以斐波那契数列为背景的试题探究-教学考试(高考数学).docx
以斐波那契数列为背景的试题探究一、斐波那契数列斐波那契，公元13 世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题” ：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：1,1,2,3,5,8,13,21,34,, 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列a n满足： a1 1,a2 1, 且a1 1,a21, a n 2an 1a n n 3 . 这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数” .11n1n事实上，斐波那契数列a n的通项公式为 a n55，其神奇522之处在于通项公式中含有无理数，但它的每一项又都不是无理数.如何在高考试题中考查斐波那契数列呢？二、以斐波那契数列为背景命制试题1.以斐波那契数列的概念为背景命制试题【例1】意大利数学家斐波那契在1202 年出版的一书里提出了这样一个问题：一对兔子被饲养到第二个月进入成年，第三个月生产一对小兔，以后每个月生产一对小兔，所生产的小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生产一对小兔，以后每个月生产一对小兔，那么，这样下去到年底，应有多少对兔子？此问题的程序框图如下，空白处应填写（）Q S Q S S Q S FA.F SB.S FC.F SD.Q S【解析】斐波那契数列总有a n 2an 1a n ,a11,a21,根据程序框图分析可知，正确答案为 B.【例 2 】设,是方程 x2x 1 0 的两个根，数列a n中满足nnn ，都有 a n 2 a n 1 a n .a nn 1,2,3,,. 证明：对任意正整数【解析】因为, 是方程 x 2x 1 0 的 2 个根，则1,1,因此 n 2 n 2n 1n 1nnn 1 n 1 nn ,n 2 n 2 n 1 n 1nn从而, 即 a n 2 a n 1 a n .2.以斐波那契数列的性质为背景命制试题【性质 1】斐波那契数列的前n 项的平方和 : a 12a 2 2na i 2 a n a n 1 .i 1【性质 2】斐波那契数列的奇数项之和：a 1 a 3 a 5【性质 3】斐波那契数列的偶数项之和：na 2 a 4 a 6a 2 na2n 11, 即 a a 2 n 1 1.2 ii 1【性质 4】斐波那契数列的前 n 项之和 S n a 1 a 2 a 3na 3 2a n 2 a n a n 1 , 即a 2 n 1a 2 n , 即na 2 i 1a 2 n.i1a n a n 2 1, 即a i a n 2 1.i 1【性质 5】连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即a an a aa 2 n2 .n 1n 1 nn【归纳】斐波那契数列的简单性质的证明总是运用其特征式a nan 1a n 2 的变形a nan 2a n 1 或an 1a n 2 a n 进行裂项，从而达到相消求和的目的.【例 3】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34, , 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把2222这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”. 那么a 1a 2 a 3a2015 是斐波a2015那契数列中的第 项 .【解析】斐波那契数列 有a n2an 1a n ,a 12 a 2a 1 ，a 22a 2 ( a 3 a 1 ) a 2a 3 a 2a 1 ，a 32 a 3(a 4 a 2 ) a 3 a 4 a 2 a 3 ，⋯⋯，a 20152a 2015 (a 2016 a 2014 ) a 2015a 2016 a 2014a 2015，a 12a 2 2 a 3 2a20152a 2015a 2016 ,所以a 12a 22a 3 2 a 20152a 2016 .a 2015故 a 12 a 2 2 a 3 2a201522016 .a2015是斐波那契数列中的第【例 4】同学 都有 的解 ：在某些数列的求和中，可把其中一 分裂成两之差，使得某些 可以相互抵消，从而 化 求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名 的数 列 ， 个 数 列 中 的 每 一 称 “ 斐 波 那 契 数 ” . 在 斐 波 那 契 数 列 an中 ，a1, a1,a2aa n 3 若.a2016a, 那 么 数 列a 的 前2014的 和12nn 1nn.【解析】由 a 1a 1 , a 2 a 3 a 1 ， a 3 a 4 a 2 ， a 4 a 5 a 3 ，⋯⋯， a 2014 a 2015 a 2013可得： a 1a 2 a 3a2014a 2014a2015a 2a20161 a 1.故数列 a n 的前 2014 的和 a1.【探究】 斐波那契数列中， 有 多性 ，如：① 两 斐波那契数的平方和仍是斐波那契数，即a n 2an 1 2a2n 1 ；②相 两 斐波那契数的平方差仍是斐波那契数，即a n 12a n 12a2nn 2 ；③ 三 斐波那契数后两 的平方和与第一 的平方之差仍是斐波那契数，即a n 12 a n 2a n 12a 3 n n 2 ；④下 3k的前 n 斐波那契数之和 足a 3 a 6a3 n1 a3n 21 .23.以斐波那契数列的模型 背景命制(1) 攀爬楼梯问题【例 5】 小学生甲玩耍上楼梯的游 ：建筑物有 10 台 的楼梯，一步可以 一 或两级台阶，问这位小学生有多少种不同的爬楼方法？【解析】设小学生爬n 个台阶有a n种方法. 考虑最后一步： 若最后一步只迈一级台阶，则前 n1个台阶有a n 1 种方法；若最后一步迈两级台阶，则前n 2 个台阶有a n 2 种不同的方法. 由加法原理得：a na n 1a n 2 n3，易知其初值a 11， a 22 ，则a 3a 1 a 23,a 4a 2 a 35, a 5a 3 a 48,a 6a 4 a 513,a 7a 5a 621, a 8a 6a 734, a 9a 7a 8 55, a 10a 8a 9 89,故小学生 10 级台阶的楼梯有89 种不同的爬楼方法 .【变式1】高中学生甲到教室有10 级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶，问这位学生有多少种不同的爬楼方法？【解析】设学生甲攀爬 n 个台阶有 a n 种方法 . 考虑最后一步： 若最后一步只迈一级台阶，则前 n1个台阶有 a n 1 种方法；若最后一步迈两级台阶，则前n 2 个台阶有 a n 2 种不同的方法；若最后一步迈三级台阶，则前n 3 个台阶有 a n 3 种不同的方法 .由加法原理得： a nan 1a n 2an 3n 4 ，易知其初值 a 1 1， a 2 2 ， a 2 4 ，则a 4 a 1 a 2 a 3 7, a 5 a 2 a 3 a 4 13, a 6 a 3 a 4 a 5 24, a 7 a 4 a 5 a 6 44, a 8a 5 a 6 a 7 81, a 9 a 6 a 7 a 8 149,a10a 7 a 8 a 9274.故该学生上 10 级台阶的楼梯有 149 种不同的爬楼方法 .(2) 0-1 序列问题【例 6 】由 0 和 1 组成的序列称为 0-1 序列，序列中数的个数称为这个0-1 序列的长度 .如 010******* 是一个长度为 10 的 0-1 序列，求长为 10 的 0-1 序列中任何两个 1 不相邻的序列的个数 .【解析】设长为n 的 0-1 序列中任何两个1 不相邻的序列有c n 个 . 考虑最后一个数：如果最后一位是 0，则只要前 n 1位任何两个 1 不相邻即可， 因此，满足要求的序列有 c n 1个；若最后一位是 1，则倒数第二位是0，于是只要前 n2位任何两个 1 不相邻即可，因此满足要求的序列有c n2个，由加法原理得： c nc n 1c n 2 n3 ，由初值 c 12, c 2 3 ，则c 3 c 1 c 2 5, c 4 c 2 c 3 8, c 5 c 3 c 4 13, c 6 c 4 c 5 21 , c 7 c 5 c 634, c 8c 6c 755,c 9c 7c 8 89, c10 c 8 c 9 144,所以，长为 10 的 0-1 序列中任何两个 1 不相邻的序列有 144 个 .【归纳】 此类与自然数 n 有关的问题， 悟出其蕴含的递推关系， 建立连续三项之间的递推关系的数学模型，由初始项的数据结合递推关系求解.【式 2】学生甲手里有一枚地均匀的硬，他投10次，不出正面的可能情形有多少种？【解析】甲投 n n2次，不出正面的可能情形有a n种，考最后一次投：若最后一次呈反面，前n 1 次有a n 1种方法；若最后一次呈正面，倒数第二次必是反面，前n 2 次有a n2种不同的方法 . 由加法原理得：a n a n 1a n 2 n 4 ，易知其初 a2 3 ， a3 5 ，a4a2a38, a5a3a413,a6a4a521,a7a5a634,a8a6a755, a9a7a889,a10a8a9144,所以甲投 10次，不出正面的可能情形有144 种.(3)染色【例 14】（2011湖北）n个自上而下相的正方形着色.当n 4 ，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相的着色方案如所示：由此推断，当n 6 ，黑色正方形互不相的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相的着色方案共有种 .（果用数表示）【解析】 n 1,2,3,4 ，黑色正方形互不相的着色方案种数分2，3， 5， 8，由．．．．此可看出后一是前 2 之和，故n55813;n68 1321.所以 n 6 ，所有的着色方案种数共N C60C61C62C63C64C65C6464种.故至少有两个黑色正方形相的着色方案共有 642143 种.．．答案 21； 43.(4) 几何【例 8 】半径 1 的两个⊙O1、⊙ O2外切，l是它的一条外公切，作⊙O3和⊙O1、⊙ O2、l均相切，作⊙ O4和⊙ O2、⊙ O3、l均相切⋯⋯，作⊙ O n 1与⊙ O n 1、⊙ O n、l均相切，求⊙O8的半径.【解析】作O n 1 R l , O n S l，O n 1作l的平行分交O n 1R、O n S 于P、 Q ,作O n M O n 1 R 于 M ，则O n M PQ O n 1 P O n 1Q ，因为 O n +1Q O n +1O n2O n Q 2r n222 r n r n 1 , rn 1rnrn 1同理，O n 1P2r n1rn1 ,O n M 2 r n1rn,可得：r n r n 1r n 1r n 1r n r n 1,即111. r n 1r n r n 1令 a1，则 a a a n 2 ，且 a1a21，1n r n n 1n na3a1a22,a4a2a33, a5a3 a45,a6a4a5 8, a7a5a613,a8a6a721,所以r8111. a82212441(5)函数问题【例9 】（2012上海）已知 f x1, 各项均为正数的数列a n满足1xa1 1, a n 2 f a n.若a2010a2012，则a20a11.【解析】设 a2010t, 由 a2010a2012，得： t1,解得 t51. 