出A；（2）由题意和平方关系求出sinB的值，由正弦定理求出a的值，代入b2+c2=a2+bc 化简求出c，代入三角形的面积公式求值即可．【解答】解：（1）因为b2+c2=a2+bc，所以由余弦定理得，cosA==，…（3分）又0＜A＜π，则A=…（5分）（2）因为0＜A＜π，且cosB=，所以sinB==，…（6分）由正弦定理得，则a===3…（7分）因为b2+c2=a2+bc，所以c2﹣2c﹣5=0…（8分）解得c=，因为c＞0，所以c=…（10分）所以△ABC的面积S===…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．【解答】解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣sin（x﹣）∈[﹣1，]，故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为．（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．22．（12分）设各项均为正数的等比数列{a n}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设b n=log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1=1，c n+1=c n+，求证：c n＜3．（3）是否存在正整数k，使得++…+＞对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出等比数列的公比q，运用等比数列的通项公式，解得首项和公比，再由对数的运算性质可得通项公式；（2）运用累加法求得c n，再由错位相减法求和，即可得证；（3）假设存在正整数k，令S n=++…=++…+，判断单调性，进而得到最小值，解不等式可得k的范围．【解答】解：（1）设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，则a1+a1q2=10，a1q2+a1q4=40，解得a1=2，q=2，即有a n=2n，b n=log22n=n；（2）证明：c1=1，c n+1=c n+=c n+，则c n=c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（c n﹣c n﹣1）=1+++…+，即有c n=+++…+，两式相减可得c n=1+（++…+）﹣=1+﹣=﹣，即有c n=3﹣＜3，（3）假设存在正整数k，使得++…＞对任意正整数n均成立．令S n=++…=++…+，S n+1=++…+++，即有S n﹣S n=+﹣=﹣＞0，+1＞S n，即为S n+1数列{S n}递增，S1最小，且为，则有＜，解得k＜5，故存在正整数k，且k的最大值为4．。
2014-2015学年江西省宜春市高安中学重点班高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2014-2015学年江西省宜春市高安中学重点班高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．（5分）若a＜b＜0，则（）A．B．C．ab＞b2D．2．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=n2﹣2n﹣8（n∈N*），则a4等于（）A．1 B．2 C．0 D．33．（5分）不等式≤0的解集为（）A．{x|x≥3或﹣1≤x≤1}B．{x|x≥3或﹣1＜x≤1}C．{x|x≤﹣3或﹣1≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}4．（5分）已知sinx+cosx=2a﹣3，则a的取值范围是（）A．≤a≤B．a≤C．a＞D．﹣≤a≤﹣5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．6．（5分）等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）A．3 B．C．±D．以上皆非7．（5分）在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：28．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．569．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若⊥，则角A的大小为（）A．B．C．D．10．（5分）实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．211．（5分）已知sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，则α+β的值为（）A．B． C．或D．12．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞1，函数f（x）=x+的最小值是．14．（5分）已知A船在灯塔C的正东方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B 船在灯塔C北偏西30°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为km．15．（5分）sin40°•的值为_．16．（5分）数列{a n}的前n项和是S n，若数列{a n}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：①a23=；②S11=；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；④数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和T n=；在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号．三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量=（2cosωx，1），=（sinωx﹣cosωx，a），其中（x∈R，ω＞0），函数f（x）=•的最小正周期为π，最大值为3．（1）求ω和常数a的值；（2）求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（）x+1，a＞0（1）当a=时，解不等式f（x）≤0；（2）比较a与的大小；（3）解关于x的不等式f（x）≤0．