物理竞赛复赛模拟卷
物理竞赛复赛模拟训练卷15
物理竞赛复赛模拟训练卷151.平底电磁炉的工锅底和锅壁均由耐高温绝缘体材料制成，锅底上同心环绕着半径不同的导电圆环，导电圆环单位长度电阻为R=π/8Ωm -1，同心导电圆环半径 r n =（n+1）/4 cm ，（n=1，2，3，4……），锅底直径d=28cm 。
若垂直于整个锅底施加大小方向如图所示按正弦规律变化的磁场（若B=sin ωt ，则dB/dt=ωcos ωt 。
普朗克常量h ≈6.6×10-34J ·s 。
计算结果保留两位有效数字）。
求：（1）半径为r 1的导电圆环中感应电流的最大值是多少？（2）假定导电圆环产生的热量全部以波长为600nm （6×10-7m ）的光子辐射出来，那么半径为r 1的导电圆环1分钟辐射出来的光子数是多少？（3）若没有其他损失，求上述半径为r i （i = 4，5，6）三个导电圆环所释放的总热功率 （4）该三个导电圆环连续工作多少年所释放的能量相当于1g 铀235完全裂变释放的能量？（已知1g 铀235完全裂变的质量亏损是9.1×10-7kg ，一年可取为3.2×107s ）。
2．某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率为P 0。
（1）夏天室外温度恒为T 1，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的T 2。
室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于(T 1-T 2)（牛顿冷却定律），比例系数A 。
试用T 1，P 0和A 来表示T 2。
（2）当室外温度为30ºC 时，若这台空调器只有30%的时间处于工作状态，室温可维持在20ºC 。
试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20°C 。
提示：卡诺热机的循环过程是由两个等温过程和两个绝热过程组成，在等温过程中吸收的热量与温度的比值等于放出热量与温度的比值，即有2211T Q T Q =。
3．如图所示的纸平面代表一惯性系平面，此平面上有以O 点为中心的有心电场，其场强为E (r )=βr k，方向指向O 点，k ，β为常数。
全国中学生物理竞赛复赛模拟试题汇编(PDF版 共6套)
M 3m T g (2分) 1 2 T M m g (2分) 2 2
第 29 届复赛模拟赛题
12
其中 M sv0 (
3gl 2l l 2l l ) s ( ) g u1 g u1 2
第三题（20 分） 在光滑平面上放有一个质量为 m 的匀质圆环，内径为 r 。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻 质弹簧，原长几乎为 0，劲度系数为 k ，三根弹簧连到一个质量为 m 的质点上。 （1）用一个恒力 F 沿着 x 方向作用于圆环，若质点与圆环保持相对静止，则 m 相对圆心位移为多少？ （2）初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使得速度为 v0 圆环和质点的运动方程。
A
B k。 t
C B
第 29 届复赛模拟赛题
7
第七题（20 分） 井底之蛙 在一个圆柱形的井底中心有一只青蛙。当水注满整个井的时候，青蛙刚好能看见全部天空，水的 折射为 n 1.33 。 （1）若此时月亮位于天顶，则青蛙看见的月亮和此时地上的人看到的月亮的大小之比为多少？ （2）当水漏掉一半的时候，青蛙看到的星星数目和此时地上的人看到的星星数目之比约为多少？（认 为星星很多，均匀的分布在天空中） （3）接上一问，青蛙的视野中， “天空”的边缘与“天空”的中心，星星的密度之比为多少？
度。记下段绳子为 n 方向，上段绳子为 方向。轮子的角加速度为 a0 r a0
M
第 29 届复赛模拟赛题
10
在地面上看 B 的加速度：
aBn a0 2 2 r
2 2 ， aB 2 r 2 2
（3 分）
地面上看墙角 M 加速为 aM 0 ，由于下段绳子没有转动，所以下端绳子上靠近滑轮的点沿绳加 速度为 0，所以相对滑轮下段绳子进入绳子的加速度为
物理竞赛复赛模拟训练卷21
物理竞赛复赛模拟训练卷21题1：，如图1所示，公园的转椅以恒定的角速度ω绕其竖直对称轴在水平面内做匀速转动。
转椅上的人以相对转椅v的速度平抛一个小球，为使小球能击中转椅架底部中心点O，试求v的大小和方向。
已知：小球抛出点比O点高h，与竖直转轴的距离为R。
解：先计算小球抛出对地的初速度。
水平方向：竖直方向：解得由图1(1)中速度矢量三角形易知：与R的夹角为，则，所以题2：在斯涅耳的档案中有一张光学图（见图2）。
由于墨水褪色只留下了三个点，一个薄透镜的焦点F (图2)，光源S和透镜上的一点L。
此外，还留下一部分从光源S画到其像Sˊ的直线a，从正文中知道S比Sˊ点更靠近透镜，有可能完整恢复这张图纸吗？如果可能，把它画出来，并确定图中透镜的焦距。
