第1章 质点运动学和牛顿运动定律习题解答
高一物理练习-牛顿定律精选练习题含解析
牛顿定律精选练习题含解析一、主要内容本章内容包括力的概念及其计算方法，重力、弹力、摩擦力的概念及其计算，牛顿运动定律，物体的平衡，失重和超重等概念和规律。
其中重点内容重力、弹力和摩擦力在牛顿第二定律中的应用，这其中要求学生要能够建立起正确的“运动和力的关系”。
因此，深刻理解牛顿第一定律，则是本章中运用牛顿第二定律解决具体的物理问题的基础。
二、基本方法本章中所涉及到的基本方法有：力的分解与合成的平行四边形法则，这是所有矢量进行加、减法运算过程的通用法则；运用牛顿第二定律解决具体实际问题时，常需要将某一个物体从众多其他物体中隔离出来进行受力分析的“隔离法”，隔离法是分析物体受力情况的基础，而对物体的受力情况进行分析又是应用牛顿第二定律的基础。
因此，这种从复杂的对象中隔离出某一孤立的物体进行研究的方法，在本章中便显得十分重要。
三、错解分析在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对物体受力情况不能进行正确的分析，其原因通常出现在对弹力和摩擦力的分析与计算方面，特别是对摩擦力（尤其是对静摩擦力）的分析；对运动和力的关系不能准确地把握，如在运用牛顿第二定律和运动学公式解决问题时，常表现出用矢量公式计算时出现正、负号的错误，其本质原因就是对运动和力的关系没能正确掌握，误以为物体受到什么方向的合外力，则物体就向那个方向运动。
例1甲、乙两人手拉手玩拔河游戏，结果甲胜乙败，那么甲乙两人谁受拉力大？生活中有一些感觉不总是正确的，不能把生活中的经验，感觉当成规律来用，要运用物理规律来解决问题。
例2A.10N向左B.6N向右C.2N向左D.0摩擦力问题主要应用在分析物体运动趋势和相对运动的情况，所谓运动趋势，一般被解释为物体要动还未动这样的状态。
没动是因为有静摩擦力存在，阻碍相对运动产生，使物体间的相对运动表现为一种趋势。
由此可以确定运动趋势的方向的方法是假设静摩擦力不存在，判断物体沿哪个方向产生相对运动，该相对运动方向就是运动趋势的方向。
质点运动学习题 (修复的)
第一章质点运动学一.选择题：1．某质点的运动方程为，则该点作[ ]（A ）匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向。
（B ）匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向。
（C ）变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向。
（D ）变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向。
2．一运动质点在某瞬间时位于矢径（X 、Y ）的端点处，其速度大小为[ ]（A ）（B ）（C ）（D ）3．如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。
设人以匀速率收绳，绳不伸长、湖水静止，则小般的运动是[ ]（A ）匀加速运动。
（B ）匀减速运动。
（C ）变加速运动。
（D ）变减速运动。
（E ）匀速直线运动。
4.一个质点在做匀速率圆周运动时[ ]（A ）切向加速度改变，法向加速度也改变。
（B ）切向加速度不变，法向加速度改变。
（C ）切向加速度不变，法向加速度也不变。
（D ）切向加速度改变，法向加速度不变。
5．对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： [ ]（A ）切向加速度必不为零。
（B ）法向加速度必不为零（拐点处除外）。
（C ）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零。
因此法向加速度必为零。
（D ）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零。
（E ）若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动。
6．某人骑自行车以速率向西行驶，今有风以相同速率从北偏东方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？[ ]（A ）北偏东（B ）南偏东（C ）北偏西（D ）西偏南 7、质点的运动方程是j bt i at r （a 、b 都是常数），则质点的运动是（ ）（A ）变速直线运动 （B ）匀速直线运动（C ）园周运动； （D ）一般曲线运动。
