2021年高一数学下学期周测试题(二)
浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2021-2022高一数学下学期期末(内部)考试试题(2).doc
浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2021-2022高一数学下学期期末（内部）考试试题（2）（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知α为第三象限角，且25sin α=-，则cos α=（ ▲ ） A.5 B. 55-C. 25D. 25-2.终边落在直线y x =上的角的集合为（ ▲ ） A. {|2,}4k k Z πααπ=+∈ B. {|,}4k k Z πααπ=+∈ C. {|2,}4k k Z πααπ=±∈D. {|,}4k k Z πααπ=±∈3.集合2*{|70}A x x x x N =-<∈，，则集合*6{|}B y N y A y=∈∈，的子集个数为（ ▲ ） A. 4个 B. 8个C. 15个D. 16个4. 函数2lg ()=xf x x的大致图像为 （ ▲ ）5. 已知函数)42sin()(π+=x x f ，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．函数)(x f y =的图象关于点)0,4(π-对称；B ．函数)(x f y =在区间)0,2(π-上是增函数C ．函数)8(π+=x f y 是偶函数；D ．将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位得到函数)(x f y =的图象 6．下列四个数中最大的是（ ▲ ）(A) 2lg (B) 2lg (C) 2)2(lg (D) )2lg(lg7.设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ▲ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>8. 已知()2x af x -=是定义在R 上的偶函数，则下列不等关系正确的是（ ▲ ）A. 20.5()(log 3)(log 5)<<f a f fB. 0.52(log 5)(log 3)()<<f f f aC. 0.52()(log 5)(log 3)<<f a f fD. 20.5(log 3)(log 5)()<<f f f a9. 已知函数f(x )=A )2sin(ϕ+x ，其中ϕ为实数，A>0，若f(x )≤)6(πf 对x ∈R 恒成立，且)2(πf >f （π），则f （x ）的单调递增区间是（ ▲ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππk k ,2(k )z ∈ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,πππk k (k )z ∈C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k (k )z ∈D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k (k )z ∈ 10．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y =)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； ③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y =)(x f 的图象关于直线2kx =（Z k ∈）对称;.其中正确命题的个数是（ ▲ ）(A) 1 (B) 2(C) 3(D) 4二、填空题：（单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11.若2log ,323==b a，则=ab ___▲_____,=+-b b 33_____▲___.12．在ABC ∆中sinA+cosA=51，则sin cos A A 的值=___▲___；tanA 的值=____▲___.13.已知2)42（sin 22)(++-=πx x f ，则()f x 的单调递增区间是___▲_____；若方程()10f x m -+=在[0,]2x π∈上有解，实数m 的取值范围是___▲_____.14. 设集合A={1，2，3},B={1，2，3}，则从A 到B 的函数f:A →B 共有___▲_____个；其中满足 f(f(x))= f(x) 的函数个数共有___▲____个.15. 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=43)0(sin 2)(ππωω，在区间x x f 上的最小值是－2，则ω的最小值等于__▲_____.16．设()f x ax b =+（其中,a b 为实数），1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若22a b +=-，且()243244k f x x =-+，则k ＝ ▲ .17．设函数2()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 ▲ .三、解答题：（5小题，共74分）18.（本题14分）. 已知集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，{}a x a x C <<-=5|.(1)求B A ，()B A C R ；(2)若()B A C ⊆，求a 的取值范围.19（本题15分）.（1）．计算： 323log 396415932log 4log55-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+- （2）已知tan 2α=，计算：①2cos()cos()2sin()3sin()2παπαπαπα+----+ ②33sin cos sin 2cos αααα-+ 20．（本题15分）已知函数，x ∈R ，A ＞0，．y=f （x ）的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ）． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为（1，0），，求A 的值．（III ）在（Ⅱ）的条件下，若[]2,1-∈x ，求函数()f x 的值域．21. （本题15分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．22．（本题15分）.若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点. 已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f . (1)当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；(2)若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，若)(x f y =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数)(x f 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数145)(2+-+-=a a ax x g 的图象上，求b 的最小值. （参考公式：),(),,(2211y x B y x A 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ）瑞安市上海新纪元高级中学2021度第二学期 2021级期末考试——数学试题参考答案一、选择题(每小题4分共40分)1.---5. B B D D C 6--10． A C A D C二、填空题：（单空题每题4分，多空题每题6分）11．1，52； 12．2512-；34- 13. 5[,]()88k k k Z ππππ++∈；7[3]2-.14 .27；10 15.23 16. 5 17． 3119(,]106三、解答题：5小题，共74分18.解：（1）{}102|<<=x x B A ， ……………3分{}73|≥<=x x x A C R 或 ，∴(){}10732|<≤<<=x x x B A C R 或 …………7分（2）由（1）知{}102|<<=x x B A ，①当φ=C 时，满足()B A C ⊆，此时a a ≥-5，得25≤a ； ②当φ≠C 时，要()B A C ⊆，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-10255a a a a ，解得325≤<a ；由①②得，3≤a ……………………14分19．解：（1）原式()32235336433log 2log 2log 5---+-= ……………………3分1633log 22log 52log 5333---+-=211632-=---= ……………………7分（2）①tan 2α=2sin cos 2tan 13cos 3sin 13tan 7αααααα-+-+∴==-++原式=………………………11分②322322sin cos (sin cos )sin 2cos sin cos αααααααα-+=++原式（）3232tan tan 11tan 2tan 26αααα--==++ …………………………（15分）20.解：（I ）由题意得，T==6 ………………………………………………………………2分∵P （1，A ）在函数的图象上∴=1 又∵∴φ= …………………………………………………………………………………………………5.分（II ）由P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），结合（I ）可知点Q 的坐标为（4，﹣A ）,连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ=可得，∠QRX=，作QM ⊥X 轴于M ，则QM=A ，RM=3，所以有tan ===∴A=……………………………………………………………….10分 （III ）[][]23)1(,3)1(y 上递减，所以2，1上递增，在1，1-在)63sin(3)(min max -=-===+=f y f x x f ππ……………………………………………………………15分21解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax axx x +-=----， 即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．…………………4分 （2）由（1）得：121()log 1xg x x +=-， 而112212()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3,)+∞．………………………..9分（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立.5()5f x -≤≤，1116()()4()424x x x a --≤≤-．∴1162()42()22xx xxa -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立．∴max min 11[62()][42()]22xx xxa -⋅-≤≤⋅-设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t=-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<，21121212()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=>，所以()h t 在[1,)+∞上递减，()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =，所以实数a 的取值范围为[7,3]-． ……………………………………15分22.解：(1)3)(2--=x x x f ，由x x x =--32，解得3=x 或1-=x ，所以所求的不动点为1-或3. ……………………3分 (2)令x b x b ax =-+++1)1(2，则012=-++b bx ax ①由题意，方程①恒有两个不等实根，所以0)1(42>--=∆b a b ， 即0442>+-a ab b 恒成立，则016162<-=∆'a a ，故10<<a …………………8分 (3)设A(x 1，x 1)，B(x 2，x 2)(x 1≠x 2)，145)(2+-+-=a a ax x g ，又AB 的中点在该直线上，所以1452222121+-++-=+a a ax x x x ，∴145221+-=+a a ax x ， 而x 1、x 2应是方程①的两个根，所以a b x x -=+21，即1452+-=-a a a a b ， ∴14522+--=a a a b =-514112+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =-1)21(12+-a ………………13分 ∴当 a =21∈(0，1)时，b min =1- ………………15分。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
