新教材人教版高中数学必修1 第五章 复习知识点
A．(1,2)
B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
【解析】 由题意M＝(1，＋∞)，N＝(0,2)， 则M∩N＝(1,2)，故选A. 【答案】 A
3．设集合A＝{5，log2(a＋3) }，集合B＝{a，b}． 若A∩B＝{2}，则A∪B＝________. 【解析】 ∵A∩B＝{2}，∴ log2(a＋3) ＝2. ∴a＝1.∴b＝2. ∴A＝{5,2}，B＝{1,2}． ∴A∪B＝{1,2,5}．
集合中元素的互异性，故a≠1，
∴a＝－1，此时集合为{－1,0,1}，符合题意， ∴a2012＋b2012＝(－1)2012＋02012＝1.
【答案】 1
【发散思维】 在利用集合相等或其他相关概念求字母的 值时，特别需注意利用集合中元素的互异性来检验所得 结果是否正确．
1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2 }，
2．(2011·海淀模拟)已知集合S＝ P＝{x|a＋1＜x＜2a＋15}．
xxx＋ －25＜0
，
(1)求集合S；
(2)若S⊆P，求实数a的取值范围．
【解析】
(1)由
x＋2 x－5
＜0得－2＜x＜5，∴S＝{x|－2＜x＜5}
(2)由S⊆P得
a＋1≤－2 2a＋15≥5
解之得－5≤a≤－3.
(7,1)，(5,3)，(8,1)． 【答案】 C
则A∩( NB )为( )
A．{1,5,7}
B．{3,5,7}
C．{1,3,9}
D．{1,2,3}
【解析】 显然A∩( NB )＝ A(A∩B)， 且A∩B＝{3,9}，所以结果为{1,5,7}．
【答案】 A
2．(2011·东北四校模拟)已知集合M＝{y|y＝2x ，
x＞0}，N＝{x|y＝lg(2x－x2 )}，则M∩N为( )
集合的并集 集合的交集
符号 表示
○22
A∪B
○23 A∪B
图形 表示
意义
{x|○25 x∈A，
且x∈B}
{x|○26 x∈A，
或x∈B}
集合的补集 若全集为 U，则 集合 A 的补集
为○ 24 _UA
UA＝
{x|○27 x∈U，
且x∉A}
○41
(1)A∩B＝
性 质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝○28 A ；
∵任意两个虚数的乘积不一定是虚数，
∴⑤不符合G关于运算⊕为”融洽集”.11分 综上所述，其中G关于运算⊕为”融洽集”的有①③.
12分
【发散思维】 新型集合的概念及运算问题是近几年新 课标高考的热点问题．在给出新的运算法则的前提下，充 分利用已知求解是关键．集合命题中与运算法则相关的问 题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素间的运算 相关性及封闭性的研究．
值范围是( )
A．{a|0≤a≤6}
B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}
【思路点拨】 借助数轴画图分析．
【解析】 A＝{x||x－a|＜1，x∈R}
＝{x|a－1＜x＜1＋a}，∵A∩B＝∅，如图所示
或
∴a＋1≤1或a－1≥5即a≤0或a≥6.
【答案】 C 【发散思维】 在进行集合的运算时，先看清集合的元 素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理 转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具， 并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直 观，简洁．
③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法． ∵任意两个向量之和仍为向量，且存在e＝0，使得对一 切a∈G都有a⊕0＝0⊕a＝a， ∴③符合G关于运算⊕为”融洽集”；7分 ④G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法．
∵任意两个二次三项式的和不一定是二次三项式，
∴④不符合G关于运算⊕为”融洽集”；9分 ⑤G＝{虚数}，⊕为复数的乘法．
非空集合G关于运算⊕满足：(1)对任意的a， b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，使得对一切a∈G都 有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为”融洽集”．现给
出下列集合和运算：
①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法； ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法； ③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法； ④G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法； ⑤G＝{虚数}，⊕为复数的乘法． 其中G关于运算⊕为”融洽集”的有哪些？
若A∪B＝{0,1,2,4,16}则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
【解析】 a＝4时， a2 ＝16，A＝{0,2,4}，
B＝{1,16}； a2 ＝4，a＝±2，不满足题意，故选D.
【答案】 D
集合间的基本关系
在解决两个集合的关系问题时，避免出错的一个 有效手段即是合理运用数轴或韦恩图来帮助分析和求解， 另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行 讨论，分类时要遵循”不重不漏”的分类原则，然后对于 每一类情况都要给出问题的解答．
(2010·浙江高考)设P＝{x|x＜4}，
Q＝{x|x2＜4}，则( )
A．P⊆Q
B．Q⊆P
C．P⊆ RQ
D．Q⊆ RP
【思路点拨】 可先化简Q，再判断P与Q的关系．
【解析】 Q＝{x|－2＜x＜2}，如图所示，则Q⊆P.