8． 质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处 ( )(A) (B) (C) (D)9． 某人以4km/h 的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。
第1章--质点运动学与牛顿定律
习题1 选择题1.1一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表达式为 r = a t 2 i + b t 2 j (其中a 、b 为常量), 则该质点作( ) (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D) 一般曲线运动解 首先要判断的是质点的轨迹，由质点的位置矢量表达式 r = a t 2 i + b t 2 j 知2x at =，2y bt =。
消去t 可得质点的轨迹方程为by x a=，由此可知质点的轨迹为直线。
其次要判断的是状态的变化，也就是考察速度和加速度，22d at bt dt==+rυi j ，22a b =+a i j 。
由此可知质点作变速直线运动，故选B 。
1.2 如图所示，用水平力F 把木块压在竖直的墙面上并保持静止。
当F 逐渐增大时，木块所受的摩擦力( )（A ）不为零， 但保持不变（B ）随F 成正比地增大（C ）开始随F 增大， 达到某一最大值后， 就保持不变 （D ）无法确定解 由题意可知物体的状态是静止，根据牛顿第二定律物体所受的合外力为零。
在竖直方向上物体受重力和摩擦力两个力的作用，两个力大小相等 、方向相反。
故选A 。
1.3一质点沿x 轴运动，其速度与时间的关系为：24m/s t =+v ，当3s t =时，质点位于9m x =处，则质点的运动方程为( )(A)214123x t t =+- (B)2142x t t =+(C)23x t =+ (D)314123x t t =++解 因为质点沿x 轴运动，由dx dtυ=有dx dt υ=，通过积分2(4)dx dt t dt υ==+⎰⎰⎰得到2143x t t C =++。
当3s t =时，质点位于9m x =处，可求得12C =-。
故选A 。
1.4 质点作曲线运动，其瞬时速度为υ，瞬时速率为υ，平均速度为υ，平均速率为υ，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的? ( ) （A ）,υυ==υυ （B ）,υυ≠=υυ习题1.2图（C ）,υυ=≠υυ （D ）,υυ≠≠υυ 解 ,,,d d s sd t d t t tυυ∆∆====∆∆r r υυ；d d s =r s ∆≠∆r 。
《大学物理习题集》(上)习题解答
)2(选择题(5)选择题单元一 质点运动学（一）一、选择题1. 下列两句话是否正确：(1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变；【 ⨯ 】(2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。
【 ⨯ 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。
3. 某质点的运动方程为x=3t-5t 3+6(SI)，则该质点作 【 D 】(A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向;(C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2则一秒钟后质点的速度:【 D 】(A) 等于零(B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。
5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向边运动。
设该人以匀速度V 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】(A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。
6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5s 时，(7)选择题质点在x 轴上的位置为 【 C 】(A) 0； (B) 5m ； (C) 2m ； (D) -2m ； (E) -5m*7. 某物体的运动规律为t kv dtdv2-=，式中的k 为大于零的常数。