分析与解答：如图2(1)所示：1、令O为透镜的光学中心；2、F和O点位于垂直于透镜的光轴上，因此是直角；3、；连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心；4、连接F与L点，并以线段FL的中心C 为圆心，画一通过F及L点的圆；5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角，可以判断O点位于圆与直线a 的交点上。
6、从图中找到O点的两个可能的位置（和）；7、恢复出两种可能的示意图，如图2(1)所示。
8、由于光源S比其像更靠近透镜，可以断定只有透镜符合题意。
实际上，对透镜可以看到S到的距离大于二倍焦距，因此到的距离小于二倍焦距。
题3：有两个处于基态的氢原子A、B，A静止，B以速度v0与之发生碰撞。
已知：碰撞后二者的速度v A和v B在一条直线上，碰撞过程中部分动能有被某一个氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能态跃迁，并发出光子。
如欲碰撞后发出一个光子，试计算：速度v0至少需要多大（以m/s表示）？已知电子电量为e=1.602×10-19C，质子质量为m P=1.673×10-27kg，电子质量为m e=0.1911×10-31kg。
物理竞赛复赛模拟卷
物理竞赛复赛模拟卷1.μ子的电量q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量m 0=100MeV/c 2，静止时的寿命τ0=10-6s 。
设在地球赤道上空离地面高度为h=104m 处有一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。
1）、试问此μ子至少应有多大总能量才能到达地面？2）、若把赤道上空104m 高度范围内的地球磁场看作匀强磁场，磁感应强度B=10-4T ，磁场方向与地面平行。
试求具有第1问所得能量的μ子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。
2. 热中子能有效地使铀235裂变，但裂变时放出的中子能量代谢较高，因此在核反应堆中石墨作减速剂。
若裂变放出的中子动能为2.2MeV ，欲使该中子慢化为热中子（动能约为0.025eV ），问需经过多少次对撞？3. 半径为R 、质量为M 1的均匀圆球与一质量为M 2的重物分别用细绳，AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡，如图11-205所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 与竖直方向AB北g的夹角θ。
4. 火车以速度v 1向前行驶。
司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s 处有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v 2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a ，要使两车不致相撞，则a 应满足的关系式为_____________________。
5．如图所示，有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形导热容器，将其开口向上竖直放置。
在气温为27℃、气压为760mmHg 、相对湿度为75%时，用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。
已知水蒸气的饱合蒸气压为26.7mmHg ，在0℃时为4.5mmHg 。
（1）若保持温度不变，想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠出现，那么容器至少为多长？（2）若在水蒸气刚开始凝结时固定活塞，降低容器温度，当温度降至0℃时，容器内气体压强为多大？6．一个静止的竖直放置的玻璃管，长为H=23cm ，粗细均匀，开口向下，其内有一段长为h=10cm 的水银柱，把长为L 0=10cm 的空气柱封闭在管的上端。
高中物理竞赛模拟试题+物理竞赛复赛试题及答案
高中物理竞赛模拟试题+物理竞赛复赛试题及答案模拟训练试卷①第一题 (16分)1．天文学家根据观测宣布了如下研究成果：银河系中心可能存在一个大黑洞．黑洞是一种神秘的天体，这种天体的密度极大，其表面的引力如此之强，以至于包括光在内的所有接近黑洞的物体都不能逃脱其引力的作用．人们用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体，进行了长达6年的观测，发现距黑洞6×1012m的星体以2000km ／s的速度绕其旋转．另外，根据相对论知识，光子在运动时有质量．设光子在运动时质量为m0，光子与黑洞间的吸引力同样符合万有引力定律。
