向量与三角综合题选
三角函数与向量综合测试
三角函数与向量综合测试一、选择题：1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C2．向量a ,b 的坐标分别为(1,-1),(2,3)，则a ﹒b = （ ）A.5B.4C.-2D.-13．已知sin A =21, 那么cos(A -23π)= （ ） A.-21 B. 21 C.-23 D. 23 4.已知角α的终边经过点（3，-4），则sin α+cos α的值为 （ ） A.-51 B. 51 C. ±51 D. ±51或±57 5、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－23166、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 ( )A ．2B 2C ．12 D ． 12-7、要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位8 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称 11．若向量()1,1a = ，()1,1b =- ，()1,2c =- ，则c = ( ).A 1322a b -+ .B 1322a b - .C 3122a b - .D 3122a b -+ 12. 已知向量(1,2)a = ，2(2,)b m = ，若0=⋅→→b a ，则 m 的值为 ( )A. 2或-1B. -2或1C. ±2D. ±1二、填空题13.向量 a ,b 满足︱a ︱=3,︱b ︱=4,︱a +b ︱=5,则︱a -b ︱=_____14．cos 2x+cos 2(x+1200)+cos 2(x+2400)的值是________15. 已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5, a 与b 的夹角为60°，且(k a +b )⊥(a -2b ), 则k = ___16、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 三、解答题：17.求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18.已知3tan 2απαπ=<<,求sin cos αα-的值.19.已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
向量与三角函数专题
向量与三角函数一、解三角形例5．已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ，得13BC AC = ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== ，所以60C = ．例6. 如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ．（1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值. 解答过程：（Ⅰ） 由余弦定理，得2222..cos AB AC BC AC BC C =+- 341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么，AB（Ⅱ）由3cos 4C =，且0,C π<<得sin C 由正弦定理，得,sin sin AB BC C A=解得sin sin BC C A AB==所以，cos A .由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=， 且29cos 212sin 16A A =-=，故()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+例7．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=-- ．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =，sin sin A BC AB C ∴== 二．求三角函数的定义域、值域或最值 典型例题例8.已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是（ ）A.[]1,1-B.⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.⎡-⎢⎣⎦D.1,⎡-⎢⎣⎦)),,444, 1.,,,24f x x x x f x x f x A C D x f x πππππ+-∴==--=-=解法1:(当时(故选C.11解法2:当时()=知不可能.又由时(知选C.22例9． 设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且. （Ⅰ）求实数m 的值;（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x的最小值为1例10.已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值.解答过程：（Ⅰ） 由cos 0x≠得()2x k k Z ππ≠+∈.故()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， （Ⅱ） 因为43tan ,cos ,55αα=-=且第四象限的角， 所以43sin ,cos ,55αα=-=故()()21)4cos 122)22cos 1sin 2cos 2cos 2cos 2sin cos cos 2cos sin 14.5f πααααααααααααααα-==-+=-==-=例11设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ， （1）求ω、a 、b 的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f .解答过程：(1))x sin(b a )x (f 22ϕ+ω+=， π=∴T ， 2=ω∴， 又 )x (f 的最大值4)12(f =π ， 22b a 4+=∴ ① ， 且 122cos b 122sin a 4π+π= ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3.(2) )3x 2sin(4x 2cos 32x 2sin 2)x (f π+=+=， 0)(f )(f =β=α∴，)32sin(4)32sin(4π+β=π+α∴，32k 232π+β+π=π+α∴， 或)32(k 232π+β-π+π=π+α， 即 β+π=αk (βα、 共线，故舍去) ， 或 6k π+π=β+α，33)6k tan()tan(=π+π=β+α∴ )Z k (∈.例12.设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π.（I ）求ω的值；（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 的值.解答过程：（Ⅰ）1()2sin 22f x x x a ωω=+sin(2)3x a πω=+, 依题意得 2632πππω⋅+=， 解得 12ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()sin()3f x x a π=+,又当5,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，70,36x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin()123x -≤+≤，从而()f x 在5[,]36ππ-上取得最小值12a -.因此，由题设知12a -故a =例13.已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值.命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力. 解答过程：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ;（Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ，即37sin cos 2sin cos .416αααα+=⇒=-即 1672sin -=α. 三．三角函数的图象和性质 典型例题 例14.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.求：（Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间. 解答过程：（I ）解法一： ()1cos 23(1cos 2)sin 222x f x x θ-+=++2sin 2cos 2x x =++2)4x π=+. ∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++ 1sin 21cos 2x x =+++2)4x π=+.∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）解： ()2)4f x x π=+由题意得222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此， ()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.例15．（本小题满分12分） 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ） 例16.已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？解答过程：（I）1cos 2()2(1cos 2)22x f x x x -=+++132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II ）方法一：先把s i n 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3s i n (2)62y x π=++的图象.