当t=0时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是 【 C 】(A) 02v kt 21v += (B) 02v kt 21v +-= (C)2v 1kt 21v 1+= (D)2v 1kt 21v 1+-=二、填空题1. )t t (r )t (r ∆+ 与为某质点在不同时刻的位置矢量，)t (v 和)t t (v ∆+为不同时刻的速度矢量，试在两个图中分别画出s ,r ,r ∆∆∆ 和v ,v ∆∆。
大学物理上册第一章 质点运动学 习题及答案
第一章 质点运动学一、简答题1、运动质点的路程和位移有何区别?答：路程是标量，位移是矢量；路程表示质点实际运动轨迹的长度，而位移表示始点指向终点的有向线段。
2、质点运动方程为()()()()k t z j t y i t x t r ++=，其位置矢量的大小、速度及加速度如何表示? 答：()()()t z t y t x r 222r ++==()()()k t z j t y i t xv ++= ()()()k t z j t y i t x a ++=3、质点做曲线运动在t t t ∆+→时间内速度从1v 变为到2v ，则平均加速度和t时刻的瞬时加速度各为多少? 答：平均加速度 t v v a ∆-=12 ，瞬时加速度()()dt v d t v v a t t lim t 120 =∆-=→∆4、画出示意图说明什么是伽利略速度变换公式? 其适用条件是什么?答：牵连相对绝对U V +=V ，适用条件宏观低速5、什么质点? 一个物体具备哪些条件时才可以被看作质点?答：质点是一个理想化的模型,它是实际物体在一定条件下的科学抽象。
条件：只要物体的形状和大小在所研究的问题中属于无关因素或次要因素,物体就能被看作质点。
二、选择题1、关于运动和静止的说法中正确的是 ( C )A 、我们看到的物体的位置没有变化，物体一定处于静止状态B 、两物体间的距离没有变化，两物体就一定都静止C 、自然界中找不到不运动的物体，运动是绝对的，静止是相对的D 、为了研究物体的运动，必须先选参考系，平时说的运动和静止是相对地球而言的2、下列说法中正确的是 ( D )A 、物体运动的速度越大，加速度也一定越大B 、物体的加速度越大，它的速度一定越大C 、加速度就是“加出来的速度”D 、加速度反映速度变化的快慢，与速度大小无关3、质点沿x 轴作直线运动，其t v-曲线如图所示，如s t 0=时，质点位于坐标原点，则s .t 54=时，质点在x 轴的位置为 ( B )A 、5 mB 、2 mC 、0 mD 、-2 m4、质点作匀速率圆周运动，则 ( B )A 、线速度不变B 、角速度不变C 、法向加速度不变D 、加速度不变5、质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为s /m v 2=，瞬时加速度为22s /m a -=，则一秒钟后质点的速度 ( D )A 、等于0B 、等于s /m 2-C 、等于s /m 2D 、不能确定6、质点作曲线运动，r 表示位置矢量的大小，s 表示路程，z a 表示切向加速度的大小，v 表示速度的大小。
第1章 质点运动学和牛顿运动定律
第1章质点运动学和牛顿运动定律思考题1-1 在牛顿力学中，位矢、位移、速度和加速度与参考系的选取有什么关系？答：位矢、位移、速度和加速度与参考系的选取无关，它们都是在首先选定参考系后，再选择一定的坐标系，对物体的运动进行描述，它们的数值与参考系无关．1-2 某质点沿半径为R的圆周运动一周,它的位移和路程分别为多少？质点的位移和路程的区别是什么？什么情况下位移的大小与路程相等？答：沿圆周运动一周的位移是0，路程是圆的周长．位移表示质点在一段时间内位置变动的总效果，是矢量．一般来说，位移不表示质点在其轨迹上所经历的长度．路程是质点在其轨迹上经过的路径的总长，是标量．只有质点作同一方向的直线运动时，位移的大小才等于路程．1-3 作直线运动的物体的位移的大小和路程相等吗？答：直线运动的物体的运动方向不变时，位移的大小与路程相等．如果方向改变，则位移的大小要小于路程．1-4有人说“速率等于速度的大小,则平均速率也等于平均速度的大小”,你觉得这种说法对么？为什么？答：这种说法不对．平均速率是路程与时间的比值，而平均速度是位移与时间的比值，一段时间内的位移的大小一般不等于路程．因此，一般情况下，平均速率不等于平均速度的大小．1-5已知质点的运动学方程为()()()x t y t z t=++r i j k,在求质点运动的速度和加速度的大小时,有人先求出位矢的大小r=,再利用ddrtυ=和22d dd drat tυ==求得结果．你认为这种计算方法正确么？你觉得应该如何计算？答：不对．首先根据定义分别计算速度和加速度的值，再取其矢量的大小表示相应的速度和加速度的大小．1-6一个人站在地面上瞄准树上挂着的小球，在小球开始下落的瞬间，扣动扳机，试说明子弹能否击中小球．