20．（12分）设函数f（x）=x2+4x﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）+（m﹣1）x2﹣（4+m）x＜0恒成立，求m的取值范围；（2）若对于任意x∈[﹣1，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．21．（12分）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且sin（2C﹣）=．（1）求角C的大小；（2）求的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．2014-2015学年江西省宜春市高安中学重点班高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．（5分）若a＜b＜0，则（）A．B．C．ab＞b2D．【分析】用不等式的性质和特殊值法可依次验证每个选项【解答】解：对于A：当a=﹣2，b=﹣1时，显然不成立，∴A错误对于B：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|＞0∴，∴B错误对于C：由已知条件知a＜b，b＜0根据不等式的性质得：a•b＞b•b即ab＞b2∴C正确对于D：由已知条件知：∴D错误故选：C．2．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=n2﹣2n﹣8（n∈N*），则a4等于（）A．1 B．2 C．0 D．3【分析】根据数列的通项公式直接令n=4即可．【解答】解：∵a n=n2﹣2n﹣8（n∈N*），∴a4=42﹣2×4﹣8=16﹣8﹣8=0，故选：C．3．（5分）不等式≤0的解集为（）A．{x|x≥3或﹣1≤x≤1}B．{x|x≥3或﹣1＜x≤1}C．{x|x≤﹣3或﹣1≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}【分析】不等式即≤0，再用穿根法求得它的解集．【解答】解：不等式≤0，即≤0，用穿根法求得它的解集为{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}，故选：D．4．（5分）已知sinx+cosx=2a﹣3，则a的取值范围是（）A．≤a≤B．a≤C．a＞D．﹣≤a≤﹣【分析】由条件利用两角和的正弦公式可得sin（x+）=a﹣，再由﹣1≤sin （x+）≤1，可得﹣1≤a﹣≤1，解不等式求得a的取值范围．【解答】解：∵已知sinx+cosx=2a﹣3，∴sinx+cosx=a﹣，即sin（x+）=a﹣．再由﹣1≤sin（x+）≤1，可得﹣1≤a﹣≤1，解得≤a≤，故选：A．5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选：A．6．（5分）等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）A．3 B．C．±D．以上皆非【分析】由a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，利用韦达定理求出两根之积，即得到a3a9的值，再根据数列为等比数列，利用等比数列的性质即可得到a62=a3a9，把a3a9的值代入，开方即可求出a6的值．【解答】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=3，又数列{a n}是等比数列，则a62=a3a9=3，即a6=±．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2【分析】根据三角形内角和定理，结合A：B：C=1：2：3，算出A=，B=且C=，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=，即可得到a：b：c的值．【解答】解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，∴设A=x，则B=2x，C=3x，由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=∴A=，B=且C=，可得△ABC是直角三角形∵sinA==，∴c=2a，得b==因此，a：b：c=1：：2故选：D．8．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56【分析】利用等差数列的性质a5+a6=a1+a10，代入等差数列前n项和公式进行运算．【解答】解：由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10，∴其前10项之和为：==140．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若⊥，则角A的大小为（）A．B．C．D．【分析】利用⊥，可得=0，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=b（b﹣c）+（c+a）（c﹣a）=0，化为b2﹣bc+c2﹣a2=，即b2+c2﹣a2=bc．∴==．∵A∈（0，π），∴．故选：B．10．（5分）实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．2【分析】先判断3a与3b的符号，利用基本不等式建立关系，结合a+b=2，可求出3a+3b的最小值【解答】解：由于3a＞0，3b＞0，所以3a+3b===6．当且仅当3a=3b，a=b，即a=1，b=1时取得最小值．故选：B．11．（5分）已知sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，则α+β的值为（）A．B． C．或D．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos （α+β）的值，可得α+β的值．【解答】解：∵sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，∴cosα==，cosβ==，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=，结合α+β∈（0，π），求得α+β=，故选：A．12．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】利用cos2=可得，再利用两角和差的余弦可求．