宝山区2016年高三数学文理科一模试卷(含答案)

合集下载

上海市宝山区2016届高考数学一模试卷(解析版)

2016年市宝山区高考数学一模试卷一．填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为．2．：〔i是虚数单位〕，那么z=．3．以点〔1，2〕为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是．4．数列所有项的和为．5．矩阵A=，B=，AB=，那么x+y=．6．等腰直角三角形的直角边长为1，那么绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．7．假设〔x﹣〕9的展开式中x3的系数是﹣84，那么a=．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．9．ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f〔x〕的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，那么t的最小值为．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪〞、“捷达〞两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，那么不同的乘车方法种数是．11．向量，满足，，与的夹角为60°，那么=．12．数列，那么是该数列的第项．13．直线〔1﹣a 〕x+〔a+1〕y ﹣4〔a+1〕=0〔其中a 为实数〕过定点P ，点Q 在函数的图象上，那么PQ 连线的斜率的取值围是．14．如图，抛物线y 2=x 及两点A 1〔0，y 1〕和A 2〔0，y 2〕，其中y 1＞y 2＞0．过A 1，A 2分别作y 轴的垂线，交抛物线于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与y 轴交于点A 3〔0，y 3〕，此时就称A 1，A 2确定了A 3．依此类推，可由A 2，A 3确定A 4，…．记A n 〔0，y n 〕，n=1，2，3，…．给出以下三个结论： ①数列{y n }是递减数列； ②对∀n ∈N *，y n ＞0； ③假设y 1=4，y 2=3，那么．其中，所有正确结论的序号是．二．选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15．如图，该程序运行后输出的结果为〔〕A．1 B．2 C．4 D．1616．P是△ABC所在平面一点，假设，其中λ∈R，那么P点一定在〔〕A．△ABC部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上17．假设a，b是异面直线，那么以下命题中的假命题为〔〕A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直18．王先生购置了一部手机，欲使用中国移动“神州行〞卡或参加联通的130网，经调查其收费标准见下表：〔注：本地费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．〕网络月租费本地话费长途话费甲：联通130 12元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行〞无0.60元/分0.07元/秒假设王先生每月拨打本地的时间是拨打长途时间的5倍，假设要用联通130应最少打多长时间的长途才合算．〔〕A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒三．解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC 的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．20．设a、b、c分别是△ABC三个角∠A、∠B、∠C的对边，假设向量，且，〔1〕求tanA•tanB的值；〔2〕求的最大值．21．某市2013年发放汽车牌照12万，其中燃油型汽车牌照10万，电动型汽车2万．为了节能减排和控制总量，从2013年开场，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．〔1〕记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{bn}，完成以下表格，并写出这两个数列的通项公式；a 1=10 a2=9.5 a3= a4= …b 1=2 b2= b3= b4= …〔2〕从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开场超过200万？22．椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．〔1〕假设，M为椭圆上动点，证明：；〔2〕数m的取值围；〔3〕求△AOB面积的最大值〔O为坐标原点〕．23．函数f〔x〕=logk x〔k为常数，k＞0且k≠1〕，且数列{f〔an〕}是首项为4，公差为2的等差数列．〔1〕求证：数列{an}是等比数列；〔2〕假设bn =an+f〔an〕，当时，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值；〔3〕假设cn =anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}是递增数列？假设存在，求出k的围；假设不存在，说明理由．2016年市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为log23 ．【考点】指数式与对数式的互化；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得〔2x〕2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=0，得〔2x〕2﹣2x﹣6=0，解得2x=3，或2x=﹣2〔舍去〕，3．∴x=log23．故答案为：log2【点评】此题考察指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．2．：〔i是虚数单位〕，那么z= ﹣3﹣4i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩大和复数．【分析】把的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再求其共轭复数得答案．【解答】解：由，得：，∴z=﹣3﹣4i．故答案为：﹣3﹣4i．【点评】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察共轭复数的概念，是根底的计算题．3．以点〔1，2〕为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=25 ．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先求圆心到直线4x+3y﹣35=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程．【解答】解：以点〔1，2〕为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切，圆心到直线的距离等于半径，即：所求圆的标准方程：〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=25故答案为：〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=25【点评】此题考察圆的标准方程，直线与圆相切，是根底题．4．数列所有项的和为 2 ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列前n项和，再求出前n项和的极限，从而求出结果．【解答】解：数列前n项和：==2[1﹣〔〕n]，Sn∴数列所有项的和为：S===2．故答案为：2．【点评】此题考察等比数列的前n项和的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．矩阵A=，B=，AB=，那么x+y= 8 ．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】利用矩阵乘法法那么求解．【解答】解：∵矩阵A=，B=，AB=，∴AB===，∴，解得x=5，y=3，∴x+y=8．故答案为：8．【点评】此题考察代数式的值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意矩阵乘法法那么的合理运用．6．等腰直角三角形的直角边长为1，那么绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，故该几何体的体积V=2×[×]•=．故答案为：【点评】此题考察的知识点是旋转体，圆锥的体积，难度不大，属于根底题．7．假设〔x﹣〕9的展开式中x3的系数是﹣84，那么a= 1 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．r x9﹣2r【解答】解：展开式的通项为=〔﹣a〕r C9令9﹣2r=3得r=33〔﹣a〕3=﹣84a3=﹣84，∴展开式中x3的系数是C9∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考察二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】写出抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决此题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．