向量与三角函数综合精彩试题
三角函数与平面向量测试卷(有答案)
三角函数与平面向量测试卷图象是函数个个个个）上是增函数的个数是，（，且在其中周期在四个函数个单位右移个单位左移个单位右移个单位左移的图象的图象，只需将要得到函数的是下列各式中值为一、选择题)2,230(cos |tan |.44.3.2.1.20|,|sin )4(2cos 2tan )3(|sin |)2(sin )1(.34.4.8.8.2sin )42cos(.25.22tan 15.22tan .26cos 1.12sin 12cos .15cos 15sin .21.12222ππππππππππππ≠<≤⋅===-====-=︒-︒--︒︒x x x x y D C B A T x y x x y x y x y D C B A x y x y D C B A)22,2.()2,2.()22,22.()22,232.(0)(,cos )(],0[),()()(.7},434|.{},44|.{},45242|.{},42432|.{,cos sin .63.3.6..)3sin()3cos(3)(.522ππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππθθθ+++-+->=∈-=+∈+<<+∈+<<-∈+<<+∈+<<->-++---=k k D k k C k k B k k A x f x x f x x f x f x f R Z k k x k x D Z k k x k x C Z k k x k x B Z k k x k x A x x x k D k C k B k A x x x f 集是的解则时解析为若满足上的偶函数定义在的取值范围是则若等于是奇函数，则函数的值、，求常数，若函数值域为函数已知的值域求函数三、解答题垂直，则与，要使的夹角为与，若则，的边长为已知正方形的最小正周期是④函数是奇函数③函数的单调增区间是②函数，的最大值是则①若下列命题正确的是则若二、填空题等于，那么夹角为均为单位向量，它们的、已知夹角为与∥则已知其他等于则已知b a x b a x a x a y a x x y k a a kb b a b a c b a c AC b BC a AB AB x x y x x xx x f Z k k k x y x y y x D C B A b a b a b a D ba Cb a b a B b a A b a D C B A b a b a b a ]15[],2,0[,22sin 32cos ,0.1633.1545,2||2||.14||,,,1.13sin 12tan cos sin 1cos sin 1)()](83,8[)24sin(34cos sin ,31sin sin .122cos ,53)2sin(.114.7.10.13.|3|60.10..)().(.),sin ,(cos )sin ,(cos .9.6563.6563.6563.cos ),16,8(),8,2(.82-∈++--=≠-+==-︒===++===-=++-+=∈+--=-=+==++︒+-⊥+⊥==±->⋅<-=--=+πππππππααπβαββαα。
三角函数与向量综合测试
三角函数与向量综合测试一、选择题：1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C2．向量a ,b 的坐标分别为(1,-1),(2,3)，则a ﹒b = （ ）A.5B.4C.-2D.-13．已知sin A =21, 那么cos(A -23π)= （ ） A.-21 B. 21 C.-23 D. 23 4.已知角α的终边经过点（3，-4），则sin α+cos α的值为 （ ） A.-51 B. 51 C. ±51 D. ±51或±57 5、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－23166、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 ( )A ．2B 2C ．12 D ． 12-7、要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位8 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称 11．若向量()1,1a = ，()1,1b =- ，()1,2c =- ，则c = ( ).A 1322a b -+ .B 1322a b - .C 3122a b - .D 3122a b -+ 12. 已知向量(1,2)a = ，2(2,)b m = ，若0=⋅→→b a ，则 m 的值为 ( )A. 2或-1B. -2或1C. ±2D. ±1二、填空题13.向量 a ,b 满足︱a ︱=3,︱b ︱=4,︱a +b ︱=5,则︱a -b ︱=_____14．cos 2x+cos 2(x+1200)+cos 2(x+2400)的值是________15. 已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5, a 与b 的夹角为60°，且(k a +b )⊥(a -2b ), 则k = ___16、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 三、解答题：17.求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18.已知3tan 2απαπ=<<,求sin cos αα-的值.19.已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
三角函数与平面向量综合题(合编打印)
三角函数与平面向量题型归类解析1.考查三角函数的化简或求值2.考查三角函数中的求角问题3. 考查三角形的边长或角的运算4. 考查三角函数的最值与向量运算5. 考查三角函数解析式的求法一、结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．【解答】因为β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，故βπ=．因为a b m ⋅=，又cos tan()24a b βαα⋅=⋅+-，故cos tan()24m βαα⋅+=+．由于04πα<<，所以22cos sin 2()cos sin ααβαα++=-22cos sin(22)cos sin ααπαα++-22cos sin 2cos sin αααα+=-2cos (cos sin )cos sin ααααα+=-1tan 2cos 1tan ααα+=⋅-cos tan()24m βαα=⋅+=+．【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。