【答案】 B
【发散思维】 判断两集合间的关系，实际上是判断两集 合元素的关系，故首先需先求出两个集合，使其明晰化， 然后利用韦恩图法、数轴法或图象法来判断．
(2)
○40 U
AU()A∪∩BU)B＝)；
U(A∪B)＝
○41 ( _UA)∩ UB)
⇔○37 A⊆B
4．如何理解并集概念中的”或”？ 提示 并集的概念中”x∈A或x∈B”包括三层意思： x∈A，但x∉B；x∉A，但x∈B；x∈A且x∈B.
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，
4．对任意两个正整数m，n定义某种运算⊕：
m⊕n＝ mmn＋，n，m与m与n奇n偶奇性偶不性同相同，，
则集合P＝{(a，b)|a⊕b＝8，a，b∈N＋}中元素的
个数为( )
A．5
B．7
C．9
D．11
【解析】 由运算⊕的定义知共有
(2,6)，(1,7)，(3,5)，(4,4)，(1,8)，(6,2)，
(3)A∪∅＝○29 A ；
(4)A∪B○30 ⊇ A
A∪B○31 ⊇ B；
(5)A∪B＝B
⇔○32 A⊆B ；
B∩A
(2)A∩A
＝○33 A ；
(3)A∩∅
＝○34 ∅ ； (4)A∩B○35⊆ A
A∩B○ 36 ⊆ B； (5)A∩B＝A
(1)A∩( UA)＝○38 ∅
A∪(
UA)
＝○39 ∪ ；
xx＋5 2≥1
.
(2)求( UA )∩B.
【解析】 (1)由已知得log2(3－x)≤log24，∴ 解得－1≤x＜3，
3－x≤4， 3－x＞0，
∴A＝{x|－1≤x＜3}．
由 5 ≥1，得(x＋2)(x－3)≤0，
x＋2
且x＋2≠0，解得－2＜x≤3.
∴B＝{x|－2＜x≤3}．
(2)由(1)可得 UA＝{x|x＜－1或x≥3}． 故( UA)∩B＝{x|－2＜x＜－1或x＝3}．
3．(2011·宣武模拟)设S为全集，B⊆A⊆S，
则下列结论中正确的是( )
A. SA⊇ SB
B．A∩B＝B
C．A∩( SB)＝∅ D．A∪B＝S
【解析】 利用韦恩图可知，B正确．
【答案】 B
集合中的新定义问题
新概念的引入不仅要求能深入理解新概念的信息， 而且要能够调出已学习过的”旧”概念，进行相互对照， 此类考题的关键在于一个”新”字，即背景新、概念新、 题型新，解题时不要被”新”所迷惑，在理解与领会概念 后，掩藏在”新”的外衣下的往往是极为简单的知识点．
【答案】 {1,2,5}
4．已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是
()
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 ∵Q⊆P，P＝{1,2}，
∴Q＝∅，{1}，{2}，{1,2}．
【答案】 A
5．(2011·江苏模拟)已知全集U＝R，集合A＝
{x|log2(3－x) ≤2}，集合B＝ (1)求集合A、B；
并说明理由．
【思路点拨】 充分理解”融洽集”的概念要求，而后 将①②③④⑤逐一验证是否符合条件即可．
【解析】 ①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法． ∵任意两个非负整数的和仍为非负整数，且存在e＝0， 使得对一切a∈G，都有a⊕0＝0⊕a＝a， ∴①符合G关于运算⊕为”融洽集”；2分 ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法． ∵任意两个偶数的乘积仍是偶数，但不存在偶数e∈G使 得对一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a成立， ∴②不符合G关于运算⊕为”融洽集”；4分
一、元素与集合 1．集合中元素的三个特性：①确定性 、②互异性 、 ③ 无序性 ．
2．集合中元素与集合的关系 元素与集合之间的关系有④属于和⑤不属于 两种，表示 符号为⑥ ∈ 和⑦ ∉ . 3．常见集合的符号表示
有理 集合 自然数集 正整数集 整数集
数集
实数集
表示 ⑧N . ⑨ N*或N＋. ⑩ Z . ⑪ Q . ⑫ R . 4.集合的表示法：⑬列举法 、⑭描述法 、⑮Venn图 ．
＝ 2x}表示不同的集合．
(2011·高考改编题)已知a，b∈R，{a，b ，1}
＝{a2，a＋b,0}，则a2012＋b2012＝________.
a
【思路点拨】 利用集合相等的概念求出a，b，然后计算
【解析】 由已知得 b ＝0且a≠0，所以b＝0，
a
于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.