由以上知识可以求出黑洞的最大半径R= m．已知引力恒量G=6.67×10-11N•m2／kg2。
计算结果取l位有效数字．2．电子电量为e，质量为m，经过电压为U的加速电场加速后，电子具有的德布罗意波的波长表达式是λ= ．若le=1.6×10-19C，m=9.1×10-31kg，代人数据计算，当U=150V时，λ= m．第二题 (20分)如图所示，半径为r的孤立金属球远离其他物体，通过电阻可以忽略的理想细导线和电阻为R的电阻器与大地连接．电子束从远处以速度v射向金属球面，若稳定后每秒钟落到金属球上的电子数目为n，电子质量为m，电子电量数值为e，不考虑电子的重力势能，试求：1．稳定后金属球每秒钟自身释放的热量Q和金属球所带电量q；2．稳定后每秒钟落到金属球上的电子数目n不会超过多少?第三题 (20分)在水平地面某一固定点用枪射击，射出的子弹在水平地面上落点所能够覆盖的最大面积是A．若在这一固定点正上方高度为h的位置用同一支枪射击．射出的子弹在水平地面上落点所能覆盖的最大面积是多大?不计空气阻力，不计枪支的长度，每次射出的子弹初速度大小相同．第四题 (18分)如图所示，固定在竖直平面内的椭圆环，其长轴沿竖直方向．有两个完全相同的小圆环套在椭圆环上，不计质量的轻线将两个小圆环连接在一起，轻线跨过位于椭圆焦点F的水平轴，小圆环与轻线系统处于平衡状态．不计各处的摩擦，小圆环的大小忽略不计．试分析说明，系统属于哪一种平衡状态?第五题 (20分)摩尔质量是μ、摩尔数是n的单原子理想气体发生了未知的状态变化(我们称之为x过程)．状态变化过程中，可以认为气体在每一状态都处于平衡状态．气体的x过程曲线在P—V图像中，向下平移P0后恰好与温度是T0的等温曲线重合，如图所示．1．试写出x过程中气体体积V随温度T变化的关系式；2．试写出x过程中气体的比热容c与压强P变化的关系式．第六题 (24分)如图所示，真空中平行板电容器水平放置，电容器下极板固定不动，上极板用轻弹簧连接在极板中心位置悬挂起来．已知电容器极板面积是A．当上极板静止不动时，弹簧伸长量为x0，此时两极板间距为d0．现将电容器与电势差为U的电源连接，使两极板充上等量电荷，上面是正电荷，下面是负电荷，上极板会发生小幅度振动．上极板在振动的平衡位置时两极板间距为d l，不计电容器边缘效应，不计电源内阻，试求：1．弹簧的劲度系数k；2．上极板做小幅度振动的周期T；3．若弹簧的劲度系数k为某一确定值，上极板做小幅度振动时，电容器充电电压不会超过多少?第七题 (22分)如图所示，在焦距f=0.15m的凸透镜L主轴上有一小光源S，凸透镜L另一侧有两个反射面相向放置的平面镜OM l和OM2．平面镜OM l和OM2彼此垂直，且与透镜L主轴成45°，两平面镜的交线与透镜主轴垂直．已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=0.9m，透镜到两平面镜的交线距离010=0.3m，试求：1．小光源S在透镜主轴上共成多少个像?2．小光源S在透镜主轴外共成多少个像?分别指出像的虚实、位置及放大率．答案与分析全国中学生物理竞赛复赛试题一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g .二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.v三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令mLλ=表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为k E k L αβγλω=式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值.2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值.3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g .提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为d (())d d d d d Y X t Y X t X t=例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为dcos ()dcos d d d d t t tθθθθ=四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .五、（25分）平行板电容器两极板分别位于2dz =±的平面内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B ，方向沿x 轴负方向，如图所示.1. 