答：在忽略空气的阻力情况下，子弹能击中小球．子弹的运动可以看作沿初速度的运动和竖直方向的自由落体运动的叠加．小球下落后的运动是一个以g为加速度的自由落体运动．当子弹与小球的水平位置重合时，它们参与的竖直方向的运动完全相同，即子弹击中小球．1-7 杂技表演中，演员可以骑着自行车在竖直的圆形墙壁上运动，为什么不会掉下来？答：作圆周运动的演员和自行车需要向心力，自行车需要的向心力只能由竖直墙壁提供．根据牛顿第三定律，此时车对墙壁产生一个大小相等的压力．由于车与墙壁之间存在摩擦力，当车速足够大时，需要的向心力也增大．当摩擦力与重力平衡时，车与运动员就不会掉下来．1-8 火车车头对车厢的相互作用力大小相等，方向相反，为什么启动时是火车拉着车厢向前？答：决定物体运动的是这个物体所受的合外力．对车头而言，在水平方向所受的力是地面对它向前的摩擦力和车厢对它施加的向后的拉力．火车头所以向前启动是因为向前的摩擦力大于向后的拉力．同样分析车厢，得到同样的结果．当然也可以将车头和车厢作为整体看待，此时其受的水平方向的外力只有地面对车头向前的摩擦力和及对车厢向后的摩擦力，当向前的摩擦力大于向后的摩擦力时，就会产生向前的加速度．而车头和车厢之间的相互作用力称为内力，对整体的运动没有影响．1-9 悬浮的气球下面带有吊篮，人开始在吊篮里，且气球和人都保持静止，后来人开始沿着吊绳向上爬，问气球是否运动？答：气球会向下运动．可以将人和气球看作一个整体研究对象，由题目条件可知，其受合外力为零，因此整体的运动状态应该保持不变．人向上运动，为了保持整体的重心不变，气球会向下运动．1-10牛顿运动定律中使用隔离体法进行受力分析，有时需要作整体分析，分析一下这两种研究对象的选取各在什么情况下有利于问题的解决．答：当整体的加速度相同时，一般做整体分析，如果各部分的加速度不一样，必须用隔离体方法；如果要计算的结果涉及物体之间的相互作用，也需要作隔离体受力分析．1-11 受力分析过程中如何做到不漏力，也不虚构力？答：首先确定重力，再找研究对象与外界的接触，有一个接触面（点）就可能存在弹力和摩擦力，这样就不会漏力．一个真实的力必须有施力物体，找不到受力物体的力则是虚构的力．1-12水平路面上的火车车厢内有一光滑桌面，在上面放置一个小球，当火车速率增加时，路面上的观察者和车厢内的观察者看到小球的运动状态发生什么改变？答：路面上的观察者以地面为参考系，看到小球在水平方向没有受到力的作用，因此相对于地面的位置不变，保持原来的运动状态；车厢内的观察者以车厢为参考系，此时车厢由于加速运动，不再是惯性系，他会看到小球向后运动．习题1-1 已知质点的运动学方程为x = R cosωt , y = R sinωt, z =hω/(2t),其中R、ω、h为常量．求：（1）质点的运动方程的矢量形式； （2）任一时刻质点的速度和加速度． 解：k j i r )2/(sin cos t h t R t R ωωω++= k j i r υ)24/(cos sin t h t R t R dt d ωωωωω-+-==k j i υa 2224/sin cos t h t R t R dtd ωωωωω--==1-2 站台上的人在火车开动时站在第一节车厢的最前面．火车开动后经过24 s 第一节车厢的末尾从此人的面前通过．问第5节车厢驶过他面前需要多长时间？解：以火车开动时为计时起点，设火车一节车厢长度为l ，加速度为a 则第一节车厢经过观察者时：a a atl 28824212122=⨯==（1）第四节车厢的末尾经过观察者时：24214at l =（2） 第五节车厢的末尾经过观察者时：25215at l =（3）联立（1）（2）（3）得： 7.15487.6345=-=-=t t t s1-4 一个弹性球竖直落在一个斜面上，下落高度为h = 20cm ，斜面的水平倾角为θ = 30°，求其第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远（设碰撞为完全弹性碰撞）．解：竖直方向取向下为正方向，建立如图坐标系，第一次碰撞前，gh y 2==υυ第一次碰撞后，速度大小不变，方向与原来成60°角30cos 230cos 1gh y x ==υυ30sin 230sin 1gh y y -=-=υυt gh t x x30cos 21==υ (1)2212130sin 221gt t gh gtt y y +-=+=υ (2)30tan y x = (3)由（1）、（2）、（3）联立解得：h x 32=， h y 2=， m h y s 8.0430sin ===1-6 质量为3 kg 的质点，其运动学方程为22(52)(23)t t t =+-+-r i j求该质点受力的大小和方向．