2023年新教材高中人教A版数学必修第一册知识点(8页)全文
新教材高一数学必修第—册知识点第一章 集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母表示，元素三大性质：互异性，确定性，无 ,,,c b a 序性．2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母表示． ,,,C B A 3集合相等：两个集合的元素一样，记作．B A ,B A =4元素与集合的关系：①属于：;②不属于：．A a ∈A a ∉5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集．N +N N 或*Z Q R 6集合的表示方法：①列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；②描述法：把集合中全部具有共同特征的元素所组成的集合表示为的方法； )(x P x })(|{x P A x ∈③图示法(图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．Venn 7集合间的根本关系：子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就B A ,A B 称集合为集合的子集，记作，读作包含于；真子集：如果，但存在元素，且A A A B B A ⊆B x ∈A x ∉，就称集合是集合的真子集，记作，读作真包含于．A B A B A B 8空集：不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子∅集．9集合的根本运算：并集；交集； },|{B x A x x B A ∈∈=或 },|{B x A x x B A ∈∈=且 补集(为全集，全集是含有所研究问题中涉及的全部元素)． },|{A x U x x A C U ∉∈=且U 运算性质：；；；；B A B B A ⊆⇔= B A A B A ⊆⇔= A A =∅ ∅=∅ A ，．∅==∅=U C U C A A C C U U U U ,,)()()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C U U U U U U ==10充分条件与必要条件：一般地，“假设p ，则q 〞为真命题，p 可以推出q ，记作，称p 是q 的q p ⇒充分条件，q 是p 的必要条件；p 是q 的条件的四种类型：假设，则p 是q 的充分不必要q q p ,⇒p 条件；假设，则p 是q 的必要充分不条件；假设，则p 是q 的充要条件；p p q ,⇒q q p ⇔假设，，则p 是q 的既不充分也不必要条件． pq q p 11全称量词及全称量词命题：短语“全部的〞，“任意一个〞在逻辑中叫做全称量词，并用符号表∀示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语“存在一个〞，“至少有一个〞在逻辑中叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否认：全称量词命题的否认是存在量词命题；存在量词命题的否认是全称量词命题．第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质： ①对称性；②传递性；③可加性a b b a >⇔<,a b b c a c >>⇒>；④可乘性，；a b a c b c >⇒+>+,0a b c ac bc >>⇒>,0a b c ac bc ><⇒<⑤同向可加性；⑥同向可乘性； ,a b c d a c b d >>⇒+>+0,0a b c d ac bd >>>>⇒>⑦可乘方性；()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >⑧可开方性．⑨可倒数性． )0,1a b n n >>⇒>∈N >ba b a 110<⇒>>2重要不等式：假设，则，当且仅当时等号成立．R b a ∈,ab b a 222≥+b a =3根本不等式：假设，，则，即，当且仅当时等号成立． 0a >0b >a b +≥2a b+≥b a =4不等式链：假设，，则，当且仅当时等号成立；一正0a >0b >ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+b a =二定三相等．5一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最gao 次数是的不等式． 26第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数x ，按照某种确定的B A ,A 对应关系，在集合中都有唯—确定的数y 与它对应，那么就称为从集合到集合的一f B B A f →:A B 个函数，记作，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值相对A x x f y ∈=),(A 应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，值域是集合的子集． }|)({A x x f ∈B 2函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 求函数定义域的原则：(1)假设为整式，则其定义域是；()f x R (2)假设为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；()f x (3)假设是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； ()f x (4)假设，则其定义域是； ()0f x x =}{0x x ≠(5)假设，则其定义域是；()()0,1x f x a a a =>≠R (6)假设，则其定义域是； ()()log 0,1a f x x a a =>≠}{0x x >(7)假设，则其定义域是；x x f tan )(=},2|{Z k k x x ∈+≠ππ求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数． 6函数的单调性：(1)单调递增：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x <函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x >函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间． 8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:,都有)(x f y =I M I x ∈∀；使得，那么称是函数的最大(小)值． ))(()(M x f M x f ≥≤I x ∈∃0M x f =)(0M10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f =-数叫做偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数满足；)(x f y =|)(|)()(x f x f x f ==-奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f -=-函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点对称；假设奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即)(x f y =.