四川省成都市新都一中2021-2022学年高一下学期期中联考模拟数学试卷(二)
四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟02数学试卷一、单选题1．已知04πα<<，且1sin ,cos ,tan a b c ααα===，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若10b =，6A π=，且ABC 有唯一解，则a 的取值情况是（）A ．5a =B ．5a =或者10a ≥C ．510a ≤≤D ．不确定3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弧长等于8m 3π的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据3 1.73≈）（）A ．26m B ．29m C ．212m D ．215m 4．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（）．A ．1105元B ．1255元C ．1305元D ．1405元5．数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式为2n n a =B ．数列{}n a 为等比数列C ．数列{}ln n a 为等比数列D ．数列{}ln n a 为等差数列6．已知向量a ，b 的夹角为120︒，1a b ==r r ，c 与a b +同向，则a c - 的最小值为（）A ．1B ．12C ．34D ．327．如图，在ABC 中，2AD DB =，AE EC =，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b = ，则AF =（）A ．1133a b+ B ．1255a b+C ．2355a b+ D ．1134a b+ 8．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+，7a =，则该三角形的外接圆直径为（）A ．14B ．7CD9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，满足121,3,2)a a n ===≥，则2022a =（）A ．4043B ．4042C ．4041D ．404010．在数列{}n a 中，11a =，142n n S a +=+，则2019a 的值为()A ．20207572⨯B ．20197572⨯C ．20187572⨯D ．无法确定11．数列{}n a 中，11a =，10(2)n n a a n n ---=≥，12111222n n S a a a =+++ .当99100n S =时，n 等于（）A ．98B ．99C ．100D ．10112．设数列{}n a 满足15a =，213a =，2126n n n na a a +++=，则下列说法不正确的是（）A ．2156n n na a a ++=-B ．n a 都是整数C ．4nn a >D ．{}n a 中与2019最接近的项是7a 二、填空题13．非零向量(sin ,2)a θ= ，(cos ,1)b θ= ，若a 与b 共线，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14．已知数列{}n a的通项公式为n a n =n a 的最小值为___________.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222S =，5100S =，则10S =______.16．已知A ，B ，C ，D 是平面内四点，且(2,1),(2,1)AC BD ==- ，则AB CD ⋅的最小值为___________.三、解答题17．已知cos 410x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求sin x 的值；(2)求tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．已知等差数列{}n a 为递减数列，且132a a +=-，133a a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值.19．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年比上一年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）．(1)从第几年开始获得纯利润？(2)若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？20．已知等差数列{}n a 为3，7，11，15，….(1)求{}n a 的通项公式；(2)135，()*419N m m +∈是数列{}n a 中的项吗？为什么？(3)若m a ，()*N ,t a m t ∈是{}n a 中的项，那么23m t a a +，是数列{}n a 中的项吗？请说明理由.21．已知函数()()()()cos 0,0,f x A x A ωϕϕπ=+>∈，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期T π=；②()f x 的图像可以由sin cos y x x =+的图像平移得到；③函数()f x 的最大值为2；④()0f =(1)请选出这三个条件并说明理由，再求出函数()f x 的解析式；(2)若曲线()y f x =的图像只有一个对称中心落在区间[]0,a 内，求a 的取值范围.22．如图，在ABC 中，1CA =，2CB =，60ACB ∠=︒．(1)求||AB uu u r ；(2)已知点D 是AB 上一点，满足AD AB λ=uuu r uu u r，点E 是边CB 上一点，满足BE BC λ= ．①当12λ=，求AE CD ⋅ ；②是否存在非零实数λ，使得AE CD ⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟02数学参考答案1．C∵04πα<<，1cos sin 0∴>>>αα，∴1cos 1tan sin c ==>ααα，∴c b a >>，故选：C 2．B由正弦定理得，sin 5sin sin b A a B B==，由ABC 有唯一解，当sin 1B =时，即90B = ∠，ABC 唯一，符合条件，可得5a =；当1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,B Ð有两个值，ABC 不唯一，不符合条件；当1sin 0,2B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，5sin a b B =≥，故B A ∠≤∠，ABC 唯一，符合条件，可得10a ≥，故选：B 3．B如图，由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=，可得：矢422=-=，由sin43AD AO π=== 可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=⨯+=+≈平方米．故选：B4．B购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清．设每月付款数构成数列{}n a ，则15010001%60a =+⨯=，()2501000501%59.5600.51a =+-⨯==-⨯，()35010005021%59600.52a =+-⨯⨯==-⨯，…∴()()600.510.560.5120n a n n n =--=-+≤≤，∴{}n a 是以60为首项，0.5-为公差的等差数列，∴()20201915020600.515012552S ⨯+=⨯+⨯-+=，∴买这件电器实际花1255元．故选：B 5．C数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则22212a a ==，222432(2)2a a ===，显然123,,a a a 不成等比数列，A ，B都不正确；依题意，1ln ln 20a =>，由21n n a a +=两边取对数得：1ln 2ln n n a a +=，因此，数列{}ln n a 是首项为ln 2，公比为2的等比数列，C 正确，D 不正确.故选：C 6．D1a b ==r r Q ，向量a ，b 的夹角为120︒，c 与a b +同向，a ∴r 与c的夹角为60︒．又a c -=故mina c-=．故选；D 7．B因为2AD DB =，AE EC =，所以11,32AD AB AE AC == ，因为,,D F C 三点共线，所以1(1)(1)3AF AD AC AB AC λλλλ=+-=+- ，因为,,E F B 三点共线，所以1(1)(1)2AF AB AE AB AC μμμμ=+-=+- ，所以1311(1)2λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得31,55λμ==，所以1255AF AB AC =+，故选：B8．D由已知，()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+，由正弦定理可得：()()()a b a b b c c +-=+，化简得：222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又因为ABC 中，(0,π)A ∈，所以2π3A =，所以2πsin sin3A =设三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：2sin 3a r A ==，故选：D.9．A由2)n =≥知：为等差数列，1==2==，则公差1d =，n =，故2n S n =，则21(1)n S n -=-(2)n ≥，可得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，而11a =也满足，所以21n a n =-，则20222202214043a =⨯-=.故选：A 10．A∵11a =，142n n S a +=+，∴212142S a a a =+=+，解得25a =.∵142n n S a +=+，∴2142n n S a ++=+，两式相减得，2144n n n a a a ++=-，∴()211222n n n n a a a a +++-=-，∴{}12n n a a +-是以212a a -＝3为首项，2为公比的等比数列，∴11232n n n a a -+-=⨯，两边同除以12n +，则113224n n n n a a ++-=，∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以34为公差，11122a =为首项的等差数列，∴()133112244n n a n n -=+-⨯=，∴()23123124nn n n a n --=⨯=-⨯，∴()20172020201932019127572a =⨯-⨯=⨯.故选：A.11．B由10(2)n n a a n n ---=≥，得1(2)n n a a n n --=≥，()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-21213431 ()n n n =+++++=+1123412.当1n =时，此式也满足1a ，故数列{}n a 的通项公式为：()n a n n =+112.()n a n n n n ∴==-+⨯+1111121212121111111112222231n n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++.