方法二： 把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=- 平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.例17.已知函数2())2sin ()().612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.解答过程：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1 = 2sin(2x －π3) +1 .∴ T=2π2 =π．(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2 ， 即x=k π+ 5π12 (k ∈Z) ∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , k ∈Z}. 四．平面向量、三角函数的图象和性质 典型例题例18.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-解答过程：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C.例19.已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值.解：（Ⅰ）,sin cos 0a b θθ⊥若则＋＝，由此得 tan 1ππθθ=- (-<<),22所以 ;4πθ=-（Ⅱ） 由(sin ,1),(1,cos )(sin 1,1cos ),a b b b θθθθ== α+=++ α+= = =得当sin()1,,, 1.44a b a b ππθθ+=+=+时取得最大值即当时例20.已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B .解答过程：（Ⅰ）∵1m n ⋅=,∴(()cos ,sin 1A A -⋅= ,cos 1A A -=.12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵50,666A A ππππ<<-<-<, ∴66A ππ-= . ∴3A π=.（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=. ∴tan 2B =或tan 1B =-.而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B+=--=。
例谈用向量解与三角形的“心”有关的综合题
（ 若 ｎ＋≥口 ， 口的取值 范 围． Ⅱ） 求
改编题 目： （ 中 ｂ ＝Ｓ 一３ 将 Ｉ） ”的铺 垫 撤去， 直接求 通项公 式．
２ （ ０ ８年 四 川 卷 理 科 ２ ．２０ Ｏ题 ） 数 列 设 ｛ 的前几项 和为 Ｓ ， ｎ） 已知 ６ 。 （一１ ｎ 一２一 ６ ）
数 学教 学 研 究
２ ３
＝
号
１（ ＋ ６ 口 ）
顶 角 Ｄ， 以 ０ ＯＤ 再 Ｃ，
为邻边 作 平 行 四边 形 ， 它 的第 ４个顶 点 为 Ｈ． （ 若 一口 Ｉ） ，
一 ｂ Ｏｅ — ｃ 用 ａ， ｃ ， ， ｂ，
Ｄ
＝
２
一
÷ ， ｃ ，
一 一
＝ 一 一 ｃ ６。 ～
（－） ÷ １ ｈ＝ Ａ
消去 得 百 １十 ＝３ １： ：
．
．
髓 ＝（＋６ （－ｂ ｃ ）ｃ ）
一ｃ一ｂ 一 ｌ Ｉ一 ｌ ｌ 。 。 ｂ ｃ ．
因为 ０为△ＡＢＣ的外 心 ， 以 所
Ｓ．
３ 课 堂小节 ， 总结 出一 般性 问题 的处理 方法
１对 Ｓ 一ｋ ） ａ ＋６既 可 以通 过递 归 写 出
Ｓ ＝ｋ ＋６ 两式 相 减 ， 到关 于 ｛ 数 ａ ， 得 口｝
列的递 推关 系式 ， 可 以倒用 ａ 一Ｓ 一Ｓ一 也
转 化为关 于｛ 的数 列进行 处理． Ｓ）
２ ２
数 学教 学 研 究
第 ２ 卷 第 ３期 ９
２１ ０ ０年 ３月
例谈 用 向量解 与三角 形的“ 有关 的综 合题 心＂
佘世 庆 李 学文
（ ． 肃 省 武威 第 十 五 中学 ７ ３０ １甘 ３ ００ ・． ２ 宁夏 同心 回民 中学 ７ １０ ） ５ ３０
三角函数测试题
三角，向量及复数综三角合测试题一， 选择题1，复数,1,21i z i z +==那么复数21z z ⋅在复平面上的对应点所在象限是 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2，平面向量a 与b 的夹角为 ︒60，且,1,2==b a 则b a3-= ( )A5 B 7 C 19 D 53，△ABC 的外接圆的圆心为1，若,0=++C O B A A O 且,B A A O =则=⋅B C A C ( )A23B 3C 3D 324，在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD=E ,60︒是BC 的中点，则=⋅E A C A( )A333+ B 29 C3 D495，△ABC 中，,3222bc a c b +=+则=--)sin(cos sin 2C B C B （ ）A 33B 23C 22D 216，若满足条件AB=3，C=3π,的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围 ( )A ()2,1B ()3,2 C()2,3 D ()2,27,设函数())0(sin )3sin(>++=w wx wx x f π相邻两条对称轴间的距离为2，则()1f = ( )A23 B 23- C 23 D 23- 8，若,542sin ,532cos-==αα则角θ的终边所在的直线为 ( ) A 0247=+y x B 0247=-y x C 0724=+y x D 0724=-y x9,已知函数=+=y x x y ,cos sin ,cos sin 22x x 则下列结论正确的是 ( )A 两个函数的图像均关于点()0,4π-成中心对称 B 两个函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称C 两个函数在区间()4,4ππ-上都是单调递增函数D 两个函数的最小正周期相同10，函数()ϕπ+=x y sin 的部分图像如图所示，设p 是图像的最高点，A,B 是图像与x 轴的交点，则tan ∠=APB （ ）A 8B 81C 78D 87二，填空题11，若复数,,sin cos ,342121R z z i z i z ∈⋅+=+=θθ则=θtan _____________12，在△ABC 中，,21,2,1===ABC S AC AB 则=BC _______________ 13，已知正方形ABCD 的边长为1，则=-D B B A2______________14，若θθ,53sin =为第二象限角，则=θ2tan _______________ 15，已知函数()x f 满足下面关系:),2()2(ππ-=+x f x f 当(]π,0∈x 时，(),cos x x f -=给出下列命题:① 函数()x f 为周期函数 ② 函数()x f 是奇函数 ③ 函数()x f 的图像关于y 轴对称 ④ 方程()x x f lg =的解的个数是3， 其中正确命题的序号是_______________三，解答题16，(本题12分) 在△ABC 中，已知c B b aconB =-sin ()1 若,6π=B 求A ()2 求B A sin sin +的取值范围17，(本题12分) 已知向量)3,1()),2cos(),2(sin(=++=b x x aθθ，函数()b a x f ⋅=为偶函数，且[]πθ,0∈，()1 求函数()x f 的解析式；()2 设()1),2,0(=∈x f x π，求x 的值18，(本题12分) 已知函数(),233cos 33cos 3sin2-+=x x x x f ()1 求()x f 的最小正周期及对称中心；()2 若()π,0,21cos ∈≥x x ，试求x 的范围及此时函数()x f 3的值域；19，（本题13分） 在△ABC 中,若,1=⋅=⋅C B A B C A B A()1 求证:B A = ()2 求边长c的值，()3 若6=+C A B A,求△ABC 的面积；20，（本题13分） 已知向量(),)(),23,(cos ),1,(sin m n m x f x n x m⋅+==-= ()1当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f y =的值域 ()2 锐角三角形ABC ,若,10232,27,245=⎪⎭⎫ ⎝⎛==B f b c a 求边c a ,；21，（本题13分） 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知,6km AC AB ==现计划在BC 边上的高AO 上一点P 处建造一个变电站，记P 点到三个村庄的距离之和为y ；()1 若∠,α=PBO 把y 表示成α的函数关系式；()2变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小?2。
高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 习题课—三角恒等变换素养练(含解析)新人教B版必修第三