【解答】解：抛物线y2=12x的准线为x=﹣3，双曲线的两条渐近线方程分别为：y=x，y=﹣x，这三条直线构成边长为2的等边三角形，因此，所求三角形面积等于×2×2×sin60°=．故答案为：．【点评】此题考察三角形形状确实定和面积的求解，考察双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考察学生直线方程的书写，考察学生分析问题解决问题的能力，属于基此题型．9．ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f〔x〕的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，那么t的最小值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；二阶矩阵．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得ω，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出t的取值集合得答案．【解答】解： ==．∵f〔x〕的最小正周期为2π，∴，得ω=1．将f〔x〕的图象向左平移t个单位，得f〔x+t〕=．∵函数f〔x+t〕为偶函数，∴，那么t=．取k=0时，t的最小值为．故答案为：．【点评】此题考察三角函数中的恒等变换应用，考察了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是中档题．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪〞、“捷达〞两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，那么不同的乘车方法种数是48 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一个小孩、奥迪车上有2个小孩这三种情况，分别求得乘车的方法数，相加即得所求．【解答】解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．假设奥迪车上没有小孩，那么有=10种方法；假设奥迪车上有一个小孩，那么有=28种；假设奥迪车上有两个小孩，那么有=10种．综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，故答案为 48．【点评】此题主要考察排列与组合及两个根本原理的应用，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．向量，满足，，与的夹角为60°，那么=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出，对两边平方，解出||．【解答】解： =||×=||．∵，∴〔〕2=．∴﹣2+=．∴1﹣||+||2=．解得||=．故答案为：．【点评】此题考察了平面向量的数量积运算，是根底题．12．数列，那么是该数列的第128 项．【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，由此可知：分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；即可得出是分子、分母之和为17的第8项．【解答】解：观察数列，该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，∴分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；其中是分子、分母之和为17的第8项；．故共有项．故答案为128．【点评】此题考察了通过观察所要解决的提问转化为利用等差数列的前n项和公式解决，属于中档题．13．直线〔1﹣a〕x+〔a+1〕y﹣4〔a+1〕=0〔其中a为实数〕过定点P，点Q在函数的图象上，那么PQ连线的斜率的取值围是[﹣3，+∞〕．【考点】恒过定点的直线；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】直线方程即 x+y﹣4+a〔﹣x+y﹣4〕=0，由，求得定点P的坐标，设点Q〔m，m+〕，m≠0，那么PQ连线的斜率为为=﹣3，再利用二次函数的性质求得它的围．【解答】解：直线〔1﹣a〕x+〔a+1〕y﹣4〔a+1〕=0即 x+y﹣4+a〔﹣x+y﹣4〕=0，由，解得，故定点P 的坐标为〔0，4〕．设点Q 〔m ，m+〕，m≠0，那么PQ 连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ 连线的斜率的取值围为[﹣3，+∞〕，故答案为[﹣3，+∞〕．【点评】此题主要考察直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．14．如图，抛物线y 2=x 及两点A 1〔0，y 1〕和A 2〔0，y 2〕，其中y 1＞y 2＞0．过A 1，A 2分别作y 轴的垂线，交抛物线于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与y 轴交于点A 3〔0，y 3〕，此时就称A 1，A 2确定了A 3．依此类推，可由A 2，A 3确定A 4，…．记A n 〔0，y n 〕，n=1，2，3，…．给出以下三个结论： ①数列{y n }是递减数列； ②对∀n ∈N *，y n ＞0； ③假设y 1=4，y 2=3，那么．其中，所有正确结论的序号是 ①②③ ．【考点】数列与解析几何的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先确定直线B n ﹣1B n ﹣2的方程，求得，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，B n ﹣1〔〕，B n ﹣2〔〕，那么直线B n ﹣1B n ﹣2的方程为令x=0，那么，∴∴∴∵y 1＞y 2＞0，∴y n ＞0，故②正确；，∴y n ＜y n ﹣1，故①正确；假设y 1=4，y 2=3，那么，y 4=，，故③正确．故答案为：①②③．【点评】此题考察数列与解析几何的综合，考察学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15．如图，该程序运行后输出的结果为〔〕A ．1B ．2C ．4D ．16【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型．【分析】由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；进而程序完毕得到答案．【解答】解：由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；因为a=4≤3不成立，所以输出b的数值为16．应选D．【点评】此题考察的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的方法．16．P是△ABC所在平面一点，假设，其中λ∈R，那么P点一定在〔〕A．△ABC部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【解答】解：∵，，∴=，那么，∴∥，即与共线，∴P点一定在AC边所在直线上，应选B．【点评】此题主要考察向量的共线定理，要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题．属于中档题．17．假设a，b是异面直线，那么以下命题中的假命题为〔〕A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面平行于b；在B中，只有a、b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直；在C中，由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距；在D中：假设存在平面α与直线a、b都垂直，那么a∥b．【解答】解：由a，b是异面直线，知：在A中：a，b是两异面直线，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a只能作出1个平面平行于b，故A正确；在B中：只有a、b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否那么过直线a不可以作一个平面α与直线b垂直，故B正确；在C中：由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距，故C正确；在D中：假设存在平面α与直线a、b都垂直，那么直线与平面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．应选：D．【点评】此题考察命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．18．王先生购置了一部手机，欲使用中国移动“神州行〞卡或参加联通的130网，经调查其收费标准见下表：〔注：本地费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．〕网络月租费本地话费长途话费甲：联通130 12元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行〞无0.60元/分0.07元/秒假设王先生每月拨打本地的时间是拨打长途时间的5倍，假设要用联通130应最少打多长时间的长途才合算．