多边形的镶嵌问题
多边形镶嵌问题
综合应用 5.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，
如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的 圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③）， 其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案 （如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个 10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有______个.
方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时
选择其中两种镶嵌地面，选择的方式有（
）
A.2种 B B.3种
C.4种
D.5种
3.如果在一个顶点周围用两个正方形和 n个正三角
形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则 n 的值是（
）
A.3A
B.4
C.5
D.6
4.试用边长相等的一个正六边形、6个正方形、6个 正三角形镶嵌成一个平面图案，画出草图.
各个顶点数上的内角之和等于360°.
练习2 欣赏下面两组美丽的图案，看看中间空缺 处应补上什么图形才完成平面镶嵌？
A组
B组
随堂演练
基础巩固
1.只用下列正多边形地砖中的一种，能够无缝隙，不
重叠地铺满地面的是（
）
A
A.正三角形
B.正五边形
C.正七边形
D.正八边形
2.现有四种地面砖，它们的形状分别是正三角形、正
课题拓展研究—— 多变形镶嵌问题
正十二边形，正六边形，正方形
正多边形的镶嵌图共有几种？
●所有的方法：用1种：（3，3，3，3，3，3） （4，4，4，4）（6，6，6）；
● 用2种：（4，8，8）（3，12，12）（3，3，6，6） （3，3，3，3，6）（3，3，3，4，4）（*5，10，10）
多边形及其内角和、镶嵌问题解决
多边形通常以边数命名 ，多边形有 儿 条 边就 叫做 儿边 形 ． 三角 形 、 四边 形 都 属 于 多边
形 ， 中三角 形 是边数 最 少 的多边 形 ． 其
的 一 个顶 点 向 和它 不 相 邻 的顶 点 可 引 一 ） ３
条 对 角 线 ， 儿边 形 分 成 了 （－ ） 三 角 形 ． 把 ｎ２个 由三角形 的 内角 和得 到 儿边 形 的 内角 和． 儿 即
，
，
鲺■用正多边形镶嵌的条件是什么？
用正 多边 形镶嵌 ，现 阶段 只研 究 正 多边 形 的 顶点不 落 在另 一个 正 多边 形 的边 上 的情 况． 这 种情 况 下 ， 正 多 边形 的边 长必 须 相 在 各
等 ， 由 于镶 嵌 无 间 隙 ， 又 又不重 叠 ． 以 在 每 所
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以知 道 ， 时 多 了一个 周 角 ， ３ ０ ． 这 即 ６ 。因此 ， 五 边 形 的 内角 和为 ：８ 。 ５ ３ ０ ＝ ４ 。 １０ ｘ — ６ 。 ５ ０ ．
皇■什么叫多边形呢？
边形 的内 角和 为 一 ）１０ ． ２ ・８ 。儿边形 的内角 和 ’
．
．
鲁 你能设法求出一个五边形的五个内 ■Ｉ
角的 和吗？
１直接 把 五 边形 的 五个 内角分 割 在 ３个 ．
三 角形 中 （ 图 ３ ，每个 三角 形 的 内角 和是 如 ）
１ ０ ， 以五边 形 的 内角和 为 ３ １０ ＝ ４ ｏ ８ 。所 ｘ ８ ｏ ５ ０．
在 平 面 内 ． 由若 干条 不 在 同一 直线 上 的 线 段 首尾顺 次 相 连组 成 的封 闭 图形 叫做 多边
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌（教案练习）
沪科版数学八年级下册19.4多边形的镶嵌教学设计课题19.4多边形的镶嵌单元第19章= 学科数学年级八年级下学习目标【知识与技能】了解镶嵌的数学思想及其应用．【过程与方法】经历探究利用一种正多边形以及任意多边形镶嵌的过程，增进应用数学的自信心；【情感态度与价值观】通过研究多边形镶嵌获得成功的体验和克服困难的经历，体会数学之美，认识数学的应用价值．重点镶嵌的含义及平面镶嵌条件的探究．难点怎样进行镶嵌．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课师：请同学们观看课件，这是生活中常见的镶嵌图案，体会数学的生活化。
师：请问拼接点处是否被瓷砖完全覆盖，有空隙吗？是否重叠？师：通过观察上面的地面及墙面，你发现它们有哪些共同特点？认真观察，积极思考并回答问题，通过生活场景到新课，讲授新课师：下面我们来描述一下平面镶嵌的定义：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，这在几何里叫做平面镶嵌。
平面镶嵌也叫密铺。
