向量与三角函数综合精彩试题

A

B

C

D

F

向量与三角函数综合试题

1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ）

A.3π

B.3π2

C. 2π

D.6π

2．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2

λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是

（ B ）

A ．2>λ或2-<λ

B ．2>λ或2-<λ

C ．22<

<-λ

D ．22<<-λ

3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2

+y 2

=1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3

4，

－3

2)，则OP ·OQ 的值是

（ A ）

A ．18

25

B ．9

25

C ．2

D ．9

16

4．R t b t a u b a ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0

0，则|u |的最小值是B A. 2 B.

22 C. 1 D. 2

1

5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-则的最大值是（ C ） A ．1 B ．3 C ．3 D ．23

6．已知向量(2,0)OB =,向量(2,2)OC =,向量(2cos ,2sin )CA αα=,则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ D ） A ．[0,

]4π

B ．5[,]412ππ

C ．5[,]122ππ

D ．5[,]1212

ππ

7．已知向量(1,1),(1,1),(2cos ,2sin )a b c θθ==-=,实数,m n 满足ma nb c +=,则

22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ）

A ．21-

B ．1

C ．2

D ．322-

8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =，

若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE 的值是（ B ）

B ．） （ ）

A ．34

-

B ．89

-

C ．14

-

D ．不确定

9．已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3(

,)22

ππ

α∈，若

1AC BC ⋅=-，则

2

1tan 2sin sin 2α

αα

++的值为（ B ） A ．59

-

B ．9

5

- C ．2

D ．2-

10.在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．若•

=1，则AB 的长

为（ C ） A ．

B ．

C ．

D ．1 解：如图：

∵四边形ABCD 为平行四边形，∴，，

∴=

=

==

，

∴

．∵

，∴．∴AB 的长为．

11．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则

→

→

-b a 的最大值是 2 ．

12．已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+且21x y +=，AOB ∠是钝角，若

()||f t OA tOB =-的最小值为23，则||OC 的最小值是 。

13．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o

.

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.2

14．已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R c b a ∈=-==ααα，实数,m n 满足

,ma nb c +=则22(3)m n -+的最大值为 16

15．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点）

，则DM AP •的取值范围是 ．[1

2

-，1] 16．在△ABC 中，

π

6A ∠=

，D 是BC 边上任意一点（D 与B C 、不重合），

且22

||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ．125π

17.已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，

=x

+y

，且2x+10y=5，则边BC 的长

为 4 ．

解：分别取AB ，AC 的中点为D ，E ，并连接OD ，OE ，根据条件有：OD ⊥AB ，OE ⊥AC ； 在Rt △OAD 中，cos ∠OAD=

=

=

；

∴=；

同理可得，；

∴

=36x+60ycos ∠BAC ① =60xcos ∠BAC+100y ②

又2x+10y=5 ③ ∴由①②③解得cos ∠BAC=； 由余弦定理得：，∴BC=

．

故答案为：

．

18.已知向量=（cosA ，﹣sinA ），=（cosB ，sinB ），•=cos2C ，其中A 、B 、C 为△ABC

的内角．

（Ⅰ）求角C 的大小（Ⅱ）若AB=6，且

，求AC 、BC 的长．