则：1 t2a20101t, 则a2008t ,同理a2 k51k N *.1a20082又 a11,a n 211, 则 a31, a52, a73, a95, a118 , a n235813故 a20a518313 5 . 11213264.以斐波那契数列的模型为背景的不等式证明问题【例 10】（2009陕西）已知数列x n满足 x11, x n21n N * . 21x n（ 1）猜想数列x2 n的单调性，并证明你的结论；1n1（2）证明：x n 1x n2. 65【解析】（1）因为x11, x n11, 则 x n 11，即1 1 x n 2 1 x n1x n x n1所以 x22, x45, x613, 由 x2x4x6 , 猜想：数列x2n的单调递减 . 3821下面用数学归纳法证明 .①当 n 1 时，命题成立；②假设 n k 时，a2k a2k 2 , 易知 a2k0, 则当n k1时，a 2 k 2a2k411a2k11a2k1311 a2k 3a2 k 11 a2k 2 1 a2k1 a2k 1 1 a2k 31 a2 k 11 a2 k 3a2ka2k20. 即 a1a1 2,1 a2k 1 a2k 21 a2 k 11 a2k 32 k 2 k由（ 1）（ 2）可知，当n k1时，命题也成立.故待证等式成立.（2 ）当n 1 时， x n 1x n x2x1 1;6当 n 2 时，因0x n 11，则 1 1 x n1 2 ，x n1 1 ,1 x n 12所以 1 x n 1 x n 1111 x n 12 x n 15 1xn 1,2x n 1xn11x n x n 11 x n 1 x n 1 1 x n 1 x n 122n112n 1225xnxn 15xn 1xn 2x2x1 5 6 5.斐波那契数列包含着太多的神奇和奥秘，远比等差数列与等比数列的内涵丰富，更加令人陶醉！这也正是斐波那契数列的魅力所在.。
高考题中的斐波那契数列问题
斐波那契数列是一个在数学和自然界中广泛出现的数列，其定义是：数列的第一个和第二个数都是1，之后的每一个数都是前两个数的和。
这个数列的前几项是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
在高考题中，斐波那契数列可能会以多种形式出现，例如选择题、填空题或应用题。
题目可能会要求考生识别斐波那契数列，或者利用斐波那契数列的性质来解决某个问题。
以下是一个可能的斐波那契数列高考题示例：
题目：数列{an} 满足a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an + an+1 (n ∈N*)，则a8 = ()
A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
解析：根据斐波那契数列的定义，我们可以依次计算出数列的前几项：
a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2
a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3
a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5
a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8
a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13
a8 = a6 + a7 = 8 + 13 = 21
因此，a8 = 21，选项 A 正确。
这类题目主要考察考生对斐波那契数列定义的理解以及数列计算能力。
通过熟练掌握斐波那契数列的性质和递推公式，考生可以迅速找到问题的答案。
同时，这类题目也考察了考生的逻辑推理能力和数学运算能力。
高三数学复习教学与拓展——以斐波那契数列为例
2
'
λ = '
' '
1
'
&
1+
摇
姨 2
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'
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5
∵数列{Fn+1-λ1Fn}是首项为 1-λ1=λ2，公比为 λ2 的等比数列， ∴Fn+1-λ1Fn=λn2
2 '
F - '
' n+1
1+
摇
《普通高中数学课程标准（实验）》中明确指出：“数学是人类
文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和
发展趋势。 ”近年来，以数学文化为载体的试题在高考卷中频繁
出现。如何将数学文化与高三复习课教学有机结合，成为了一个
亟待研究的课题。
斐波那契数列是人教 A 版普通高中课程标准实验教科书
数学必修 5 第 32 页“阅读与思考”栏目中的内容，课本讲解非常
实践探索
数学天地
2018 年第 6 期
高三数学复习教学与拓展
— ——以斐波那契数列为例
庞志雷
摘 要：数学教育是数学文化的教育，而数学史是数学文化的一种载体。 在高三复习课教学中，通过对斐波那契数列的探 究，展示知识的生成过程，不仅能有效提升学生的数学核心素养，而且还能引导学生感受数学的美学价值，体会探究学习 的快乐。 关键词：斐波那契数列；通项公式；性质；解题探究
高中数学文化情景题专题1 斐波那契数列(以斐波那契数列为背景的高中数学考题题组训练)解析版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题1 斐波那契数列（以斐波那契数列为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即()*21n n n a a a n N ++=+∈，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”.记2022a t =，则1352021a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．2t B ．1t - C ．t D ．1t +【答案】C 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可. 【详解】由()*21n n n a a a n N ++=+∈，得202220212020202120192018a a a a a a =+=++=⋅⋅⋅=20212019322021201931a a a a a a a a t ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=.故选：C.2．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=-，则k 等于（ ）A ．12B ．13C ．89D ．144【答案】A 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可. 【详解】2357911457911791191681011112,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++++++=+=++==所以k 等于12， 故选：A3．斐波那契数列指的是这样一个数列：11a =，21a =，当3n ≥时，12n n n a a a --=+.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所报数构成的数列即可判断. 【详解】由题意知所报数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610…5a ，10a ，15a ，20a ，25a ，30a 均为5的倍数，故有6个同学．故选：C ．4．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（ ） A ．512 B ．14C ．13D ．712【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式写出前12项，找出质数的个数，利用古典概型求概率公式进行求解. 【详解】由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，所以基本事件数共有12，其中质数有2，3，5，13，89，共5种， 故是质数的概率为512P =． 故选：A ．5．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的第2022项为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】根据数列各项的规律可知{}n b 是以6为周期的周期数列，由此可得202260b b ==. 【详解】由题意知：数列{}n a 为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋅⋅⋅， 则数列{}n b 为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,⋅⋅⋅，即数列{}n b 是以6为周期的周期数列，2022337660b b b ⨯∴===. 故选：A.6．斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：121a a ==，()*123,.n n n a a a n n N --=+≥∈ 已知2222123mma a a a a ++++是该数列的第100项，则m =（ ） A ．98 B ．99 C ．100 D ．101【答案】B 【解析】 【分析】根据题意推出2121a a a =，222321a a a a a =-，，211m m m m m a a a a a +-=-，利用累加法可得211mi m m i a a a +==∑，即可求出m 的值.【详解】由题意得，2121a a a =，因为12n n n a a a --=-，得222312321()a a a a a a a a =-=-，233423432()a a a a a a a a =-=-，，21111()m m m m m m m m a a a a a a a a +-+-=-=-，累加，得222121m m m a a a a a ++++=，因为22212m ma a a a +++是该数列的第100项，即1m a 是该数列的第100项，所以99m =. 故选：B.7．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列{}n F ，此数列满足：121F F ==，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即*21()n n n F F F n N ++=+∈，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ）A ．672B ．674C ．1348D ．2022【答案】C 【解析】 【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项. 【详解】121F F ==，故32F =，4563,5,8F F F ===，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶），且周期为3，因为20223674=⨯，故奇数的个数为67421348⨯=， 故选：C.8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列，现将{}n a 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n b ，则下列四个结论：①20211b =； ①123202120221a a a a a ++++=-； ①12320212694b b b b ++++=；①2222123202120212022a a a a a a ++++=.