在电容器参考系S 中只存在磁场；而在以沿y 轴正方向的恒定速度(0,,0)v （这里(0,,0)v 表示为沿x 、y 、z 轴正方向的速度分量分别为0、v 、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S '中，可能既有电场(,,)xy z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''. 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S '中电场(,,)xy z E E E '''和磁场(,,)x y z B B B '''的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.2. 现在让介电常数为ε的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v ，方向沿y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S '中，由于液体处在第1问所述的电场(,,)xy z E E E '''中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(,,)xy z E E E '''，而是0(,,)xy z E E E εε'''，这里0ε是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系S 中电场不再为零. 试求电容器参考系S 中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用0ε、ε、v 、B 或（和）d 表出. ）六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm 的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C ︒时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为51.010-⨯/度和52.010-⨯/度. 当温度升高到120C ︒时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. )七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为θ，高为h . 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz 平面平行，上表面与yz 平面平行. 劈尖介质的折射率n 随x 而变化，()1n x bx =+，其中常数0b >. 一束波长为λ的单色平行光沿x 轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z 方向平行、沿y 方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x 轴垂直，透镜主光轴为x 轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于y =0处；物和像之间各光线的光程相等.1. 求其余各狭缝的y 坐标；2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.图(a)图(b)八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为e m ，真空中的光速为 c . 若能量为e E 的电子与能量为E γ的光子相向对碰， 1. 求散射后光子的能量；2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光子能量为2.00 eV ，电子能量为 1.00´109 eV ，求散射后光子的能量. 已知xm e =0.511´106 eV /c 2. 计算中有必要时可利用近似：如果1x <<»1-12x .第30届全国中学生物理竞赛复赛解答与评分标准一参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v 分解成纬线切向 (水平方向)分量ϕv 及经线切向分量θv .设滑块质量为m ，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O 的连线与水平方向的夹角为θ. 由机械能守恒得2220111sin 222m mgR m m ϕθθ=-++v v v (1)这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cos m R m R ϕθ=v v .(2)由 (1) 式，最大速率应与θ的最大值相对应max max ()θ=v v .(3)而由 (2) 式，q 不可能达到π2. 由(1)和(2)式，q 的最大值应与0θ=v 相对应，即max ()0θθ=v . [(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得22202sin tan 0gR θθθ-=≥v v .若sin 0θ≠，由上式得220sin 2cos gRθθ≤v .实际上，sin =0θ也满足上式。