师：同学们注意各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠师：接下来我们来探索一下如何利用正多边形以及任意多边形进行平面镶嵌，探究一：师：请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否镶嵌成平面图案?（1）正三角形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正三角形能平面镶嵌（2）正方形能平面镶嵌吗？认真思考以及描述定义，在老师的引导下认真思考，积极探索平面镶嵌的有关内容学生拿手中正三边形进行实验并得出结论学生拿手中正方形进行实验并得出结论引出课题（板书）明确镶嵌含义通过分类讨论培养学生的逻辑思维能力学生通过拿手中的多边形进行实验探究得出结论，能够给学生加深印象，掌握知识点师：请问在拼接点处角度之和为多少？正方形能平面镶嵌（3）正五边形能平面镶嵌吗？正五边形不能平面镶嵌（4）正六边形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正六边形能平面镶嵌师：思考为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？师：由以上可得出结论：如果用一种正多边形可以进行镶嵌，那么每个内角学生拿手中正五边形进行实验并得出结论学生拿手中正六边形进行实验并得出结论都是360°的约数.所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．探究二：小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？活动1：师：用边长相等的正三角形和正方形，能否镶嵌成平面图案？请你试一试！你知道正三角形及正方形各需要多少吗？解：设在一个拼接点周围有m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，则有m·60°+n·90°=360°2m+3n=12∵m,n 为正整数∴解为m=3.n=2需要三个正三角形及两个正方形镶嵌。
中考数学复习指导：中考数学中的镶嵌问题
中考数学中的镶嵌问题解答镶嵌问题的关键是判断围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起是否恰好是一个周角．如果能构成一个周角，则能镶嵌成一个平面，否则不能镶嵌．现以中考题为例加以说明．一、用同一种正多边形镶嵌例 1 某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）（A ）4种；（B ）3种 ；（C ）2种；（D ）1种．分析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360°的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌．解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60°、90°、108°、120°．显然，108°不是360°的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌．故应选C ． 评注：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．二、用两种或两种以上正多边形组合镶嵌例2 一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．分析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为n 1、n 2、n 3，则有()111802n n ︒⋅-＋()221802n n ︒⋅-＋()331802n n ︒⋅-=360°，整理得，11n ＋21n ＋31n =21． 解：根据分析可知，11n ＋21n ＋31n =21，即41＋61＋31n =21．解得，n 3=12．所以第三个正多边形的边数是12．评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌．（2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足11n ＋21n ＋31n =21． 三、运用镶嵌探索规律例3 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．分析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律．解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：完整圆的个数 第1个1=12＋（1－1）2 第2个5=22＋（2－1）2 第3个13=32＋（3－1）2 第4个25=42＋（4－1）2 …… n 个 n 2＋（n －1）2所以，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n 2＋（n －1）2= 102＋（10－1）2=181．评注：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法．。
平面镶嵌的条件
平面镶嵌的条件平面镶嵌是一种几何问题，即如何在平面上把多边形拼接成一个封闭的区域。
在这个问题中，我们需要考虑到多边形的边界线和内部空间的交错和重叠等因素，以保证拼接后的结果是合法的。
平面镶嵌的条件非常重要。
平面镶嵌的每个多边形都必须是凸多边形。
凸多边形是指平面上的一个区域，其中连接任意两个内部点的线段都在这个区域内。
在平面镶嵌中，凸多边形可以确保拼接后的图形不会出现奇怪的空洞或凹陷。
在计算过程中，凸多边形也更容易处理。
平面镶嵌中的每个多边形必须可以通过相邻多边形的公共边缝合在一起。
这就要求相邻多边形的公共边必须完全重合，并且两边的角度要相等。
这个条件是平面镶嵌中最基本的条件，也是每个多边形都需要满足的条件。
除了上述两个基本条件外，平面镶嵌中还需要满足一些其他的条件。
平面镶嵌中不能出现两个多边形的重叠部分，也不能出现两个多边形相交的情况。
这两个条件是保证拼接后的图形没有破损或重叠的关键条件。
如果不满足这些条件，拼接后的图形就可能出现错综复杂的情况，难以判定。
在平面镶嵌中，我们还需要考虑到多边形的方向。