习题课——三角恒等变换课后篇巩固提升基础巩固1.(多选)函数f (x )=sin x cos x+√32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是() A .πB .2C .1D .2πf (x )=sin x cos x+√32cos2x=12sin2x+√32cos2x=sin (2x +π3), 得最小正周期为π,振幅为1.2.已知A (1,sinαsin (α+2β)),B (sinαsin (α-2β)-2,1),且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,sin β≠0,sin α-k cos β=0,则k=()A .√2B .-√2C .√2或-√2D .以上都不对 由题意sinαsin (α-2β)-2+sinαsin (α+2β)=0,化简得sin α=±√2cos β,易知k=±√2,所以选C .3.若函数f (x )=sin x 3cos φ3+cos x 3sin φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ的值为()A .π2B .2π3C .3π2D .5π3(x )=sin x3cos φ3+cos x3sin φ3=sin (x3+φ3).由题意,知函数f (x )=sin (x3+φ3)(φ∈[0,2π])为偶函数,所以φ3=π2+k π,k ∈Z ,所以φ=3π2+3k π,k ∈Z .又φ∈[0,2π],故当k=0时,φ=3π2,选C .4.定义行列式运算|a 1 a 2a 3 a 4|=a 1a 4-a 2a 3.将函数f (x )=|√3 sinx 1 cosx|的图像向左平移n (n>0)个单位,所得图像对应的函数g (x )为奇函数,则n 的最小值为() A .π6B .π3C .5π6D .2π3 解析∵f (x )=√3cos x-sin x=2√32cos x-12sin x =2cos (x +π6),又平移后图像对应函数g (x )=2cos (x +n +π6)为奇函数,∴n+π6=k π+π2(k ∈Z ),即n=k π+π3(k ∈Z ),又n>0,∴n 的最小值为π3,故选B .5.(多选)已知函数f (x )=(sin x+cos x )cos x ,则下列说法错误的为() A .函数f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的最大值为√2C .f (x )的图像关于直线x=-π8对称D .将f (x )的图像向右平移π8个单位,再向下平移12个单位后会得到一个奇函数的图像f (x )=(sin x+cos x )cos x ,得f (x )=√22sin (2x +π4)+12, 所以f (x )最小正周期为π,A 错; 所以f (x )的最大值为√22+12,B 错; f (x )的对称轴为x=π8+kπ2,k ∈Z ,所以x=-π8不是f (x )的对称轴,C 错;将f (x )的图像向右平移π8个单位得y=√22sin2x+12,再向下平移12个单位后会得到y=√22sin2x 为奇函数.6.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=.α是第三象限的角,∴k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z , ∴tan α2<0. ∵cos α=-45,∴cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α2=-45,解得tan α2=-3,∴tan (α2+π4)=tan α2+tanπ41-tan α2tanπ4=-3+11+3=-12. -127.函数f (x )=√3sin 23x-2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是.f (x )=√3sin 23x-2sin 213x=√3sin 23x+cos 23x-1=2sin (23x +π6)-1,又π2≤x ≤3π4,所以23x+π6∈[π2,2π3].所以当2x+π6=2π3时,f (x )取得最小值√3-1.√3-18.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a -b |=√105, (1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=1213,求cos β的值.由题意可得a -b =(cos α-cos β,sin α+sin β),∵|a -b |=√105= √(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=√2-2cos (α+β),∴cos(α+β)=45.(2)∵cos(α+β)=45,α,β均为锐角,∴α+β仍为锐角,sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=35.∵cos α=1213,∴sin α=√1-cos 2α=513,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=45×1213+35×513=6365.9.已知函数f (x )=sin 2ωx+√3sin ωx ·sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)求函数f (x )在区间[0,2π3]上的取值X 围.f (x )=1-cos2ωx2+√32sin2ωx=√32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin (2ωx -π6)+12. 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,解得ω=1.(2)由(1)得f (x )=sin (2x -π6)+12, 因为0≤x ≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6,所以-12≤sin (2x -π6)≤1.因此0≤sin (2x -π6)+12≤32,所以f (x )的取值X 围是[0,32].能力提升1.设当x=θ时,函数f (x )=2sin x-cos x 取得最大值,则cos θ=() A .2√55B .-2√55C .√55D .-√55(x )=2sin x-cos x=√5sin(x-φ)=√5sin x ·cos φ-√5cos x sin φ;其中cos φ=√5,sin φ=√5;由题意得θ-φ=2k π+π2(k ∈Z ), 即θ=φ+2k π+π2(k ∈Z );所以cos θ=cos (φ+2kπ+π2)=cos (φ+π2)=-sin φ=-√5=-√55.2.若函数f (x )=sin ωx+√3cos ωx (x ∈R ),又f (α)=-2,f (β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值是() A .13B .32C .43D .23(x )=sin ωx+√3cos ωx=2sin (ωx +π3),又f (α)=-2,f (β)=0,从而当x=α时函数有最小值,x=β为平衡点,|α-β|的最小值是14T ,因此14×2πω=3π4,解得ω=23.3.已知函数f (x )=√3cos (π2+2x)+2sin 2(π2+x),x ∈[0,π2],则f (x )的最小值为() A .-1B .2C .3D .1-√3(x )=-√3sin2x+2cos 2x=-√3sin2x+1+cos2x=2cos (2x +π3)+1,因为0≤x ≤π2,所以π3≤2x+π3≤4π3,所以当2x+π3=π,即cos (2x +π3)=-1时,函数f (x )取最小值为-1.4.已知函数f (x )=cos x (sin x-√3cos x ),则() A .f (x )的周期为2π B .f (x )在区间[-π6,π6]上单调C .f (x )的图像关于直线x=-π12对称D .f (x )的图像关于点(π6,0)对称(x )=cos x sin x-√3cos 2x=12sin2x-√32·cos2x-√32=sin (2x -π3)−√32,所以T=2π2=π,排除A;令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ),所以f (x )在区间[-π12,5π12]上单调,排除B;sin (-2π12-π3)=-1,所以f (x )的图像关于直线x=-π12对称,C 正确;f (π6)=sin (π3-π3)−√32≠0,所以f (x )的图像关于点(π6,0)不对称,排除D .5.已知向量a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈(π2,π),若a ·b =25,则tan (α+π4)=() A .13B .27C .17D .23a ·b =25,得cos2α+sin α(2sin α-1)=25,求得sin α=35,又α∈(π2,π),则cos α=-45,所以tan α=-34,于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.6.已知ω>0,a>0,f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx ,g (x )=2cos (x +π6),h (x )=f (x )g (x ),这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g (x )+h (x )的图像的一条对称轴方程可以为()A .x=π6B .x=13π6C .x=-23π12D .x=-29π12f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx=2a sin (ωx +π3),由题图可得2a=2,即a=1,f (x )=2sin (ωx +π3);而g (π3)=2cos (π3+π6)=0,h (x )=f (x )g (x )中,x ≠π3,所以{f (π3)=2sin (π3ω+π3)=0,f (0)=g (0);而ω>0,解得ω=2,即f (x )=2sin (2x +π3),所以F (x )=g (x )+h (x )=g (x )+f (x )g (x )=2cos (x +π6)+2sin(2x+π3)2cos(x+π6)=2cos (x +π6)+2sin (x +π6)=2√2sin (x +π6+π4)=2√2sin (x +5π12),而F (π6)≠±2√2,排除A;F (13π6)≠±2√2,排除B;F (-23π12)=2√2,即x=-23π12,即g (x )+h (x )的一条对称轴.7.(双空)已知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(√3,-1),则|2a -b |的最大值为,最小值为.2a -b =(2cos θ-3,2sin θ-1),则|2a -b |=√(2cosθ-√3)2+(2sinθ-1)2=√8-4√3cosθ-4sinθ=√8-8sin (θ+π3),当sin (θ+π3)=-1时,上式取最大值4,当sin (θ+π3)=1时,上式取最小值0.8.设f (x )=√3sin 3x+cos 3x ,若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则实数m 的取值X 围是.