算法设计与分析-05NP完全问题-一些重要的概念..复习课程
算法分析设计NP完全问题PPT课件
if(a[j]==x) { cout<<j;
Success();
执行时间都为O(1) //不确定算法成功终止
}
cout<<-1; Failure(); }
若算法执行中需作出一系列的Choice函 数//不选确择定，算当法且失仅败当终C止hoice的任何一组选 择都不会导致成功信号时，算法在O(1)时 间不成功终止。
在不不确确定定搜机索上算执法行：的算法称为不确定算法(non
dveotiedrSmeianricsht(iicntaal[g],oTrxit)hm如)果。一个判定问题实例的解为真，
Hale Waihona Puke {Choice函数每一次总能在O(1)时间
int j=Choice(0,n-1); 内//从做{出0,1导,.致..,n成-1功}中的任正意确选选取择一。个值
即： ✓求解Q1的确定算法是通过调用求解Q2的确定算法完 成的， ✓对Q2算法实施的调用过程所需的时间是多项式时间 的。 那么：只要对问题Q2存在多项式时间求解算法，问题 Q1就能在多项式时间内得以求解。
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约化存在以下性质： 性质10-1 若Q1∈P，Q2∝Q1，则有Q2 ∈P。 性质10-2 （传递性） 若Q1∝Q2，Q2∝Q3，则Q1∝Q3。
因为：对n个布尔变量赋值需要O(n)时间，计算公式 E(x,n)的时间为O(e)，e是公式长度。
所以，可满足性问题的不确定算法时间为O(n+e)。
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10.1.3 P类和NP类问题
P类问题：可在多项式时间内用确定算法求解的判定 问题。 NP类问题：可在多项式时间内用不确定算法求解的 判定问题。（多项式时间内可验证问题的解。）
算法设计与分析课程报告
算法设计与分析课程报告第一章算法问题求解基础1、算法的概念：算法是指解决问题的一种方法或过程，是由若干条指令组成的有穷序列。
2、算法的特性①有穷性：一个算法必须保证执行有限步之后结束；②确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义；③输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件；④输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。
没有输出的算法是毫无意义的；⑤可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成3、算法与程序的关系：区别：程序可以不一定满足可终止性。
但算法必须在有限时间内结束；程序可以没有输出,而算法则必须有输出；算法是面向问题求解的过程描述，程序则是算法的实现。
联系：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；程序可以不满足算法的有限性性质。
4、算法描述方式：自然语言，流程图，伪代码，高级语言。
第二章算法分析基础1、算法复杂性分析：算法复杂性的高低体现运行该算法所需计算机资源（时间，空间）的多少。
算法复杂性度量：期望反映算法本身性能，与环境无关。
理论上不能用算法在机器上真正的运行开销作为标准（硬件性能、代码质量影响）。
一般是针对问题选择基本运算和基本存储单位，用算法针对基本运算与基本存储单位的开销作为标准。
算法复杂性C依赖于问题规模N、算法输入I和算法本身A。
即C=F(N, I, A)。
第五章分治法1、递归算法：直接或间接地调用自身的算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
注：边界条件与递归方程是递归函数的二个要素。
实例：①阶乘函数；②Fibonacci数列；③Ackerman函数；④排列问题；⑤整数划分问题；⑥Hanoi塔问题优缺点：①优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
②缺点：递归算法的运行效率低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
算法设计与分析课件
ACM国际大学生程序设计竞赛
ACM国际大学生程序设计竞赛（英文 全称：ACM International Collegiate Programming Contest（ACM-ICPC或 ICPC）是由美国计算机协会（ACM）主办 的，一项旨在展示大学生创新能力、团队 精神和在压力下编写程序、分析和解决问 题能力的年度竞赛。经过30多年的发展， ACM国际大学生程序设计竞赛已经发展成 为最具影响力的大学生计算机竞赛。赛事 目前由IBM公司赞助。
主要内容介绍（续）
• • • • 第 7章 第 8章 第 9章 第10章 概率算法 NP完全性理论 近似算法 算法优化策略
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相关先导基础课程和算法概述
专业基础课程： 数据结构、计算机语言(C++)、操作系统 如何编写计算机程序： • 数据结构+算法 = 程序 • 算法：计算机软件的“灵魂” 算法是计算机科学和计算机应用的核心
1.2 算法复杂性分析
Ω的定义：如果存在正的常数C和自然数N0，使得当NN0时 有f(N)Cg(N)，则称函数f(N)当N充分大时下有界，且g(N)是它 的一个下界，记为f(N)=Ω (g(N))。即f(N)的阶不低于g(N)的阶。 θ的定义：定义f(N)= θ (g(N))当且仅当f(N)=O(g(N))且 f(N)= Ω (g(N))。此时称f(N)与g(N)同阶。 o的定义：对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N0，使得 当NN0时有f(N)/Cg(N)ε,则称函数f(N)当N充分大时的阶比 g(N)低，记为f(N)=o(g(N))。 例如，4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。
调试：“调试只能指出有错误，而不能指出它们不存在 错误” 9 作时空分布图：验证分析结论，优化算法设计
np完全问题
�
P类和NP类问题
确定性算法 :算法执行的每一个步骤,都有确定的选择. 重新用同一输入实例运行该算法,所得到的结果严格一致. P类判定问题 类判定问题是由具有多项式时间的确定性算法来解的判定 问题
最短路径判定问题 SHORTEST PATH: 给定有向赋权图 G = ( V , E ) (权为正整数),正整数 k ,及两个顶点 s, t ∈V ,是否 存在着一条由 s 到 t ,长度至多为 k 的路径. 可排序的判定问题 SORT: 给定 n 个元素的数组,是否可以按非降顺序排序.