第36届物理竞赛复赛模拟题(第8套)_解析
1. 解：（1）参考题解图1，1T 的计算：球1从A 到1B 所经过时间记为11t ，到达1B 的速度大小记为10v，有2111113sin 2L g t t ϕ=⇒=10113sin 105v g t ϕ== 将球1从1B 到C 时间记为12t ，有210121112121324cos 10255L v t g t gL t gt ϕ=+=+取其解为：12t =合成，得到11112T t t=+=（4分） 2T 的计算:仿照球1所引参量，有 )221211114cos 2L g t t t ϕ=⇒==20214cos 105v g t ϕ==2220222222221433sin 102510L v t g t gL t gt ϕ=+=+22t ，22122T tt =+ （3分）（2）由（1）问解答可知道02T T ==球1,2于11211t t t ==。
分别同时到达12,B B 。
据此将讨论的时间范围分为两段：10t t ≤<和10t t T <<，10t t ≤<时间段F 的求解：此时间段内，t 时刻球1,2所在位置到竖直线AC 的水平距离分别为211sin cos 2x g t ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221cos sin 2x g t ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭即有：12x x =重力1m g mg =，2m g mg =相对A 点力矩之和为0，故有解全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第八套（解析与评分标准）满分3200F = （4分）10t t T <<时间段F 的求解：参考题解图2，球1,2朝AC 线水平加速度分别为()()1212cos sin ,sin cos 2525g g g ϕϕϕϕ==，即相同t 时刻重力矩之和为：M ∆，方向：水平朝外。
大小：1122M m gx m gx ∆=-。
()()21101112112sin 5225x L v t t g t t ϕ⎡⎤=--+⨯-⎢⎥⎣⎦，()()22101112112cos 5225x L v t tg t t ϕ⎡⎤=--+⨯-⎢⎥⎣⎦，()())12201011cos sin x x v vt t t tϕϕ-=--=- 为平衡此力矩，要求F ：方向：水平朝左。
第36届物理竞赛复赛模拟题(第9套)_解析
【题号】1 【解析】(1)如图，刚刚释放时，整根链子贴着球面以相同速率下滑。
考虑整根链子滑动一段微小位移l ∆时的速度v ∆，此速度对应的动能应由链子下滑过程中的部分重力势能转化而来。
计算重力势能变化时，可等效地认为链子顶端长为l ∆的一小段直接转移到了末端。
记链子线密度为λ，则该段的质量为l λ∆，重力势能变化为1lg (1cos60)2P E R gR l λλ∆=-∆-=-∆， 则由机械能守恒()0K P E E ∆+=, 以及动能22126K E L v R v πλλ=∆=∆， 得到23gv l π∆=∆，另一方面，链子上每一点均做圆周运动，由于刚刚释放时速度为零，向心加速度均为零，只有大小处处相等的切向加速度T a 。
而在讨论一段微小过程中的速度变化时，总可视为匀加速直线运动，满足：全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第九套（解析与评分标准）满分32022T v a l ∆=∆， 比较上两式，即可得到32T g a π=.(2)设刚刚释放时，相对顶端转过θ角处的链条张力为()F θ，其下方的链条质量为 ()()3m R πθλθ=-，假设链条整体向下有一微小位移l ∆，根据第一小问已知，链条获得的下滑速度v ∆满足 23gv l π∆=∆.而具体对该段链条而言，受到重力、球面支持力与()F θ三个力，其中支持力处处垂直于位移方向，不做功，因此其动能增量来源于重力势能减小与力()F θ所做的功，即21()()2P m v F l E θθ∆=-∆-∆, 计算重力势能变化量时，与第一小问一样，视为顶端l ∆的部分直接移到底端，则 1lg (cos cos60)lg (cos )2P E R R λθλθ∆=-∆-=-∆-， 代入前式，并将2v ∆表达式代入，整理得3()(cos +1)2F gR θλθθπ=-， 其极值点通过0dFd θ=确定，此时 3(sin )02m gR λθπ-+=， 解得3arcsin28.522m θπ=≈， 此时()0.1163m F gR θλ≈,链条顶端，底端显然张力均为零，否则顶端、底端极小范围内的链条将有无穷大的加速度。