(0)0f =11幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． αx y =x α12幂函数的性质：()f x x α=①全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；()0,+∞()1,1②如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上是增函数；0α>[)0,+∞③如果，则幂函数的图象在区间上是减函数，在第—象限内，当从右边趋向于原点时，0α<()0,+∞x 图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴； y y x +∞x x ④在直线的右侧，幂函数图象“指大图高〞； 1=x ⑤幂函数图象不出现于第四象限． 第四章 指数函数与对数函数1n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)假设，则；； n x a =))n x n=⎪⎩为奇数为偶数()()a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(3)；(4)；na =*0,,,1)m na a m n N n =>∈>且(5)；*0,,1)m naa m n N n -=>∈>,且(6)的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义.000(7)；()0,,r s r sa a a a r s R +⋅=>∈(8)；()()0,,r s rsa a a r s R =>∈(9).()()0,0,,rrrab a b a b r s R =⋅>>∈2对数、对数运算性质(1)；(2)； ()log 0,1xa a N x N a a =⇔=>≠()log 100,1a a a =>≠(3)；(4)；；()log 10,1a a a a =>≠()log 0,1a Na N a a =>≠(5)；()log 0,1m a a m a a =>≠(6)；()log ()log log 0,1,0,0a a a MN M N a a =+>≠M >N >(7)； ()log log log 0,1,0,0aa a MM N a a N=->≠M >N >(8)；()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >(9)换底公式； ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠(10)； ()log log 0,1,,*m na a nb b a a n m N m =>≠∈(11)；()1log log 0,1,0,aa M a a M n R n=>≠>∈(12). ()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠3指数函数及其性质：)1,0(≠>=a a a y x 且①定义域为； ②值域为；③过定点；(),-∞+∞()0,+∞()0,1④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数； 1a >()f x R 01a <<()f x R ⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高〞． 4对数函数及其性质：)1,0(log ≠>=a a x y a 且①定义域为；②值域为；③过定点；()0,+∞(),-∞+∞()1,0④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函1a >()f x ()0,+∞01a <<()f x ()0,+∞数；⑤在直线的右侧，对数函数的图象“底大图低〞．1=x 5指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． x a y =)1,0(log ≠>=a a x y a 且x y =6不同函数增长的差异：线性函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数)0(>+=k b kx y 函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸〞状)1(>=a a y x 态；对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长)1(log >=a x y a 速度平缓；幂函数模型的增长速度介于指数函数和对数函数之间．)0(>=n x y n 7函数的零点：在函数的定义域内，使得的实数叫做函数的零点．)(x f y =0)(=x f x 8零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，()f x [],a b ()()0f a f b ⋅<那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程()y f x =(),a b (),c a b ∈()0f c =c 的根.()0f x =9二分法：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在],[b a ()()0f a f b ⋅<)(x f y =区间一分为二，使得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定准确度，用二分法求函数零点近似值的步骤： ε)(x f y =0x ⑴确定零点的初始区间，验证； 0x [],a b ()()0f a f b ⋅<⑵求区间的中点；[],a b c ⑶计算，并进一步确定零点所在的区间； )(c f ①假设，则就是函数的零点；0)(=c f c ②假设(此时)，则令； 0)()(<c f a f ),(0c a x ∈c b =③假设(此时)，则令；0)()(<b f c f ),(0b c x ∈c a =⑷推断是否到达准确度：假设，则得到零点的近似值(或)；否则重复上面的⑵至⑷. εa b ε-<a b 第五章 三角函数1任意角的分类：按终边的旋转方向分： ⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第αx α几象限角．第—象限角的集合为;{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为;{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为; {}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z角的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限 α终边在轴非负半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈=παα终边在轴非正半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非负半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非正半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+-=ππαα终边在轴的角的集合；x },|{Z k k ∈=παα终边在轴的角的集合；y },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在坐标轴的角的集合； },2|{Z k k ∈=παα2终边相同的角：与角终边相同的角的集合为．