【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.（II ）由函数2sin()6y x ππ=+及其图像，得115(,0),(,2),(,0),636M P N -- 所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=，故,PM PN <>=15arccos 17.【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=⋅求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题广东省珠海市斗门区第一中学 于发智 519100 jianghua20011628@一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sin θθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( ) A.21 B.32 C.22 D.23 6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 7.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.B ACD③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 3632sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45 C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
【免费下载】经典试题系列 三角函数与向量共59题
最新经典试题系列----三角函数与向量1、在ABC ∆中，，．5cos 13A =-4sin 5B =（Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC ∆的面积．2、设函数f(x)=q p ⋅，其中向量)sin cos ,cos 2()sin cos ,(sin x x x q x x x p -=+= ，,R x ∈.(1) 求f(3π)的值及f(x)的最大值。
(2) 求函数f(x)的单调递增区间3、已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且．222a c b ac +-=（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的值． B 3c a =tan A 4、已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围 5、在△ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，23)4tan(-=-C π（1）求角C 的大小； （2）若ABC 的面积。
∆=+=求且,5,7b a c 6、已知函数()212cos ,2f x x x x =--∈R.（I ）求函数的最小值和最小正周期；()f x （II ）设的内角的对边分别为，且，若向量ABC ∆A B C 、、a b c、、()0c f C ==与向量共线，求的值.()1,sin A =m ()2,sin B =n ,a b 7、在中,分别为内角所对的边，且满足.ABC ∆,,a b c ,,A BC sin 2A A =(Ⅰ) 求的大小；A (Ⅱ) 现给出三个条件：①； ②；③.2a =45B =︒c =试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积.(只需写出一ABC ∆ABC ∆个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分)8、已知函数.2()sin cos 222x x x f x =+（1）将()f x 写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC 的三边、、满足，且边所对的角为x ，试求角x 的范围及此时函数a b c 2b ac =b ()f x 的值域.9、设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.（1）求ϕ.的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C.10、在ABC ∆中，c b a 、、分别为角A B C 、、的对边．已知)2sin ,2(cosC C = ，)2sin ,2(cos C C n -=，且12m n ⋅= .(1) 求角C ； (2) 若27=c ，ABC ∆的面积233=S ，求b a +的值.11、已知向量，其中．()11,,2,cos 2sin sin a b x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πx （1）试判断向量与能否平行，并说明理由？ （2）求函数的最小值．a b ()f x =A a b 12、已知向量3(sin ,),(cos ,1).2a x b x ==- （1）当时，求的值； （2）（文科）求的值域； //a b 22cos sin 2x x -b b a x f ⋅+=)()(（3）（理科）求在上的值域．b b a x f ⋅+=)()(,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13、在1113cos ,cos 1414ABC A B ∆==中，（I ）求cos C 的值；（Ⅱ）若||||CA CB AB += 求14、设a 、b 、c 分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，向量，，,sin )m A B =(cos )n B A = 若.1cos()m n A B ⋅=++ （1）求角C 的大小； （2）若，ABC 的面积.4a b +=c =15、已知向量，且与向量所成角为，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角。
向量和三角函数综合题
向量和三角函数综合题引言向量和三角函数是数学中常见且重要的概念，它们在物理学、几何学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍向量和三角函数的基本概念和性质，并通过一些综合题目来加深理解和应用。
向量的基本概念什么是向量向量是由大小和方向共同决定的量，可以用有向线段表示，其中起点和终点分别称为向量的始点和终点。
通常用小写字母表示向量，如a、b等。
向量的表示方法向量可以用矩阵或坐标表示。
如果一个向量在二维坐标系中，可以用二维列向量表示；如果一个向量在三维坐标系中，可以用三维列向量表示。
向量的运算向量之间可以进行加法、减法和数量乘法。
向量的加法和减法可以通过将向量的始点与终点相连得到，而数量乘法就是将向量的长度进行比例缩放。
向量的数量特征向量的数量特征包括模长、方向角和方向余弦。
模长表示向量的长度，方向角表示向量与正方向的夹角，而方向余弦就是向量的方向角的余弦值。
三角函数的基本概念什么是三角函数三角函数是描述角度关系的函数，主要包括正弦、余弦和正切函数。
它们在三角形的计算和周期性变化的问题中经常出现。