第36届物理竞赛复赛模拟题(第10套)_解析
【题号】1 【解析】 解：(1) 设绳的上端部分中的张力为T ,则为使小球能下滑，要求：sin cos mg mg T ϕμϕ-> (1) sin cos T Lg Lg λϕμλϕ>+ (2) 联立(1)、(2)可解得sin cos sin cos m L ϕμϕλϕμϕ+>-因为sin 2cos ϕμϕ= 所以3m L λ> (3) 03m L λ= (4) (2) 由功能原理可得0200sin lg()sin 1=()()cos 2m gl L l m L v m L g l ϕλϕλμλϕ--+++ (5) 将cos μϕ用1sin 2ϕ替换，则可解得v =(6) 又由dv dv dl dv a v dt dl dt dl=== 全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第十套（解析与评分标准）满分320可得sin 2gl a Lϕ= (7) (3) 由dlv dt == (8) 得2L TL dl dt l =⎰即有ln 2=所以2T (9)【题号】2 【解析】解：(1)11()2211()()22E E D F D F v B v v A C A C v A C v A C v B ⎧⎧=⋅=⋅+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎡⎤⎪⎪⋅-=⋅+=⎢⎥⎪⎪⎩⎣⎦⎩(4分) (2)取E 点2122S S E M M GM M E Mv G A A=-=- (2分)(3)在D 处，P的主体和探测器初速度同为D v =，发射分离后，P主体圆运动：1v =探测器抛物线运动：22222102S M m m v G v A C-=⇒=+分离过程112212()D m v m v m m v -=+， 2121DDv v m m v v γγ+=⇒=-γ⇒=由于2C A =，122B A A B =⇒=，C =γ⇒=2=γ⎡⎢⎣⇒=⎤⎥⎦（（(9分)【题号】3 【解析】解:小球质量记为m 。
1μ取值范围：参考题图1，有=c o s N m g θ，sin mg f ma θ-=，c fr I β=与a r β=，225C I mr =联立，可解得2sin 7f mg θ=，12tan 7f N μθ≥= （5分） 2μ取值范围：参考题解图2，有2cos()v N mg m R r θφ=-+-。
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物理竞赛复赛模拟卷1.μ子的电量q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量m 0=100MeV/c 2，静止时的寿命τ0=10-6s 。
设在地球赤道上空离地面高度为h=104m 处有一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。
1）、试问此μ子至少应有多大总能量才能到达地面？2）、若把赤道上空104m 高度范围内的地球磁场看作匀强磁场，磁感应强度B=10-4T ，磁场方向与地面平行。
试求具有第1问所得能量的μ子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。
2. 热中子能有效地使铀235裂变，但裂变时放出的中子能量代谢较高，因此在核反应堆中石墨作减速剂。
若裂变放出的中子动能为2.2MeV ，欲使该中子慢化为热中子（动能约为0.025eV ），问需经过多少次对撞？3. 半径为R 、质量为M 1的均匀圆球与一质量为M 2的重物分别用细绳，AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡，如图11-205所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 与竖直方向AB北g的夹角θ。
4. 火车以速度v 1向前行驶。
司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s 处有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v 2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a ，要使两车不致相撞，则a 应满足的关系式为_____________________。
5．如图所示，有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形导热容器，将其开口向上竖直放置。