α{}360,k k ββα=⋅+∈Z 3弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．14角度与弧度互化公式：，，．2360π=1180π=180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭5扇形公式：半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．假设扇形r αl αlrα=的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，()αα为弧度制r l C S l r α=2C r l =+．21122S lr r α==6三角函数的概念：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P 的坐标是，它与原点的距αα(),x y离是，则，，． ()0r r =>sin y r α=cos x r α=()tan 0yx xα=≠7三角函数的符号：一全正二正弦三正切四余弦． 8记忆特别角的三角函数值：α 15 30 45 60 75 90 120 135 150180 270 360 α 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π π 23ππ2 αsin 426- 21 22 23 426+ 1 23 22 210 1-0 αcos 426+ 23 22 21 426-0 21- 22- 23-1-01 αtan 32- 1 3 32+不存在 3- 1- 33-0 不存在9同角三角函数的根本关系：，；()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- ．()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫==⎪⎝⎭10诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限．，，．()()1sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()()tan 2tan k k παα+=∈Z ，，． ()()2sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+=，，．()()3sin sin αα-=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=-，，． ()()4sin sin παα-=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-，．，． ()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11三角函数的图象与性质：sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R 函数性质12两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1)；(2)； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-(3)；(4)；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+(5)；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(6)． ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-13二倍角公式：(1)；(2)；sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(，)；(3)；2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=22tan tan 21tan ααα=-14半角公式：(1)；(2)；(3)；(4)2cos 12sin αα-±=2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±=αααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=15辅助角公式：．的终边上在角点其中ϕϕϕ),(,tan ),sin(cos sin 22b a abx b a x b x a =±+=±16函数的图象与性质：b x A y ++=)sin(ϕω图象变换：先平移后伸缩：函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x =ϕ的图象；再将函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐()sin y x ϕ=+()sin y x ϕ=+1ω标不变)，得到函数的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+短)到原来的倍(横坐标不变)，得到函数的图象． A ()sin y x ωϕ=A +先伸缩后平移：函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函sin y x =1ω最值当时，22x k ππ=+()k ∈Z ；当max1y =22x k ππ=-时，．()k ∈Z min 1y =-当时，()2x k k π=∈Z ；当max 1y =2x k ππ=+时，．()k ∈Z min 1y =-既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在 2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()k ∈Z 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．()k ∈Z 在上是[]()2,2k k k πππ-∈Z 增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．()k ∈Z 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上是增函数．