其中正确结论的序号是（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①【答案】B 【解析】 【分析】根据数列{}n b 的周期性，结合数列{}n a 的性质进行求解判断即可. 【详解】因为11b =，21b =，32b =，43b =，51b =，60b =，71b =，81b =，…， 所以{}n b 是以6为周期的周期数列，所以202151b b ==，所以①正确； 因为123202133782696b b b b ++++=⨯=，所以①错误；因为1232021a a a a ++++()()()()()()324354202120202022202120232022a a a a a a a a a a a a =-+-+-++-+-+-2023220231a a a =-=-，所以①错误；因为2222222123202112232021a a a a a a a a a ++++=++++()2222212320212332021a a a a a a a a a =++++=+++=，所以()22222123202120202021202120212020202120212022a a a a a a a a a a a a ++++=+=+=，所以①正确.故选：B9．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=-，则k 等于（ ）A ．12B ．14C ．377D ．608【答案】A 【解析】 【分析】利用21n n n a a a ++=+可化简得357911212a a a a a a a +++=++，由此可得12k =. 【详解】由21n n n a a a ++=+得：3579115791179112468911a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++=+==++101112a a a =+=，357912211a a a a a a a ++++=-∴，即12k =. 故选：A.10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()()()()31425310098-+-+-+⋅⋅⋅+-=a S a S a S a S （ ）A ．0B ．1C ．98D ．100【答案】C 【解析】 【分析】推导出当2n ≥时，21n n a S +-=，结合311a S -=可求得所求代数式的值. 【详解】当2n ≥时，11n n n a a a -++=，则11n n n a a a +-=-， 故当2n ≥时，()()()1231314211n n n n S a a a a a a a a a a a +-=++++=+-+-++-()()1341123111n n n n a a a a a a a a a a +-+=++++-++++=+-，此时()11a S a a a a -=+-+-=，又因为31211a S -=-=，因此，()()()()3142531009898a S a S a S a S -+-+-+⋅⋅⋅+-=. 故选：C.11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()121)4(3n n n n c c a n a π--+-≥=⋅【答案】C 【解析】 【分析】A 选项由前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形即可判断；B 选项由()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N 结合累加法即可判断；C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出221111,44n n n n c a c a ππ--==，作差即可判断. 【详解】由题意知：前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形，其面积为()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，A 正确；32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+，以上各式相加得，2212n n a a a a a +-=+++，即1221n n a a a a ++++=-，B 正确；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠-=，C 错误；易知221111,44n n n n c a c a ππ--==，()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ-----+∴-=-=-+=≥，D 正确.故选：C.12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，记121nin i aa a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（ ）A ．105a =B ．()2233n n n a a a n -+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答. 【详解】依题意，{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 即1055a =，A 正确；依题意，当3n ≥时，12n n n a a a --=+，得2121223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ---+-+=+++=++=+，B 正确；由给定的递推公式得：321a a a -=，432a a a -=，…，202120202019a a a -=， 累加得20212122019a a a a a -=+++，于是有1220192021220211a a a a a a +++=-=-，即2019202111i i a a ==-∑，C 错误；2121a a a =⋅，222312321()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，2021202220212020a a a a =⋅-⋅，累加得22212202120212022a a a a a +++=⋅，D 正确.故选：C 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.13．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足： 12211,n n n a a a a a ++===+. ，记121nin i aa a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（ ）A ．1055a =B ．223(3)n n n a a a n -+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的数列的递推公式，逐项分析、推理计算即可判断作答． 【详解】依题意，数列{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 即1055a =，所以A 正确；当3n ≥时，122121223n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a -----+-+=+=+++=++=+，， 所以B 正确；由12211,n n n a a a a a ++===+，可得321432202120202019,,,a a a a a a a a a -=-=-=，累加得20212122019a a a a a -=+++则122019202122021220211a a a a a a a a +++=-=-=-，即2019202111i i a a ==-∑，所以C 错误；由2212122312321,()a a a a a a a a a a a ==-=-，233423432(),a a a a a a a a =-=-，220212021202220202021202220212020()a a a a a a a a =-=-，所以22212202120212022a a a a a +++=⋅，所以D 正确.14．数列{}n a ：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．202220211a S =- B ．202220201a S =+ C ．202220202a S =+ D ．202220212a S =-【答案】B 【解析】 【分析】利用迭代法可得2n a +123211n n n n a a a a a a ---=+++++++，可得21n n a S +=+，代入2020n =即可求解. 【详解】由题意，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 所以211n n n n n n a a a a a a ++-=+=++=...123211n n n n a a a a a a ---=+++++++，所以21n n a S +=+，令2020n =，可得202220201a S =+， 故选：B 【点睛】关键点点睛：理解数列新定义的含义得出21++=+n n n a a a ，利用迭代法得出2n a +123211n n n n a a a a a a ---=+++++++，进而得出21n n a S +=+.15．斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出2221220212021a a a a ++⋅⋅⋅是斐波那契数列的第（ ）项.A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【解析】 【分析】由斐波那契数列的递推关系可得21121n n n n n a a a a a ++++=-，应用累加法求2222021122021T a a a =+++，即可求目标式对应的项.【详解】由12n n n a a a ++=-，则1222111()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-，又1a =21a =，所以2121a a a =，223221a a a a a =-，234332a a a a a =-，…，220212021202102222020a a a a a =-，则222022021122021202221T a a aa a ==+++，故2221220212021202220212021...a a a Ta a a +++==. 故选：C16．斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为{}n a ，则222122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20202021a aB ．20202022a aC ．20212022a aD ．20222023a a【答案】C 【解析】 【分析】由21n n n a a a ++=+，则12n n n a a a ++=-，且12a a =，可得222122021a a a ++⋅⋅⋅+()212321a a a a a a =+-()()20202021201920202021202220212020a a a a a a a a +⋅⋅-⋅-++，化简即可求解. 