又因为99100n S =，所以991100n n =+，解得99n =.故选：B.12．C易知当2n =时，22134a =<，可知C 不正确.依题意，可得2216nn n n a a a ++-=，则335a =.所以2312+++-n n n a a a ()122166+++==-n n n n a a a ，223112266n n n n n n a a a a a a ++++++=+，()()1312266++++++=+n n n n n n a a a a a a ，又0n a ≠，所以3122166n n n nn n a a a a a a +++++++=，令216n nn n a a b a +++=，所以{}n b 为常数列，又31265a a a +=，即2156n n n a a a ++=-，所以A ，B 正确.由2156n n n a a a ++=-，()211232n n n n a a a a +++-=-或()211323n n n n a a a a +++=--，又2123a a -=，2132a a -=-，所以{}12n n a a +-是首项为3，公比为3的等比数列，{}13n n a a +-是首项为2-，公比为2的等比数列.故123n n n a a +-=，132+-=-nn n a a ，所以两式相减得23n nn a =+，所以6793a =，72315a =，D 正确.故选：C.13．13解：∵非零向量a 与b共线，∴sin 2cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以tan 2θ=，∴tan 11tan()41tan 3πθθθ--==+．故答案为：1314．1因为n n n a n+===易知数列{}n a为递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1a，即最小值为1故答案为：115．350方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则2151222,510100,S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得18,6,a d =⎧⎨=⎩所以10110810963502S =⨯+⨯⨯⨯=.方法二：设2n S An Bn =+，则254222,255100,S A B S A B =+=⎧⎨=+=⎩解得3,5,A B =⎧⎨=⎩所以210310510350S =⨯+⨯=.故答案为：350．16．4-设(,)A x y ，(,)B m n ，则(2,1)C x y ++，(2,1)D m n -+，所以(,)AB m x n y =-- ，(4,)CD m x n y =---，则2222()4()()(2)()4AB CD m x m x n y m x n y ⋅=---+-=--+--，当2m x -=，n y =时AB CD ⋅的最小值为4-.故答案为：4-17．(1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x－π4)sin π4＝10×2＋10×2＝45．(2)由(1)知，4sin 5x =，因为x ∈(π2，3π4)，所以cos x35，所以tan x =43-，则22tan 24tan 21tan 7x x x ==-，所以tan 2tan314tan(24171tan 2tan 4x x x πππ++==--⋅.18．(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，且0d <.由132a a +=-，133a a =-，解得11a =，33a =-（13a =-，31a =不合题意，舍去）.由3123a d =+=-，解得2d =-.从而()()11232n a n n =+-⨯-=-.(2)由（1）可知32n a n =-，所以()213222n n n S n n +-⎡⎤⎣⎦==-.由35k S =-，可得2235k k -=-，即22350k k --=，解得7k =或5k =-.又*k N ∈，故7k =.19．(1)由题意，知每年的经费构成了以12为首项，4为公差的等差数列，则()()215012472240722n n f n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦，获得纯利润就是要求()0f n >，即2240700n n -+->，解得218n <<．又*n N ∈，故从第三年开始获得纯利润；(2)①年平均利润为()23640216216f n n n n ⎛⎫=-+=-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当6n =时取等号，故此方案获利61648144⨯+=（万美元），此时6n =．②()()2224072210128f n n n n =-+-=--+，当10n =时，()max 128f n =．故此方案共获利12816144+=（万美元）．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需六年，第②种方案需要十年，故选择第①种方案．20．(1)设数列{}n a 的公差为d ，依题意有13a =，734d =-=，∴()34141n a n n =+-=-.(2)令41135n a n =-=，得34n =，∴135是数列{}n a 的第34项；∵()419451m m +=+-，且*N m ∈，∴419m +是数列{}n a 的第()5m +项.(3)∵m a ，t a 是数列{}n a 中的项，∴41m a m =-，41t a t =-，∴()()()2324134142311m t a a m t m t +=-+-=+--，∵*231N m t +-∈，∴23m t a a +是数列{}n a 的第()231m t +-项.21．(1)由题意知条件②：sin cos )4y x x x π=+=+，与③矛盾，故②③不能同时成立，则①④必满足，所以T π=，所以22πωπ==，故排除②，所以()cos()(0,2f x A x A πωϕϕ=+><同时满足①③④．所以2A =，2ω=，此时()2cos(2)f x x ϕ=+，因为(0)f =，所以2cos ϕ=即cos 2ϕ=，因为(0,)ϕπ∈，所以6π=ϕ，所以()2cos(2)6f x x π=+；(2)令262x k πππ+=+，k Z ∈，解得26k x ππ=+，所以()f x 的对称中心是(,0),26k k Z ππ+∈，因为曲线()y f x =只有一个对称中心落在区间[0，]a 内，所以263a ππ< ，所以a 的取值范围是2[,)63ππ．22．(1)解：∵AB CB CA =- ，且24CB = ，21CA = ，21cos 601CB CA ⋅=⨯⨯︒= ，∴||||AB CB CA =-=(2)解：①12λ=时，12AD AB = ，12BE BC = ，∴D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，∴12AE AC CE AC CB =+=+ ，1()2CD CA CB =+ ，∴11()22AE CD AC CB CA CB ⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭ 211112244AC CA AC CB CB CA CB =⋅+⋅+⋅+ 211112cos12022=-⨯+⨯⨯⨯︒211121cos602444+⨯⨯⨯︒+⨯=；②存在．理由如下：假设存在非零实数λ，使得AE CD ⊥ ，由AD AB λ=uuu r uu u r ，得()AD CB CA λ=- ，∴()CD CA AD CA CB CA λ=+=+- (1)CB CA λλ=+- ．又BE BC λ= ，∴()AE AB BE CB CA BC λ=+=-+ (1)CB CA λ=-- ，∴AE CD ⋅= 2(1)CB CB CA λλλ--⋅+ 22(1)(1)CB CA CA λλ-⋅-- 24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=，解得23λ=或0λ=（不合题意，舍去），所以存在非零实数23λ=，使得AE CD ⊥ .。
江苏省如东高级中学2020-2021学年高一下学期阶段测试(二)数学试题 含答案
如东高级中学2020-2021学年第二学期阶段测试（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}ln 1B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.命题p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是命题q ：“0a b ⋅>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3.若复数z 满足|z －i|≤2，则z z 的最大值为 ( )A.1 B ．2 C ．4 D ．94.某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（ ） A ．10B ．15C ．20D ．255.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为A ．135B ．149C ．165D ．195 6．已知函数()()sin 2(||)2f x x πϕϕ+<=的图象的一条对称轴为6x π=,则下列结论中正确的是（）.A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 B ．()f x 是最小正周期为π的奇函数C ．()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．先将函数2sin 2y x =图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6π个单位长度，即可得到函数()f x 的图象7.圆台上底半径为5cm ，下底半径为10cm ，母线20AB cm =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短时长为（ ）A ．10cmB ．25cmC ．50cmD ．352πcm 8.已知函数()2ln ,0,1,0,x x f x x x ⎧>=⎨-+≤⎩若方程()f x a =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，123x x 的取值范围是 （ ）.A ．1[0,]2B ．[C ．1[,0]2-D ．1[,0)2- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期模拟(二)测试数学文试题(详解) 含答案