解：j i r a4222+-==dtd ，)/(7.4204)2(222s m a ==+-=j i a F 126+-==m ， N 1.14==ma F2tan -=θ ， 2arctan -=θ1-8 如图1-19所示，抛物线形弯管的表面光滑，绕竖直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y = a x 2，a 为正常数，小环套在弯管上．试问：（1）弯管角速度多大，小环可以在管上任意位置相对弯管静止？ （2）若为圆形光滑弯管，情况如何？解：（1）建立坐标系如图，抛物线的切线斜率为ax dxdy 2=，则其垂直线的斜率为axk 21tan ==θ （1）静止时有mg F =θsin （2） x m F 2cos ωθ= （3）由（1）、（2）、（3）得ag 2=ω（2）如果是光滑圆管，以圆心为坐标原点，圆方程222R yx =+则圆环所在处的斜率yx dxdy -=图1-19 习题1-8用图yxy =θtan （4）mg F =θsin （5） x m F 2cos ωθ=（6）由（4）、（5）、（6）得 yg =ω当0>y 时，小环可以相对弯管静止，但不同的位置静止时的角速度不同； 当0≤y 时，小环不可能相对弯管静止．1-9 小车以匀加速度a 沿倾角为α的斜面向下运动，摆锤相对于小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角．解：以小球为研究对象，地面为参考系，建立如图所示坐标系， 则有：ααcos 2cos 2)()(2222ga ga m mgma mg ma T -+=-+=所以maga ga m θααsin cos 2sin 22=-+所以ααθcos 2sin sin 22ga ga a -+=ααθcos 2sin arcsin22ga ga a -+=1-10 如图1-20所示，质量为m 的环套在绳上，环相对绳以加速度a 下落，求环与绳间的摩擦力．分析：环受在竖直方向受重力和摩擦力，故有ma f mg =- ，)(a g m f -=1-11 如图1-21所示，电梯内水平桌面上有一个20 kg 的物体A ，它用轻绳经过一质量可以略去不计的滑轮后，挂一个5 kg 的物体B ，A 与桌面的滑动摩擦系数为0．2．如果电θ αmaTmg图1-20 习题1-10用图梯以a = g 的加速度向上运动，求A 的加速度和绳子的张力（取g = 10 m/s 2）．解：以电梯为参考系，物体B 为研究对象，则受力为张力和重力和惯性力B B B a m T g m =-2（1）对物体A ，水平方向受力为摩擦力和绳的张力，有Ax A A a m g m T =-μ2（2）由于B Ax a a =（3）由（1）（2）（3）得)/(2.710205810222s m g m m m m a AB AB Ax =⨯++=++=μ)(224)2(N m g a T A Ax =+=μ)/(3.122.71002222s m a a a Ax A =+=+=与竖直方向夹角：72.0arctan =θ图1-21 习题1-11用图。
大学物理第一章 质点运动学-习题及答案
第一章 质点运动学1-1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j i r 22bt at += （其中b a ,为常量） 则该质点作（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动（C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动 [B]解：由j i rv bt at t 22d d +==知 v 随t 变化，质点作变速运动。
又由x aby bt y at x =⎪⎭⎪⎬⎫==22 知质点轨迹为一直线。
故该质点作变速直线运动。
1-2 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中，① a t v =d ② v t r =d ③ v t s =d d ④ t a t =d d v （A ）只有（1）、（4）是对的。
（B ）只有（2）、（4）是对的。
（C ）只有（2）是对的。
（D ）只有（3）是对的。
[D]解：由定义：t vt a d d d d ≠=v ； t r t s t v d d d d d d ≠==r ； t t v a d d d d v ≠=τ只有③正确。
1-3 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以21s m -⋅的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。