〔〕A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒【考点】函数与方程的综合运用；函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据每月的通话时间和甲方式的收费标准，可知所需花费=月租费+本地话费+长途话费，可求所需话费y〔元〕与通话时间x〔分钟〕的函数关系式；将乙方式所需话费y〔元〕与通话时间x 〔分钟〕的函数关系式求出，将两个式子进展比拟，可得出较为省钱的入网方式．【解答】解：每月接打本地的时间是接打长途的5倍，王先生每月拨打长途时间为x〔分钟〕，他所需话费y〔元〕，联通130他所需话费y〔元〕与通话时间x〔分钟〕的函数关系式为y=12+0.36×5x+3.6x〔x＞0〕；移动“神州行〞他所需话费y〔元〕与通话时间x〔分钟〕的函数关系式为：y=0.6×5x+4.2x，假设要用联通130应最少打多长时间的长途才合算，可得：12+0.36×5x+3.6x＜0.6×5x+4.2x，解得：x＞〔分钟〕=400秒．应选：B．【点评】此题主要是应用数学模型来解决实际问题，考察一次函数的应用．三．解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC 的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由三棱锥P﹣ABC的体积为20，得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，那么∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，由此能求出异面直线PB，AQ所成的角．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，∴，解得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，那么∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，，DA=5，∵QD⊥平面PAC，∴QD⊥AD，∴tan∠AQD=2，∴异面直线PB，AQ所成的角为arctan2．【点评】此题考察异面直线所成角的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养．20．设a、b、c分别是△ABC三个角∠A、∠B、∠C的对边，假设向量，且，〔1〕求tanA•tanB的值；〔2〕求的最大值．【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】〔1〕由，化简得 4cos〔A﹣B〕=5cos〔A+B〕，由此求得tanA•tanB的值．〔2〕利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用根本不等式求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值．【解答】解：〔1〕由，得．…即，亦即 4cos〔A﹣B〕=5cos〔A+B〕，…所以．…〔2〕因，…而，所以，tan〔A+B〕有最小值，…当且仅当时，取得最小值．又tanC=﹣tan〔A+B〕，那么tanC有最大值，故的最大值为．…【点评】此题主要考察两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及根本不等式的应用，属于中档题．21．某市2013年发放汽车牌照12万，其中燃油型汽车牌照10万，电动型汽车2万．为了节能减排和控制总量，从2013年开场，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．〔1〕记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{bn}，完成以下表格，并写出这两个数列的通项公式；a 1=10 a2=9.5 a3= 9 a4= 8.5 …b 1=2 b2= 3 b3= 4.5 b4= 6.75 …〔2〕从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开场超过200万？【考点】数列的应用．【专题】应用题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】〔1〕利用从2013年开场，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；〔2〕利用等差数列与等比数列的求和公式，可得﹣n2+17n﹣≥200，即可得出结论．【解答】解：〔1〕a 1=10 a2=9.5 a3=9 a4=8.5 …b 1=2 b2=3 b3=4.5 b4=6.75 ……当1≤n≤20且n∈N*，an=10+〔n﹣1〕×〔﹣0.5〕=﹣0.5n+10.5；当n≥21且n∈N*，an=0．∴an=…而a4+b4=15.25＞15∴bn=，…〔2〕当n=4时，Sn =a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25．当5≤n≤21时，Sn =〔a1+a2+…+an〕+〔b1+b2+b3+b4+b5+…+bn〕=10n+++6.75〔n﹣4〕=﹣n2+17n﹣…由Sn≥200得﹣n2+17n﹣≥200，即n2﹣68n+843≤0，得34﹣≤n≤21 …∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万．…【点评】此题考察数列的应用，考察利用数学知识解决实际问题，考察数列的求和，考察学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．〔1〕假设，M为椭圆上动点，证明：；〔2〕数m的取值围；〔3〕求△AOB面积的最大值〔O为坐标原点〕．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔1〕设M〔x，y〕，那么+y2=1，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．〔2〕由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．与椭圆方程联立得．△＞0，再利用中点坐标公式、根与系数的关系即可得出．，再利用二次函数的单调性即可得出．〔3〕利用弦长公式、点到直线的距离公式可得S△AOB【解答】〔1〕证明：设M〔x，y〕，那么+y2=1，于是===，∵﹣1≤y≤1，∴当时，．即．〔2〕解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．由消去y，得．∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即①将AB中点，代入直线方程解得②由①②得或．〔3〕解：令，即，那么，且O到直线AB的距离为，设△AOB的面积为S〔t〕，∴，当且仅当时，等号成立．故△AOB面积的最大值为．【点评】此题考察了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式，考察了推理能力与计算能力，属于难题．23．函数f〔x〕=logk x〔k为常数，k＞0且k≠1〕，且数列{f〔an〕}是首项为4，公差为2的等差数列．〔1〕求证：数列{an}是等比数列；〔2〕假设bn =an+f〔an〕，当时，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值；〔3〕假设cn =anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}是递增数列？假设存在，求出k的围；假设不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合；对数函数的图像与性质．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】〔1〕运用等差数列的通项公式和对数的定义，可得an=k2n+2，再由等比数列的定义即可得证；〔2〕求得a n ，f 〔a n 〕，再由等差数列和等比数列的求和公式，运用单调性即可得到最小值；〔3〕由题意可得〔n+1〕lgk ＜〔n+2〕•k 2•lgk 对一切n ∈N *成立．讨论k ＞1，0＜k ＜1，运用数列的单调性即可得到所求k 的围．【解答】解：〔1〕证明：由题意可得f 〔a n 〕=4+2〔n ﹣1〕=2n+2，即log k a n =2n+2，∴，∴．∵常数k ＞0且k≠1，∴k 2为非零常数，∴数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列；〔2〕当时，，f 〔a n 〕=2n+2，所以，因为n≥1，所以，是递增数列，因而最小值为S 1=1+3+﹣=．〔3〕由〔1〕知，，要使c n ＜c n+1对一切n ∈N *成立，即〔n+1〕lgk ＜〔n+2〕•k 2•lgk 对一切n ∈N *成立．当k ＞1时，lgk ＞0，n+1＜〔n+2〕k 2对一切n ∈N *恒成立；当0＜k ＜1时，lgk ＜0，n+1＞〔n+2〕k 2对一切n ∈N *恒成立，只需， ∵单调递增， ∴当n=1时，．∴，且0＜k＜1，∴．综上所述，存在实数满足条件．【点评】此题考察等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考察数列的单调性的判断和运用，以及数列不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。