2021年高三下学期模拟（二）测试数学文试题（详解） 含答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A ．B ．C ．D ． 2. 为虚数单位，则复数的虚部为A ．B ．C ．D ．3. 为了了解某学校xx 名高中男生的身体发育 情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 A ． B ． C ． D ．5.A. B. C. D.6． 若对任意正数，均有，则实数的取值范围是 A. B. C. D.7．曲线在点处的切线方程是 A. B.C. D.8．已知命题：“对任意， 都有”；命题：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则A. 命题“”为真命题B. 命题“”为假命题kg ）第3题图C. 命题“”为真命题D. 命题“”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是A ．B ．C ．D ．10. 线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以为焦点．若是圆与双曲线的一个公共点，则 A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形．12. 已知递增的等比数列中, 则 .13. 无限循环小数可以化为有理数，如，请你归纳出 （表示成最简分数．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（常数）与曲线相切，则 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，弦和弦相交于点，且，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量 且与的夹角为 （1）求的值及角的大小； （2）若，求的面积．第11题图PDC 第15题图第9题图1 cm1 cm2 cm2 cm17．（本小题满分12分）设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “且”发生的概率. (1) 若随机数；(2) 已知随机函数产生的随机数的范围为, 是算法语句和的执行结果．(注: 符号“”表示“乘号”)18．（本小题满分14分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且． （1）求证：；（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：19．（本小题满分14分）已知二次函数的最小值为且关于的不等式的解集为 ,（1）求函数的解析式； （2）求函数的零点个数.A 1BCDC 1B 1D 1FE20．（本小题满分14分）如图，是抛物线上的两动点（异于原点），且的角平分线垂直于轴，直线与轴，轴分别相交于.(1) 求实数的值，使得；(2）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过. 求椭圆焦距的最大值及此时的方程.21．（本小题满分14分）定义数列： ，且对任意正整数，有 .（1）求数列的通项公式与前项和；（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对 ；若不存在，则加以证明.数学（文科）参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．第20题图2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
2021-2022学年广东省江门市高一下学期期末调研测试(二)数学试题
2021-2022学年广东省江门市高一下学期期末调研测试(二)数学试题1.实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（）A．B．2 C．3 D．2.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A．6 B．8 C．10 D．123.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（）A．A与B为相互独立事件B．A与B互为对立事件C．A与B为互斥事件D．4.把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是A．B．C．D．5.已知，，且，则（）A．1 B．C．2 D．6. 2021年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项A、B、C、D中，有多项符合题目要求．规定：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于1），则其得分的概率为（）．A．B．C．D．7.已知为异面直线，平面平面.直线满足，则( )A．，且B．，且C．与相交,且交线垂直于D．与相交,且交线平行于8.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（）A．B．C．D．9.下列式子正确的是（）A．B．C．D．10.已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，则下列说法正确的是（）A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为8.4B．这10名男生引体向上测试成绩的第25百分位数为7.5C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数为8.5D．这10名男生引体向上的测试成绩众数为911.在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（）A．这艘船航行速度的大小为B．这艘船航行速度的大小为C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为12.如图，在三棱锥中，D，E，F分别是侧棱，，的中点．则下列结论中，其中正确的有（）A．∥平面B．平面∥平面C．三棱锥与三棱锥的体积比为1∶4D．异面直线与所成角为60°13.已知复数，是z的共轭复数，则___________．14.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.15.甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率___________．16.已知函数，若函数的最小正周期为，则__________，若，则函数的最小正周期为__________.17.如图，在正方体中，点E为的中点．(1)求证：平面；(2)若，从正方体中截去三棱锥后，求剩下的几何体的体积．18.江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数：(2)若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在内的概率．19.已知，，，，求的值.20.甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为.（1）求，；（2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率．21.如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．(1)求证：平面；(2)当为何值时，使得？22.在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若__________（填条件序号）（1）求角C的大小；（2）若边长，求的周长的最大值．。
江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题+含答案
江宁分校2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研数学学科分值：150 时间：120分钟班级____________姓名___________ 一．单选题1．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则（ ） A ．-6B ．6C ．8iD ．-8i2．已知向量()2,a m =，()3,6b =，若，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．4D ．4-3．已知中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若60a b A ︒===，则B =（ ） A ．45︒B ．60︒C ．45︒或135︒D ．135︒4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//m αβα，则//m β C ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nD ．若,//,//m m n ααβ⊥，则n β⊥5．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AB ==，1AD =，E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．3c m 27．若1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．9-D ．98．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦AB 所对的圆心角为θ，则（ ）A ．π3θ=B ．2π3θ=C ．πsin 3θθ=- D ．2πsin 3θθ=- 二．多选题9．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A ．若复数（i 为虚数单位），则301z =- B ．若复数z 满足2 z ∈R ，则 z ∈RC ．若复数(),z a bi a b =+∈R ，则z 为纯虚数的充要条件是0a =D ．若复数z 满足1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆 10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点,,EFG 分别为棱,,BC CD DA 的中点，则（ ）A ．//AC 平面EFGB ．过点,,E F G 的截面的面积为12C ．异面直线EG 与AC 所成角的大小为4π D ．CD 与平面GBC 所成角的大小为6π11．在中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，能确定C 为锐角的有（ ）A ．B ．222a b c +>C ．A 、B 均为锐角，且sin cos A B >D ．tan tan tan 0A B C ++>12．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点E 为棱1DD 的中点，点P 是线段D C 1上的动点，给出下列四个命题,其中正确的是（ ） A. 直线AP 与E B 1是异面直线；B.正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；C. 点P 到平面1AEB 的距离是一个常数；D.正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是．三．填空题13．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 14．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．15．已知圆锥的高为3面上，则这个球的体积等于_______________ 16．有下列5个关于三角函数的命题：①0x R ∃∈00cos 3x x +=；②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称； ③x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥；④[]π,2πx ∀∈cos 2x=-；⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时，cos x =. 其中是真命题序号的是______. 四．解答题17．2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展.某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照[12,14),[14,16),,[22,24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.已知[14,16)组的频数比[12,14)组多4.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值.18．如图，在菱形ABCD 中，12BE BC =，2CF FD =．（1）若，求32x y +的值；（2）若菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，求 （3）若菱形ABCD 的边长为6，求的取值范围．19．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， 8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长.20．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=,2AB =,ACBD O =,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值.21． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH 平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研数学学科参考答案一．单选题1．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则（ ） A ．