今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x ，y 方向单位矢用j i ,表示），那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以1s m -⋅为单位）为（A ）j i 22+ （B ）j i 22+-（C ）j i 22-- （D ）j i 22- [B]解：由i v 2=对地A ，j v 2=对地B 可得 A B A B 地对对地对v v v +=⎰对地对地A B v v -=i j 22-=j i 22+-= （1s m -⋅）1-4 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为)SI (23t a +=如果初始时质点的速度0v 为51s m -⋅，则当t 为3s 时，质点的速度1s m 23-⋅=v解：⎰+=tta v v 00d13s m 23d )23(5-⋅=++=⎰tt1-5 一质点的运动方程为SI)(62t t x -=，则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 8m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10m 。
第1章质点的运动和牛顿定律习题解答.doc
第1章 质点运动与牛顿定律1-9 一人自坐标原点出发，经20(s)向东走了25(m)，又用15(s)向北走了20(m)，再经过10(s)向西南方向走了15(m)，求：（1）全过程的位移和路程；（2）整个过程的平均速度和平均速率。
分析：从位移的概念出发，先用分量之差表示出每段位移，再通过矢量求和而求出全过程的位移，进而由路程、平均速度和平均速率的概念求出路程、平均速度和平均速率。
解： （1）以人为研究对象，建立如图所示的直角坐标系， 全过程的位移为：r r r r OC OA AB BC Δ=Δ+Δ+Δ()()()()A O B A C B C B =x x +y y +x x +y y －－－－i j i j =25+2015451545i j i j 00cos sin －－j i 4.94.14+=其大小为：2222Δ=(Δ)+(Δ)=(14.4)+(9.4)=17.2()OC r x y m全过程位移的方向为：01.334.144.9==∆∆=arctg x y arctg θ 即方向向东偏北01.33 （2）平均速度 OCr tυ∆=∆ 其大小为：()117.20.3845OC r m s t υ-∆===⋅∆ 平均速度的方向沿东偏北01.33平均速率 25201545s t υ∆++==∆()133.1-⋅=s m 1-10 一质点P 沿半径 3.00m R =的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为20.0s ，设0t =时，质点位于O 点。
按如图所示的坐标系oxy ，求：(1)质点P 在任意时刻的位矢；(2)5s 时的速度和加速度。
分析：只要找出在任意时刻质点P 点的坐标x 、y ，（通过辅助坐标系'''o x y 而找出）就能表示出质点P 在任意时刻的位矢习题1-9图解x y =+r i j ，进而由r 对时间求导求出速度υ和加速度a 。
解：如图所示，在'''o x y 坐标系中，因t Tπθ2=，则质点P 的参数方程为： 22`,`x Rsint y Rcos t T Tππ==- 坐标变换后，在oxy 坐标系中有：2`x x Rsint T π==，02`y y y Rcos t R Tπ=+=-+ 则质点P 的位矢方程为： 22ππ=Rsint +Rcos t +R T T ⎛⎫ ⎪⎝⎭－r i j ()()=30.1310.1i j sin t cos t ππ+⎡⎤⎣⎦－ 5s 时的速度和加速度分别为 ：22220.3r i j j υd R cos t R sin t dt T T T Tπππππ==+=2222222=()+()(0.03)22d =R sin t R cos t =dt T T T Tπππππ－－r a i j j1-11 已知一质点的运动方程为2362x t t =-(单位为SI 制)，求：(1)第2秒内的平均速度；(2)第3秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；(4)物体运动的类型。
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不受力作用，故 aτ = 0 ，法向加速度即为重力加速度 an = g = 9.8m/s2 ，合加速度大小