通常情况下，我们规定多边形的内部在左边，而外部在右边。
这种规定是为了方便计算，使得我们可以通过向量或点积等方式来确定多边形的方向。
在将多边形放置在平面上进行拼接时，也需要考虑到这个方向性。
需要注意的是，平面镶嵌中的拼接结果可能不唯一。
即使是同样的凸多边形和相邻关系，可能也会有多种不同的拼接方式。
在进行平面镶嵌时，我们需要结合实际问题来选择最合适的拼接方式。
除了以上条件，平面镶嵌还需要满足一些其他的约束条件。
在某些情况下，平面镶嵌中的多边形必须被放置在特定的位置和方向上，或者必须满足特定的拓扑结构。
这些约束条件通常与实际应用有关，例如在设计地图、计算机芯片布线、制作纹理贴图等领域中都会涉及到平面镶嵌问题。
在实际应用中，平面镶嵌的计算通常会使用算法来实现。
常用的算法包括贪心算法、分治算法、动态规划等。
这些算法分别针对不同的问题和约束条件，采用不同的方法和策略进行求解。
精品 2014年八年级数学上册-三角形初步认识 05 多边形--镶嵌问题及复习
第05课多边形--镶嵌问题及复习知识点：下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？都是一些多边形；相互不重叠；把一部分平面完全覆盖。
用一些不重叠．．．．，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖．．．摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖平面）。
满足条件：同一个顶点处的各个角的和等于360°，且相邻的多边形有公共边.。
能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。
例1.一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，求除去的这个内角的度数？例2.小华从点A出发向前走10m，向右转15°然后继续向前走10m，再向右转15°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由。
例3.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=600，AB与DE有什么关系？BC与EF有这种关系吗？这些结论是怎么得出的？例4.如图所示，五个半径为2的圆，圆心分别是A 、B 、C 、D 、E ，求图中阴影部分的面积和是多少？例5.如图，在ABC ∆中，AE AD ,分别是ABC ∆的高线和角平分线.（1）若∠B=300,∠C=500,，求∠DAE 的度数；（2）若βα=∠=∠C B ,，用含βα,的式子表示DAE ∠。
例6.（1）已知△ABC 为正三角形，点M 是BC 上一点，点N 是AC 上一点，AM 、BN 相交于点Q ，∠BAM=∠NBC,猜想∠BQM 等于多少度，并证明你的猜想；（2）将（1）中的“正△ABC ”分别改为正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、正六边形ABCDEF 、正n 边形ABCD …X ，“点N 是AC 上一点”改为点N 是CD 上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM 等于多少度，将结论填入下表：课堂练习：1.某人到瓷砖商店去购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形2.等腰三角形的腰长是4cm，则它的底边长不可能是( )A.1cmB.3cmC.6cmD.9cm3.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为( )A.正八边形和正方形B.正五边形和正十边形C.正六边形和正三角形D.正六边形和正八边形4.用正三角形和正十二边形镶嵌,可能情况有( )A.1种B.2种C.3种 C.4种5.用正三角形和正六边形镶嵌,若每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形,则m,n满足的关系式是( )A.2m+3n=12B.m+n=8C.2m+n=6D.m+2n=66.若多边形边数由3增加到n（n为大于3的整数），则其外角和的度数（）A.增加B.减少C.不变D.不能确定7.下列说法中正确的个数为( ).(1)一种三角形都能铺满地面(2)能够铺满地面的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形(3)能够铺满地面的正多边形的组合只有正三角形，正方形和正六边形之间组合(4)一个正五边形和两个正十边形的组合能够铺满地面A.0B.1C.2D.38.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1、∠2之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A.∠A=∠1-∠2B.2∠A=∠1-∠2C.3∠A=2∠1-∠2D.3∠A=2（∠1-∠2）9.如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I +∠K的度数为（）A.720° B．900° C．1080° D．1260°10.用同一种正多边形能铺满地面的只有____＿＿.11.正十二边形的每一个外角等于_________12.四边形ABCD中，若∠A+∠B=∠C+∠D，若∠C=2∠D，则∠C＝13.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第n层有________个白色正六边形.14.如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝15.