-6 B ．6 C ．8i D ．-8i【答案】B2．已知向量()2,a m =，()3,6b =，若，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4-【答案】B3．已知中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若60a b A ︒===，则B =（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．45︒或135︒ D ．135︒【答案】A4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//m αβα，则//m β C ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n D ．若,//,//m m n ααβ⊥，则n β⊥【答案】D5．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AB ==，1AD =，E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D6．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．3c m 2【答案】C 7．若1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．D 【答案】A8．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦AB 所对的圆心角为θ，则（ ）A ．π3θ=B ．2π3θ=C ．πsin 3θθ=- D ．2πsin 3θθ=- 【答案】D 【详解】设圆柱体底面半径为r ，高为h ，则水的体积为213r h π水平放置后，水的体积为221sin 22r r h θπθπ⎛⎫⋅-⎪⎝⎭所以22211sin 322r h r r h θππθπ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，解得2πsin 3θθ=-故选：D二．多选题9．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A ．若复数（i 为虚数单位），则301z =- B ．若复数z 满足2 z ∈R ，则 z ∈RC ．若复数(),z a bi a b =+∈R ，则z 为纯虚数的充要条件是0a =D ．若复数z 满足1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆 【答案】AD10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点,,E F G 分别为棱,,BC CD DA 的中点，则（ ）A ．//AC 平面EFGB ．过点,,E F G 的截面的面积为12C ．异面直线EG 与AC 所成角的大小为4π D ．CD 与平面GBC 所成角的大小为6π 【答案】ACD【详解】对A ，点F ，G 为棱CD ，DA 的中点，//FG AC ∴，FG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，∴//AC 平面EFG ，故A 正确；对B ，取AB 中点H ，则可得四边形EFGH 为截面，由A 选项可得//FG AC ，12FG AC =,同理可得//HE AC ，12HE AC =,则//HE HG 且HE FG =，故四边形EFGH 为平行四边形，取BD 中点M ，则可得,BD AM BD CM ⊥⊥，AM CM M ⋂=，则BD ⊥平面AMC ，BD AC ∴⊥，则EF FG ⊥，故平行四边形EFGH 为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B 错误；对C ，因为//AC FG ，所以异面直线EG 与AC 所成角即EGF ∠，由B 选项可得4EGF π∠=，故C 正确；对D ，如图，因为,DA GB DA GC ⊥⊥，DA ∴⊥平面GBC ，则DCG ∠即为CD 与平面GBC 所成角，易得6DCG π∠=，故D 正确.故选：ACD.11．在中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，能确定C 为锐角的有（ ） A ．B ．222a b c +>C ．A 、B 均为锐角，且sin cos A B >D ．tan tan tan 0A B C ++>【答案】BCD12．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，给出下列四个命题,其中正确的是（ ABC ）A. 直线AP 与E B 1是异面直线；B.正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；C. 点P 到平面1AEB 的距离是一个常数；D.正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是． 三．填空题13．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】114．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人． 【答案】615．已知圆锥的高为3面上，则这个球的体积等于_______________ 【答案】323π 16． 有下列5个关于三角函数的命题：∶0x R ∃∈00cos 3x x +=；∶函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称； ∶x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥；∶[]π,2πx ∀∈cos 2x=-；∶当()2sin cos f x x x =+取最大值时，cos x =.其中是真命题的是______. 【答案】②②② 四．解答题17．2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展.某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照[12,14),[14,16),,[22,24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.已知[14,16)组的频数比[12,14)组多4.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值. 【答案】（1）0.03a =，0.07b =；（2）20.8万元. 【详解】（1）由题意得(0.120.140.100.04)215025024a b b a +++++⨯=⎧⎨⨯⨯-⨯⨯=⎩，解得0.03a =，0.07b =.（2）设应该制定的月销售冲刺目标值为x 万元，则在频率分布直方图中x 右边的面积为10.80.2-=.最后一组的面积是0.0420.08⨯=，最后两组的面积之和为0.1020.0420.28⨯+⨯=. 因为0.080.20.28<<，所以x 位于倒数第二组， 则(22)0.100.080.2x -⨯+=，解得20.8x =. 所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为20.8万元.18．如图，在菱形ABCD 中，12BE BC =，2CF FD =．（1）若，求32x y +的值；（2）若菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，求 （3）若菱形ABCD 的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）321x y +=-；（2）9AC EF ⋅=-；（3）()21,9--．【详解】解：（1）因为12BE BC =，2CF FD =， 所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=-，所以23x =-，12y =，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭． （2）②AC AB AD =+，②()221212123236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭②ABCD 为菱形②6AD AB ==②2211111cos 3636966662AC EF AB AB BAD ⋅=--∠=-⨯-⨯⨯=-，即9AC EF ⋅=-．（3）因为12AE AB AD =+，1223EF AD AB =- 所以22121121362342AD A AE EF AB AD AB AD AB AD B ⎛⎫-= ⎛⎫⋅=+⋅⋅-+ ⎪⎪⎭⎭⎝⎝ 2221cos ,6cos ,153416AB AD AB AD AB AD AB AD =⋅-+=- 1cos ,1AB AD -<<②AE EF ⋅的取值范围：()21,9--． 19．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， 8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长.【答案】（1（2）7.试题解析：（I ）在ADC ∆中，②1cos 7ADC ∠=，②sin ADC ∠=②()sin sin 14BAD ADC B ∠=∠-∠=（II ）在ABD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin AB BADBD ADB⋅∠==∠在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 49AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅= ②7AC =考点：正弦定理与余弦定理．20．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=,2AB =,ACBD O =,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值. 【详解】（1）证明：②PO ⊥面ABCD ②PO AC ⊥②在菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 且BD PO O ⋂= ②AC ⊥面PBD 故面ACE ⊥面PBD（2）连接OE ，则OE =面ACE ⋂面PBD 故CE 在面PBD 内的射影为OE ②CE PD ⊥②OE ⊥ PD又由（1）可得，,AC OE AC OP ⊥⊥ 故POE ∠是二面角P AC E --的平面角 菱形ABCD 中，2AB =,60ABC ∠=②BD =OD =又2PO = 所以PD ==故OE ==②cos 7OE POE OP ∠== 即二面角P AC E --的余弦值为721． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（∶）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH 平面PAD ；（∶）求证：PA ⊥平面PCD ；（∶）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【详解】（I ）证明：连接BD ，易知ACBD H=，BH DH =，又由BG =PG ，故GH PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD . （III ）解：连接AN ，由（II ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.因为PCD ∆为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以DN =DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，sin 3DN DAN AD ∠==，所以，直线AD 与平面PAC22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）⎡⎢⎣⎦． 【详解】（1）由题意，向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，可得()2113sin cos 22f x a b x x x ωωω=⋅+=-+1cos 212sin 2226x x x ωπωω+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭． 