(x )=√3sin3x+cos3x=2(√32sin3x +12cos3x)=2sin (3x +π6),所以f (x )min =-2,于是若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则m ≤-2.-∞,-2]9.已知函数f (x )=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2. (1)若α是第一象限角,且f (α)=3√35,求g (α)的值;(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合.(x )=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x=√3sin x , g (x )=2sin 2x2=1-cos x , (1)由f (α)=3√35,得sin α=35,又α是第一象限角, 所以cos α>0.从而g (α)=1-cos α=1-√1-sin 2α=1-45=15. (2)f (x )≥g (x )等价于√3sin x ≥1-cos x , 即√3sin x+cos x ≥1.于是sin (x +π6)≥12. 从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z ,即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z ,故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.10.若函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点α,β. (1)某某数a 的取值X 围; (2)求tan(α+β)的值.由题意得sin x+√3cos x=212sin x+√32cos x =2sin (x +π3), ∵函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点, ∴关于x 的方程sin x+√3cos x+a=0在(0,2π)内有相异二解, ∴方程sin (x +π3)=-a2在(0,2π)内有相异二解. ∵0<x<2π,∴π3<x+π3<7π3.结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解, 则满足-1<-a2<1,且-a2≠√32, 解得-2<a<2,且a ≠-√3.∴实数a 的取值X 围是(-2,-√3)∪(-√3,2).(2)∵α,β是方程的相异解,∴sin α+√3cos α+a=0,① sin β+√3cos β+a=0,②①-②,得(sin α-sin β)+√3(cos α-cos β)=0, ∴2sinα-β2cosα+β2-2√3sinα+β2sinα-β2=0.又sinα+β2≠0, ∴tanα+β2=√33,α+β21-tan2α+β2=√3.∴tan(α+β)=2tan。
专题四：三角形中的三角问题含向量
高三数学微专题四三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝__2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE→＝_______.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，AE CD P =I , 求△APC 的面积．例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2132222C A A sinsin cos +-的取值范围．例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝________.4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是________．5． 在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝________..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____． 8. 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C －lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的序号是：9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的__ ______心．10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ． （1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,；（2）求△ABC 的面积．12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a . (1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．专题四：三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝__－16解析 因为AM →＝12(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝2AM →，又AC →－AB →＝BC →，所以(AB →＋AC →)2－(AC →－AB →)2＝4AB →·AC →＝4AM →2－BC →2＝－64，所以AB →·AC→＝－16. 2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝____－14____.解析 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD→＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.解析 由m 与n 平行，得 3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，A ＝π3.又由a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，得sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是__2______．解析 如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →. (1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB→的值． 解析 (1)因为BP →＝P A →，所以BO→＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，所以OP →＝12OA →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝12.(2)因为BP →＝3P A →，所以BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →， 即OP →＝34OA →＋14OB →，所以x ＝34，y ＝14.故OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，求△APC 的面积．解析 设AB→＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 和点D ，P ，C 均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又因为AP →＝AD →＋DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13μa ＋μb ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得λ＝67，μ＝47，所以S △P AB ＝47S △ABC ＝47×14＝8 (cm 2)，S △PBC ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－67＝2 (cm 2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm 2).例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式212222C A A sin cos -的取值范围．答案 解：（Ⅰ）∴ABC ∆为正三角形.（Ⅱ）212cos 2sin 32sin 2-+A A C ==1223A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<， ∴126sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，114264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.∴代数式232cos 2sin 32sin 2++A A C 的取值范围是144⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由题意，得OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1·OB →＋(ln x －y )·OC →，且A ，B ，C 三点共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＋(ln x －y )＝1，所以y ＝f (x )＝ln x ＋12x 2(x >0)．(2)因为f ′(x )＝1x ＋x ，所以|a －ln x |>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，即a <ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 或a >ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 恒成立．