2016年上海市宝山区高考一模数学试卷【解析版】

15．（5 分）如图，该程序运行后输出的结果为（）
第 2 页（共 18 页）
A．1
B．2
C．4
D．16
16．（5 分）P 是△ABC 所在平面内一点，若＝λ + ，其中 λ∈R，则 P 点一
定在（）
A．△Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC 内部
B．AC 边所在直线上
C．AB 边所在直线上
D．BC 边所在直线上
17．（5 分）若 a，b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（）
第 1 页（共 18 页）
＞y2＞0．过 A1，A2 分别作 y 轴的垂线，交抛物线于 B1，B2 两点，直线 B1B2 与 y 轴交于点 A3（0，y3），此时就称 A1，A2 确定了 A3．依此类推，可由 A2， A3 确定 A4，…．记 An（0，yn），n＝1，2，3，…．给出下列三个结论：
2016 年上海市宝山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每
①数列{yn}是递减数列； ②对∀n∈N*，yn＞0；
③若 y1＝4，y2＝3，则
．
其中，所有正确结论的序号是
．
二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、 D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得 5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
是首项为 4，公差为 2 的等差数列．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若 bn＝an+f（an），当
时，求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的最小值；
（3）若 cn＝anlgan，问是否存在实数 k，使得{cn}是递增数列？若存在，求出 k 的范围；若不存在，说明理由．

历年上海一模、二模专题汇编：矩阵与行列式【S】

高中数学上海市重点高中辅导讲义汇编学科：数学专题：矩阵行列式版本：学生用书姓名：年级：高二上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编矩阵与行列式1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛50432219，则x+y = .2、（崇明县2016届高三上学期期末）函数sin 2()1x f x =- cosx 的最小正周期是 .3、（宝山区2016届高三上学期期末）已知,0,>t ω函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 .4、（虹口区2016届高三上学期期末）行列式12cos()tan 25cos cot()x x x x ππ+-的最大值为______.5、（黄浦区2016届高三上学期期末）直线321x y=的一个方向向量可以是．6、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知31cos 75sin sin 75cos =︒-︒αα，则=+︒)230cos(α_______.7、（金山区2016届高三上学期期末）若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212332c c ，解为⎩⎨⎧==12y x ，则c 1–c 2= .8、（金山区2016届高三上学期期末）行列式dc b a (a 、b 、c 、d ∈{–1,1,2})所有可能的值中，最小值为 .9、（闵行区2016届高三上学期期末）函数()cos()sin sin()cos x xf x x xπ-=π+的最小正周期T = .10、（浦东新区2016届高三上学期期末）若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z = . 11、（青浦区2016届高三上学期期末）方程组35604370x y x y ++=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是____________.12、（松江区2016届高三上学期期末）行列式cos 20sin 20︒︒ sin 40cos 40︒︒的值是 .13、（徐汇区2016届高三上学期期末）若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a的值为__________.14、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.15、（长宁区2016届高三上学期期末）关于x 的不等式的解集为.（1）求实数a ,b 的值；（2）若为纯虚数，求tan α的值.【例题解析】1. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m mm +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．2. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .3. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】三阶行列式45sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为4. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty m x 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}na 各项和的数值是 _________.5. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】若行列式124012x -=，则x = .2014年高三二模汇编——矩阵、行列式1、（2014宝山四区文理1）. 二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2、（2014长宁二模文理7）对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f -的图像经过的定点的坐标是______________．3、（2014奉贤二模理10）、已知函数cos ()sin x f x x=，则方程()021cos =+⋅x x f 的解是________.4、（2014奉贤二模文10）、将函数cos ()sin x f x x=的图像向左平移m 个单位(0)m >，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________.5、（2014虹口二模5文6）、复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模等于_______________．7、（2014浦东二模文理3）. 函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为 .8、（2014松江三区二模文理7）．函数()()sin cos cos 2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =____________．【课堂练习】1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】三阶行列式45sin 2cos 61sin ---xx x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为2. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．3. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .4. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】若行列式124012x -=，则x = .5. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}na 各项和的数值是 _________.上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编矩阵与行列式一、填空题1、（宝山区20152、（宝山区2015届高三上期末）设矩阵241A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2211B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若BA =2412⎛⎫⎪--⎝⎭，则x =3、（崇明县2015届高三上期末）已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为4、（奉贤区2015届高三上期末）已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= 5、（虹口区2015届高三上期末）行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为6、（嘉定区2015届高三上期末）将函数xx x f 2sin 12cos 3)(=的图像向左平移m （0>m ）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值为____________7、（金山区2015届高三上期末）当a >0，b >0且a+b =2时，行列式ba 11的值的最大值是8、（浦东区2015届高三上期末）已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210211，则y x +=9、（松江区2015届高三上期末）若复数z 满足014=-zz ,则z 的值为10、（徐汇区2015届高三上期末）若全集U R =，不等式11111x x+≥-的解集为A ，则U A C =11、（杨浦区2015届高三上期末）设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c ++=+-，则角C =_______12、（黄浦区2015届高三上期末）若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m +(其中i 是虚数单位，R m n ∈、)的值是二、选择题 1、（浦东区2015届高三上期末）已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++= （）()A 16096-()B 16104- ()C 16112-()D 16120-。

