数论1

1、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能 被9整除？ 234，789，7756，8865，3728，8064。 解：能被4整除的数有7756，3728，8064； 能被8整除的数有3728，8064； 能被9整除的数有盖住的十位数分别等于几时，这个四 位数分别能被9，8，4整除？ 解：如果56□2能被9整除，那么 5＋6＋□＋2＝13＋□ 应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能 被9整除； 如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当 十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除； 如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十 位数是1，3，5，7，9，即四位数是 5612，5632，5652， 5672，5692时能被4整除。
3、从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2， 5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字 为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋ 7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720， 750。
4、五位数 A329B 能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
7、abcabc 能否被7、11和13整除？
解：因为 abcabc=abc×1001，1001 是7、11和13的倍数， 所以 abcabc 能被7、11和13整除。 能被7，11和13整除的数的特征：数A的末三位数字所表 示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数） 能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则， 数A就不能被7或11或13整除。
解：已知 A329B能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质 数，所以 A329B 既能被8整除，又能被9整除。根据能被8 整除的数的特征，要求 29B 能被8整除，由此可确定B＝6。 再根据能被9整除的数的特征，A329B 的各位数字之和为 A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20， 因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27 能被9整除，所以A＝7。
10.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他 不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账 本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被烧掉的数 字），请你帮忙把这笔账补上。应是____元。
解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应 能被72整除。72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整 除它，72就一定能整除它。 由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知， 79b能被8整除，则b＝2；由能被9整除的数的特征知，a＋ 6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。 故这笔账应是367.92元。
分析：奇数，5*30+15=165 165-6N-4M=奇数减去偶数= 奇数 99*奇数=奇数 。
6、下式的和是奇数还是偶数？ 1+2+3+4+…+1997+1998
解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶 性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解 法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与 加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～1998中 共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所 以，本题要求的和是奇数。
6、要使六位数 15ABC6 能被36整除，而且所得的商最小，问A， B，C各代表什么数字？ 解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被 4整除又能被9整除。六位数 15ABC 能被4整除，就要 C6 能 被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。 要使所得的商最小，就要使 15ABC6 这个六位数尽可能 小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。 先试取A=0。六位数 15ABC6 的各位数字之和为12＋B＋C。 它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽 量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使 15ABC6 尽可能小，应取B＝1，C＝5。 当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得 商最小，为150156÷36＝4171。
例1 用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同 的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？
讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是 奇数。在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个 不同的奇数积。而偶数积共有7个。所以，乘积中是偶数的多。
2、小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各 面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中 撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问， 小丽所加得的和数能否为2000？
数论问题 -------奇偶分析
整数按照能不能被2整除，可以分为两类： （1）能被2整除的自然数叫偶数，例如 0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，… （2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如 1，3，5，7，9，11，13，15，17，… 整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻 两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能 被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数； 因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形 式，其中n为整数。
解：因为15=3×5，且3和5互质。所以，只需分别考察能被 3和5整除的情形。 由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5 或0。 再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3 ＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入8。即组成的四位数 是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。可推知，百位上 最大可填入7。即组成的四位数是3720。 故知，这个数是3825。
8、已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。 上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍， 由13×9-37=80，推知□中的数是8。
9.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能 被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？
5、六位数 3ABABA 是6的倍数，这样的六位数有多少个？
解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2 整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2， 4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B 能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4 个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要 求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。
7、用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次， 要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？ 解：要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最 大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而 个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五 个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。 要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减 的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数， 即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要 求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要 使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要 将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两 个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题 设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个 位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是 （4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。
数论
——整除、奇偶性
一、整除的概念：
如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数 是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作 “b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约 数（或因数）。
二、整除的五条基本性质：
（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除； （2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整 除； （3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除； （4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定 能被积bc整除，反之也成立； （5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能 被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、数的整除特征：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整 除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有 如下一些重要性质： （1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的 数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个 数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。 （2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。 任意多个偶数的和（或差）是偶数。 （3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。 （4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如 果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数， 那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数 都是奇数。 （5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶 数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。 （6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。 因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除； 因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。 （7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。 （8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数 一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。