因为ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln x 2x 2＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2＋1在[1,2]上取最小值－ln 2，ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln(x 2＋1)在[1,2]上取最大值ln 5，所以a 的取值范围是(－∞，－ln 2)∪(ln 5，＋∞)．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为 5∶12．在四边形ABCD 中，AB→＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD→|BD →，则四边形ABCD的面积为____3____．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝__π4______. 4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是___[－6,1]_____．解析 由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.由λ2－m ＝cos 2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得－2≤λ2－m ≤2，又λ＝2m －2，则－2≤4(m －1)2－m ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－9m ＋2≤0，4m 2－9m ＋6≥0.解得14≤m ≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，故－6≤λm ≤1.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)＝_－49_______.解析 因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝__52______. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____2． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2× 2 8． 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C－lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是： ⑴⑵⑶9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC的__外______心．解析 如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0， 所以NM→⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 22 11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ． （1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,； （2）求△ABC 的面积．解析（1）OC OB OA 543-=+．两边平方，得222||25||1624||9OC OB OB OA OA =+⋅+，0=⋅∴OB OA ．同理可得，54-=⋅OCOB ，54-=⋅OC OB ．（2）由0=⋅OB OA ，可得，21||||21,=⋅=∴⊥∆OB OA S OB OA AOB ． 由54-=⋅OCOB ，得53sin ,54cos =∠∴-=∠BOC BOC ，103sin ||||21=∠⋅=∴∆BOC OC OB S BOC 同理求得其他三角形面积， 所以565210321=++=++=∆∆∆∆AOC BOC AOB ABC S S S S ． 12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA. 解析（1）f(x)=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 23322x x x x ππ--+=- ∴函数f(x)的最大值为13+,最小正周期π. （2）f(3C )=132sin 23C -=－41，∴23sin 3C =，∵C 为锐角， ∴233C π=，∴2C π=,∴sinA =cosB=31.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a .(1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．解析 (1) A ＝π3.(2)b ＋c ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.因为B ＋C ＝2π3，所以sin B ＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32.所以32cos B ＋32sin B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF→的最值．解析 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，是设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值13－43，(此时x 0＝0)，故PE →·PF →的最小值为12－4 3.。
2023北京重点校高一(上)期末数学汇编：向量的数量积与三角恒等变换章节综合
2023北京重点校高一（上）期末汇编 向量的数量积与三角恒等变换章节综合|2|AB AD +=（ D ．①④（秋北京高一北京师大附中校考期末）已知平面向量a ，b 是非零向量，2a =，()2a a b ⊥+，则向量b 在向量a 方向上的投影为（1−BD ．22023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知2a b ==，2a b ⋅=，则a b −=（ ） 1B D ．3或2二、填空题 2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形43a b −=__________.6．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量()1,1a =，非零向量b 满足a b a b +=−，请写出b 的一个坐标________．7．（2023秋·北京通州·高一统考期末）计算：2log sinlog 12π+=______．三、解答题 8．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）在ABC 中，D E ､为边BC AC ､上的点，且满足,BD CE m n BCEA==.(1)若ABC 为边长为，求AD BE ⋅；(2)若11,,32m n DE xAB yAC ===+，求x (3)若π,2,1,3A AB AC m n ∠====，求AD BE ⋅的最大值； 若将“D E ､为边BC AC ､上的点”改为“D E ､在ABC 的内部（包含边界），则AD BE ⋅是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围高一北京师大附中校考期末）已知函数(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移()()()F x f x g x =+.当130,24x ⎡∈⎢⎣tan15tan15；πtan 5m(1)若矩形ABCD 为正方形，求正方形(2)求矩形ABCD 面积的最大值．15．（2023秋·北京通州17．（2023秋·北京东城·高一统考期末）如图，单位圆被点1212,,,A A A 分为12等份，其中1(1,0)A .角α的始,,A中选择，写出所有满足要求的点）2122222|2|(2)441AB AD AB AD AB AB AD AD +=+=+⋅+=+25AB AD ∴+=故选：D. 2．D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项【分析】首先通过条件()2a a b ⊥+求得·2a b =−，然后根据数量积的运算公式求出·b cos θ，进而求解b 在a 方向上投影【详解】平面向量ab 、是非零向量，()22a a a b =⊥+，，()2·2?2?||2?42?a a b a a a b a a b a b ∴+=+=+=+0=，则·2a b =−.设a 与b 夹角为θ，···2a b a b cos θ==−，则2·1b cos aθ−==−， b ∴在a 方向上投影为1−.故选：A ．C【分析】根据数量积的运算律，即可求出. 【详解】因为()22222a b a b a b a b −=−=+−⋅2222=+2a b −=. C.【分析】由图知||1,||2,,45a b a b ==<>=︒，应用向量数量积的运算律求得24310a b −=，即可得结果【详解】由图知：||1,||2,,45a b a b ==<>=︒，则12cos45a b ⋅=⨯⨯︒222431624916241810a b b b a a ⋅−=−=−++=，则4310a b −=. 故答案为：10 1,1(答案不唯一)【分析】设出向量b 的坐标，根据题意可得0a b ⋅=，进而即得. 【详解】设向量(),b x y =，220x y +≠，a b a b +=−，可得222222a a b b a a b b +⋅+=−⋅+，0a b ∴⋅=，又()1,1a =，所以0x y +=，1x =，可得()1,1b =−， 所以向量b 的坐标可为1,1. 故答案为：1,1. 