P类判定问题的补 改变判定问题的提法,"是否可以","是否存在"改为 "是否不可以","是否不存在"的判定问题
可排序判定问题的补 NOT_SORT: 给定 n 个元素的数组,是否不可以按非降顺序排序. 最短路径判定问题的补 NOT SHORTEST PATH: 给定有向赋权图 G = ( V , E ) (权为正整数),正整数 k ,及两个顶点 s, t ∈V ,是否不存 在一条由 s 到 t ,长度至多为 k 的路径.
NP类问题
非确定性算法 1,问题 ∏ 的非确定性算法的两个阶段:推测阶段和验证阶段. 2,推测阶段:对规模为 n 的输入实例 x ,以多项式时间 O ( n i ) 产生输出 y ,而不管 y 的 正确性 3,验证阶段:以多项式时间 O ( n j ) 的确定性算法验证两件事情: 1)检查上一阶段的输出 y 是否具有正确的形式. 如果 y 不具正确的形式,算法就以答案 no 结束; 2)如果 y 具有正确的形式,则继续检查 y 是否是问题的输入实例 x 的解. 如果它确实是问题实例 x 的解,则以答案 yes 结束,否则,以答案 no 结束.
算法分析设计NP完全性理论
8.1.3 RAM模型的变形与简化
1. 实随机存取机 RRAM
在RRAM模型下，一个存储单元可以存放一个实数。下列的各 运算为基本运算且每个运算只耗费单位时间。
(1)算术运算+，－，×，／。 (2)2个实数间的比较(<，≤，=，≠，≥，>)。 (3)间接寻址(整数地址)。 (4)常见函数的计算，如三角函数，指数函数， 对数函数等。
8.1.3 RAM模型的变形与简化
RAM和RASP是在现实计算机原型上抽象出来的计算模型。 在许多场合下直接使用这两种计算模型太复杂。因此，在 不影响复杂性阶的情况下，人们从时间需要出发提出了一 些简化的计算模型，如实随机存取机（RRAM），直线式 程序（SLP），位计算（BC），位向量运算（BVO），判 定树（DT），代数计算树（ACT）和代数判定树（ADT） 等。
8.1.4 图灵机
1. 多带图灵机
图灵机是一个结构简单且计算能力很强的计算模型。 一台多带图灵机由一个有限状态控制器和k条读写带组成。 这些读写带的右端无限，每条带从左到右划分为方格，每个 方格可以存放一个带符号。带符号的总数是有限的。每条带 上都有一个由有限状态控制器操纵的读写头，它可以对这k 条带进行读写操作。有限状态控制器在某一时刻处于某种 状态，且状态的总数是有限的。
8.1.4 图灵机
与RAM模型类似，图灵机既可作为语言接受器，也可 作为计算函数的装置。
图灵机M的时间复杂性T(n)是它处理所有长度为n的输 入所需的最大计算步数。如果对某个长度为n的输入，图灵 机不停机，T(n)对这个n值无定义。 图灵机的空间复杂性S(n)是它处理所有长度为n的输 入时，在k条带上所使用过的方格数的总和。如果某个读写 头无限地向右移动而不停机，S(n)也无定义。
算法分析与设计复习题及参考答案
《算法分析与设计》课程复习资料一、名词解释：1.算法2.程序3.递归函数4.子问题的重叠性质5.队列式分支限界法6.多机调度问题7.最小生成树 二、简答题：1.备忘录方法和动态规划算法相比有何异同？简述之。
2.简述回溯法解题的主要步骤。
3.简述动态规划算法求解的基本要素。
4.简述回溯法的基本思想。
5.简要分析在递归算法中消除递归调用，将递归算法转化为非递归算法的方法。
6.简要分析分支限界法与回溯法的异同。
7.简述算法复杂性的概念，算法复杂性度量主要指哪两个方面？ 8.贪心算法求解的问题主要具有哪些性质？简述之。
9.分治法的基本思想是什么？合并排序的基本思想是什么？请分别简述之。
10.简述分析贪心算法与动态规划算法的异同。
三、算法编写及算法应用分析题：1.已知有3个物品：(w1,w2,w3)=(12,10,6),(p1,p2,p3)=(15,13,10),背包的容积M=20，根据0-1背包动态规划的递推式求出最优解。
2.按要求完成以下关于排序和查找的问题。
①对数组A={15，29，135，18，32，1，27，25，5}，用快速排序方法将其排成递减序。
②请描述递减数组进行二分搜索的基本思想，并给出非递归算法。
③给出上述算法的递归算法。
④使用上述算法对①所得到的结果搜索如下元素，并给出搜索过程：18，31，135。