因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，可得1w =，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x +=++=+，()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x -=-+=-，所以()()22sin 2cos 212sin 2cos 211sin 2cos 2x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦，令sin 2cos 2t x x =-，则()22sin 2cos 22x x t +=-，则方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 可化为()222250a t t a ---=，即2220att a ++=，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 2cos 221,14t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭．所以由题意可知，方程2220at t a ++=在[]1,1t ∈-时有解，方程2220at t a ++=可化为2221t a t -=+，令2221ty t -=+，[]1,1t ∈-，②当0t =时，0y =； ②当0t ≠时，212y t t-=+， 当01t <≤时，12t t +≥2x =时取等号，所以2y ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭； 当10t -≤<时，12t t +≤-2x =时取等号，所以0,2y ⎛∈ ⎝⎦；综上，22y ⎡∈-⎢⎣⎦，所以22a ⎡∈-⎢⎣⎦，故实数a 的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦．。
第六章平面向量及其应用综合训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用 章末综合训练一、选择题1. 下列结论中，不正确的是 ( ) A ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的意义是相同的 C ．若向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣，则 a =b ⃗ D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗2. 设 a ，b ⃗ 是向量，则“∣a ∣=∣b ⃗ ∣”是“∣a +b ⃗ ∣=∣a −b⃗ ∣”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知向量 a 与 b ⃗ 方向相反，a =(1,−√3)，|b ⃗ |=2，则 |a −b⃗ |= ( )A ． 2B ． 4C ． 8D ． 164. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =3，b =7，cosB =−12，则 c = ( )A ． 4B ． 5C ． 8D ． 105. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√326. 如图所示，为了测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 作为测量基点，从 A 点测得 M 点的仰角 ∠MAN =60∘，C 点的仰角 ∠CAB =45∘，∠MAC =75∘，从 C 点测得 ∠MCA =60∘，已知山高 BC =500 m ，则山高 MN （单位：m ）为 ( )A ． 750B ． 750√3C ． 850D ． 850√37. 已知在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b =1，c =√3，且 2sin (B +C )cosC =1−2cosAsinC ，则 △ABC 的面积是 ( )A ．√34B ． 12C ．√34或√32D ．√34或 128. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗是平面内两个夹角为 2π3的单位向量，设 m ⃗⃗ ，n ⃗ 为同一平面内的两个向量，若 m ⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∣n ⃗ −e 1⃗⃗⃗ ∣=12，则 ∣m ⃗⃗ −n ⃗ ∣ 的最大值为 ( )A ． 12B ． 32C ．√3−12D ．√3+12二、多选题9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列计算错误的是 ( )A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. △ABC 满足下列条件，其中有两个解的是 ( )A ． b =3，c =4，B =30∘B ． b =12，c =9，C =60∘C ． b =3√3，c =6，B =60∘D ． a =5，b =8，A =30∘ 11. 设 a ，b⃗ 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是 ( ) A ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则 a⊥b ⃗ B ．若 a ⊥b ⃗ ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣C ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则存在实数 λ，使得 b⃗ =λaD ．若存在实数 λ，使得 b ⃗ =λa ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣12. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 a ，b ，c ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有 △ABC 满足 sinA:sinB:sinC =2:3:√7，且 △ABC 的面积 S =6√3，请运用上述公式判断下列结论正确的是 ( ) A ． △ABC 的周长为 10+2√7B ． △ABC 三个内角 A ，B ，C 满足 2C =A +B C ． △ABC 外接圆的直径为4√213D ． △ABC 的中线 CD 的长为 3√2三、填空题13. 在 △ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4，则 cosC = ．14. 已知 A ，B ，C 三点共线，若 O 是这直线外一点，满足 mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点 A 分 BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的比为 ．15. 已知 △ABC 的面积为 3√15，且 AC −AB =2，cosA =−14，则 BC 的长为 ．16.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB=4，BC=CD=2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足BEBC =AFAB=λ，当AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，则实数λ的值是．四、解答题17.已知a=(1,2)，b⃗=(−3,2)，当k为何值时：(1) ka+b⃗与a−3b⃗垂直？(2) ka+b⃗与a−3b⃗平行？平行时它们是同向还是反向？18.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点．19.已知平面向量a，b⃗，c满足∣a∣=4，∣∣b⃗∣∣=3，∣c∣=2，b⃗⋅c=3，求(a−b⃗)2(a−c)2−[(a−b⃗)⋅(a−c)]2的最大值．20. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =1，B =π3，△ABC 的面积为3√34．(1) 求 △ABC 的周长； (2) 求 cos (B −C ) 的值．21. 已知 △ABC 的外接圆半径为 R ，其内角 A ，B ，C 的对边长分别为 a ，b ，c ，设 2R (sin 2A −sin 2B )=(a −c )sinC ． (1) 求角 B ；(2) 若 b =12，c =8，求 sinA 的值．22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数． (1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．。
浙江省台州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题(解析版)
台州市2021学年第二学期高一年级期末质量评估试题数学2022.07一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（）A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱柱【答案】A【详解】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱.故选：A .2.()()3223a b a b --+的化简结果为（）A.43a b +B.49a b-C.89a b-D.43a b-【答案】B【详解】由题意，()()322349a b a b a b --+=-.故选：B.3.某校参加数学竞赛的男生有24人，女生有18人.若采用比例分配分层随机抽样的方法，从这些同学中抽取14人参加座谈会，则应抽取男生的人数为（）A.6 B.7C.8D.9【答案】C【详解】由题意可知：应抽取的男生人数为：1424=82418⨯+，故选：C4.在ABC中，3,45a c A === ，则ABC 的最大内角等于（）A.105B.120C.125D.150【答案】A【详解】由正弦定理得sin 45sin =a cC3sin 22=C ，得1sin 2C =，因为3=>=a c ，所以A C >，即π02C <<，所以π6C =，7ππ12=--=B A C ，则ABC 的最大内角为7π12=B .故选：A.5.如图，正方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在的直线中与直线1BC 所成角为4π的条数为（）A.6B.8C.10D.12【答案】B【详解】因为正方体中14CBC π∠=，所以BC 与直线1BC 所成角为4π，又1111//////BC AD A D B C ，所以1111,,AD A D B C 与直线1BC 所成角为4π，同理可得1111,,,BB CC DD AA 与直线1BC 所成角为4π，又1111,,,AB CD C D A B 与直线1BC 所成角为2π，所以与直线1BC 所成角为4π的棱有8条.故选：B.6.已知复数i z a b =+（i 为虚数单位）,R a b ∈，则“12a ≤”是“1z z ≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由1z z ≤-≤12a ≤，于是“12a ≤”是“1z z ≤-”的充要条件.故选：C.7.如图，在正四面体ABCD 中，,E F 是棱CD 上的三等分点，记二面角C AB E --，,E AB F F AB D ----的平面角分别为123,,θθθ，则（）A.123θθθ==B.123θθθ<<C.132θθθ=>D.132θθθ=<【答案】D【详解】如图1，在正四面体ABCD 中，取AB 的中点G ，连接CG ,DG ，则,CG AB DG AB ⊥⊥，而CG DG G = ，所以AB ⊥平面CDG ，连接EG ,FG ，因为EG ⊂平面CDG ，FG ⊂平面CDG ，所以,AB EG AB FG ⊥⊥.由二面角的平面角的定义可以判断123,,CGE EGF FGD θθθ=∠=∠=∠，由对称性容易判断13θθ=.