如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=16.如图，①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案②，其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案③，其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案④，其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有________个.17.如图，四边形ABCD中，∠BAF，∠DAE是与∠BAD相邻的外角，且∠BAD:∠BAF=4:5，求∠BAD，∠DAE的度数.18.看图答题：问题：（1）小华在求几边形的内角和?（2）少加的那个角为多少度？课堂测试题05日期：月日满分：100分姓名：得分：1.能够用一种正多边形铺满地面的是____。
平面镶嵌中的数学问题
1 / 1
平面镶嵌中的数学问题
无论是室内地面的装修，还是室外地面的铺设，都涉及平面镶嵌的有关知识，如果你注意一下，就会发现用同一种地砖铺地面，地砖的形状大多是正方形或正六边形，为什么呢？
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，形成无空隙、不重合的一片，就是平面的镶嵌。
一个正多边形能够镶嵌成平面图案的前提是它的内角在拼接点能够拼成一个周角。
在正多边形中，只有三种正多边形可以单独镶嵌。
1.正三角形
正三角形的每个内角都等于60°，因为60°×6=360°，所以用6个边长相等的正三角形可以镶嵌成一个平面图案，如图1。
2.正方形
正方形的每个内角都等于90°，因为90°×4=360°，所以用4个边长相等的正方形可以镶嵌成一个平面图案，如图2。
3.正六边形
正六边形的每个内角是120°，因为120°×3=360°，所以用3个边长相等的正六边形可以镶嵌成一个平面图案，如图3。
其它的正多边形不能单独镶嵌。
如正五边形的每个内角的度数为108°，3个正五边形拼在一起，在公共顶点上的三个角的和是108°×3=324°，小于360°，有空隙，而空隙又放不下第4个正五边形。
在铺地面时，为了美观，也可使用两种不同的正多边形地砖进行镶嵌，如用3个正三角形和两个正方形，用2个正八边形和一个正方形。
用三种不同的正多边形地砖进行地面镶嵌不常见，但也可以，如图4，用正六边形、正三角形和正方形地砖可以镶嵌成一个平面图案。
360° 三、两种正多边形镶嵌情况
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
17种可能镶嵌的正多边形如下：
正多形1 正多形2 正多形1 正多形2 正多形3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3,3,3,3,3,3 4,4,4,4 6,6,6 3,3,3 3,3,3,3 3,3 3 4 5,5
4,4 6 6,6 12,12 8,8 10
7. 两种正多边形进行镶嵌 有多少种情况？
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1个正三角形，2个正12边形； 2个正三角形，2个正6边形； 3个正三角形，2个正4边形； 4个正三角形，1个正6边形； 1个正四边形，2个正8边形； 2个正五边形，1个正10边形.
四、 三种正多边形镶嵌情况
90o ×1 + 108o ×1 +162o × 1 =360°
7、1个0o ×1
+ 90o ×1 +120o × 1 =360°
1个正4边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌整体效果
(8)1个正3边形，1个正7边形，1个正42边形镶嵌 60o + 5 /7× 180o +40/42 × 180o =360°
原因：每一个角60°,60
°×6
=360°
任意三角形能否镶嵌？
情况：没有缝隙-任意正三角形可以镶嵌
C
2.四边形能够镶嵌吗？
90o
原因：每一个角90°,90
°×4
=360°
任意四边形能镶嵌成平面图形吗，为什么？
3.正六边形能否镶嵌？
原因：每一个角120°,120
°×3
=360°
正多边形镶嵌成一个平面的条件： 一个顶点处的各角之和为360度.
n1
(n2-2)×180o ＋ = 360o n2
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正六边形和正三角形的组合镶嵌
正六边形和正三角形的组合镶嵌
1.镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2.多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个角的和为360°
试试看: 请你用两种或两种以上的 多边形设计镶嵌图案.
例:用边长相同的正四边形和正八边形 做平面密铺，有几种可能？为什么？
解：因为正八边形的内角为135 ， o 正方形的内角为90 ，根据： o o o 135 ×2+90 ＝360 ，可知： 两个正八边形和一个正方形 能拼成一幅镶嵌图. 在公共的顶点处各正多边形的内角和等于360°
6
能否平面 镶嵌
图形
一个顶点处正 多边形的个数
正三角形 正方形
能
6
能 不能
能
4
正五边形 正六边形
3
收获
规律小结：
(1)如果正多边形能够镶嵌平面，那么共 顶点的各个角的度数之和应等于360°. (2)能单独用来镶嵌平面的正多边形的 内角度数一定能整除360.
试一试
能用下列正多边形单独镶嵌平面吗？
1.三角形可以作平面镶嵌吗? 若能，三角形将如何镶嵌呢?