【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答2log sin log 12π+的中点，､AB AC 的夹角为60，()12AD AB AC =+，()122=−+BE AB AC ，计算AD BE ⋅即可；（2）若11,32m n ==，则距离是B 近的三等分点，E 近的AC 三等分点，则由2133=+=+DE DC CE BC AC 可得,x ，从而求出x +）11+==+CE AC n EAEA，()1=−+AD m AB mAC ，11=−++BE AB AC n ，且m ，由AD BE ⋅)1171++−+m m ，[]11,2+∈m ，令()[]13,1,2=+∈f x x x x ，由函数的单调性定义可得)13x x x=+在]1,2上单调递增，可求出AD BE ⋅的最大值；）以CB 的中点F 为原点，CB 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，，设)(),E m n D 在以B 为圆心，半径为，点E 在三角形ABC 特殊位置可得答案.）若ABC 为边长为BC AC 、的中点，､AB AC 的夹角为60，()12AD AB AC =+，()()()1112222=+=−+−=−+BE BA BC AB AC AB AB AC ， 所以()()124⋅=+⋅−+AD BE AB AC AB AC ()221113282244422⎛⎫=−−⋅+=⨯−−⨯⨯+=− ⎪⎝⎭AB AB AC AC ；,DE xAB yAC =+，则()212112333333=+=−=−−=−DE DC CE BC AC AC AB AC AC AB ， 所以12,33==−x y ，121333+=−=−x y ；3）=CE n EA，所以11++===+CE CE EA AC n EAEAEA()()1=+=+=+−=−+AD AB BD AB mBC AB m AC AB m AB mAC ，11=+=−++BE BA AE AB AC n ， 因为m n =，所以11=−++BE AB AC m ，且[]0,1m ∈， 所以()()111⎛⎫⋅=−+⋅−+⎪+⎝⎭AD BE m AB mAC AB AC m ()221113111−⎛⎫=−+−⋅+=+ ⎪+++⎝⎭m m m AB m AB AC AC m m m m )1171++−+m m ，[]11,2+∈m ， ()[]13,1,2=+∈x x x x，设1212x x ≤<≤，)()()31133⎛⎫−=+−+=− ⎪x f x x x x x时AD BE ⋅有最大值为)1,12==BDCE BC EA，()223+−=+n n 310+=n ，为圆心，半径为1的三角形ABC 都为所在边的中点，点E 在三角形点重合时，12⎛==− ⎝AD AH ，0=BE ， 所以0⋅=AD BE ，,112m n ==时，由（）32⋅=−AD BE ，故AD BE ⋅不是定值.210,30，，，⎡==∈∠=⎣AB BD BE ABE ，所以向量AB 与BE 的夹角为150，设DBE θ∠=，则030，θ⎡⎤∈⎣⎦，3cos 12，θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()⋅=+⋅=⋅+⋅AD BE AB BD BE AB BE BD BE3cos 2θ=−⋅+⋅AB BE BD BE ()3cos 3cos θθ−+=−+BE BE BE ，所以()33cos ,132θ⎡⎤−+∈−−⎢⎥⎣⎦，而0,3⎡⎤∈⎣⎦BE ()33cos ,02θ⎡⎤−+∈−⎢⎥⎣⎦BE ，所以32⎡⎤⋅∈−⎢⎣AD BE9．(1)()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)61,612⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由图象可得()f xtan153tan15=25α=tan15tan45+tan15tan151tan45tan15=−⋅，根据两角和的正切公式逆用，即可得出；，根据两角差的正余弦公式以及诱导公式可得tan15tan45+tan15tan151tan45tan15=−⋅()tan 45+15tan 603===； cos 0α≠.π2，所以3ππcos sin 105=，3ππsin cos 105=.()()0x f x ，cos 2)cos()ln(1x x θ−+++2ln(1cos 2)cos cos x x θ−+−化简得，ln(1cos 2)cos x x −+ππ42x ≤<时，π22x ≤AD BC =，QOP ∠=OA AD ∴=AB OB ∴=矩形ABCD 为正方形，AB ∴即cos θ−，2sin θ∴2sin cos θ+，2sin θ∴+04πθ<<∴正方形ABCD （2）设矩形sin cos θ=15．(1)75；(2)72 cos410πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，【详解】2ππ126=，所以终边经过π1112,Z 6i i i α的始边与x 轴的非负半轴重合，若的终边经过点5A ，则2π3α=， 2πcos 3α=ππsin sin cos sin 33ααα⎛=+⋅ ⎝，即1sin sin 2αα=⋅+4π3α=即ππ1112,Z 336i i i i 或4ππ1112,Z 936i i i i 经过点39,A A故答案为：12−；39,A A。
题型4：向量与三角形三心问题
题型4：向量与三角形三心问题一．选择题（共10小题）1．（2013•临淄区校级模拟）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，三角形的重心为G.aGA →+bGB →+cGC →=0→，则∠A=（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°2．（2015•安徽四模）已知点G 是△ABC 的重心，AG →=λAB +μAC →（ λ，μ∈R ），若∠A=120°，AB ⋅AC →=−2，则|AG →|的最小值是（ ）A ．√33B ．√22 C ．23D ．343．（2013春•南关区校级期末）O 是△ABC 的内切圆的圆心，|AB →|=5，|BC →|=4，|CA →|=3，则下列结论正确的是（ ）A ．|OC →|＜|OA →|＜|OB →| B ．|OC →|=|OA →|=|OB →| C ．|OC →|=|OA →|＜|OB →| D ．|OC →|＜|OA →|=|OB →|4．（2017•香坊区校级二模）已知Rt △ABC ，AB=3，BC=4，CA=5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且AP →=xAB →+yAC →，则x +y 的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．√176 D ．535．（2017•雁峰区校级模拟）在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足|OA →|=|OB →|=|OC →|=2，OA →⋅(AC |AC →|−AB|AB →|)=OB →⋅(BC |BC →|−BA|BA →|)=0，动点P ，M 满足|AP →|=1，PM →=MC →，则|BM →|2的最大值是（ ）A ．434B ．494C ．374D ．3726．（2017春•巫溪县校级期中）若点M 是△ABC 的重心，则下列向量中与AB →共线的是（ ）A ．AB →+BC →+AC →B ．AM →+MB →+BC →C ．AM →+BM →+CM →D ．3AM →+AC →7．（2017•阳东县校级模拟）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ．C 所对的边，点M 为△ABC 的重心．若a MA →+b MB →+√33c MC →=0，则C=（ ）A ．π4B ．π2C ．5π6D ．2π38．（2017•上饶二模）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，O 是△ABC 外接圆的圆心，若√2αcosB =√2c −b ，且cosB sinCAB →+cosC sinBAC →=mAO →，则m 的值是（ ）A ．√24B ．√22C ．√2D ．2√29．（2014秋•哈尔滨校级月考）已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，tanA =√22，若cosB sinC AB →+cosC sinBAC →=2mAO →，则m 的值为（ ） A ．1 B ．√33 C ．√36 D ．√31210．（2016•太原校级模拟）设O 是△ABC 的外接圆圆心，且OA →+√3OB →+2OC →=0→，则∠AOC=（ ）A ．π3B ．2π3 C ．π2D ．5π6题型4：向量与三角形三心问题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•临淄区校级模拟）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，三角形的重心为G.aGA →+bGB →+cGC →=0→，则∠A=（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°【解答】解：由三角形的重心性质可得GA →+GB →+GC →=0→∵.aGA →+bGB →+cGC →=0→∴aGA →+bGB →−c(GA →+GB →)=0→∴(a −c)GA →+(b −c)GB →=0→∵GA →与GB →不共线∴a ﹣c=0，b ﹣c=0即a=b=c ∴三角形为等边三角形，∠A=60° 故选：B ．2．（2015•安徽四模）已知点G 是△ABC 的重心，AG →=λAB +μAC →（ λ，μ∈R ），若∠A=120°，AB ⋅AC →=−2，则|AG →|的最小值是（ ）A ．√33B ．√22 C ．23D ．34【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，AG →=23AD →=13(AB →+AC →) ∵∠A=120°，AB ⋅AC →=−2，则根据向量的数量积的定义可得，AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos120°=−2 设|AB →|=x ，|AC →|=y∴|AB →||AC →|=4 即xy=4|AG →|=13|AB →+AC →|=13√(AB →+AC →)2=13√AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →=13√x 2+y 2−4 x 2+y 2≥2xy=8（当且仅当x=y 取等号）∴|AG →|≥23即|AG →|的最小值为23故选：C ．