3.已知1()*()i i k k ij r r A a +=，k =1，2，3，4，5，6，r 1=5，r 2=10，r 3=3，r 4=12，r 5=5，r 6=50，r 7=6，求矩阵链积A 1×A 2×A 3×A 4×A 5×A 6的最佳求积顺序（要求给出计算步骤）。
4.根据分枝限界算法基本过程,求解0-1背包问题。
已知n=3,M=20，(w1,w2,w3)=(12,10,6),(p1,p2,p3)=(15,13,10)。
算法分析与设计2005春.课件.第14讲 清华大学：算法分析与设计
内容提要 NP完全性理论介绍清华大学 宋斌恒 • • • • • 计算模型与计算复杂度关系 问题分类：【P】与【NP】类 NP－难【hard】问题，NP完全集 第一个NPC问题和NPC问题集 如何证明一个问题是NPC问题清华大学 宋斌恒1清华大学 宋斌恒2引言• 脑力劳动机械化【吴文俊先生】 • 图灵机的停机问题：是否存在一个图灵机，他 可以回答其它图灵机是否停机【既算法是有界 的】 • 原则上是否存在一般数学问题的解题步骤的判 决问题【希尔波特第十问题变种】 • 图灵公理：凡是可计算的函数都可以用一台图 灵机来计算清华大学 宋斌恒 3NPC问题• P－NP－NPC问题定义及其猜想：NPC是 一类不可以在多项式时间内计算的问 题。
• 如果在量子计算模型中上述问题又如 何？清华大学 宋斌恒4下面介绍计算机械化的进程明代数学家程大位著《算法统 宗》中关于珠算的插图清华大学 宋斌恒5清华大学 宋斌恒61机械式手动计算机机械计算机• 法国数学家、哲学家帕斯卡在1642年发 明了一种机械计算机，并与1649年取得 专利。
帕斯卡的计算机采用一种齿轮系 统，其中一小轮转十个数字，下一个小 轮便转动一个数字，通过齿轮系的联 动，可以进行加法和减法的运算.清华大学 宋斌恒7清华大学 宋斌恒8图灵• 大半个世纪以来，数学家、计算机 科学家提出了各种各样的计算模型 都被证明是同图灵机器等价的。
这 一理论已被当成公理，它不仅是计 算机科学的基础，也是数学的基础 之一。
为纪念英国数学家Turing (1912-1954) 而设立的图灵奖成为计 算机界的诺贝尔奖.图灵机模型清华大学 宋斌恒9清华大学 宋斌恒10图灵机模型• 图灵机模型用一个无限长的带子作为无限存储 , 它还有一个读写头 ,这个读写头能在带子上读 , 写和移动 : 开始时 ,带子上只有输入串 ,其它地 方都是空的 .当它需要保存信息时 ,读写头就把 信息写在带子上 .为了读某个输入或写下的信 息 ,带子可能将读写头往回移动到这个信息所 在的地方 .这样读 ,写和移动 ,机器不停的计算 , 直到产生输出为止 .机器实现设置了两种状态 : 接受 或 拒绝清华大学 宋斌恒 11图灵机定义• 一个图灵机是一个7元组(Q,∑,Γ,δ,q0,q1,q2), 其中Q,∑,Γ都是有穷集合,并且 • 1) Q 是状态集. • 2) ∑是输入字母表,不包括特殊空白符号︺. • 3) Γ 是带字母表,其中: ︺∈Γ,∑是Γ的子 集. • 4) δ: Q×Γ→Q×Γ×{L,R}是转移函数. • 5) q0∈Q是起始状态. • 6) q1∈Q是接受状态. • 7) q2∈Q是拒绝状态,且 q2≠q1清华大学 宋斌恒 122多带图灵机,• 和普通图 灵机相似, 只是有多 个带子,每 个带子都 有自己的 读写头,用 于读和写. 如图清华大学 宋斌恒 13非确定性的图灵机• 在计算的任何时刻,机器可以在多种可能 性中选择一种继续进行【永远选择正确 的，可以理解为全部分支都计算完后选 出正确的】.它的计算是一课树,不同的分 枝对应着机器不同的可能性.如果某个计 算分枝导致接受状态,则接受该输入.与多 带图灵机相同的是,它的计算能力与普通 图灵机也是一样的.当然他的计算速度就 不一样了。
P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题
P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题在讲P类问题之前先介绍两个个概念：多项式，时间复杂度。
(知道这两概念的可以⾃动跳过这部分)1、多项式：axn-bxn-1+c恩....就是长这个样⼦的，叫x最⾼次为n的多项式....咳咳，别嫌我啰嗦。
有些⼈说不定还真忘了啥是多项式了。
例如第⼀次看到的鄙⼈→_→2、时间复杂度我们知道在计算机算法求解问题当中，经常⽤时间复杂度和空间复杂度来表⽰⼀个算法的运⾏效率。