形状、大小完全相同的任意 三角形可以镶嵌平面吗？
1
3 2
1
3
1
3
2
2
1
3
1
2
3
2 1
2
1 2 3 1 2 3
3
2.四边形呢?
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°, 所以四边形也可以作平面镶嵌.
D C A
B
形状、大小完全相同的任意四边形 可以镶嵌平面吗？
关键：得到一个关于边数x，y的方程， 然后求出它的整数解。
正三角形、正方形、正六边形的组合镶嵌
正三角形、正十二边形的组合镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形的角、 n个正十二边形的角，则有 。 。 。
m· 60 +n· 150 =360
2m+5n=12
∵m、n为正整数
∴解为
m=1 n=2
(1)正八边形； (2)正十边形；
(8 2) 180 135 8
(10 2) 180 144 10 (20 2) 180 162 20
(3)正二十边形；
综合上述研究，可得出以下结论：
能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，
即正三角形、正方形、正六边形.
m 3 60m 90n 360 n 2
注意:同一个组合会有不同的镶嵌效果
正方形和正三角形的组合镶嵌
正 方 形 和 正 三 角 形 的 组 合 镶 嵌
(2) 正三角形与正六边形的平面镶嵌 设在一个顶点周围有m个正三角形， n个正六边形的角.
m 4 m 2 60 m 120 n 360 , n 1 n 2
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
60
o
90
o
108
o
120
o
正n边形呢？
(n 2)180 n
用一种或几种多边形进行拼接,彼此之间不留缝隙,
也不重叠地铺成一片,叫做平面图形的镶嵌.
生活中利用镶嵌组成的美丽图案
你注意到地砖的形状一般都是几边形吗？ 下列各正多边形中 ,哪些能单独镶嵌平面， 有没有正五边形地砖？你知道为什么吗？ 哪些不能，为什么？
（2）正三角形与正方形；
（3）正方形与正八边形；
（4）正六边形与正八边形；
（5）正三角形、正方形与正六边形。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形 的内角和加在一起恰好组成一个周角时, 就能镶嵌一个平面图形;那么哪些正多 边形可以进行镶呢？
(1) 正三角形与正方形的平面镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形， n个正方形的角。
1
1
3 4
2
2
1 3
2 2
4
1 3
2
2
3
3
4
4
1
1
2
1
2 2
3
4
4 3
3
1
4
4 3
1
3
3 2 4
4
1
3
1
2
4
4 1
2
从而发现： 形状、大小完全相同的平面图形 能够镶嵌平面的有： 任意三角形、任意四边形、正六边形.
探究多种正多边形的组合镶嵌平面
下列多边形组合，能够密铺平面的是：
（1）正三角形与正六边形；
观察以下图形并思考在镶嵌时，
如何做到既无缝隙又不重叠?
每个顶点处几个角的和为360°
正三角形为什么能镶嵌？
正方形为什么能镶嵌？
正五边形可以镶嵌吗？
原来拼不了！ 为什么?
1 2
3
∠1+∠2+∠3=?
正五边形不能密铺!
正六边形为什么能镶嵌？
正多边形能否镶嵌平面,关键是拼接点处的 几个内角和能否构成360°.
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正方形、正八边形的组合镶嵌
例:用边长相同的正四边形和正八边形 做平面密铺，有几种可能？为什么？
解：设在一个顶点周围有x个正四边形，y个正八边形， 则 x· 90°+y· 135°=360° 即2x+3y=8 这个方程的非负整数解为： x 1 =1 x 2 =4 y 1 =2 y 2 =0 所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能： (1)在它的一个顶点周围1个正四边形配2个正八边形； (2)在它的一个顶点周围都用正四边形.
还有其他的正多边形可以进行镶嵌吗？
正多边 形边数 3 4
拼图
每个内角 每个内角与 的度数 360°的关系
结论 能镶嵌 能镶嵌
60° 6×60°= 360° 90° 4×90°= 360°
108° 3×108°＜ 360° 不能镶嵌 5
108° 4×108°＞ 360° 不能镶嵌 120° 3×120°= 360° 能镶嵌
请你欣赏
观察以下图案，说明它们都是由哪些 几图形组成？
……..
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
正多边形: 各边相等、各内角也相等的多边形. 思考:(1)三边都相等的三角形是正三角形吗? (2)四边都相等的四边形是正方形吗? (3)四个角都相等的四边形是正方形吗?
做一做:求下列各正多边形的各个内角度数