【详解】由已知条件可知21n n n a a a ++=+，则12n n n a a a ++=-，且12a a =，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220202020202120192020202120192020a a a a a a a a =-=-，()220212021202220202021202220212020a a a a a a a a =-=-，上述各式相加得222122021a a a ++⋅⋅⋅+()()()()202020212019202020212022202122123213243002a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅++-20212022a a =.故选：C .17．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈，121a a ==，则()20222120221,2,,2022ii ai a ==⋅⋅⋅∑是数列{}n a 的第几项？（ ） A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合递推关系式,采用累加求和可得202221i i a =∑的值，进一步做比值即可．【详解】由题意可得211a =，2223123()1a a a a a a =⋅-=⋅-， 233423432()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，，220222022202320212022202320222021()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅， 累加得：22212202220222023a a a a a +++=⋅，即20222202220231i i a a a ==⋅∑，20222120232022ii a a a ==∑,故选：D ．18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论错误的是（ ） A ．854S = B ．135720192020a a a a a a +++++=C ．2468202020211a a a a a a +++++=-D ．20202019201820172021S S S S a +--=【答案】D【分析】利用“斐波那契数列”的定义及数列的性质对选项A 、B 、C 、D 逐一分析即可得答案． 【详解】解： 对A ：81238...112358132154S a a a a =++++=+++++++=，故选项A 正确； 对B ：由“斐波那契数列”的定义有2020201920182019201720162019201720152014a a a a a a a a a a =+=++=+++20192017201532a a a a a ==+++++，因为21a a =， 所以135720192020a a a a a a +++++=，故选项B 正确；对C ：由“斐波那契数列”的定义有202120202019202020182017202020182016421a a a a a a a a a a a a =+=++==++++++，因为11a =， 所以2468202020211a a a a a a +++++=-，故选项C 正确；对D ：()()()()202020192018201720202018201920172019202020182019202120202022S S S S S S S S a a a a a a a +==++--=--++=+，故选项D 错误． 故选：D ．19．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2022项和为（ ）A ．2698B ．2697C ．2696D ．2695【答案】C 【解析】 【分析】根据()*12123,,1n n n a a a n n a a --=+⋯∈==N , 递推得到数列{}n a ,然后再得到数列{}n b 是以6为周期的周期数列求解.因为()*12123,,1,n n n a a a n n a a --=+⋯∈==N所以数列{}n a 为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋯此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列{}n b 为:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,是以 6 为周期的周期数列, 所以20222022=(1+1+2+3+1+0)=26966S . 故选：C.20．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列{}n a 的说法不正确的是（ ） A ．2021a 是奇数 B ．62420202021a a a a a ++++=C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202120212022a a a a a a ++++=【答案】B 【解析】 【分析】直接根据斐波那契数列的递推关系21n n n a a a ++=+及数列求和，相消法的应用进行判断即可求解. 【详解】因为{}n a 的项n a 具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以2021a 是奇数，所以A 正确；因为34682020562020201920202021a a a a a a a a a a a +++++=+++==+=，所以B 错误； 因为13520212352021452021202020212022a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++=+++=+=，所以C 正确；因为()22222222212320211223202121232021a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++=++++()22222332021323202134202120212022a a a a a a a a a a a a a =+++=+++=++==，所以D 正确． 故选：B. 二、填空题21．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为_______．【答案】1348 【解析】 【分析】根据已知数据进行归纳，发现规律，再结合题意，即可求得结果. 【详解】对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数， 又20223674=⨯，故该数列前2022项有67421348⨯=个奇数. 故答案为：1348.22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是______．①733S = ①202220241S a =- ①135********a a a a a ++++= ①2222123202120212022a a a a a a ++++=【答案】①①①① 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的定义验证各结论是否正确． 【详解】71123581333S =++++++=，①正确；2024202220232022202120222022202120202021a a a a a a a a a a =+=++=+++==2022202123a a a a ++++=2022202121220221a a a a a S +++++=+，所以202220241S a =-，①正确；20222021202020212019201820212019322021201931a a a a a a a a a a a a a a =+=++=++++=++++，①正确 222222221232021202120221232020202120212022()a a a a a a a a a a a a a ++++-+++-=++2222123202020212020a a a a a a =+++++-21120a a a ==-=，①正确．故答案为：①①①①．23．意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{}n a ，其中121a a ==，有以下几个命题： ①()12n n n a a a n ++++=∈N ；①2222123445a a a a a a +++=⋅；①135********a a a a a ++++=；①()2212221n n n a a a n +++=⋅-∈N ． 其中正确命题的序号是________． 【答案】①①① 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以()12n n n a a a n ++++=∈N ，①正确.22221234451143915,515a a a a a a =+++++⋅=⨯=+=，①正确.202220212020202120192018a a a a a a =+=++ 2021201920172016a a a a =+++=202120192017201532a a a a a a =++++++202120192017201531a a a a a a =++++++，所以①正确.当1n =时，222134n a a +==，22224111312n n a a a a +⋅-=⋅-=⨯-=，所以①错误.故答案为：①①①24．斐波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()21N n n n a a a n +++=+∈，若2022a m =，则数列{}n a 的前2020项和为___________（用含m 的代数式表示）. 【答案】1m -##1m -+ 【解析】 【分析】通过累加得到22n n a a S +=+即可求得前2020项和. 【详解】由21n n n a a a ++=+，可知11n n n a a a +-=+，……，432a a a =+，321a a a =+， 将以上各式相加得1312121222n n n n n a a a a a a a a +-++++++++=++，整理得22n n a a S +=+， 则2020202221S a a m =-=-. 故答案为：1m -.25．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列{}n a 满足：12a =，410a =，且21n n n a a a ++=+（n *∈N ），记数列{}2n a 的前n 项和为n S ，若2852p S =，则p =___________. 【答案】7 【解析】【分析】根据递推关系写出{}n a 的前面若干项，利用并项求和法求得n S ，从而确定p 的值. 