上海市宝山区行知中学2016届高三上学期第一次月考数学试卷含解析

2015—2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题(每小题4分）1．已知集合A={x|｜x﹣1｜＜2｝，B=｛x|x2＜4｝,则A∩B=．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1］）的最大值等于．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．5．一组数据8,9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数,其图象过点（a2，a),则f（x）= ．7．方程(θ为参数）所表示曲线的准线方程是．8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．9．若变量x，y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为﹣6,则k= ．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位：cm)，则它的侧视图的面积为cm2．11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数,通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．12．在△ABC中,=+m•,向量的终点M在△ABC的内部（不含边界）,则实数m的取值范围是．13．已知数列｛a n｝的前n项和S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D,都有f(x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数",非零常数T为函数y=f( x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数"y=f（x）的“似周期"为﹣1,那么它是周期为2的周期函数；②函数f(x)=x是“似周期函数”；③函数f（x)=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x)=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．(写出所有满足条件的命题序号）二、选择题（每小题5分)15．若函数f(x）=ax+1在区间（﹣1，1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1 16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（)A．B．C．D．18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于( ）A．8 B．9 C．10 D．11三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1)求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．20．如图,2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处,发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C:=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点,从原点O向圆R：（x ﹣x0)2+(y﹣y0)2=8作两条切线，切点分别为P，Q．(1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限,求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在,并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1(x)．(1）若y=x2﹣1(x＞)，求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x)和M,设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证:｜f﹣1（x1）﹣f﹣1（x2）｜＜｜x1﹣x2｜;（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1(x)有交点，那么交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分,用记号｜|x｜｜表示，对于实数a,无穷数列｛a n}满足如下条件：a1=｜a，a n+1=其中n=1，2,3,…（1)若a=,求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N＊，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．(3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数,p、q互质)，问对于大于q的任意正整数n,是否都有a n=0成立,并证明你的结论．2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分）1．已知集合A={x｜｜x﹣1｜＜2},B=｛x｜x2＜4}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】交集及其运算．【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B,再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x｜|x﹣1|＜2｝=｛x｜﹣2＜x ﹣1＜2｝={x|﹣1＜x＜3｝，B={x|x2＜4｝=｛x｜﹣2＜x＜2}，则A∩B=｛x｜﹣1＜x＜2｝，故答案为：（﹣1，2）．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1(x∈［﹣1，1］）的最大值等于 4 ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据f（x）=﹣(x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1］)，可得函数在[﹣1，1］上是增函数，从而求得函数取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x ﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈［﹣1，1]）∴函数在［﹣1，1]上是增函数，故当x=1时,函数取得最大值为4，故答案为：4．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【考点】复数求模；二阶矩阵．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解:∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴｜z｜==，故答案为：．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π,故答案为:π．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是 2 ．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据这组数据的平均数是10，写出平均数的表示式，得到关于x的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果．【解答】解：∵数据8，9，x,11，12的平均数是10，∴=10∴x=10，∴这组数据的方差是(4+4+0+1+1）=2故答案为：2．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x(a＞0且a≠1）的反函数,其图象过点（a2，a），则f（x）= log2x ．【考点】反函数．【分析】由题意可得f（x）=log a x,再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值,可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x,再根据它的图象过点（a2，a)，可得=2=a,即a=2，故f（x）=log 2x，故答案为:log2x．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，求得曲线方程，x2=y（0≤y≤2），由抛物线的性质，即可求得示曲线的准线方程．【解答】解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，参数方程（θ为参数)化为普通方程可得x2=y（0≤y≤2）,则抛物线的焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为(0，），∴曲线的准线方程,故答案为:．8．已知（1﹣2x)n关于x的展开式中,只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=6，再令x=1，可得展开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再根据n∈N，可得n=6，∴令x=1可得展开式的系数之和为（1﹣2）6=1，故答案为:1．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ﹣2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k 的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分)由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A(﹣2,﹣2），∵点A也在直线y=k上,∴k=﹣2，故答案为：﹣2．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm）,则它的侧视图的面积为cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形,其高是棱锥的高,由此作出其侧视图,求侧视图的面积．【解答】解:由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中底AB=，高，∴S △VAB=×AB×h=××=．故答案为：11．已知a、b、c为集合A=｛1，2，3，4，5｝中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．【考点】程序框图．【分析】由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5,列举出从集合A中选三个不同的数的情况即可解决问题．【解答】解:由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A={1，2，3，4，5｝中选三个不同的数共有10种取法：123、124、125、134、135、145、234、235、245、345，满足条件的6种,所以概率为．故答案为:．12．在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界)，则实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D,E),借助于点D，E即可得出．【解答】解:如图所示，设，过点D作DE∥AC 交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上(不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0,而M在△ABC 的内部（不含边界)，因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M 在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为:．13．已知数列｛a n｝的前n项和S n,对任意n∈N＊,S n=(﹣1）n a n++n﹣3且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数（n为正奇数）为减函数,最大值为，函数（n为正偶数）为增函数,最小值为．再由(a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立求得实数p的取值范围．【解答】解：由，得;当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣=1=．若n为偶数,则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则==，∴（n为正偶数）．函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数)为增函数，最小值为．