【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C ﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞1，函数f（x）=x+的最小值是3．【分析】由x＞1 可得x﹣1＞0，由基本不等式可得，可求答案．【解答】解：∵x＞1∴x﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”故答案为：314．（5分）已知A船在灯塔C的正东方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B 船在灯塔C北偏西30°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为﹣1km．【分析】先确定|AC|、|BC|和∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|AB|的值【解答】解：解：由题意可知|AC|=2，|AB|=3，∠ACB=90°+30°=120°在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB=4+x2﹣2•2x•（﹣）=9，整理得x2+2x ﹣5=0，解得x=，（﹣1＜0舍去）∴|BC|=﹣1（km）．故答案为：．15．（5分）sin40°•的值为_﹣1．【分析】首先化简分子部分为一个角的三角函数形式，然后利用诱导公式，倍角公式化简．【解答】解：原式=sin40°=﹣2sin40°===﹣1；故答案为：﹣1．16．（5分）数列{a n}的前n项和是S n，若数列{a n}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：①a23=；②S11=；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；④数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和T n=；在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号②④．【分析】将数列的项进行重新分组，结合等差数列的性质分别进行判断即可．【解答】解：由题意可得，分母为2的有一个，分母为3的有2个，分母为4的有3个，分母为5的有4个，分母为6的有5个，…由于1+2+3+4+5+6=21，故a23是分母为8的第二个，即a23=．故①错误，把原数列分组，分母相同的为一组：（）；（，）；（，，）；（，，，）；…；发现他们的个数是1，2，3，4，5…，构建新数列{b n}表示数列中每一组的和，则b n===是个等差数列，记b n的前n项和为T n，则S11=T4+a11=+=；故②正确，由②知{b n}为等差数列，故③错误，由②知{b n}为等差数列，且故b n===，则前n项和T n==，故④正确，故正确的是②④故答案为：②④三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）利用a1+2d=﹣6、a1+5d=0，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知b1=a2=﹣8，b2=a1+a2+a3=﹣24，进而可得公比，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=﹣6，a6=0，∴a1+2d=﹣6，a1+5d=0，解得：a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+2（n﹣1）=2n﹣12；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，∵a2=2×2﹣12=﹣8，a1=﹣10，a3=﹣6，∴b1=a2=﹣8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===3，∴S n===4（1﹣3n）．18．（12分）已知向量=（2cosωx，1），=（sinωx﹣cosωx，a），其中（x∈R，ω＞0），函数f（x）=•的最小正周期为π，最大值为3．（1）求ω和常数a的值；（2）求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．【分析】（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x），利用其周期性与最大值即可得出．（2）利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）f（x）=•=2cosωx+a=+a=﹣cos2ωx﹣1+a=+a﹣1．由T==π，得ω=1．又当=1时，y max=2+a﹣1=3，解得a=2．（2）由（1）知：f（x）=2+1，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]∴f（x）∈[0，3]，∴所求的值域为[0，3]．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（）x+1，a＞0（1）当a=时，解不等式f（x）≤0；（2）比较a与的大小；（3）解关于x的不等式f（x）≤0．【分析】（1）当a=时，不等式即x2﹣3x+1≤0，由此求得x的范围，可得不等式f（x）≤0的解集．（2）由于a＞0，分0＜a＜1、a＞1、a=1三种情况，分别比较a与的大小．（3）关于x的不等式f（x）≤0，即（x﹣a）（x﹣）≤0，分类讨论，求得它的解集．【解答】解：（1）当a=时，不等式f（x）≤0，即x2﹣3x+1≤0，求得≤x≤，即不等式f（x）≤0的解集为{x|≤x≤}．（2）由于a＞0，故当0＜a＜1时，a＜；当a＞1时，a＞；当a=1时，a=．（3）关于x的不等式f（x）≤0，即（x﹣a）（x﹣）≤0，当0＜a＜1时，a＜，不等式的解集为{x|a＜x＜}；当a＞1时，a＞，不等式的解集为{x|a＞x＞}；当a=1时，a=，不等式的解集为{x|x=1}．20．（12分）设函数f（x）=x2+4x﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）+（m﹣1）x2﹣（4+m）x＜0恒成立，求m的取值范围；（2）若对于任意x ∈[﹣1，2]，f （x ）＜﹣m +5恒成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）问题转化为mx 2﹣mx ﹣1＜0恒成立，通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质，求出即可；（2）问题转化为m ＜（﹣x 2﹣4x +6）min ，x ∈[﹣1，2]，根据二次函数的性质，求出其最小值即可．