【详解】①43212222210a a a a a a =+=+=+=，①24a =，36a =， 则数列{}n a 中的项依次为2，4，6，10，16，26，42，68，…，又214a =，()222312312a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，()244534543a a a a a a a a =-=-，…，()21111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-=⋅-=⋅-⋅，将上面的式子相加，可得1124n n n S a a a a +=⋅-+，又77812442682442852S a a a a =-+=⨯-⨯+=，①7p =. 故答案为：726．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci )从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为121a a ==，()21N*n n n a a a n ++=+∈．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式⎡⎤=-⎥⎦n n n a 等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-，从而易得21a ＋22a ＋23a ＋…＋2126a 值的个位数为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案. 【详解】因为()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-，所以()()()2123213432126127126125a a a a a a a a a a a a a +-+-++-211261271261271a a a a a a =-+=.又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以1266,a a 的个位数字相同，1277,a a 的个位数字相同，易知67658,13a a a a ==+=，则2438=⨯，所以126127a a 的个位数字为4. 故答案为：4.27．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________.【答案】2276 【解析】 【分析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，知{}n a 是周期为8的数列，即可求出数列{}n a 的前2022项的和. 【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，{}n a ∴是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109+++++++=，又202225286=⨯+，∴数列{}n a 的前2022项的和2022252982276S =⨯+=. 故答案为：2276.28．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{}n a 满足10a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，若记1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，则2022a =________．（用M ，N 表示）【答案】1M N ++ 【解析】 【分析】由已知两式相加求得2020=+S N M ，1352019a a a a M ++++=得20181=-=S M a M ，2462020a a a a N ++++=得到20191=-S N ，从而得到202020202019a S S =-，201920192018=-a S S ，利用21n n n a a a ++=+可得答案.【详解】 因为1352019a a a a M ++++=，由1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，得2020=+S N M ，所以()()()()11362018102451201728+++++++=+=++a a a a a a a a a a S M ，得20181=-=S M a M ， 因为2462020a a a a N ++++=，所以()()()224201820192019251320911+++++++=-+=+=a a a a a a a S a a S N ，20191=-S N ，所以()()20202020201911==+--+-=a S S N M N M ，()20192019201811=-=--=--a S S N M N M ，所以202120192020=+=a a a N ，2022202020211=+=++a a a M N . 故答案为：1M N ++.29．斐波那契数列{}n a 满足：12211,1,n n n a a a a a ++===+．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设2221212,n n n n S a a a T a a a =+++=+++，给出以下三个命题：①22213n n n n a a a a +++-=⋅； ①21n n S a +=-； ①2111n n n n T a a a +++=+⋅．其中真命题的是________________（填上所有正确答案）【答案】①①①【解析】【分析】根据斐波那契数列的特点及所给条件进行分析计算确定正误.【详解】2121n n n n n n a a a a a a ++++=+⇒-=，32+1n n n a a a ++=+，所以21213()()n n n n n n a a a a a a ++++++-=⋅，即22213n n n n a a a a +++-=⋅，故①正确；211112321,n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++---=+=+=+⋅⋅⋅=+相加可得：22n n a a S +=+即21n n S a +=-，故①正确；因为1221111()=(2)n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n a a a --++-=+⋅=+⋅⇒⋅⋅≥⋅-，所以23221433212221121121n n n n n n a a a a a a a a a T a a a a a a a +++++=++++=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅又121,1a a ==，可得2111n n n n T a a a +++=+⋅，故①正确.故答案为：①①①.30．意大利数学家斐波那契(1175年1250-年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即*21()n n n a a a n ++=+∈N ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为11515()()225⎡⎤+-=-⎢⎥⎣⎦n n n a ．设n 是不等式2log (15)(15)211n n n ⎡⎤+-->+⎣⎦的正整数解，则n 的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】]n n ->n n n a ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，则11225n a >，根据数列{}n a 的单调性，求出11225n a >成立的n 的最小值，即可求出答案.【详解】由题知((11211n nn⎡⎤->+⎢⎥⎣⎦，①((11211n nn⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，①((21111n n n⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，即((1111n nn⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦①((211log112n nn⎡⎤-⎢⎥⎣⎦>，①11n n⎡⎤⎢⎥->⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①11n n->⎝⎭⎝⎭，11n n⎡⎤⎥->⎥⎝⎭⎝⎭⎦令n nna⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，则数列{}na即为斐波那契数列，11na∴>，即11225na>，显然数列{}n a为递增数列，所以数列{}2n a亦为递增数列，不难知道713a=，821a=，且112725a<，112825a>，①使得11225na>成立的n的最小值为8.故答案为：8.。
数学-以斐波那契数列为背景的高中数学问题
这就产生了斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34…其规律是从第三项起，每一项都是前两项的和.用递推公式表达表达就是：12211n n na aa a a++==⎧⎨=+⎩斐波那契数列通项公式为n nna⎡⎤⎥=−⎥⎝⎭⎝⎭1.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …实标生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则357920211a a a a a ++++++是斐波那契数列{}n a 中的第__________项.答案：2022解析：由题意得357920212357920214579202167920212020202120221.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=+++++=++++==+=2.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 在斐波那契数列{}n a 中, 12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈ .用n S 表示他的前n 项和,若已知2020S m = ,那么2022________.a =答案：m +1解析：()12211,1n n n a a a a a n N *++===+∈123234345,,a a a a a a a a a ∴+=+=+=201920202021202020212022,a a a a a a +=+=以上累加得：1234202020212222a a a a a a ++++⋯⋯++3420212022a a a a =++⋯⋯++12320202022220221a a a a a a m a m ∴+++⋯⋯+=−=∴=+3.“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足: 12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥,记其前n 项和为n S ,则6543( )S S S S +−−=A.8 B.13 C.21 D.34答案：C解析：【分析】由数列的递推式和斐波那契数列{}n a 的定义，计算可得所求值.【详解】()12121,1,3,n n n a a a a a n n *−−===+≥∈N 1n a −+++1n a −+++)21n a a −++++1n a a −+++2=1n a +−21n a −++=2n a a ++=31242323a a a a a a =+==+=，5346455,8a a a a a a =+==+= 65436453S S S S S S S S ∴+−−=−+−6554855321a a a a =+++=+++=故选C.4.