()k ∈Z 对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心 (),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴数的图象；再将函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x ω=sin y x ω=ϕω的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+A 坐标不变)，得到函数的图象． ()sin y x ωϕ=A +五点法画图函数的性质：()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>①定义域为R ；②值域为；③单调性：依据函数的单调区间求函数的单调区间； ],[A A -x y sin =④奇偶性：当时，函数是奇函数；当时，函数Z k k ∈=,πϕ()sin y x ωϕ=A +Z k k ∈+=,2ππϕ是偶函数；⑤周期：；⑥对称性：依据函数的对称性研究函数的对称()sin y x ωϕ=A +ωπ2=T x y sin =性12π17函数的应用B x A y ++=)sin(ϕω①振幅：A ；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．2πωT =12f ωπ==T x ωϕ+ϕ⑥最值：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为B x A y ++=)sin(ϕω1x x =min y 2x x =maxy ，则，，．()max min 12y y A =-()max min 12y y B =+()21122x x x x T=-<。
数学必修一第五章知识点
数学必修一第五章知识点
嘿，朋友们！咱今天就来好好聊聊数学必修一第五章的那些知识点呀！
先说说函数的概念吧。
啥是函数呢？就好比你去坐过山车，你的位置随着时间不断变化，时间就是自变量，位置就是因变量，就像记录了你在不同时刻所处的地方一样。
比如说，你规定每分钟你会移动一定的距离，这可不就是函数关系嘛！那函数的定义域呢，就像是一场比赛的规则，规定了自变量能取值的范围。
比如一场跑步比赛，总不能让人从天上开始跑吧，那就太离谱啦！
再说说函数的表示法，有解析式、列表法、图象法呢。
解析式就像一个精确的指令，告诉你怎么通过自变量算出因变量；列表法就像一个清晰的记录表，一目了然；图象法呢，哇哦，那就像一幅画，把函数的变化趋势直观地展现出来啦！比如气温随时间的变化，画个图象，哇，那变化曲线多明显呐！
然后是函数的单调性！哎呀呀，这就好比爬山，有时候一路上坡，那就是单调递增，越来越高；有时候一路下坡，那就是单调递减，越来越低咯。
比如你存钱，每天存的钱越来越多，这不就是单调递增嘛！
函数的奇偶性呢，嘿，这可有意思啦！奇函数就像是一个对称美的艺术品，关于原点对称，像只美丽的蝴蝶；偶函数呢，就关于 y 轴对称，多整齐呀！比如说正弦函数就是奇函数，余弦函数就是偶函数呢。
我觉得呀，第五章的知识点就像一把钥匙，能打开好多数学奥秘的大门呢！掌握了它们，数学世界就更精彩啦！。
高一数学第五章知识点
高一数学第五章知识点数学是一门抽象而又广泛应用的学科，它具有逻辑性和严谨性。
作为高中学生，我们需要掌握并理解高一数学中的各个章节，其中第五章是非常重要的一章。
本文将就高一数学第五章的知识点进行深入探讨。
一、不等式的性质不等式是数学中的重要概念，它是比较大小关系的一种符号表达方式。
在第五章中，我们需要学习不等式的性质，并通过运算和变形来解决实际问题。
在处理不等式时，注意到等式的性质和等式的运算规则是很有帮助的。
同时，要掌握错位相乘加减法、平方和平方根的处理方法，这些方法在解决不等式问题时非常有用。
二、一元一次不等式一元一次不等式是第五章中的重要内容之一。
通过学习一元一次不等式，我们可以更好地理解不等式的求解方法和应用。
当遇到包含未知数的不等式时，我们可以通过整理形式，利用等式的性质进行移项，从而求得不等式的解集。
此外，我们还需要掌握一元一次不等式的图像表示方法，并能够根据图像求解问题。
三、一元一次不等式组与区间一元一次不等式组是一组含有一元一次不等式的方程组。
在第五章中，我们需要学习如何求解一元一次不等式组，并且要理解不等式组的解集与线段、区间之间的关系。
了解区间的概念和性质，能够更好地解决实际问题。
要特别注意特殊解的情况，例如包含无解、唯一解和无限解的情况。
四、二次函数与二次不等式二次函数是一种常见的函数形式，在数学中有着广泛的应用。
在第五章中，我们需要学习二次函数的特性和性质，并且掌握如何用图像表示二次函数。
此外，我们还需要了解二次不等式的求解方法，掌握二次不等式的图像表示和解集的表示。
通过熟练掌握二次函数与二次不等式的知识，我们能够更好地解决与二次函数相关的实际问题。
五、绝对值不等式绝对值是数学中的一种特殊运算符号，它可以表示一个数与零之间的距离。
在第五章中，我们需要学习绝对值的性质和运算规则，并且了解如何处理绝对值不等式。
绝对值不等式是一种特殊的不等式，我们可以通过分情况讨论的方法来求解。
高中数学必修一第五章三角函数考点总结(带答案)
高中数学必修一第五章三角函数考点总结单选题1、在0∘~360∘范围内，与−70∘终边相同的角是（）A．70∘B．110∘C．150∘D．290∘答案：D解析：根据终边相同的角的定义即可求解.与−70∘终边相同的角的为−70∘+360∘⋅k(k∈Z)，因为在0∘~360∘范围内，所以k=1可得−70∘+360∘=290∘，故选：D.2、已知角α的终边经过点P(−3,4)，则sinα−cosα−11+tanα的值为（）A．−65B．1C．2D．3答案：A分析：由三角函数的定义可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将其代入即可求解.由√(−3)2+42=5，得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，代入原式得=45−(−35)−11+(−43)=−65．故选：A3、函数y=−sin2x−4cosx+6的值域是（）A．[2,10]B．[0,10]C．[0,2]D．[2,8]答案：A分析：根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx的二次函数，利用换元法可得值域.函数y=−sin2x−4cosx+6=−(1−cos2x)−4cosx+6=cos2x−4cosx+5=(cosx−2)2+1，因为cosx∈[−1,1]，所以当cosx=1时，函数取得最小值2，当cosx=−1时，函数取得最大值10，故函数的值域为[2,10]， 故选：A ．4、已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 答案：D分析：利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. ∵2tanθ−tan(θ+π4)=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，令t =tanθ,t ≠1，则2t −1+t 1−t=7，整理得t 2−4t +4=0，解得t =2，即tanθ=2.故选：D.小提示：本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.5、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ）A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果. 