3．（2013春•南关区校级期末）O 是△ABC 的内切圆的圆心，|AB →|=5，|BC →|=4，|CA →|=3，则下列结论正确的是（ ）A ．|OC →|＜|OA →|＜|OB →| B ．|OC →|=|OA →|=|OB →| C ．|OC →|=|OA →|＜|OB →| D ．|OC →|＜|OA →|=|OB →|【解答】解：∵|AB →|=5，|BC →|=4，|CA →|=3， ∴△ABC 的内切圆半径为4+3−52=1 在Rt △OCE 中，OE=CE=1， ∴|OC →|=√12+12=√2在Rt △OBD 中，OD=1，BD=4﹣1=3 ∴|OB →|=√12+(4−1)2=√10 在Rt △OAE 中，OE=1，AE=3﹣1=2∴|OA →|=√12+(3−1)2=√5 故|OC →|＜|OA →|＜|OB →| 故选：A ．4．（2017•香坊区校级二模）已知Rt △ABC ，AB=3，BC=4，CA=5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且AP →=xAB →+yAC →，则x +y 的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．√176D ．53【解答】解：以AC 的中点为原点，以ACx 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2=2.52，设P 的坐标为（52cosθ，52sinθ），过点B 作BD 垂直x 轴，∵sinA=45，AB=3∴BD=ABsinA=125，AD=AB•cosA=35×3=95，∴OD=AO ﹣AD=2.5﹣95=710，∴B （﹣710，125），∵A （﹣52，0），C （52，0）∴AB →=（95，125），AC →=（5，0），AP →=（52cosθ+52，52sinθ）∵AP →=x AB →+y AC →∴（52cosθ+52，52sinθ）=x （95，125）+y （5，0）=（95x +5y ，125x ）∴52cosθ+52=95x +5y ，52sinθ=125x ，∴y=12cosθ﹣38sinθ+12，x=2524sinθ，∴x +y=12cosθ+23sinθ+12=56sin （θ+φ）+12，其中sinφ=35，cosφ=45，当sin （θ+φ）=1时，x +y 有最大值，最大值为56+12=43，故选：B ．5．（2017•雁峰区校级模拟）在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足|OA →|=|OB →|=|OC →|=2，OA →⋅(AC |AC →|−AB|AB →|)=OB →⋅(BC |BC →|−BA|BA →|)=0，动点P ，M 满足|AP →|=1，PM →=MC →，则|BM →|2的最大值是（ ）A ．434B ．494C ．374D ．372【解答】解：由|OA →|=|OB →|=|OC →|=2知，O 是△ABC 的外心； OA →⋅(AC |AC →|−AB|AB →|)=OB →⋅(BC |BC →|−BA|BA →|)=0， ∴OA →⋅AC →|AC →|﹣OA →⋅AB →|AB →|=OB →⋅BC →|BC →|﹣OB →⋅BA→|BA →|=0，当OA →⋅AC →|AC →|﹣OA →⋅AB →|AB →|=0时，OA →⋅AC →|AC →|=OA →⋅AB →|AB →|，即|OA →|×|AC →|×cos∠DAC |AC →|=|OA →|×|AB →|×cos∠DAB |AB →|，∴cos ∠DAC=cos ∠DAB ∴∠DAC=∠DAB ，∴O 点在三角形的角A 平分线上；同理，O 点在三角形的角B ，角C 平分线上； ∴点定O 的一定是△ABC 的内心，如图1所示； ∴△ABC 是正三角形，且边长为√32=2√3；如图2所示，建立平面直角坐标系；则B （0，0），C （2√3，0），A （√3，3）；∵M 满足|AP →|=1，∴点P 的轨迹方程为：(x −√3)2+（y ﹣3）2=1； 令x=√3+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π），由PM →=MC →，得M （3√32+12cosθ，32+12sinθ），∴|BM →|2=(3√32+12cosθ)2+(32+12sinθ)2=374+3sin （θ+π3）≤494；∴|BM →|2的最大值是494．故选：B ．6．（2017春•巫溪县校级期中）若点M 是△ABC 的重心，则下列向量中与AB →共线的是（ ）A ．AB →+BC →+AC →B ．AM →+MB →+BC →C ．AM →+BM →+CM →D ．3AM →+AC →【解答】解：∵点M 是△ABC 的重心， 设D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 的中点，∴AM →=23AD →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →)，同理BM →=13(BA →+BC →)， CM →=13(CB →+CA →)，∴AM →+BM →+CM →=13(AB →+AC →+BA →+BC →+CB →+CA →)=0→，∵零向量与任意的向量共线， 故选：C ．7．（2017•阳东县校级模拟）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ．C 所对的边，点M 为△ABC 的重心．若a MA →+b MB →+√33c MC →=0，则C=（ ）A ．π4B ．π2C ．5π6D ．2π3【解答】解：∵点M 为△ABC 的重心，则MA →+MB →+MC →=0→， ∴MA →=−MB →−MC →，∵a MA →+b MB →+√33c MC →=0→，∴a(−MB →−MC →)+bMB →+√33cMC →=0→， 即(b −a)MB →+(√33c −a)MC →=0→．∵MB →与MC →不共线，∴b ﹣a=0，√33c −a =0．得a ：b ：√33c=1：1：1．令a=1，b=1，c=√3，利用余弦定理可得cosC=a 2+b 2−c 22ab=1+1−32×1×1=−12．∴C=2π3．故选：D ．8．（2017•上饶二模）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，O 是△ABC 外接圆的圆心，若√2αcosB =√2c −b ，且cosB sinCAB →+cosC sinBAC →=mAO →，则m 的值是（ ）A ．√24B ．√22C ．√2D ．2√2【解答】解：∵√2αcosB =√2c −b ，∴√2sinAcosB =√2sin(A +B)−sinB⇒√2sinAcosB =√2sinAcosB +√2cosAsinB −sinB⇒√2cosAsinB −sinB =0，∴cosA=√22，得A=π4．∵O 是△ABC 外接圆的圆心，∴AO →⋅AB →=12AB →2=12c 2由cosB sinC AB →+cosC sinB AC →=mAO →，得cosB snC AB →2+cosC sinB AC →⋅AB →=mAO →⋅AB →， ⇒cosB sinC c 2+cosC sinB bccosA =m ×12c 2⇒cosB sinC c +cosC sinB bcosA =12mc ⇒cosB +cosAcosC =12msinC∴m=2×cosB+cosAcosC sinC =2×−cos(A+C)+cosAcosCsinC=2×sinAsinC sinC=2sinA =√2．故选：C ．9．（2014秋•哈尔滨校级月考）已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，tanA =√22，若cosB sinC AB →+cosC sinBAC →=2mAO →，则m 的值为（ ） A ．1 B ．√33 C ．√36 D ．√312【解答】解：如图所示，取AB 的中点D ，连接OA ，OD ，由三角形外接圆的性质可得OD ⊥AB ，∴DO →•AB →=0． ∵AO →=AD →+DO →入已知若cosB sinCAB →+cosC sinBAC →=2mAO →=2m （AD →+DO →），两边与作数量积得到cosBsinCAB →2+cosCsinB•AC →⋅AB →=2m AD →•AB →+2m DO →•AB →， ∴cosB sinC sin 2c +cosC sinB •bccosA=2m•12c 2=mc 2． 由正弦定理可得cosB sinC sin 2c +cosCsinB •sinBsinCcosA=msin 2C ．化为cosB +cosCcosA=msinC ，∵cosB=﹣cos （A +C ）=﹣cosAcosC +sinAsinC ， ∴sinAsinC=msinC ， ∴m=sinA ．∵tanA=√22，∴sinA ═√3=√33．故选：B ．10．（2016•太原校级模拟）设O 是△ABC 的外接圆圆心，且OA →+√3OB →+2OC →=0→，则∠AOC=（ ）A ．π3B ．2π3C ．π2D ．5π6【解答】解：设圆O 的半径为r ，则：由OA →+√3OB →+2OC →=0→得，OA →+2OC →=−√3OB →； ∴(OA →+2OC →)2=(−√3OB →)2； ∴OA →2+4OC →2+4OA →⋅OC →=3OB →2； 即r 2+4r 2+4r 2cos ∠AOC=3r 2；∴cos∠AOC =−12； ∴∠AOC =2π3．故选：B ．第11页（共11页）。