空间复杂度表⽰⼀个算法在计算过程当中要占⽤的内存空间⼤⼩，这⾥暂不讨论。
时间复杂度则表⽰这个算法运⾏得到想要的解所需的计算⼯作量，他探讨的是当输⼊值接近⽆穷时，算法所需⼯作量的变化快慢程度。
举个例⼦：冒泡排序。
在计算机当中，排序问题是最基础的，将输⼊按照⼤⼩或其他规则排好序，有利于后期运⽤数据进⾏其他运算。
冒泡排序就是其中的⼀种排序算法。
假设⼿上现在有n个⽆序的数，利⽤冒泡排序对其进⾏排序，①⾸先⽐较第1个数和第2个数，如果后者>前者，就对调他们的位置，否则不变②接着⽐较第2个数和第3个数，如果后者>前者，就对调他们的位置，否则不变③⼀直向下⽐较直到第n-1和第n个数⽐较完，第⼀轮结束。
（这时候最⼤的数移动到了第n个数的位置）④重复前三步，但是只⽐较到第n-1个数（将第⼆⼤的数移动到第n-1个数位置）⑤持续每次对越来越少的元素重复上⾯的步骤，直到没有任何⼀对数字需要⽐较。
举个实例：5,4,3,2,1，对其进⾏排序，先是⽐较5跟4变成4,5,3,2,1，第⼀轮结束后变成43215，可以计算，当对其排序完正好要经过4+3+2+1=10次⽐较，当然这是最复杂的情况，即完全反序。
可以知道对于n个数，⾄多要经过1+2+...+n-1即(n^2-n)/2次⽐较才能排好序。
这个式⼦⾥n的最⾼次阶是2，可知道当n→∞时，⼀次性对其⽐较次数影响很⼩，所以我们把这个算法的时间复杂度⽐作：o(n^2)。
取其最⾼次，可以看出，这是⼀个时间复杂度为多项式的表⽰⽅式。
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2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
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作(C)
迄今为止我们已经知道的所有可证的难解问题 分成刚才叙述的两种类型，它们或者是“不可判定 的”，或者是“非确定型”难解的。但是，大多数在 实际中遇到的在表面上看来难解的问题是可判定的， 并且可以用非确定型计算机在多项式时间内求解。因 此，要证明这些问题的表面上的难解性，至今所研究 过的证明方法都还不够有力。
2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
6
作()
2、可证的难解问题
• 最早证出的难解性问题结果是经典的图灵不可判定性。 四十多年前，图灵证明某些问题困难到“不可判定的” 程度，即根本不可能给出解这些问题的算法。例如， 他证明不可能给出一个算法，当任意给定一个计算机 程序和这个程序的输入时，该算法可以判定当把这个 程序应用于这个输入时最终是否停机[Turing，1936]。 现在已经知道还有各种其它问题也是不可判定的，这 些问题包括有限表示群的平凡问题[Rabin，1958]，希 尔伯特第十问题（整数多项式的可解性） [Matijasevic，1970］等。因为不可能用任何算法， 当然更不可能用多项式时间算法解这些不可判定问题， 所以它们的确是在特别强的意义下难解的。
2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
4
作(C)
关于计算机模型的选择可以作类似的注释。至今 研究过的所有实际的计算机模型，例如单带图灵机， 多带图灵机以及随机存取机（RAM）都是相对于多项式 时间复杂性等价的，人们可以指望任何其它“合理的” 模型都享有这种等价性。这里所说的“合理的”概念 在本质上是指在单位时间内可以完成的工作量有一个 多项式界限。例如，不能认为具有完成任意多道并行 运算能力的模型是“合理的“，而且也确实不存在一 合计算机具有这种能力。无论如何，只要我们规定只 采用实际的计算机标准模型，难解的问题类就不受使 用的具体模型的影响。因而我们可以根据方便与否来 选择计算机模型，而不会妨碍结果的使用。 “合理的” 计算机模型也称为是“确定型”（deterministic)的 计算机模型。
2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
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作(C)