因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)， 而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A.6、已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin 5π6,cos5π6)，则角α的最小正值为（ ）A ．π6B ．2π3C ．7π6D ．5π3 答案：D分析：先根据角α终边上点的坐标判断出角α的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角α的最小正值． 因为sin5π6>0，cos5π6<0，所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知 sinα=cos5π6=−√32， 故角α的最小正值为α=2π−π3=5π3．故选：D ．7、当θ∈(0,π2)，若cos (5π6−θ)=−12，则sin (θ+π6)的值为（ ）A ．12B ．√32C ．−√32D ．−12答案：B分析：利用诱导公式和平方关系求解. 因为cos (5π6−θ)=−cos (π−(5π6−θ))=−cos (π6+θ)=−12，所以cos (π6+θ)=12， 因为θ∈(0,π2)， 所以π6+θ∈(π6,2π3)，所以sin (θ+π6)=√1−cos 2(π6+θ)=√32， 故选：B8、设函数f(x)=cos (ωx +π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2答案：C分析：由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，即可得到cos(−4π9⋅ω+π6)=0，结合(−4π9,0)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到−4π9⋅ω+π6=−π2，即可求得ω=32，再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，将它代入函数f(x)可得：cos(−4π9⋅ω+π6)=0又(−4π9,0)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点，所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32所以函数f(x)的最小正周期为T=2πω=2π32=4π3故选：C小提示：本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 多选题9、已知x∈R，则下列等式恒成立的是（）A．sin(3π−x)=sinx B．sinπ−x2=cos x2C．cos(5π2+3x)=sin3x D．cos(3π2+2x)=−sin2x答案：AB分析：利用诱导公式可判断各选项的正误.sin(3π−x)=sin(π−x)=sinx，sinπ−x2=sin(π2−x2)=cos x2，cos(5π2+3x)=cos(π2+3x)=−sin3x，cos(3π2+2x)=sin2x，故选：AB.10、[多选题]下列说法正确的有（）A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角可能是负角D．小于90°的角都是锐角分析：对于A：取特殊角30°和390°.即可否定结论；对于B：由第二象限角的范围直接判断；对于C：取特殊角－330°即可判断；对于D：取特殊角－45°角进行否定结论.对于A：终边相同的角不一定相等，比如30°和390°.故A不正确；对于B：因为钝角的大小在(90°,180°)，所以钝角一定是第二象限角，故B正确；对于C：如－330°角是第一象限角，所以C正确；对于D：−45°<90°，－45°角它不是锐角，所以D不正确.故选：BC．11、若α是第二象限角，则（）A．−α是第一象限角B．α2是第一或第三象限角C．32π+α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或y轴负半轴上答案：BD分析：因为α是第二象限角，得到π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z，结合选项和角的表示方法，逐项判定，即可求解.因为α是第二象限角，可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A中，可得−π2−2kπ<−α<−π−2kπ,k∈Z，此时−α位于第三象限，所以A错误；对于B中，可得π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z，当k为偶数时，α2位于第一象限；当k为奇数时，α2位于第三象限，所以B正确；对于C中，可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z，即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z，所以3π2位于第一象限，所以C不正确；对于D中，可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z，所以2α位于第三、第四象限角或y轴负半轴，所以D正确. 故选：BD12、已知sinα=2cosα，则sin 2α+2sinαcosα=______． 答案：85##1.6分析：根据题意，由同角三角函数关系可得tanα的值，而sin 2α+2sinαcosα1=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α，最后利用齐次式化成关于tanα的分式即可解.解：由sinα=2cosα，得tanα=sinαcosα=2， 则sin 2α+2sinαcosα1=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=22+2×222+1=85.所以答案是：85.13、计算：sin330°+cos240°=______． 答案：－1分析：利用诱导公式进行化简，再由特殊角的三角函数值求值，即可求解． 解：sin330°+cos240°=sin(360°−30°)+cos(180°+60°)=sin(−30°)−cos60°=−12−12=−1． 所以答案是：−1 14、已知sinα=2m−5m+1,cosα=−mm+1，且α为第二象限角，则m 的值为__________.答案：4分析：利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得m 的可能取值，根据α为第二象限角求得m 的值. 由sin 2α+cos 2α=1得， (2m−5m+1)2+(−m m+1)2=1， ∴m =4或32，又∵α为第二象限角， ∴sinα>0，cosα<0， 把m 的值代入检验得，m =4. 所以答案是：4 解答题 15、化简： (1)√1+cosα−√1−cosα√1+cosα+√1−cosαπ<α<3π2)；(2)cos(3π2−α)−tan α2(1+cosα)√1−cosα(0<α<π).答案：(1)−√2cos α2(2)−2√2cos α2分析：（1）先求出α2的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可. （1） 因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以原式=sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2√2cos 22−√2sin 22+sin 2α2−2sin α2cos α2+cos 2α2√2cos 22+√2sin 22=(sin α2+cos α2)2−√2cos α2−√2sin α2(sin α2−cos α2)2−√2cos α2+√2sin α2 =−√22(sin α2+cos α2)+√22(sin α2−cos α2) =−√2cos α2. （2） 因为tan α2=sinα2cosα2=2sin α2cosα22cos 2α2=sinα1+cosα，所以(1+cosα)tan α2=sinα.又因为cos (3π2−α)=−sinα，且1−cosα=2sin 2α2，所以原式=√2sin22=√2|sinα2|=−2√2sinα2cosα2|sinα2|，因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以sinα2>0.所以原式=−2√2cosα2.。