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向量与三角综合题选1．将函数y=f (x )·cos x 的图象按向量a =（4π，1）平移，得到函数y=2sin 2x 的图象那么函数f (x )可以是（ D ） A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x2．已知=a )sin (cos αα，，=b )sin (cos ββ，（πβα<<<0），且|λa μ+b|=|μa λ-b|（0≠λμ），则=-αβ 2π．3．已知向量求且],2,0[),2sin,2(cos),23sin,23(cos π∈-==x x x b x x a①||b a b a +⋅及;②若3()2||,2f x a b a b λλ=⋅-+- 的最小值是求的值.解：（1）x x x x x b a 2cos 2sin23sin2cos23cos=⋅-⋅=⋅x x x x x b a 222c o s 22c o s 22)2s i n 23(s i n )23c o s 23(c o s ||=+=-++=+x b a x x c o s 2||,0c o s ],2,0[=+∴>∴∈π（2）2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即.1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π①当0<λ时，当县仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得21,23212=-=--λλ解得；③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3142λ-=-解得85=λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，21=λ为所求。
4．平面直角坐标系内有点P ].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x（Ⅰ）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （Ⅱ）求)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）)(cos1cos 2cos ,cos1||||,cos 222x f xx x OQ OP x OQ OP =+==∴+==⋅θ（Ⅱ）.cos 1cos 2cos1cos 2)(cos 2xx xx x f +=+==θ ]1,22[cos ],4,4[∈∴-∈x x ππ.322)(,1)(322,223c o s 1c o s 2m i n =≤≤≤+≤x f x f xx .5．设)sin ,cos 1(αα+=a ，)sin ,cos 1(ββ-=b ，),0()0,1(πα∈=c)2,(ππβ∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-，求4sinβα-的值．（本题12分）．解：)22c o s (2s i n 2s i n22s i n 2c o s 22c o s 2c o s22c o s 2c o s 2s i n 2||2c o s2||),2(2),2,0(2)2,(),,0()2cos,2(sin 2sin2)2cos2sin2,2sin2()2sin ,2(cos 2cos 2)2cos 2sin 2,2cos 2(2212122πββββθαθαααθβαππβπαππβπαββββββαααααα-=====∴==⋅===∈∈∴∈∈====c a b a b a 故21)6s i n (4s i n3262226222220212-=-=-∴-=-∴=+-⇒=--=∴<-<πβαπβαππβαπθθπβθππβ又6．已知函数a b x b x x a x f (sin2cos sin 2)(2+⋅-⋅⋅=、b 为常数，且0<a ）的图象过点（3,0），且函数)(x f 的最大值为2.（1）求函数)(x f y =的解析式，并写出其单调递增区间；（2）若函数)(x f y =的图象按向量)0,(m p =作移动距离最小的平移后，使所得的图象关于y 轴对称，求出向量p 的坐标及平移后的图象对应的函数解析式解：（1）,2cos 2sin )(x b x a x f ⋅+=12,33)0(22-==+==a ba b f 解得又有得所以函数)(x f y =的解析式是)32sin(22cos 32sin )(π--=+-=x x x x f)(x f 的单调递增区间是)](1211,125[Z k k k ∈++ππππ（2）∵平移后的图象对应的函数解析式是]3)(2sin[2π---=m x y图象关于y 轴对称，即)322sin(2π---=m x y 为偶函数， )322sin(2)322sin(2ππ---=----∴m x m xR x m x m x ∈--=---对即)322sin()322sin(ππ恒成立)(,2)322()322(Z k k m x m x ∈+=--+---∴πππππππππ1252,2324-⋅-=+=--∴k m k m ，,1212521min πππ=-=-=∴m k 时当故p )0,12(π=，图象对应的函数解析式为x x y 2cos )22sin(2=--=π7．已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），=b （2sin x ，21），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集．解析：设f （x ）的二次项系数为m ，其图象上两点为（1-x ，1y ）、B （1＋x ，2y ）因为12)1()1(=++-x x ，)1()1(x f x f +=-，所以21y y =，由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若m ＞0，则x ≥1时，f （x ）是增函数，若m ＜0，则x ≥1时，f （x ）是减函数．∵ x (sin =⋅b a ，x sin 2()2⋅，11sin2)212≥+=x ，x 2(cos =⋅d c ，1()1⋅，)2122cos ≥+=x ，∴ 当0>m 时，)12(cos )1sin 2()()(2+>+⇔>⋅⋅x f x f f f d c b a 1sin 22+⇔x02cos 222cos 12cos 122cos <⇔+>+-⇔+>x x x x 02cos <⇔x 2ππ2+⇔k23ππ22+<<k x ，Z ∈k ．∵ π0≤≤x ， ∴ 4π34π<<x ．当0<m 时，同理可得4π0<≤x 或π4π3≤<x ．综上：)()(d c b a ⋅⋅>f f 的解集是当0>m 时，为}4π34π|{<<x x ；当0<m 时，为4π0|{<≤x x ，或}π4π3≤<x ．8．平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x P（1）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f (x ); （2）求θ的最值.解：（1）θcos ||||OQ OP OQ OP ⋅=⋅]4,4[c o s 1c o s 2)(,c o s 1c o s 21c o s c o s 11c o s c o s 1|c o s 2222ππθ-∈+=∴+=++⋅+⋅==∴x xx x f xx x xx x（2）)(12)(],1,22[,cos 2t g tt x f t t x =+=∈=则则0,0,322a r c c o s ,40,322a r c c o s ],,0[,1cos 322322)22()(,1)1()(]1,22[)(,122)(,0)(,)1,22()1()1)(1(2)(min max min max min max 22===±=∴==∈≤≤∴====∴∴==>'∈+-+-'θθπθθπθθ时当时当故又上是增函数在处连续及在又时显然又x x g t g g t g t g t t t g t g t t t t t g9．如图：已知△OFQ 的面积为62，且m FQ OF =⋅，（1）若646<<m 时，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设c OF =||，2)146(c m -=时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程．（1） 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅⋅，，m FQ OF FQ OF θθcos ||||62)πsin(||||21所以m 64t a n =θ，因为646<<m ，所以4tan 1<<θ，则4arctan 4π<<θ． （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为12222=-by ax ，（a ＞0，b ＞0），Q 点的坐标为（1x ，1y ），则FQ ＝（c x -1，1y ），因为△OFQ 的面积62||211=⋅y OF ，所以cy 641=，又由=⋅FQOF（c ，0）（c x -1，1y ）21)146()(c c c x -=-=，所以c x 461=，128396||222121≥+=+=c cyx OQ ，当且仅当c ＝4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标为（6，6），由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-，，161662222b a b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==，，12422b a 故所求的方程为112422=-y x 10． 已知向量33cos ,sin )22x x a =（，cos ,sin )22x x b =- （，且[,]2x ππ∈ (1) 求a b ⋅ 及||a b + ；(2) 求函数()f x =a b ⋅ ＋||a b +的最大值，并求使 函数 取得最大值的x 的值。
解（1）3coscos 22x x a b ⋅= －3sin sin 22x x ＝cos 2x||a b +＝＝2|cos x |∵[,]2x ππ∈∴ ||a b +＝－2cos x（2）()f x =a b ⋅ ＋||a b +＝cos 2x －2cos x＝22cos 2cos 1x x -- ＝2132(cos )22--∵[,]2x ππ∈∴－1≤cos x ≤0 ∴－1≤()f x ≤3∴当cos x ＝－1时 m ax ()f x ＝3，此时x π= （∵[,]2x ππ∈ ）。