若数列{}n F 满足,则称{}n F 为斐波那契数列.记数列{}n F 的前n 项和为n S ,则( ) A.26571F F F =+ B.681S F =−C.135910F F F F F +++= D.2222123678F F F F F F +++=答案：BC解析：()1212,A.11,3,n n n F F F F F n n N *−−===+>∈3214325436547658769871098226576576868132, 3,5, 8,13, 2134, 55,64,166, 1 ,A B.1123520, 120, B ;C.F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S F S F F F F ∴=+==+==+==+==+==+==+==+=∴=+=≠+=++++=−=++故错误；=-1故正确591022221236222278123678125133455;D.114925641041321273,, .C F F F F F F F F F F F F F FD ++=++++==+++=+++++==⨯=∴++++≠.故确故错误正5.斐波那契数列，又称黄分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合,小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变,都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的数学之美,在数学上斐波那契数列{}n a 一般以递推的方式被定义:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则( )A.1055a = B .2211n n n a a a ++−=C. 1n n a +⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列 D.设1n n na b a +=,则112n n n n b b b b +++−<−答案：ABC解析：12213A.1,,n n n a a a a a a ++===+开始各项依次为：则从102, 3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,,55,;a ⋯⋯=因此正确()222211111B.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++−+−=+−=−由222111n n n n n n a a a a a a ++−+−=−=⋯⋯可得：22132121 1.;a a a =−=⨯−=因此正确211111C.22n n n n n a a a a a ++++−+=++11111,222n n n n a a a a ++⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭21a +2111,,;22n n a a ++⎧⎫⎪⎪∴+⎨⎬⎪⎪⎩⎭数列是等比数列因此正确11211D.,n n n n n n n n n a a a b b b a a a +++++=−=−由则212111n n n n n n n a a a a a a a ++++−==12121,n n n n b b a a ++++−=同理可得：20,n n a a +>>由斐波那契数列的单调性可得：11211,.ABC.n n n n a a a a +++>因此因此不正确故选6.(多选)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个 90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列现将斐波那契数列记为{}n a ,12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥, 边长为斐波那契数a n 的正方形所对应扇形面积记为b n , (n ∈N *),则( )A.223 (3)n n n a a a n −+=+≥B. 123201920211a a a a a ++++=+C.()20202019201820214b b a a π−=⋅ D. 123202*********4b b b b a a π++++=⋅答案：AD解析：123,n n n a a a n −−=+≥由（递推公式）可得211212 n n n n n n n n a a a a a a a a ++−−−=+=+=−()221123A 3n n n n n n n a a a a a a n a +−−−+=++−=≥正确所以.故选项12313421,,,a a a a a a a ==−=−类似的有:11122(2),,1,n n n n n n a a a n a a a a +−++=−≥+−=−迭加可得123201920211B ;a a a a a +++⋯+=+故错误，故选项错误2112,,44n n n n n n b a b b a a ππ−+−=−=由题意可知，扇形面积为故()2020201920182021C ;4b b a a π−⋅=则错，故选项错误误121212223221(3),,,n n n a a a n a a a a a a a a −−=+≥==−由可得222211121,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a +−+=−+++=迭加可得2123202020202021n n b a b b b b a a ππ=+++⋯+=⋅所以又.D AD.错误，故选故选项7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列，并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列说法正确的是( ) A.20211g = B.12320212696g g g g ++++=C.22221232020201920212f f f f f f ++++= D. 222123222022210f f f f f f −+−=答案：ABD解析：123451,1,2,3,1,g g g g g =====由已知得67891011120,1,1,2,3,1,0,,g g g g g g g ======={}6.n g 所以数列是以为周期的周期函数2021A ,202163365,1,A g =⨯+=对；故于选项因为所以选项正确1232021B ,g g g g ++++对于选项336(112310)(11231)2696,B ;=⨯++++++++++=故选项正确1221C ,,n n n f f f f f ++==+，对于选项()2211222312321,,f f f f f f f f f f f ∴==−=−()233423432,,f f f f f f f f =−=−()2112121,n n n n n n n n f f f f f f f f ++++++=−=−22221232020f f f f ++++所以()()()()122312343220192020201920182020202120202019f f f f f f f f f f f f f f f f f f =+−+−++−+−20202021,C ;f f =故错误()22222232122232221D ,,f f f f f f f f =−=−对于选项因为()22121222021222120,f f f f f f f f =−=−22212322202221212322232221202221222120f f f f f f f f f f f f f f f f f f −+−=++−+所以()20212221232223202321232223f f f f f f f f f f f f f =+−+−=+222322230,D .ABD.f f f f =−=故正确故选8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 2na a ++=2211223n n n na a a +++=22223233n na a a a a a +++=+++224na a ++1n n a a +=称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论确的是() A.68a = B.954S =C.135********a a a a a ++++= D.22212201920202019a a a a a +++=答案:ACD解析：{}A ,61,1,2,3,5,8,A ;n a 对于选项数列的前项为故正确()81234256420192020201813520192020135201921221212231232B ,112358132154,B ;C ,,,,,:2020D ,,n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=+++++++===−=−⋯⋯=−++++=++++=+==−=−对于选项故错误对于选项由项；可得故是斐波那契数波列对于选项,斐的那契数列总有中第则()()21334234232220182018201920172018201920172018201920192020201920182222123201920192020,,,,D ;:A ,CD.,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−=−⋯⋯=−=−=−++++=故正确故选312n a ++=是奇数时等于第n+12, 当 n1.半径为1的两个圆12,O O外切,l是它们的一条外公切线,作312O O O l和、、均相切，作234,O O O l和、、均相切……,作11n n nO O O l+−和、、均相切,求8O的半径.解析：111,,,n n n n nO R l O S l O l O R O S P Q−+−⊥⊥作作过的平行线、于、111,n n n n nO M O R M O M PQ O P O Q−++⊥==+作于，则1nO Q+==因为1,n nO P O M+==同理==可得1112(2),1,n n n na a a a n a a+−==+≥==令则且3124235346452,3,5,8a a a a a a a a a a a a =+==+==+==+=75686713,21a a a a a a =+==+=,8228111.21441r a ===所以2.(2012上海)已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==.若20102012a a =, 则2011a a +=__________.解析：2010201020121,,,1a t a a t t t ===+设由得解得则：()201020082200811,,.12k a t a t a k N a *====∈+则同理123579111123581,,,,,,,1235813n n a a a a a a a a +=======+又则2011813a a +故。
2019年高考数学题型全归纳：斐波那契数列（含答案）
2019年⾼考数学题型全归纳：斐波那契数列（含答案）⾼考数学精品复习资料2019.5斐波那契数列每⼀对兔⼦过了出⽣第⼀个⽉之后，每个⽉⽣⼀对⼩兔⼦。