正弦函数正弦函数在数学上表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的值域在[-1, 1]之间，当x为0、π、2π等整数倍的π时，函数的值为0，这也是函数图像上的极值点。
余弦函数余弦函数在数学上表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的值域也在[-1, 1]之间，当x为π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π/2时，函数的值为0，极值点出现在函数图像的波峰和波谷处。
正切函数正切函数在数学上表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的值域为全体实数，当x为π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π/2时，函数没有定义。
三角函数的性质三角函数有很多重要的性质，包括周期性、奇偶性、和差公式、倍角公式、半角公式等。
这些性质在计算中经常用到，对于解题非常有帮助。
向量和三角函数的综合应用向量与三角函数的关系向量和三角函数在很多应用中是密切相关的。
平面向量及三角函数测试题
平面向量及三角函数测试题一、单选题1．如图，点 是平行四边形 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知 的边 上有一点 满足 ，则 可表示为（ ） A ．B ．C ．D ．3． 化简后等于 A ．B ．C ．D ．4．有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB 与CD 是共线的向量，则点A B C D ，，，必在同一条直线上； ③若=a b ，则=a b 或=-a b ④若=0a b ，则=0a 或=0b ； 其中正确结论的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形 中， 是两条对角线 的交点，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知 中， ， ， 为 边上的中点，则 ( ) A ．0B ．25C ．50D ．1007．在 中， ，若 ， ，则 （ ）A ．B ．C．D．8．已知向量，，.若，则实数的值为（）A．B．C．D．9．已知向量，且，则实数（）A．B．C．D．10．已知向量，，，则A．A、B、C三点共线B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线11．设，向量，，且，则( )A．0 B．1 C．2 D．-212．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．13．若两个非零向量满足，则向量与的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．14．设向量满足,则( )A．6B．C．10D．15．已知向量，，且，则m=( )A．−8B．−6C．6 D．816．向量,若，则（）A．B．C．D．17．若，则的值为A．B．C．D．18．已知三角形内角A满足，则的值为（）A．B．C．D．19．已知，且，则（）A．B．C．D．20．已知，则=A．B．C．D．21．等于（）A．B．C．D．22．函数的最大值为A．2B．C．D．1 23．已知，，则（）A．B．C．D．24．已知，那么的值为（）A．B．C．D．25．已知，，则A．B．C．D．26．(2015新课标全国Ⅰ理科)=A．B．C．D．27．（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A．B．C．D．28．若，则（）A．B．C．D．029．的值为（）A．B．C．D．1二、填空题30．已知，，，则向量与向量的夹角为_______________.31．已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，则 __________．32．已知 ，则 __________． 33．（2018年全国卷II 文）已知，则 __________． 34．已知 为第二象限角，，则 ________三、解答题35．已知两个非零向量 和 不共线， = ， = ， = ． （1）若2= ，求k 的值； （2）若A 、B 、C 三点共线，求k 的值． 36．已知 ，求： （1）．（2）4sin 2a ﹣3sinacosa ﹣5cos 2a ．37．已知函数 . （1）求的值；（2）将函数 的图象沿 轴向右平移个单位长度，得到函数 的图象，求 在上的最大值和最小值.38．已知 ， 为锐角，，． Ⅰ 求 的值； Ⅱ 的值．39．已知，且 为第二象限角.（1）求 的值； （2）求的值.40．已知函数()2cos cos f x x x x +．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.参考答案1．C【解析】中，中，中，故选2．A【解析】【分析】利用相加加法和减法的运算，将向量转化到两个方向上，化简后得出正确的结论. 【详解】画出图像如下图所示，故，故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量减法运算，属于基础题.3．B【解析】【分析】利用向量的三角形法则即可得出．【详解】，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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ABCDF向量与三角函数综合试题1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ）A.3πB.3π2C. 2πD.6π2．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（ B ）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2+y 2=1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(34，－32)，则OP ·OQ 的值是（ A ）A ．1825B ．925C ．2D ．9164．R t b t a u b a ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 00，则|u |的最小值是B A. 2 B.22 C. 1 D. 215．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-则的最大值是（ C ） A ．1 B ．3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =,向量(2,2)OC =,向量(2cos ,2sin )CA αα=,则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ D ） A ．[0,]4πB ．5[,]412ππC ．5[,]122ππD ．5[,]1212ππ7．