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
a = aτ2 + an2 = an = g = 9.8m/s2 。
3、（2001 年上半年试题）（本题 4 分）一质点作半径为 R 的圆周运动，在 t = 0 时刻经 P 点。 此后它的速率按 ϖ= A + Bt 变化（A、B 为正的已知常量）。求质点沿圆周运动一周再经过 P 点时的切向加速度和法向加速度的大小。
答：选 D。在直线运动中，质点的加速度和速度的方向可相同，也可反向，同向时加速运动，
反向时作减速运动；平均速率是路程对所用时间的比值，只要质点运动总不为零，平均速度
是位移对时间的比，当起质点由起点再运动到起点时，其位移为零，平均速度也为零；加速
度减小只意味着速度的增量减小，而不是速度减小；质点加速度的大小和方向不变，其速度
4、一质点从静止出发沿半径为 3m 的圆周运动，切向加速度大小为 3m/s2 并保持不变，则经
过 t = ϖ = 1s 后它的总加速度恰好与半径成 45° 角。在此时间内质点经过的路程为 aτ
s
=
s0
+
ϖ0t
+
1 2
aτ t 2
=
1 2
aτ t 2
= 1.5m
，角位移为
Δθ
=
s R
=
1.5 3
=
0.5rad
gl sinθ
cosθ
ϖ sinθ gl
g
cosθ
8、一细线一端系着质量为 m 的小球，另一端固定于 O 点，小球可在竖直平面中摆动，将小
球拉至水平位置后自由释放，当球摆到与铅直线成θ 角的位置时，小球的切向加速度大小
为
；法向加速度大小为
。
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
O ϕr
θ FT θ mgr
周运动，但圆周运动的速度方向一直在变化，故选 D。 5、关于惯性有下面四种表述，正确的为： A、物体静止或作匀速运动时才具有惯性。 B、物体受力作变速运动时才具有惯性。 C、物体受力作变速运动时才没有惯性。 D、物体在任何情况下均有惯性。 答：选 D。惯性是物体的固有属性，在任何情况下均有惯性。 6、下列表述中正确的是
=
F ，垂直方向方向的加速度 m
分量为重力加速度 g，总加速度大小为
a=
a
2 x
+
a
2 y
=
g 2 + ⎜⎛ F ⎟⎞2 ⎝m⎠
9、在足够长的管中装有粘滞液体，放入钢球由静止开始向下运动，下列说法中正确的是
A、钢球运动越来越慢，最后静止不动。
B、钢球运动越来越慢，最后达到稳定的速度。
C、钢球运动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ来越快，一直无限制地增加。
FBN
r
FAN
y
r
A
Fr
r
B
Fs
A
F
B
Frs′
r PA
FrA′N
r
O
x
ar
PB
A 物体：
F − Fs = ma ， FAN − PA = 0
B 物体：
Fs′ = m0a ， FBN − FA′N − PB = 0
摩擦力：
Fs = μs FAN
牛顿第三定律： Fs = Fs′ ， FAN = FA′N
D、
F
≤
μ ⎜⎜⎝⎛1 +
m m0
⎟⎟⎠⎞mg
答：本题需要用隔离物体法解得结果。由于要使 A、B 不发生相对滑动，两者的摩擦力为静
摩擦力，D 可先行排除。 无滑动时两者具有相同的加速度 ar 。按隔离物体法的步骤，画如下的隔离体图及受力、运动
分析并取如图的坐标系，列出两物体的牛顿第二定律分量方程。
r
加速度大小为
，B 获得的加速度大小为
。
r 2FT ar A
mgr
r FT
arB
mgr
x
解：滑轮及绳子质量不计时，滑轮两侧绳子的张力相等。由图可知，B 物体的位移是 A 物 体位移的两倍，故 2aA = aB 。定滑轮两侧绳子的张力是动滑轮两侧绳子张力的 2 倍。两物体 的隔离体图及它们的受力、运动分析如图，在如图的坐标系中，两物体的牛顿第二定律方程 为
分离变量 两边积分 得 或
ωdω = g cosϕdϕ l
∫ ∫ ωωdω =
⎜⎛ ⎝
π 2
−θ
⎟⎞ ⎠
g
cosϕdϕ
0
0
l
1 ω2 = g sin⎜⎛ π −θ ⎟⎞ = g cosθ
2
l ⎝2 ⎠ l
ω2 = 2g cosθ l
解得
an = lω2 = 2g cosθ
本题如结合机械能守恒方法求解，过程将简单得多。 三、计算题
解： ϖ= A + Bt ， a τ
=
dϖ dt
=
B
（1 分）， t = 0 时， ϖ0 = A （1 分）
ϖt2 − ϖ02 = 2aτ s = 2aτ ⋅ 2πR = 4πRB ， ϖt2 = ϖ02 + 2aτ s = A2 + 4πRB （1 分）
an
=