设该正四面体的棱长为6，如图2，CD =6，易得CG DG ==，取CD 的中点H ，则GH CD ⊥，CE =2，EH =HF =1，在GCH △中，由勾股定理可得GH ==，于是GE GF ===于是，在GCE 中，由余弦定理可得22212cosθ+-==，在GEF △中，由余弦定理可得2222217cos19θ+-==，而2249931172898671757108319361108319⎛⎫==>==⇒> ⎪⎝⎭，即12121cos cos 0θθθθ>>>⇒<，于是132θθθ=<.故选：D.8.已知,,a b c 是平面内三个非零向量，且,1a b a b b c c a ⊥-=-=-= ，则当a b - 与c 的夹角最小时，c=（）A.12B.2C.2D.【答案】B【详解】设,,a OA b OB c OC ===，因为1a b b c c a -=-=-=，所以1BA CB AC === ，即ABC 是边长为1的等边三角形，因为a b ⊥，则可以O 为原点，,OA OB 为坐标轴建立直角坐标系，设BAO θ∠=，则()cos ,0A θ，()0,sin B θ，231cos cos 322C x πθθθθ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭，213sin sin 322C y πθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则c == ()()111cos ,sin sin cos ,sin cos cos 222222a b c θθθθθθθ⎛⎫-⋅=-⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭，则()1cos 22cos ,a b c a b c a b cθ-⋅<->==-⋅令24t θ⎡=∈-⎣，则3cos ,3a b c <->=，当且仅当2,sin 23t θ==-时等号成立，此时22c =.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知两组数据，第一组：1，2，3，4，5；第二组11，12，13，14，15，则（）A.两组数据的方差相同B.两组数据的平均数相同C.两组数据的极差相同D.两组数据的中位数相同【答案】AC【详解】第一组的极差为5-1=4，第二组的极差为15-11=4，故C 正确；第一组的中位数为3，第二组的中位数为13，故D 错误；第一组的平均数11234535x ++++==，第二组的平均数11112131415135x ++++==，故B 错误；第一组的方差22222212101225s ++++==，第二组的方差22222222101225s ++++==，故A 正确.故选：AC.10.已知向量,,a b c 满足()()()20,2,24,2,1,1a b a b c +=-=-= ，设向量,a b的夹角为θ，则（）A.||||a b = B.a c ⊥ C.b c∥ D.135θ=【答案】BD【详解】由()()20,2,24,2,a b a b +=-=- 可得：()()1,1,2,0a b =-=，对于A，||||=2a b =，故A 错误.对于B ，11110a c ⋅=-⨯+⨯= ,故a c ⊥，所以B 正确.对于C ，01210⨯-⨯≠，故b 与c不平行，故C 错误.对于D,cos 2a b a bθ⋅===-⋅ ，由于()0180θ∈ ，，故135θ= ，故D 正确.故选：BD11.已知ABC 中，a b c ､､分别为角A B C ､､的对边，S 为ABC 的面积，则下列条件能使ABC 只有一个解的是（）A.1,2,a b c N +==∈B.1,2,cos cos 2cos a b a B b A c B ==+=C.1,2,2a b S ===D.1,2,2a b A B C ==+=【答案】ABD【详解】由三角形三边关系可得：b a c b a -<<+，所以13c <<，因为N c +∈，故2c =，故A 正确.由cos cos 2cos sin cos sin cos 2sin cos a B b A c B A B B A C B +=⇒+=,故2221sin()2sin cos sin 2sin cos cos =22a c b A B C B C C B B ac+-+=⇒=⇒=，可得：230c c --=，由此解得12c +=，故三角形唯一，B 正确,对于C:1133πsin 12sin sin 22223S ab C C C C ==⨯⨯=⇒=⇒=或者2π=3C ，故三角形不唯一，C 错误.对于D ：2=πA B C A B C +=++，，故π3C =,两边及其夹角，此三角形唯一，故D 正确.故选：ABD12.如图，在ABC 中，AB AC =，BAC θ∠=，AB α⊂，设点C 在α上的射影为C '，将ABC 绕边AB 任意转动，则有（）A.若θ为锐角，则在转动过程中存在位置使2BC A BCA ∠∠='B.若θ为直角，则在转动过程中存在位置使12BC A BCA ∠∠='C.若105θ= ，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'D.若120θ= ，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'【答案】AC【详解】不妨设点C 在直线AB 上的射影点为O ，当BC 绕着直线AB 旋转时，Rt BOC 会形成圆锥BO ，且直线BA 为该圆锥的轴所在的直线，如下图所示：在圆锥BO 上任取一点D ，平面BOD 为平面α，当COD ∠为锐角时，过点C 在平面COD 内作CC OD '⊥，垂足为点C '，因为BO ⊥平面COD ，CC '⊂平面COD ，则CC OB '⊥；因为CC OD '⊥，BO OD O ⋂=，CC '∴⊥平面α，当2COD π∠=时，点C '与点O 重合；当COD ∠为钝角时，则点C '在射线DO 上；当0COD ∠=或π时，点C '与点C 重合.不失一般性，不妨设02COD π≤∠≤，则点C '在线段OD 上，且AD AC =，设ABD △的外接圆为圆E .对于A 选项，若θ为锐角，如下图所示：不妨设1AB AD ==，则cos OA θ=，1cos OB θ=-，因为BAD θ∠=，若存在位置使得2BC A BCA ∠∠='，即2BC A BCD πθ∠=='∠-，设OC h '=，由于BC A πθ'∠=-，则点C '不与线段OD 的端点重合，即0sin h θ<<，()()2cos 1cos tan tan tan tan cos 1cos 1tan tan 1OC A OC B h h BC A OC A OC B OC A OC Bh θθθθ-+''∠+∠'''∠=∠+∠==-''-∠∠-()()()211sin tan cos 1cos cos 1cos cos 1h h h hθπθθθθθθ===-=-----，则()cos 1cos cos 0sin h hθθθθ--+=，即()2sin cos sin cos 1cos 0h h θθθθθ+--=，令()()2sin cos sin cos 1cos f h h h θθθθθ=+--，其中0sin h θ<<，因为θ为锐角，则sin 0θ>，cos 0θ>，则函数()f h 在()0,sin θ上单调递增，()()0sin cos 1cos 0f θθθ=--< ，()sin sin 0f θθ=>，故方程()0f h =在()0,sin h θ∈时有解，所以，若θ为锐角，则在转动过程中存在位置使2BC A BCA ∠∠='，A 对；对于B 选项，若θ为直角，则ABD △为等腰直角三角形，此时点O 与点A 重合，当点C '在线段AD （不包含端点A ）上运动时，BC A '∠的取值范围是,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，此时，不存在位置使得12BC A BCA ∠∠='，B 错；对于C 选项，连接BE 、DE ，因为105BAD ∠= ，AB AD =，则37.5ADB ABD ∠=∠= ，OD AB ⊥ ，则1059015ODA ∠=-= ，由圆的几何性质可得()2180105150BED ∠=⨯-=，BE DE = ，则15EBD EDB ∠=∠= ，所以，1537.51567.590ODE ODA ADB EDB ∠=∠+∠+∠=++=< ,故线段DO 与圆E 相交，设交点为N ，当点C '在线段DN （不包括端点）上运动时，延长BC '交圆E 于点M ，连接AM ，则BC A BMA BDA '∠>∠=∠，若105θ= ，则在转动过程中存在位置使BC A BCA ∠∠>'，C 对；对于D 选项，若120BAD ∠= ，AB AD =，则30ADB ABD ∠=∠= ，OD AB ⊥ ，则1209030ODA ∠=-= ，由圆的几何性质可得()2180120BED θ∠=⨯-=，BE DE = ，30EDB EBD ∴∠=∠= ，所以，90ODE ODA ADB EDB ∠=∠+∠+∠= ，所以，OD 与圆E 相切，当点C '在线段OD （不包括端点）上运动时，连接BC '交圆E 于点G ，连接AG 、AC '，则BC A BGA BDA '∠<∠=∠，所以，若120θ= ，则在转动过程中不存在位置使BC A BCA ∠∠>'，D 错.故选：AC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数34i z =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z =___________.【答案】34i+【详解】由题意，34i z =-的共轭复数为3+4i.故答案为：3+4i.14.在平行四边形ABCD 中，2,,AE ED BF FC AC AE AF λ===+，则λ=___________.【答案】34或0.75【详解】由2,AE ED BF FC ==得：313,224AD BF AD AE AE === ,在平行四边形ABCD 中，由加法的平行四边形法则可得：AC AD AB =+，故33332244F A AE FB FA AE AE A AE AF C =+--=+=+ ,故34λ=.故答案为：3415.已知球O 的半径为2，点,,A B C 在球O 的球面上，且3AB BC AC ===，则球心O 到平面ABC 的距离为___________.【答案】1【详解】由题意可得三棱锥O ABC -为正三棱锥，取ABC 的中心M ，连接AM 并延长交BC 于D ，连接OM ，则OM ⊥平面ABC ，所以OM 的长为球心O 到平面ABC 的距离，因为3AB BC AC ===，所以223332AM AD ==⨯⨯=,在Rt AMO △中，2AO =，则1OM ===，所以球心O 到平面ABC 的距离为1，故答案为：116.在ABC 中，90,2C AD DB ∠==，记,ACD ABC ∠α∠β==，则()tan αβ+的最大值为___________.【答案】-【详解】记BCD θ∠=,则,αθ以及,A β均互为余角，故sin cos ,sin cos A βθα==在ACD 中，由正弦定理可得：sin sin sin cos CD CD AD A ααβ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin cos sin sin CD CD BD θαββ==.由2AD DB = 得2AD DB =，故sin 2cos sin 2cos cos sin cos sin CD CD ααααββββ=⇒=，进而得：tan tan 2αβ=，又tan 0,tan 0αβ>>，故tan tan αβ+≥=，当且仅当tan tan αβ==时取等号，因此()()tan tan n tan tan tan tan 1ta αβαβαβαβ+=-++≤--=值为：-故答案为：-四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知||1,||2,a b a == 与b 的夹角为120 .（1）求a b ⋅ ；（2）求a 在b 上的投影向量的模长.【答案】（1）1-；（2）12.【小问1详解】cos1201a b a b →→→→⋅==- .【小问2详解】因为1cos1202a →=- ，所以a →在b →上的投影向量的模长为12.18.设i 为虚数单位，R a ∈，复数()21221i,12i z a z =+-=-.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.①12R z z +∈；②1262i z z =-；③在复平面内复数1z 对应的点在第一象限的角平分线上.（1）求实数a 的值；（2）若()12R z b b z +∈是纯虚数，求实数b 的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】（1）（2）25.