若（a n+1﹣p)（a n﹣p）＜0恒成立,则a1＜p＜a2,即．故答案为：．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T,对于任意x∈D，都有f(x+T）=T•f （x）,则称函数y=f（x）是“似周期函数”,非零常数T为函数y=f（x)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期"为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数"；④如果函数f(x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ,k∈Z"．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【考点】抽象函数及其应用．【分析】①由题意知f(x﹣1）=﹣f(x），从而可得f(x ﹣2)=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T•f (x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断；③由f（x+T)=T•f （x)得2x+T=T2x恒成立；从而可判断；④由f（x+T）=T•f (x）得cos(ω（x+T)）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得，从而解得．【解答】解：①∵似周期函数”y=f(x)的“似周期"为﹣1,∴f（x﹣1）=﹣f（x)，∴f(x﹣2）=﹣f（x﹣1)=f（x）,故它是周期为2的周期函数，故正确;②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T)=T•f （x)，即x+T=Tx恒成立;故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误;③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f (x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T)=T•f （x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT)=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z;故正确；故答案为：①④．二、选择题（每小题5分）15．若函数f(x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1)＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f(x）=ax+1在区间（﹣1,1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1)＜0，即（1﹣a)（1+a)＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时,直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立,∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α"的必要不充分条件，故选：B．17．双曲线（a2＞λ＞b2)的焦点坐标为（)A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据a2＞λ＞b2,将双曲线化成标准形式：，再用平方关系算出半焦距为c=，由此即可得到该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵a2＞λ＞b2，∴a2﹣λ＞0且λ﹣b2＞0，由此将双曲线方程化为∴设双曲线的半焦距为c，可得c==∵双曲线的焦点坐标为（±c，0)∴该双曲线的焦点坐标为(±，0）故选：B18．函数f(x）=sinx在区间(0，10π)上可找到n个不同数x1，x2,…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】正弦函数的图象．【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解:设==…==k，则条件等价为f(x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f(x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°,AC=BC=2，AA1=4,D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；(2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系,利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC．（2)分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的大小．【解答】(理）(1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2,0,0）、B（0，2,0)、D(2,0,2)、A1（2,0,4)、C1（0,0，4)．∴=（﹣2,0，2），,．∵=0，．∴DC1⊥DC,DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．(2）解：设是平面ABD的法向量．则,又，,∴,取y=1，得=（1,1,0）．由(1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣,结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理)（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度;（2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【分析】（1)摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°,∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB 中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB(2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N(﹣cosθ,﹣sinθ）,由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1］，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解:（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2,即立柱的高度为2米．…（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π)，则N(﹣cosθ,﹣sinθ），由（Ⅰ）知S(3，﹣）．…故=（cosθ﹣3，sinθ+)，=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+)，∴•=(cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）(﹣sinθ﹣）=11||•｜｜=×=×==由θ∈［0，2π）知｜｜•||∈［11,13］…所以cos∠MSN=∈［，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C:=1，设R(x0,y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+(y﹣y0)2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限,求圆R的方程；(2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】(1）由直线OP，OQ互相垂直,且与圆R相切,可得OR=4，再由R在椭圆上，满足椭圆方程,求得点R的坐标，即可得到圆R的方程;(2）运用直线和圆相切的条件：d=r,结合二次方程的韦达定理和点R满足椭圆方程，化简整理，即可得证．【解答】解：（1）由题圆R的半径为，因为直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，所以，即,①又R(x0，y0）在椭圆C上，所以，②由①②及R在第一象限,解得，所以圆R的方程为:;（2）证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，所以，化简得，同理有，所以k 1,k2是方程的两个不相等的实数根，所以．又因为R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以,即2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数,其反函数是y=f ﹣1（x)．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M,x2∈M，x1≠x2，求证：｜f﹣1（x1）﹣f﹣1(x2）｜＜｜x1﹣x2｜;（3)求证：若y=f(x)和y=f﹣1（x)有交点，那么交点一定在y=x上．【考点】反函数；函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质．【分析】（1）由，解得x=，把x与y 互换，即可得出y=f﹣1（x）；（2）任意取x1∈M，x2∈M,x1≠x2，则，利用不等式的性质即可证明;（3）设(a，b)是y=f（x)和y=f﹣1（x）的交点,即，可得a=f（b），b=f（a)，对a与b的大小关系分类讨论，再利用反函数的性质即可证明．【解答】（1）解：由，解得x=，把x 与y互换，可得y=f﹣1（x）=，x，M=．(2）证明：任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2,则，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（3)证明：设（a，b)是y=f（x）和y=f﹣1(x）的交点，即，∴a=f（b），b=f(a），当a=b，显然在y=x上;当a＞b,函数y=f（x）是单调递增函数，∴f（a)＞f（b),∴b＞a矛盾；当a＜b，函数y=f（x)是单调递增函数,∴f（a）＜f(b），∴b＜a矛盾；因此，若y=f（x）和y=f﹣1（x)的交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号｜|x｜｜表示，对于实数a，无穷数列｛a n｝满足如下条件：a1=|a，a n+1=其中n=1，2，3，…(1）若a=,求数列{a n｝;（2）当a时，对任意的n∈N＊，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n=0成立,并证明你的结论．【考点】数列递推式．【分析】（1)由题设知=，a 2====，由此能求出．（2）由a1=｜｜a｜|=a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．(3）成立．证明:由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数,可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0,所以对不大q的自然数n，都有a n=0．【解答】解：(1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号｜|x||表示，a 1=,a n+1=其中n=1,2，3，…∴=,a 2====,…a k=，则a k+1===，所以．…（2）∵a1=|｜a|｜=a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，==﹣1=a，所以a2+a﹣1=0,解得a=,（a=∉（，1），舍去）．…②当,即2≤＜3时，a2==，所以a2+2a﹣1=0，解得a==，(a=﹣∉(，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1=0，解得a=（a=，舍去）．…综上，{a=，a=，a=}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n,a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q;…②若p n≠0，设q n=ap n+β（0≤βP n,α，β是非负整数）则=a+,而由，得=,==,故P n+1=β，q n+1=P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n=0，则p n+1=0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m=0．从而数列{a m｝中a m以及它之后的项均为0,所以对不大q的自然数n，都有a n=0．…（其它解法可参考给分)2017年1月4日。