现把⼀对初⽣⼩兔⼦放在屋内，问⼀年后屋内有多少对兔⼦？先不在这⾥考虑兔⼦能否长⼤，或是某些⽉份没有⽣⼩兔⼦⼀类的问题，完全只由数学⾓度去考虑这问题，意⼤利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题⽬，其内容⼤约是这样的：在第⼀个⽉时，只有⼀对⼩兔⼦，过了⼀个⽉，那对兔⼦成熟了，在第三个⽉时便⽣下⼀对⼩兔⼦，这时有两对兔⼦。
再过多⼀个⽉，成熟的兔⼦再⽣⼀对⼩兔⼦，⽽另⼀对⼩兔⼦长⼤，有三对⼩兔⼦。
如此推算下去，我们便发现⼀个规律：不难发现，每个⽉成熟兔⼦的数⽬是上个⽉的兔⼦总数，⽽初⽣兔⼦的数⽬是上个⽉成熟兔⼦的数⽬，也即是两个⽉前的兔⼦总数，因此每个⽉的兔⼦总数刚好是上个⽉和两个⽉前的的兔⼦总数之和。
由此可得每个⽉的兔⼦总数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知⼀年后有 377 对兔⼦。
若把上述数列继续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列，数列中每个数便是前两个数之和，⽽数列的最初两个数都是 1。
若果设 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 则成⽴这个关系式：当 n ⼤于 1，Fn+2=Fn+1+ Fn，⽽ F0=F1=1。
下⾯是⼀个古怪的式⼦：(1)Fn看似是⽆理数，但当 n 是⾮负整数时，Fn都是整数，⽽且组成斐波那契数列，因为F0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，这可⽤数学归纳法来证明。
利⽤斐波那契数列解决兔⼦数⽬的问题似乎没有甚么⽤途，因为不能保证兔⼦真的每⽉只⽣⼀对⼩兔⼦⼀类的问题，但事实上这个数列的应⽤⼗分⼴泛。
例如⼀个⾛梯级的问题，若某⼈⾛上⼀段梯级，他每⼀步可以⾛上⼀级，或是跳过⼀级⽽⾛到第⼆级，若他要⾛上六级，有多少个不同⾛法？我们可以考虑，若果设 Fn是⾛ n 级梯级的⾛法的数⽬，若他在第n级，他可以⾛到第 n-1 级，或是跳过第n-1级，⾛到第 n-2 级，他在第 n-1 级有 Fn-1个⾛法，⽽在第 n-2 级有 Fn-2个⾛法，因此在第n级时的⾛法是 Fn-2+Fn-1个⾛法，即Fn=Fn-2+Fn-1，⽽他在第⼆级和第三级的⾛法分别有 1 个和 2 个，因此可知⾛法的数⽬与斐波那契数列有关。
以＂斐波那契数列＂为背景的数学试题的赏析
ｌ ，２ ，３ ，５ ，８ ，１４ ３ １ ４ ５ ９ ４ ，…… ，可 以发 现第 ４ 、
从而实 现化简 求和 ．如 ：已知数列 ｛ 的通 项为 ）
２ １ 年第 ３期 ０２
福建 中学数 学
３
第８ 、第 ｌ 个数能被 ３ ２ 整除 ．由此猜想第 ４（ ∈ ’ ｋｋ Ｎ ，
ｋ ２） ５ 个数 能被 整除 ．因为依 序 循环 报 数 中 ，甲同
… … ＇ ａ２ ａ４一 ａ３ ， ａＩ ａ３一 ａ２ ，
ａ２ ｉ— ａ２ ｌ ９ ｍ ｏｏ
相加得 ： Ｓ【 ＝ａ０ 一 ， 一 ． ２ ｌ ｌ ａ ＝ａ １ ） ２３ ｌ
，其 中 ＝１ Ｆ ＝１ ， ２ ，
Ｆｏ＝ Ｆ
一
．
＋
一
（ ≥３ ， ．或 运 用 斐 波 那契 数 列 ， ∈Ｎ ） ｚ
学生走向“ 玩好数学” 的境界 ．
有兴 趣 的读者 ， 以探 索 数 学教 学 中的“ 可 引趣” 和“ 引深” 这样 一个 课题 ．有一 定研 究能力 的读 者 ， 可 以考 虑写一 本这样 的书— — 数学激 趣教 学探 索 或 数 学激趣 教学 的 １０ ０ 个案例 ．
ａｎ
＝ Ｉ＋ 则将其通项化为 ＝ ÷ Ｊ ， ＿ ｌ， Ｊ 一ｚ＋ 故数列 刀 ，
｛ 的 ｝ 前 项和 ＝１ ＋ ＋．（一 ） （ ）（一 ）． ＝ 一 ． ＋
ｆ ＂
１÷ ｌ ÷ １ “ 一 ＋ 胛 斐波那契数列” ＝＋． 是数学史上一个著
次报 出 的数也为 １ 之 后每位 同学 所报 出的数 都是前 ， 两位 同学 所报 出的数 之和 ；
高中数学精品试题：斐波那契数列
2.6斐波那契数列一、“兔子数列”假定一对刚出生的兔子一个月后长成大兔子，再过一个月开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子，设所生每对兔子都为一雄一雌，且无死亡，那么一对刚出生的小兔子一年以后可以繁殖成多少对兔子？我们先对这个问题一起研究一下：用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数：第1月底 ○ 第2月底 ◎ 第3月底 ◎ ○第4月底 ◎ ○ ◎第5月底 ◎ ○ ◎ ◎ ○第6月底 ◎ ○ ◎ ◎ ○ ◎ ○ ◎图1-1我们将上图抽象成式子：记第n 月底的兔子对数为n F ，则：1F =1，2F =1，3F =2，4F =3，5F =5，6F =8，…问：你能找出这个数列有怎样的规律吗？从第三项起，每一项都是它前两项的和，即2n F + = 1n F + + n F )(*∈N n那么这样我们就可以得到年底共有144对兔子。
二、文化背景上述“兔子数列”最初就是由著名的意大利数学家斐波那契（Leonardoda Fibonacci ）Leonardoda Fibonacci 于1202年在《算经》一书中提出来的，因此我们称它为“斐波那契数列”。
而这个数列，其实也蕴涵在我们非常熟悉的“杨辉三角”中：将“杨辉三角”中，每一条平行斜线上各数之和列在右侧，自上而下的一列数即为1,1,2,3,5,8,13，……，正好是“斐波那契数列”。
图2-1三、斐波那契数列的特征及性质（一）斐波那契数列的通项公式探究：已知数列{}n F ，)3(,1,12121≥+===--n F F F F F n n n ，求数列{}n F 的通项公式.设)(211211----=-n n n n F F F F λλλ221121---+=n n n F F F λλλλ）（则⎩⎨⎧-=+=+∴112121λλλλ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=∴2512512512512121λλλλ或 {}11n n F F λ+∴-是首项为121-λλ=，公比为2λ的等比数列.n n n F F 211λλ=-∴+ 联立方程，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+=--∴++n n n n n n F F F F ）（）（25125125125111, 消去1+n F ,得].251)251[(51n n n F ）（--+= 我们发现，这样一个完全由自然数组成的数列，它的通项公式竟然是用无理数来表示的。
赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题_周湖平
… 则 a10 + b10 =
（）
A． 28 B． 76 C． 123 D． 10
( 2012 年江西省数学高考理科试题) 解 记 an + bn = f（ n） ，则
f（ 3） = f（ 1） + f（ 2） = 1 + 3 = 4；
f（ 4） = f（ 2） + f（ 3） = 3 + 4 = 7；
f（ 9） = f（ 7） + f（ 8） = 76；
f（ 10） = f（ 8） + f（ 9） = 123，
故
a10 + b10 = 123．
点评 本题考查了归纳推理的有关知识，在归
纳方法中考查了斐波那契数列通项的特点（ 即从
第 2 项起，每一项都是前两项之和） ．
例2
已知 f（ x）
=
1
1 +
( ) ( ) 2
n +1
－
n +2
－
n +1
1 － 槡5 2 n +2 （ n = 0，1，2，…） ．
1 － 槡5 2
点评 这是一道有着深刻背景的好题，涉及到
黄金分割数、斐波那契数列、迭代数列等诸多问题．
（ 1） 猜想数列 ｛ xn ｝ 的单调性，并 证 明 你 的 结
论；
( ) （
2
证明：
| xn +1
α－β
α－β
α－β
即
an +2 = an +1 + an．
（
2）
对数列｛
an｝
，由
an
=
αn α
－ －
βn（ β
以斐波那契数列为背景的试题探究- 教学考试(高考数学)
以斐波那契数列为背景的试题探究一、斐波那契数列斐波那契，公元13世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：1,1,2,3,5,8,13,21,34,,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列{}n a 满足：121,1,a a ==且121,1,a a ==()213.n n n a a a n --+=≥这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.事实上，斐波那契数列{}n a 的通项公式为11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其神奇之处在于通项公式中含有无理数，但它的每一项又都不是无理数.如何在高考试题中考查斐波那契数列呢？二、以斐波那契数列为背景命制试题 1.以斐波那契数列的概念为背景命制试题【例1】意大利数学家斐波那契在1202年出版的一书里提出了这样一个问题：一对兔子被饲养到第二个月进入成年，第三个月生产一对小兔，以后每个月生产一对小兔，所生产的小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生产一对小兔，以后每个月生产一对小兔，那么，这样下去到年底，应有多少对兔子？此问题的程序框图如下，空白处应填写 （ ）A.Q S F S == B. Q S S F == C. S Q F S ==D.S FQ S ==【解析】斐波那契数列总有2112,1,1,n n n a a a a a ++=+==根据程序框图分析可知， 正确答案为B .【例2】设,αβ是方程210x x --=的两个根，数列{}n a 中满足()1,2,3,,n nn a n αβαβ-==-.证明：对任意正整数n ，都有21.n n n a a a ++=+【解析】因为,αβ是方程210x x --=的2个根，则1,1,αβαβ+==-因此()()()2211n n n n n n αβαβαβαβαβ++++-=+---()()11,n n n n αβαβ++=-+-11,n n n n αβαβαβαβ++--=+--即21.n n n a a a ++=+2.以斐波那契数列的性质为背景命制试题【性质1】斐波那契数列的前n 项的平方和: 22221231,n n n a a a a a a +++++= 即211.nin n i aa a +==∑【性质2】斐波那契数列的奇数项之和：135212,n n a a a a a -++++=即2121.ni n i a a -==∑【性质3】斐波那契数列的偶数项之和：2462211,n n a a a a a +++++=-即22111.ni n i a a +==-∑【性质4】斐波那契数列的前n 项之和12321,n n n S a a a a a +=++++=-即211.nin i aa +==-∑【性质5】连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即()2112n n n n n a a a a a n +--=≥.【归纳】斐波那契数列的简单性质的证明总是运用其特征式12n n n a a a +++=的变形21n n n a a a ++=-或12n n n a a a ++=-进行裂项，从而达到相消求和的目的.【例3】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.那么222212320152015a a a a a ++++是斐波那契数列中的第 项.