另一方面，如果多项式时间算法满足对运算时 间更严格得多的限制，就往往可以作出这种预言。 虽然可以认为时间复杂性为n100或1099n2的算法在实 际中不大可能快速运算，但是自然提出的多项式可 解的问题大多数可用2次，或者在最坏的情况下用3 次多项式时间算法求解，而且在多项式中不包含特 别大的系数，可以认为满足这些限制的算法是“可 证地有效”算法。正是这种特别需要的性质使我们 优先考虑用多项式时间算法解决问题。
2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
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作(C)
遗憾的是，像这样的例子太少了。虽然对于很多问 题都知道指数时间算法，但是只有少数几个被认为在实 际中是很有用的。甚至上面提到的那几个成功的指数时 间算法也没有使研究人员停止继续寻找这些问题的多项 式时间算法的努力。实际上，这些算法的真正成功产生 了一种猜疑，认为它们不知怎么地抓住了这些问题的关 键性的性质，对这些性质的仔细研究可能给出更好的方 法，至今在解释这种成功方面几乎毫无进展，也没有一 种方法能够事先预言给定的指数时间算法在实际中能否 快速运算。
2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
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作(C)
这样一来，“难解的”定义在理论上给出了重要的 一般原则。即问题的难度在本质上不依赖于用来决定时 间复杂性的具体编码方案和计算机模型。
能够用实际的计算机标准模型在多项式时间算法 （Polynomial time algorithm)内求解的问题称为P类 问题。
算法设计与分析-05NP完全问题 -一些重要的概念..
不过，有些指数时间算法在实际中可能十分有用。 作为定义，时间复杂性是一种最坏情况的度量。时间复 杂性为2n的算法仅仅表示至少有一个规模为n的问题实 例需要这么多的运算时间，而大多数问题实例可能实际 上需要远比这个少得多的时间。有几个著名的算法就是 这种情况。已经证明线性规划的单纯形算法具有指数时 间复杂性[Klee and Minty，1972］，但是在实际中它 计算得很好，给人留下了深刻印象。同样，背包问题的 分支界限算法虽然也具有指数时间复杂性，但是它是一 种非常成功的算法，使得许多人认为背包问题已经很好 地解决了。
2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
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作(C)
第一个难解的“可判定”问题是在六十年代初获 得的，它是Hartmanis和Stearns［1965]的复杂性 “谱系”工作的一部分，但是，这些结果只包括一些 “人工制造的”问题，它们被专门构造成具有所需要 的性质。直到七十年代初，Meyer和 Stockmeyer[1972］，Fischer和Rabin［1974］以及 其他人终于成功地证明某些“自然的”可判定问题是 难解的，这些问题包括自动机理论、形式语言理论以 及数理逻辑中以前研究过的各种问题。实际上，他们 的证明表明甚至用“非确定型”（nondeterministic) 计算机模型也不可能在多项式时间内解这些问题，这 种“非确定型”计算机模型具有执行无限多个独立的 并行计算序列的能力。这种“不合理的”计算机模型 在NP完全性理论中起着重要的作用。
2020/7/2
算法设计与分析演示稿 纪玉波制
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作(C)
3、NP完全问题
• 可以用“非确定型”计算机通过多项式时间算法求解 的问题称为“NP类”问题。理论工作者们一方面继续 寻找更有力的方法来证明问题的难解性，同时又在努 力研究就难度而言各种问题相互联系的方式。发现问 题之间的这种相互联系常常可以给算法设计人员提供 有用的信息。证明两个问题相关的基本方法是通过给 出一个构造性变换把第一个问题的任一实例映射到第 二个问题的一个等价的实例，从而把第一个问题“归 约”为第二个问题。这样的变换提供了一个手段，把 解第二个问题的任何算法转变成解第一个问题的相应 的算法。