【小问1详解】若选①：由()21233i R z z a +=+-∈，得230a -=，解得a =.若选②：由()2221222625i 62i 52a z z a a a ⎧==+-=-⇒⎨-=-⎩，解得a =.若选③：由221a =-得a =.【小问2详解】1222i 26i 12i 55z b b b z ++=+=-++-，由205b -+=，解得25b =.19.已知在三棱锥-P ABC 中，底面是边长为2的正三角形，,D E 分别是棱,AC BC 的中点，且2,2PA PB ==.（1）求证：DE 平面PAB ；（2）若平面PBC ⊥平面PAC ，求三棱锥-P ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）223【小问1详解】因为,D E 分别是棱,AC BC 的中点，所以DE AB ∥，因为DE ⊄平面,PAB AB ⊂平面PAB ，所以DE 平面PAB .【小问2详解】取PC 中点O ，连接,BO AO ，因为BC BP =，所以BO PC ⊥.又因为平面PBC ⊥平面PAC ，平面PBC ⋂平面PAC PC =，所以BO ⊥平面PAC .因为AO ⊂平面PAC ，所以BO AO ⊥，在ABO 中，由90,,2BOA AO BO AB ∠=︒==，可求得AO BO ==.所以111223323P ABC B PAC PAC V V S BO --==⋅=⨯⨯⨯⨯ ，故三棱锥的-P ABC 的体积为22.320.以往的招生数据显示，某大学通过“三位一体”招生录取的大一新生高考总分的最低分基本上稳定在595分.你的一位高三学长在历次模拟考试中得分的情况统计如下：得分区间次数[)560,5805[)580,6008[)600,6206[)620,6405[]640,6601（1）补全下图的频率分布直方图；（2）若该同学历次模拟考试中得分的第P 百分位数为595分，估算P 的值以及该同学被此大学“三位一体”录取的可能性.【答案】（1）频率分布直方图见解析（2）44P =，该同学有56%的希望被该大学的“三位一体”录取【小问1详解】由表格数据知：得分在[)580,600内的频率为80.3225=，∴对应矩形的高为0.320.01620=，∴频率分布直方图如下图所示，【小问2详解】()0.01200.0165955800.44⨯+⨯-= ，44P ∴=，10.440.56-= ，∴该同学有56%的希望被该大学的“三位一体”录取.21.如图，在平面四边形ABCD 中，已知4,2,AB AD BAD BCD ∠∠π==+=.（1）若BD =，求BAD ∠；（2）若AC 平分BAD ∠，求4BD BC CD⋅的最大值.【答案】（1）23π；（2）812.【解析】【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理，得2221cos 22AB AD BD BAD AB AD ∠+-==-⋅，所以23πBAD ∠=.【小问2详解】设02BAC π∠αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则由BAD BCD π∠+∠=有,,,A B C D 四点共圆，所以BDC DBC ∠∠α==，在ABD △中，由余弦定理，得：22222cos23632cos BD AB AD AB AD αα=+-⋅⋅=-①在BCD △中，易知CD =BC ,取BD 的中点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ，于是2cos 2cos BD BD CD BC αα===，所以224cos BD CD BC α⋅=，即224cos BD CD BCα=⋅②①⨯②得()4222294cos 3632cos 84cos 4cos 2BD BC CD αααα⎛⎫=-=⨯- ⎪⋅⎝⎭22294cos 4cos 812822αα⎡⎤+-⎢⎥≤⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当2294cos 4cos 2αα=-即3cos 4α=时取等号，所以4BD BC CD ⋅的最大值为812.22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为1的正三角形，112,60,BB B BC D ∠== 是11A C 的中点.（1）若二面角1A BC B --的平面角的余弦值为13-.（i ）求侧面11A ABB 的面积；（ii ）求1B D 与平面11A ABB 所成角的正弦值.（2）直线1B D 与平面11A ACC 能否垂直？给出结论，并给予证明.【答案】（1）（i ）2；（ii ）66（2）直线1B D 不可能垂直于平面11A ACC ，证明见解析【小问1详解】解：（i ）取1,BC BB 的中点,O F ，连接,,AO FO AF .连接1B C ，由111,2,60BC BB B BC ∠=== ，由余弦定理22211112co 3s 1142122B B B C BC BB B C C BB ∠=+-⨯⨯+⨯-⋅==所以1B C =，所以22211B C BC BB +=，所以1B C BC ⊥，由题意，得,,2OA OF OA BC OF BC ==⊥⊥，所以AOF ∠是二面角1A BC B --的平面角，故1cos 3AOF ∠=-.由余弦定理2222233331cos 22222322A F A A OF F O O AO OF ⎛⎛⎛⎫∠=+-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-⋅所以AF =，所以222AB BF AF +=，所以1AB BB ⊥，所以111122A ABB S AB BB =⋅=⨯=，即侧面11A BB A 的面积为2.（ii ）取AC 的中点E ，由1//B D BE ，知1B D 与平面11A ABB 所成角即BE 与平面11A ABB 所成角.由BAF △、CAF V 是等腰直角三角形，取AF 的中点M ，连接,MC MB ，由22MC MB ==，222MB MC BC +=，得MC MB ⊥，又由MC FA ⊥，MB FA M ⋂=，,MB FA ⊂平面11A ABB ，所以MC ⊥平面11A ABB .取MA 的中点H ，连接,HE HB ，由//HE MC ，知HE ⊥平面11A ABB ，EBH ∠是直线BE 与平面11A ABB 所成的角.由123,242HE MC BE ===，得6sin 6HE EBH BE ∠==.所以1B D 与平面11A ABB 所成角的正弦值为66.【小问2详解】解：直线1B D 不可能垂直于平面11A ACC .证明如下：连接1,B C CD ，由111,2,60BC BB B BC ∠=== ，由余弦定理22211112co 3s 1142122B B B C BC BB B C C BB ∠=+-⨯⨯+⨯-⋅==所以1B C =，假设1B D ⊥平面11A ACC ，DC ⊂平面11A ACC ，则1B D DC ⊥，又132B D =，得32CD ==.在1CDC 中，112CD DC CC +==，矛盾.故假设不成立.所以，直线1B D 不可能垂直于平面11A ACC .。
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2021年高一数学下学期周测试题（二）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构和循环结构．下列说法中，正确的是( )
A．一个算法只能含有一种逻辑结构 B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合
2．下列赋值语句错误的是( )
A．i＝i－1 B．m＝m2＋1 C．k＝－1
k
D．x*y＝a
3.某校有40个班,每班50人,要求每班随机选派3人参加“学生大会”.在这个问题中样本容量是( )
A.40
B.50
C.120
D.150
4．要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5
D．2,4,8,16,32
5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②.完成①②这两项调查采用的抽样方法依次为( )．
A．分层抽样法、系统抽样法 B．分层抽样法、简单随机抽样法
C．系统抽样法、分层抽样法 D．简单随机抽样法、分层抽样法
6．阅读右图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12内，则输入的 实数x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．[－2，－1)
C ．[－1,2)
D ．[2，＋∞) 7．用秦九韶算法求n 次多项式f(x)＝a n x n
＋a m x
n －1
＋…＋a 1x ＋a 0，当x ＝x 0时，求 f(x 0)
需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( ) A.n
n ＋12
，n ，n B ．n,2n ，n C ．0,2n
，n D ．0，n ，n 8．如下图所示的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在①②两个判断框中，应该填入下图四个选项中的( )
A ．①b＞x ？ ②c＞x?
B ．①x＞b ？ ②x＞c?
C ．①b＞a ？ ②c＞b?
D ．①a＞a ？ ②c＞b?
9．运行下图所示的程序框图，若输出结果为13
7，则判断框中应该填的条件是( )
A ．k ＞5?
B ．k ＞6?
C ．k ＞7?
D ．k ＞8?
（第8题图） （第9题图）
10．下面程序输出的结果为( )
A ．17
B ．19
C ．21
D ．23
（第10题图）
11．下列各进位制数中，最大的数是( ) （第12题图）
A ．11111(2)
B ．1221(3)
C ．312(4)
D ．56(8) 12．执行上图所示的程序框图，则输出的S 值是( )
A ．－1 B.23 C.3
2 D ．4
13．459与357的最大公约数是________．
14．用秦九韶算法计算f(x)＝x 6
－12x 5
＋60x 4
－160x 3
＋240x 2
－192x ＋64当x ＝2时的值时，的值为_____．
15．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________． 16．一个总体中有100个个体，随机编号为00,01,02，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若
m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17．某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试采用系统抽样进行具体实施．
18．(1)用辗转相除法求567与405的最大公约数．
(2)用更相减损术求2 004与4 509的最大公约数．19.把五进制数432化成八进制的数，要求列竖式作答.
20．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并画出程序框图．
舒兰一中高一下学期数学周测参考答案： 1---12题： D D C B B B D A B C C D 13. 51 14. 80 15. 7,4,6 16. 63
17.[解析] ①将每个人编一个号，由0001至1003；②利用随机数表法抽取3个号，将这3个号对应的人排除；③重新编号0001至1000；④分段1000
10＝100.所以0001至0100为第
一段；⑤在第一段内用简单随机抽样法抽得一个号k ；⑥按编号将k ，k ＋100，k ＋200，…，
k ＋900共10个号码选出．这10个号码所对应的人组成样本．
18.[解析] (1)∵567＝405×1＋162,405＝162×2＋81,162＝81×2.∴567与405的最大公约数为81.
(2)∵4 509－2 004＝2 505,2 505－2 004＝501,2 004－501＝1 503,1 503－501＝1 002,1 002－501＝501.
∴2 004与4 509的最大公约数为501.
20.[解析] 由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ， 0≤x≤4，8， 4<x≤8，
212－x ， 8<x≤12.
程序框图如图：
(^332063 7D3F 紿34126 854E 蕎 37336 91D8 釘yx&21793 5521 唡35103 891F 褟
837782 9396 鎖27151 6A0F 樏。