宝山区2016学年度第一学期高三数学学科教学质量监测试卷

宝山区2016学年度第一学期高三数学学科教学质量监测试卷（2016年12月）一、填空题（本大题共12题，满分54分，其中低1至第6题填对得4分，第7题至第12题填对得5分）1、23lim 1n n n →∞+=+ 。

2、设全集U R =，集合{}{}1,01,2,3,2A B x x =-=≥，则U A C B = 。

3、不等式102x x +<+ 的解集为。

4、椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为。

5、设复数z 满足23z z i +=-，（i 为虚数单位），则z = 。

6、若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为。

7、若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为。

8、已知向量()()1,2,0,3a b == ，则b 在a 方向上的投影为。

9、已知一个地面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为。

10、某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中，男、女生均有的概率为。

11、设常数0a >，若9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中5x 的系数为144，则a = 。

12、如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如：2，3，4，5，6为20型标准数列。

则2668型标准数列的个数为。

二、选择题（共4题，满分20分）13、设a R ∈，则“1a =”是“()()()123a a a i -+++为纯虚数”的（）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件14、某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人。

为了了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中高二学生人数为（）A 、80B 、96C 、 108D 、 11015、设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==，则()920P M N = ；（2）若()()11,23P M P N ==，()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（3）若()()11,23P M P N ==， ()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（4）若()()11,23P M P N ==， ()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（5）若()()11,23P M P N ==， ()56P MN =，则M 、N 为相互独立事件。

上海市宝山区学年第二次高考模拟高三数学试卷含答案

宝山区2016-2017学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosx f x cosxsinx=的最小正周期是．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ． 5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是．7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）916. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意26)t ∈，，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（）（A ）(]02，（B ）(]12，（C ）[]12，（D ）[]14，三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；（2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”；（2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ；（3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．1宝山区2016-2017学年第二学期期中高三数学教学质量监测试参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 11 12、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(120)E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故α=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/ 设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/ =13/ 又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3arcsin θ∴=，即直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为3．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FHCD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE =HE tan EFH FH∠=， ………………………………………… 6/1== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=EF 与1AA所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小即为EFC ∠． ………………………………10/在Rt EFC ∆中，易得1EC FC ==，ECtan EFC FC ∠=……………………12/2==，………………13/ 又(0)2EFC π∠∈，，故EFC ∠=EF 与平面11AA B B所成角的大小为2arctan． ……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ……………2/当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，则(A t，(B t -，，t t 42-=⋅．…………3/当直线l 的斜率k 存在时，则0≠k ，设l 的方程为)(t x k y -=，11()A x y ，，22()B x y ，，由24()y x y k x t ⎧=⎨=-⎩消去x ，得0442=--kt y ky ，故121244y y k y y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，t t y y y y y y x x OB OA 41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………………………6/方法二：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y xx my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，故121244y y m y y t+=⎧⎨=-⎩，所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+ 24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT ==， ……………………………8/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因x a a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m m f n n ==，，……8/ 这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/故a 的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/ 故12k =．………………………………………………………………………………………4/ （2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/ 所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/ 当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++ 123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/ 综上，()()2212n nn k S nn k -=-⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）．…………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+ ⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/ ③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m m m aa a a a +-=+⇔=+，因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/ 综上，存在实数k 满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x x y -=+得1201x y y+=>-，解得11y -<<，………………2/ 1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+．（ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/ （ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =-211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>，又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈），即14n a >（n N *∈）．于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合．故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/（3）存在．………………………………………………………………………11/ 不妨设a b c ≥≥．若2a c b +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-．故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a a c b <+<，即220a b a b <⇔-<，又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/ 下证：上界15λ<不可能出现．假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时， d 22222213()()()55a b c a b c ac λλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/ 由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

2016级高三一诊数学(文)答案

在 (０, 在 (１, ʑ 函数 f( x) １) 上单调递增 , ＋ ¥ ) 上单调递减��
易知 , 当bɤ０时 , 不合题意�� h( x) ＞０, ʑ b＞０ �� １ x , ) 又h ᶄ( x) ＝－ b x e h ᶄ( １＝１－ b e �� x ① 当bȡ
��８分 ��１０分
x x x ( ) (x－１) a x e －e a x－e ( 解: 由题意 , 知f ２１． Ⅰ) ᶄ( x) ＝－－＋ a＝ �� ２ x x x２ x 有a ȵ 当 a＜０, x＞０时 , x－e ＜０ ��
３ a b c．３
ʑ２ b c c o s A＝ ȵA ＝
( Ⅱ) ȵ a＝３,
π , ʑ a＝２３ c o s A ＝３．３
３ a b c．３
��２分 ��４分 ��６分 ��８分 ��９分 ��１０分 ��１２分
１ x ( , 由题意, 当a＝不等式f( 时恒成立�� Ⅱ) １时, x) ＋( b x－ b＋ ) e－ xȡ ０在xɪ( １＋¥ ) x
x ) 整理 , 得l 上恒成立�� n x－ b( x－１ e ɤ０在 ( １, ＋ ¥) x ) 令 h( x) ＝ l n x－ b( x－１ e ��
－－ ^ ^＝ a b x＝２１ �� ５－０ �� ２ˑ６３＝８ �� ９ �� y－ ^＝０故所求线性回归方程为 y �� ２ x＋８ �� ９ ��

上海市长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三4月联考数学(理)试卷(WORD版,含解析)--含答案

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 2016.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I _________． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．4．计算：=++∞→222)1(C P lim n nn n __________． 5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为___________． 6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 7．设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 5521,551（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧+=⋅=θθθθcos sin ,cos sin y x （θ为参数）的公共点的坐标为____________．10．记nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12*(N ∈n ）的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则=n ________．11．从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望=ξE _________．12．已知各项均为正数的数列}{n a23n n =+L （*N ∈n ），则12231n a a a n +++=+L ___________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．已知0>a ，函数xax x f -=)(（]2,1[∈x ）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数)(x f 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1||≤MN 恒成立，则a 的最大值是_________________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．“0sin =α”是“1cos =α”的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；（B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π；（D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .17．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=rr r r ，则 ||c r的最大值是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，其中4321x x x x <<<，则4321x x x x 的取值范围是（）．（A ）)96,60( （B ）)72,45( （C ）)48,30( （D ）)24,15( 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f （0>ω，R ∈x ），且函数)(x f 的最小正周期为π．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．（1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数xxa x g 421)(⋅++=在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．A B CA 1B 1C 1D22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，设F 是椭圆14322=+y x 的下焦点，直线4-=kx y （0>k ）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于P 点．（1）若AB PA =，求k 的值；（2）求证：BFO AFP ∠=∠；（3）求△ABF 面积的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（3）设12111n nS a a a =+++L ，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a baS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，（2分）因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分）所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分）（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分）由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分）又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………（8分）21．（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ，即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分）故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22.（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分）因为AB PA =，所以122x x =，代入上式求得556=k 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