在气温为27℃、气压为760mmHg 、相对湿度为75%时，用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。
已知水蒸气的饱合蒸气压为26.7mmHg ，在0℃时为4.5mmHg 。
（1）若保持温度不变，想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠出现，那么容器至少为多长？（2）若在水蒸气刚开始凝结时固定活塞，降低容器温度，当温度降至0℃时，容器内气体压强为多大？6．一个静止的竖直放置的玻璃管，长为H=23cm ，粗细均匀，开口向下，其内有一段长为h=10cm 的水银柱，把长为L 0=10cm 的空气柱封闭在管的上端。
设外界大气压强p 0=1.0×105Pa ，求当管以20m/s 2的加速度上升时，管中封闭的气柱长为多少厘米？（取g=10m/s 2，水银密度ρ=1.4×104kg/m 3）7．如图所示，用导热材料制成的两端开口的U 型管ABCD ，其中AB 高h=24cm ，CD 高L 2=20cm ，截面积分别为S AB =1cm 2，S CD =2cm 2，开始时两管均有高h=16cm 的水银柱，现用两个橡皮帽将两个管口封闭，打开下方的阀门K ，用注射器从底部缓慢抽出水银，当其中的一个管内的水银被抽干时立即关闭阀门K 。
（已知大气压强为p 0=75cmHg ）（1）请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银？ （2）另一只管中剩余的水银柱高度为多少？8．如图（a ）所示，水平固定的圆筒由足够长粗筒和细筒相接而成，筒中有直径不同的两个活塞A 、B 用一根细绳相连，活塞B 通过水平细绳、定滑轮与一个质量为m=2.0kg 的重物C 连接，A 、B 两活塞的横截面积分别为S 1=20cm 2，S 2=10cm 2。
当两活塞封闭的空气柱温度为t=327℃时，两活塞保持静止，此时两活塞分别与大小圆筒的相接面的距离均为L ，已知大气压强p 0=1.0×105Pa ，活塞与筒壁、滑轮与轮轴间的摩擦均可忽略不计，取g=10m/s 2，求：（1）此时筒内两活塞间气柱的压强为多大？（2）当筒内气柱的温度缓慢降到C27时，活塞A 能否向右移动距离L ，试说明理由。
ACD（a ）（3）当气柱温度降到C27时，筒内气柱的压强为多大？（在整个变化过程中，A 、B 绳子始终有作用力）。
9. 众所周知，在沙漠中能观察到蜃楼现象，假设在近大地的空气层中，光速按c(z)=c 0(1-az)规律变化，式中c 0为光沿地面的速度，z 为离地高度。
试问：观察者观察到蜃楼现象时，估计真实景物离他多远？设观察者身高为h 。
10.如图所示，在内半径为r 、外半径为R ，折射率为n 1的玻璃管中充满了折射率为n 2的发光液体，试问，从远处看，当管的厚度消失时，r 和R 应满足什么条件？11. 空气中放一个半径为R 、折射率为n的玻璃球，两支相距d<2R 的平行细光束相对球心对称地射到球上，两支光束与球心共面，1n 2n 3n 4n如图所示。
（1）为使两支光束在球内有实交点，d与n之间必须满足什么样的关系？（2）为使两支光束对任何d<2R均在球外有实交点，n可取哪些值？12．如图所示，半径为R的绝缘圆环由直径Array AB分成的两半部分各均匀带有正、负电荷。
正负电荷的电量都是Q。
(1)试证明过直径AB的直线是一条电势为零的等势线。
(2)求带正电的半圆环所激发的电场在环心O点的电势。
1.μ子的电量q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量m 0=100MeV/c 2，静止时的寿命τ0=10-6s 。
设在地球赤道上空离地面高度为h=104m 处有一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。
1）、试问此μ子至少应有多大总能量才能到达地面？2）、若把赤道上空104m 高度范围内的地球磁场看作匀强磁场，磁感应强度B=10-4T ，磁场方向与地面平行。
试求具有第1问所得能量的μ子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。
分析：利用时间膨胀公式可将地球上观测到的μ子的寿命τ与静止系中的寿命0τ建立联系。
对地球上的观察者而言，μ子为能达到地面，所具速度必须保证它在τ时间内走完全程。
利用质能公式可得μ子的相应能量。
由于μ子的动能比重力势能大得多，重力影响可忽略。
又因地磁场引起的偏转较小，计算第1问时可不考虑洛伦兹力，因此，可把μ子近似看成作匀速直线运动。
求解第2问时，必须考虑由地磁场引起的洛伦兹力，此力使μ子产生偏转。
因洛伦兹力对μ子不做功，故其能量保持常值。
根据动力学方程和质能公式可写出μ子坐标所遵从的微分方程，解此微分方程即可求得偏转量。
μ子除受洛伦兹力外，还受地球自转引起的科星奥利力的作用，它对μ子偏转的影响应作一估算。