【解答】解：（1）f （x ）+（m ﹣1）x 2﹣（4+m ）x ＜0， 即mx 2﹣mx ﹣1＜0恒成立， 当m=0时，﹣1＜0，显然成立；当m ≠0时，应有m ＜0，△=m 2+4m ＜0， 解得﹣4＜m ＜0．综上，m 的取值范围是（﹣4，0]．（2）由已知：任意x ∈[﹣1，2]，f （x ）＜﹣m +5， 得x 2+4x ﹣1＜﹣m +5，x ∈[﹣1，2]恒成立， 即m ＜﹣x 2﹣4x +6，x ∈[﹣1，2]恒成立， 即m ＜（﹣x 2﹣4x +6）min ，x ∈[﹣1，2] 所以m ＜﹣6．21．（12分）已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin（2C ﹣）=．（1）求角C 的大小； （2）求的取值范围．【分析】（1）由sin （2C ﹣）=，利用诱导公式可得cos2C=﹣，结合△ABC为锐角三角形，即可求得角C 的大小；（2）由正弦定理可得==，由C=，且三角形是锐角三角形可得，结合正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由sin（2C﹣）=，得cos2C=﹣，又∵△ABC为锐角三角形，∴2C=，即C=；（2）====，由C=，且三角形是锐角三角形可得，即，∴＜≤1，∴2•＜≤2，即＜≤2．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．【分析】（I）依题意可求得=3（n≥2），再由2S1=2a1=a2﹣1，a1=1即可求得{a n}是以1为首项3为公比的等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（II）依题意可求得b n=（﹣），利用累加法可求得T n，从而通过分类讨论即可比较T n与﹣的大小．【解答】解：（I）∵﹣1，S n，a n成等差数列，+1∴2S n=a n+1﹣1①当n≥2时，2S n=a n﹣1②．﹣1①﹣②得：2a n=a n+1﹣a n，∴=3．当n=1时，由①得2S1=2a1=a2﹣1，又a1=1，∴a2=3，故=3．∴{a n}是以1为首项3为公比的等比数列，∴a n=3n﹣1…（7分）（II）∵f（x）=log3x，∴f（a n）=log3a n==n﹣1，b n===（﹣），∴T n=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（+﹣﹣）=﹣…（9分）比较T n与﹣的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）2（n+2）（n+3）﹣312=2（n2+5n+6﹣156）=2（n2+5n﹣150）=2（n+15）（n﹣10），∵n∈N*，∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T n＜﹣；当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T n=﹣；当n＞10且n∈N*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T n＞﹣．…（14分）。
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2015宜春市高一数学期末统考试卷
紧张的考试即将来临，大家都复习好了吗?小编为大家整理了宜春市高一数学期末统考试卷，希望大家喜欢。
填空题
13.幂函数y=f(x)的图象经过点(2,)，则f(-3)值为.
14.直线l:x+my+=0与直线l:(m-2)x+3y+2m=0互相平行，则m的值为.
15.已知指数函数y=2的图像与y轴交于点A,对数函数y=lnx 的图象与X轴交于点B,点P在直线AB上移动,点M(0,-3),则的最小值为.
16.有6根木棒，已知其中有两根的长度为cm和cm，其余四根的长度均为1cm，用这6根木棒围成一个三棱锥，则这样的三棱锥体积为cm
解答题
17.⑴计算:2log2+log+ln+3
⑵已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=x-4x;试求f(x)的解析式
18.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(4,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-12=0,点T(-2,2)在AD边所在直线上
⑴求AD边所在直线的方程;
⑵求矩形ABCD外接圆的方程;
19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA面ABCD，BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一动点.
⑴求证:BDFG
⑵在线段AC上是否存在一点G使FG//平面PBD,并说明理由.
20.现今社会，有些物品价格时效性强，某购物网店在销售一种圣诞礼品的一个月(30天)中，圣诞前15天价格呈直线上升，而圣诞过后15天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：时间第4天第8天第16天第24天
价格(元)2324
2218
⑴写出价格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放市场的第x(xN)天)
⑵销售量g(x)与时间x的函数关系可近似为:g(x)=-x+38(1x30,xN),则该网店在这个月销售该礼品时，第几天销售额最高?最高为多少元?
21.已知圆C的半径为2,圆心在X轴的正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)过点Q(0,-3)的直线l与圆C交于不同的两点A(x,y)、B(x,y),当xx+yy=3时，求的面积
22.设函数f(x)=a-(k-1)a(a0,a)是定义域为R的奇函数
⑴求k值
⑵若f(1)0,试判断函数单调性并求使不等式f+f0在定义域上恒成立的t的取值范围
⑶若f(1)=,且g(x)=a+a-2mf(x)在上的最小值为-2,求m的值.
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