宝山区2015学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.方程0624=--xx 的解集为 .2.已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位），则z = .3．以)2,1(为圆心，且与直线03534=-+y x 相切的圆的方程是．4.数列2,*3nn N ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭所有项的和为．5. 已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛50432219，则x+y = ． 6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .7．若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是-84，则a= ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．9. 已知,0,>t ω函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为．10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是． 11. 向量a ，b 满足a 1=，3a 2b -=，a 与b 的夹角为60°，则b = . 12. 数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第项. 13. 已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)n n A y ，1,2,3,n =.给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列；② 对任意*n ∈N ，0n y >；③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15.如图，该程序运行后输出的结果为（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）1616. P 是ABC ∆所在平面内一点，若PB PA CB +=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在……（）（A ）ABC ∆内部（B ）AC 边所在直线上（C ）AB 边所在直线上（D ）BC 边所在直线上 17.若,a b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（）（A ）过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行；（B ）过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直；（C ）唯一存在一个平面α与直线a b 、等距；（D ）可能存在平面α与直线a b 、都垂直.18.王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）网络月租费本地话费长途话费甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.（）（A ）300秒（B ）400秒（C ）500秒（D ）600秒三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内． 19．（本题满分12分）在三棱锥P ABC -中，已知P A ，PB ，PC 两两垂直，PB =5，PC =6，三棱锥P ABC -的体积为20，Q 是BC 的中点，求异面直线PB ，AQ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2cos ),cos(1B A B A m ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅n m .（1）求B A tan tan ⋅的值；（2）求222sin c b a Cab -+的最大值.C21. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称．（1）若已知)21,0(C ，M 为椭圆上动点，证明：210≤MC ；（2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.(1)求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 若()n n n b a f a =+，当k ={}n b 的前n 项和n S 的最小值；（3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．宝山区2015学年第一学期期末高三年级数学参考答案一．填空题1. {}3log 22. -3-4i 3．()()252122=-+-y x 4． 25. 86. π62 7． 18. 9. 65π 10.48 11.1212. 128 13. ),3[+∞- 14. ① ② ③ 二．选择题 15.D 16. B 17. D 18.B三．解答题 19．解：11562032V PA =⨯⨯⨯=，所以4PA =，-------------------3分取PC 的中点为D ，连结AD ，DQ ，则AQD ∠为异面直线PB ，AQ 所成的角，--------------------------------5分53,2PD QD ==，5DA =，------------------------------------7分因为QD PAC ⊥平面，所以QD AD ⊥----------------------9分所以2tan =∠AQD异面直线PB ，AQ 所成的角为2arctan .-----------------------12分20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）由(1cos(),cos)2A B m A B -=-+,5(,cos )82A B n -=，且98m n ⋅=，即259[1cos()]cos 828A B A B --++=.-----------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,--------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.----------------6分（2）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-----------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-------------------------------------------10分由1tan tan 9A B =知：0tan ,tan >B A ------------------------------------------11分93tan()84A B +≥⨯=,C当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号，-------------------------------------------------------------12分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-，所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-.---------------------------------14分 21. 解：（1）--------------------------------------------------------------1分当120n ≤≤且n N *∈时，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+；当21n ≥且n N *∈时，0n a =．∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且----------------------------------------------------------4分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n N b n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且-------------------------------------------------------------7分（2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=．---------------8分当205≤≤n 时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++-- 216843444n n =-+-------------------------------------------------------------11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，解得n=3416.3021≈≤ --------------------------------------------------------------13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：（1）设),,(y x M 则2212x y +=, 于是 22)21(-+=y x MC =22)21(22-+-y y492+--=y y --------------------------------------------------------2分 25)21(2++-=y因11≤≤-y ,所以，当21-=y 时，210max =MC .即210≤MC ----------------------------4分（2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+. ------------------------------5分由221,21,x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得 222222102m b x x b m m +-+-=. --------------------------------------------------------7分因为直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，所以,224220b m∆=-++>，即2221b m <+①----------------------------8分将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++ --------------------------------------------------------9分代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②由①②得3m <-或3m > --------------------------------------------------------10分（3）令16(,0)(0,)22t m =∈-，即23(0,)2t =，则 21232212242+++-⋅+=t t t t AB--------------------------------------------11分且O 到直线AB 的距离为21t d +=-----------------------------------------------12分设AOB ∆的面积为()S t ，所以222)21(22121)(22≤+--=⋅=t d AB t S --------------------------14分当且仅当212t =时，等号成立. 故AOB ∆面积的最大值为2. ---------------------------------------------------16分 23．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：(1) 证：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+，∴22n n a k+= ---------------------------------2分 ∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==. ∵常数0k >且1k ≠，∴2k 为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列.-----------------------4分(2) 当k =112n n a += , ()2n+2n f a =，----------------------6分所以2111122411423122212n n n n S n n n +⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+=++---------------------8分因为1n ≥,所以，2111322n n n +++-是递增数列，因而最小值为1111513244S =++-=.----------------------10分(3) 由(1)知，22lg (22)lg n n n n c a a n kk +==+⋅，要使1n n c c +<对一切*n ∈N 成立，即2(1)lg (2)lg n k n k k +<+⋅⋅对一切*n ∈N 成立. ----------------------12分当1k >时，lg 0k >，21(2)n n k +<+对一切*n ∈N 恒成立；---------------14分当01k <<时，lg 0k <，21(2)n n k +>+对一切*n ∈N 恒成立，只需2min 12n k n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭，-------------------------------------------------16分 ∵11122n n n +=-++单调递增， ∴当1n =时，min1223n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭. -----------------------------------17分∴223k <，且01k <<，∴0k <<综上所述，存在实数(0,(1,)3k ∈+∞满足条件. ------------------18分。