解：（1）近似地把μ子看成是作匀速直线运动，速度为υ，到达地面所需地球时间为c hht ≈=υ为能到达地面，需满足南τ≤t式中τ为地球观察者测得的μ子寿命，它与0τ的关系为221c υττ-=由质能公式，μ子的能量为22201c c m E υ-=给合以上诸式，有00020020τττch m t t c m c m E =≥=代人数据，μ子至少应有能量M e V M e V chm E 368400103.31010310100⨯=⨯⨯⨯==-τ（2）、如图所示，取直角坐标系Oxyz ，原点O 在地面，x 轴指向西，y 轴垂直于地面向上指向北。
μ子的初始位置和初速度为()00=x ()00=x ()h y =0 ()υ-=0y ()00=z ()00=z 磁场B 与z 轴方向一致，μ子所受洛伦兹力为 B e F ⨯-=νμ子的动力学方程为Be F dt dp⨯-==ν其中νν2c E m p == E=常量022x iEe c B E e c dt d r -=⨯-==νν 0y jB zk成分量形式为xE eBc y y E eB c x 22,=-= （1）（2）（1）式对t 求导后再将（2）式代入，得02==x xω 式中E eB c 2=ω 上述方程的解为()φωυ+=*t x c o s ()**++=x t x φωωυs i n因此，有()()φωυφωων+-=+-==**t E eB c t y E eB c x sin sin 22故得()φωυ+=*t y s i n ()**++-=y t y φωωυc o s初条件为()0c o s 0==*φυx()0s i n 0=+=**x x φωυ()υφυ-==*s i n 0y()hy =-=*φωυc o s 0得υυπφ=-=*,2hy x ===***,ωυωυ最后得μ子的坐标为()t t x ωωυωυπωωυc o s 12s i n -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t h h t y ωωυπωωυs i n 2c o s -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=到达地面时，y=0，即有υυωωE e B h c h t 2s i n == 因c ≈υ，有84493101010s i n 0.0913.310c e B h t E ω-⨯⨯⨯≈==⨯22122111c o s 1⎪⎭⎫⎝⎛≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-υωυωωh h tμ子到达地面时的x 坐标为221⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=υωωυh x 地 朝x 方向（向西）的偏转角为r a dr a d h h x 046.0091.0212=⨯≈=≈υωα地落地点向西偏离的距离为m m ha x 460046.0104=⨯=≈地 μ子落地过程需时sc t 522103.31-⨯=-==υττ此阶段地球表面一点转过的距离为mm t R s 015.0103.33600242104.656=⨯⨯⨯⨯⨯==-πω地可见，s «地x ，即由地球自转引起的偏离可以忽略。
2. 热中子能有效地使铀235裂变，但裂变时放出的中子能量代谢较高，因此在核反应堆中石墨作减速剂。
若裂变放出的中子动能为2.2MeV ，欲使该中子慢化为热中子（动能约为0.025eV ），问需经过多少次对撞？解：运动的中子与石墨中静止的碳原子碰撞可作为弹性碰撞处理。
设第k 次碰拼音字母前中子速度大小为1-υk ，碰后速度 大小为k υ，由动量守恒和能量守恒可得1-+-=k nC nC k m m m m υυ式中n C m m .分别为碳原子、中子的质量，近似有n m mc 12=。
于是k υ可表述为001311V V m m m m V KKn c n c K ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=初始的中子 υ对应动能MeV E 2.2= ，碰撞k 次后的动能取为eV E k 025.0=，则有k k n C n C k k m m m m E E 2222)1113()(=-+=υυ=两边取对数解得8.54=k 取整数后为)(55次=k3. 半径为R 、质量为M 1的均匀圆球与一质量为M 2的重物分别用细绳，AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡，如图11-205所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 与竖直方向AB 的夹角θ。
分析：在平衡条件下，一个物体受到三个共点力作用时，这三个力的作用线必相交于一点。