ϖ t2 R
=
A2 R
+ 4πB
（1 分）
答：选
D。由运动方程 x = 2t − 3t3 +12(m) ， a =
d2 dt
x
2
＝
−
18t
，由于运动方程只含
x，故作直
线运动，由于加速度是 t 的函数，故为变加速运动，负号表示加速度沿 Ox 轴负向。
3、质点沿半径为 R 的圆周作匀速率圆周运动，每 T 秒转一周，在 2T 时间间隔中，其平均
速度大小与平均速率分别为
5、一根轻弹簧的两端分别固连着质量相等的两个物体 A 和 B，用轻线将它们悬挂起来，在
将线烧断的瞬间，物体 A 的加速度大小是
m/s2 ，物体 B 的加速度大小是
m/s2 。
FT −kx
−kx
A
A
B
A
B
mgr
mgr
mgr
mgr
x
B
kx
kx
烧断前
烧断后
解：设物体的质量为 m。静止时，两物体的牛顿第二定律方程为
的大小和方向可不断变化，抛体运动中的加速度为恒定的重力加速度，但其速度的大小和方
向是不断变化的。
2、某质点的运动方程为 x = 2t − 3t3 +12(m) ，则该质点作
A、匀加速直线运动，加速度沿 Ox 轴正向。 B、匀加速直线运动，加速度沿 Ox 轴负向。 C、变加速直线运动，加速度沿 Ox 轴正向。 D、变加速直线运动，加速度沿 Ox 轴负向。
解：重力的切向分力提供切向加速度
mg sinθ = maτ ， aτ = g sinθ
重力的法向分力与绳子张力共同提供法向加速度，但 FT1 是变力，无法直接由牛顿第二定律
的法向分量式求得。由角量与线量的关系有
aτ
= lα
=l
dω dt
=l
dω dϕ
⋅
dϕ dt
= lω
dω dϕ
=
g sinθ
=
g cosϕ
mg − 2FT = −maA ， mg − FT = maB
式中各量正负号的确定是依据它们与取定的坐标轴的同向、反向而定的。此外还有两者的约 束关系
2aA = aB
联立各式，解得
aA
=
1 5
g
，
aB
=
2 5
g
。
7、一个圆锥摆摆线长度为 l，摆线与竖直方向的夹角θ 。则摆锤转动的周期为 。
y l rθ FT
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
习题
一、选择题
1、对质点的运动，有以下几种表述，正确的是
[
]
A、在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同。
B、在某一过程中平均速率不为零，则平均速度也不可能为零。
C、在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小。
D、若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化。
A： mg + kx − FT = 0
B： mg − kx = 0
解得
kx = mg
线烧断的瞬间，弹簧长度未变，两物体的牛顿第二定律方程为
A： mg + kx = maA
B： mg − kx = maB
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
解得
aA = 2g
aB = 0
6、A、B 两物体质量均为 m，用质量不计的定滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则 A 获得的
Om x
mgr
R
解：由牛顿第二定律，摆锤在图中坐标系中沿 x、y 方向的分量方程为
FT
sin θ
= m ϖ2 R
= m ϖ2 l sinθ
， FT
cosθ
− mg
=0
tanθ = ϖ2 ， ϖ= gl tanθ sinθ = sinθ gl ， T = 2πR = 2πl sinθ = 2π l cosθ
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
A、质点运动的方向和它所受的合外力方向相同。 B、质点的速率为零，它所受的合外力一定为零。 C、质点作匀速率圆周运动，它所受的合外力必定与运动方向垂直。 D、摩擦力总是阻碍物体间的相对运动，它的方向总是与物体的运动方向相反。 答；选 C。运动方向即速度方向，合外力方向即加速度方向，两者一般不在相同方向上。速 度、速率、加速度、力等都是瞬时量，在某一瞬时，速度或速率为零，但还可以存在加速度， 也即存在合外力，如质点作直线运动，受与运动方向相反的合外力作用而减速运动直至速率 为零的瞬间，合外力还是存在的。匀速率圆周运动必定存在法向加速度，它由法向力提供， 即与运动方向垂直。摩擦力并不一定总是与物体的运动方向相反，例如在皮带运输机上，物 体受皮带的摩擦力作用运动，此时摩擦力方向与物体运动方向在相同方向上。