已知向量(1,1),(1,1),(2cos ,2sin )a b c θθ==-=,实数,m n 满足ma nb c +=,则22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ）A ．21-B ．1C ．2D ．322-8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE 的值是（ B ）B ．） （ ）A ．34-B ．89-C ．14-D ．不确定9．已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3(,)22ππα∈，若1AC BC ⋅=-，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为（ B ） A ．59-B ．95- C ．2D ．2-10.在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．若•=1，则AB 的长为（ C ） A ．B ．C ．D ．1 解：如图：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB 的长为．11．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则→→-b a 的最大值是 2 ．12．已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+且21x y +=，AOB ∠是钝角，若()||f t OA tOB =-的最小值为23，则||OC 的最小值是 。
13．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.214．已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R c b a ∈=-==ααα，实数,m n 满足,ma nb c +=则22(3)m n -+的最大值为 1615．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则DM AP •的取值范围是 ．[12-，1] 16．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B C 、不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ．125π17.已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，=x+y，且2x+10y=5，则边BC 的长为 4 ．解：分别取AB ，AC 的中点为D ，E ，并连接OD ，OE ，根据条件有：OD ⊥AB ，OE ⊥AC ； 在Rt △OAD 中，cos ∠OAD===；∴=；同理可得，；∴=36x+60ycos ∠BAC ① =60xcos ∠BAC+100y ②又2x+10y=5 ③ ∴由①②③解得cos ∠BAC=； 由余弦定理得：，∴BC=．故答案为：．18.已知向量=（cosA ，﹣sinA ），=（cosB ，sinB ），•=cos2C ，其中A 、B 、C 为△ABC的内角．（Ⅰ）求角C 的大小（Ⅱ）若AB=6，且，求AC 、BC 的长．解：（Ⅰ）∵=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），∴•=cos2C，即cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，…（2分）化简得：2cos2C+cosC﹣1=0，…（4分）故cosC=（cosC=﹣1舍去）∵C∈（0，π），∴C=．…（7分）（Ⅱ）∵，∴•cos=36，即•=36．①…（9分）由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=36，化简得：AC+BC=12 ②…（12分）联解①②，可得AC=BC=6．19．已知向量，向量与向量的夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围．解：（1）设．由，得x+y=﹣1①又向量与向量的夹角为得=，即x2+y2=1②由①、②解得或，∴或．…（5分）（2）结合（1）由向量与共线知；由A、B、C依次成等差数列知．…（7分）∴，∴==．…（10分）∵，∴，∴，∴，∴．…（12分）20.已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，a=且b+c=3，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），∴函数f（x）=•﹣3=﹣3==．故函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（A）=1得，，即=．∵0＜A＜π，∴，∴=，解得A=．由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2abcosA=（b+c）2﹣3bc，∵a=且b+c=3，∴3=32﹣3bc，解得bc=2．∴==．21.已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．∵，∴，…（2分）∴，∴tanA=2．…（4分）∴．…（5分）（2），即，…（6分）∵tanA=2，∴…（7分），∴，解得．…（9分）∴sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB=．…（11分）由正弦定理知：，可推得…（13分）∴．…（14分）22．设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈，使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(1).求)(θf m =的关系式;(2).若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 解:(1)∵d c ⊥,且120===⋅b a b a ，∴0)tan 3(tan232=-+-=⋅b a m d c θθ∴)2,2(),tan 3(tan 41)(3ππθθθθ-∈-==f m (2)设θtan =t ,又∵]3,6[ππθ-∈，∴]3,33[-∈t ，则)3(41)(3t t t g m -== )1(43)(''2-==t t g m 令0)('=t g 得1-=t (舍去) 1=t∴)1,33(-∈t 时0)('<t g ,)3,1(∈t 时0)('>t g ,∴1=t 时,即4πθ=时， )1(g 为极小值也是最小值,)(t g 最小值为21-.23.设向量33cos ,sin 22a θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos,sin22b θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a b a b⋅+的最大值和最小值；（2）若3ka b a kb +=-，求实数k 的取值范围.。