【解析】斐波那契数列总有21,n n n a a a ++=+则2121a a a =，222312321()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，……，220152015201620142015201620142015()a a a a a a a a =-=-，2222123201520152016,a a a a a a ++++=所以2222123201520162015.a a a a a a ++++=故222212320152015a a a a a ++++是斐波那契数列中的第2016项.【例4】同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列{}n a 中，()12211,1,3.n n n a a a a a n --==+=≥若2016,a a =那么数列{}n a 的前2014项的和为 .【解析】由11,a a =231a a a =-，342a a a =-，453a a a =-，……，201420152013a a a =- 可得： 1232014a a a a ++++20142015220161 1.a a a a a =+-=-=-故数列{}n a 的前2014项的和为 1.a -【探究】斐波那契数列中，还有许多性质，如：①连续两项斐波那契数的平方和仍是斐波那契数，即22121n n n a a a +++=；②相间两项斐波那契数的平方差仍是斐波那契数，即()221122n n n a a a n +--=≥；③连续三项斐波那契数后两项的平方和与第一项的平方之差仍是斐波那契数，即()2221132n n n n a a a a n +-+-=≥；④下标为3k 的前n 项斐波那契数之和满足()36332112n n a a a a ++++=-. 3.以斐波那契数列的模型为背景命制试题(1)攀爬楼梯问题【例5】 小学生甲玩耍上楼梯的游戏：建筑物有10级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级台阶，问这位小学生有多少种不同的爬楼方法？【解析】 设小学生爬n 个台阶有n a 种方法.考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前1-n 个台阶有1n a -种方法；若最后一步迈两级台阶，则前2-n 个台阶有2n a -种不同的方法.由加法原理得：()123n n n a a a n --=+≥，易知其初值11a =，22a =，则3124233,5,a a a a a a =+==+=5346458,13,a a a a a a =+==+= 75686721,34,a a a a a a =+==+=978108955,89,a a a a a a =+==+=故小学生10级台阶的楼梯有89种不同的爬楼方法.【变式1】高中学生甲到教室有10级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶，问这位学生有多少种不同的爬楼方法？【解析】设学生甲攀爬n 个台阶有n a 种方法.考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前1-n 个台阶有1n a -种方法；若最后一步迈两级台阶，则前2-n 个台阶有2n a -种不同的方法；若最后一步迈三级台阶，则前3n -个台阶有3n a -种不同的方法.由加法原理得：()1234n n n n a a a a n ---=++≥，易知其初值11a =，22a =，24a =，则412352347,13,a a a a a a a a =++==++= 6345745624,44,a a a a a a a a =++==++= 8567967881,149,a a a a a a a a =++==++= 10789274.a a a a =++=故该学生上10级台阶的楼梯有149种不同的爬楼方法. (2) 0-1序列问题【例6】由0和1组成的序列称为0-1序列，序列中数的个数称为这个0-1序列的长度.如010*******是一个长度为10的0-1序列，求长为10的0-1序列中任何两个1不相邻的序列的个数.【解析】设长为n 的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有n c 个.考虑最后一个数：如果最后一位是0，则只要前1-n 位任何两个1不相邻即可，因此，满足要求的序列有1n c -个；若最后一位是1，则倒数第二位是0，于是只要前2-n 位任何两个1不相邻即可，因此满足要求的序列有2n c -个，由加法原理得：()123n n n c c c n --=+≥，由初值122,3c c ==，则3124235,8,c c c c c c =+==+= 53464513,21,c c c c c c =+==+= 75686734,55,c c c c c c =+==+= 978108989,144,c c c c c c =+==+=所以，长为10的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有144个.【归纳】此类与自然数n 有关的问题，悟出其蕴含的递推关系，建立连续三项之间的递推关系的数学模型，由初始项的数据结合递推关系求解.【变式2】学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连续出现正面的可能情形有多少种？【解析】设甲投掷()2n n ≥次，不连续出现正面的可能情形有n a 种，考虑最后一次投掷：若最后一次呈现反面，则前1-n 次有1n a -种方法；若最后一次呈现正面，则倒数第二次必是反面，前2-n 次有2n a -种不同的方法.由加法原理得：()124n n n a a a n --=+≥，易知其初值23a =，35a =，则4238,a a a =+=53464513,21,a a a a a a =+==+=75686734,55,a a a a a a =+==+=978108989,144,a a a a a a =+==+=所以甲投掷10次，不连续出现正面的可能情形有144种. (3)染色问题【例14】（2011湖北）给n 个自上而下相连的正方形着色.当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相连的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有 种.（结果用数值表示）【解析】1,2,3,4n =时，黑色正方形互不相连．．．．的着色方案种数分别为2，3，5，8，由此可看出后一项总是前2项之和，故5n =时应为5813;6n +==时应为81321.+=所以6n =时，所有的着色方案种数共0123454666666664.N C C C C C C C =++++++=种故至少有两个黑色正方形相连．．的着色方案共有642143-=种. 答案为21；43. (4)几何问题【例8】半径为1的两个圆⊙1O 、⊙2O 外切，l 是它们的一条外公切线，作⊙3O 和⊙1O 、⊙2O 、l 均相切，作⊙4O 和⊙2O 、⊙3O 、l 均相切……，作⊙1+n O 与⊙1-n O 、⊙n O 、l 均相切，求⊙8O 的半径.【解析】作1,n n O R l O S l -⊥⊥，过1+n O 作l 的平行线分别交1n n O R O S -、于P Q 、,作R O M O n n 1-⊥于M ，则11n n n O M PQ O P O Q ++==+，因为+1n O Q ===同理，1n n O P O M +===令n a =，则()112n n n a a a n +-=+≥，且121==a a ， 3124232,3,a a a a a a =+==+=5346455,8,a a a a a a =+==+= 75686713,21,a a a a a a =+==+=所以8228111.21441r a === (5)函数问题【例9】（2012上海）已知()1,1f x x=+各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==.若20102012a a =，则2011a a += .【解析】设2010,a t =由20102012a a =，得：1,1tt=+解得12t =.则：201020081,1a t a ==+则2008,a t =同理()*212k a k N =∈. 又1211,,1n n a a a +==+则357123,,,235a a a ===91158,,813a a ==故2011813a a +== 4.以斐波那契数列的模型为背景的不等式证明问题 【例10】（2009陕西）已知数列{}n x 满足()1211,*21n nx x n N x +==∈+. （1）猜想数列{}2n x 的单调性，并证明你的结论；1112.65n n n x -+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为1111,,21n nx x x +==+则111n n x x +=+，即111n n x x +=+ 所以22,3x =46513,,821x x ==由246,x x x >>猜想：数列{}2n x 的单调递减. 下面用数学归纳法证明.①当1n =时，命题成立；②假设n k =时， 222,k k a a +>易知20,k a >则当1n k =+时，222421231111k k k k a a a a ++++-=-++()()()()23212222123212311111111k k k kk k k k a a a a a a a a +++++++--++==++++()()()()22222221230.1111k k k k k k a a a a a a ++++-=>++++即()()21212,k k a a +++>1n k =+时，命题也成立.故待证等式成立.1211;6n x x x -=-=当2n ≥时，因101n x -<<，则1112n x -<+<，111,12n n x x -=>+所以()()()11111511112,12n n n n n x x x x x ----⎛⎫++=++=+≥ ⎪+⎝⎭ ()()1111111111n n n n n n n n x x x x x x x x -+----=-=++++ 21122255n n n n x x x x ---⎛⎫≤-≤-≤ ⎪⎝⎭1121212.565n n x x --⎛⎫⎛⎫≤-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭斐波那契数列包含着太多的神奇和奥秘，远比等差数列与等比数列的内涵丰富，更加令人陶醉！这也正是斐波那契数列的魅力所在.。
以“斐波那契数列”为背景的数学试题的赏析
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以“斐波那契数列”为背景的数学试题的赏析作者：宋建辉
来源：《福建中学数学》2012年第03期
1 问题的提出
在近年的高考试题中以“斐波那契数列”为背景的试题开始崭露头角，且屡有新意.《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第32页的“阅读与思考”栏目对斐波那契数列的简单知识亦作了介绍，第31页的例题3也渗透了斐波那契数
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003
[2]康士凯.斐波那契数列.上海：上海科技出版社，1992
[3]林方芳，杨石文.创新意识的考查分析.福建中学数学，2009（6）：2-4。