高一数学必修一第五章知识总结
高一数学必修一第五章知识总结1.本章主要内容是关于一次函数及其应用。
The main content of this chapter is about linear functions and their applications.2.一次函数的定义是f(x)=ax+b。
The definition of a linear function is f(x)=ax+b.3.一次函数的图像是一条直线。
The graph of a linear function is a straight line.4.一次函数的斜率表示为a，截距表示为b。
The slope of a linear function is represented by a, and the intercept is represented by b.5.一次函数的斜率可以表示为Δy/Δx。
The slope of a linear function can be represented asΔy/Δx.6.斜率为正的一次函数是递增的，斜率为负的一次函数是递减的。
A linear function with a positive slope is increasing, while a linear function with a negative slope is decreasing.7.一次函数的零点就是方程f(x)=0的解。
The zero point of a linear function is the solution tothe equation f(x)=0.8.一次函数的图像经过坐标原点时，截距为零。
The graph of a linear function passes through the origin when the intercept is zero.9.一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。
数学高一第五章知识点总结
数学高一第五章知识点总结在高一数学学习中，我们陆续接触到了许多重要的数学知识点。
而在第五章中，我们将继续深入学习一些重要的概念和方法。
本文将对高一数学第五章中的主要知识点进行总结和回顾，希望能够帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、平面向量平面向量是数学中的重要概念之一。
我们首先学习了平面向量的定义和表示方法，即用有向线段表示，记作向量a。
在平面向量的加法和减法运算中，我们可以利用平行四边形法则和三角形法则进行计算。
同时，我们还学习了向量的数量积和向量的夹角。
通过计算向量之间的数量积和夹角，我们可以解决很多实际问题。
二、坐标系与参数方程在第五章的学习中，我们还接触到了坐标系和参数方程的概念。
通过建立坐标系，我们可以方便地表示平面上的点。
在直角坐标系中，一个点的坐标由横坐标和纵坐标组成。
而在参数方程中，我们将一个点的坐标表示成变量的函数形式。
通过掌握坐标系和参数方程的概念，并灵活运用它们，我们可以更加方便地进行数学推导和计算。
三、二次函数二次函数是高中数学中重要的数学模型之一。
在第五章中，我们深入学习了二次函数的性质和图像。
通过研究二次函数的导数和二次函数的相关性质，我们可以更好地理解和掌握二次函数的特征。
在解决实际问题时，我们可以利用二次函数的性质，进行合理的数学建模和分析。
四、三角函数三角函数是高中数学中的一大难点。
在第五章中，我们系统地学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和图像。
通过学习三角函数的定义和图像，我们可以更好地理解三角函数的周期性和变化规律。
同时，我们还学习了三角函数的运算性质和反函数，为后续的数学学习打下了坚实的基础。
五、数列与数学归纳法数列是高中数学中的另一个重要概念。
在第五章中，我们学习了数列的定义和表示方法。
通过研究数列的特征和规律，我们可以应用数学归纳法进行数列的证明和推导。
数列的应用十分广泛，可以用来描述各种自然和社会现象，帮助我们更好地理解和分析实际问题。
通过对高一数学第五章的知识点的总结和回顾，我们可以发现，这些知识点是相互联系和相互补充的。
高一数学第五章 平面向量复习人教版 知识精讲
高一数学第五章 平面向量复习人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第五章 平面向量复习二. 本周重、难点： 1. 重点：向量的几何表示，加、减法实数与向量的积，平面向量的坐标运算，数量积及几何意义，向量垂直的条件，平移公式。
2. 难点：会运用线段的定比分点公式，运用正、余弦定理解斜三角形。
【典型例题】[例1] 已知ABC ∆中，A （2，1-）B （3，2）C （3-，1-）BC 边上的高为AD ，求及D 点坐标。
解：设D 点坐标为（x ，y ），D 分所成的比为λ则λλ+-+=1)3(3x ，λλ+-+=1)1(2y)112,2133(++--+-=λλλλAD ，)3,6(--=BC∵ ⊥ ∴ 0=⋅ ∴ 0)112(3)2133(6=++---+--λλλλ∴ 21=λ ∴ 1=x ，1=y ∴ D 点坐标为（1，1），)2,1(-=[例2] 在ABC ∆中，a BC =，b CA =，c AB =，若01999222=-+c b a ，试求BA Ccot cot cot +的值。
解：原式CB AC B A C B A B A C B A B B A A C Csin )sin(cos sin sin sin )sin cos cos (sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos +=+=+=C CBA cos sin sin sin 2⋅= 由正弦定理可知CcB b A a sin sin sin == ∴c a C A =sin sin ，c b C B =sin sin ∴ 22sin sin sin cabC B A =由余弦定理可得ab c b a C 2cos 222-+=∴ 原式2222222222c c b a ab c b a c ab -+=-+⋅=又由01999222=-+c b a 可得222919c b a =+ ∴ 原式952919222=-=c c c[例3] 设函数x f ⋅=)(，其中)1,cos 2(x =，)2sin 3,(cos x x =，R x ∈（1）若31)(-=x f 且]3,3[ππ-∈x ，求x（2）若函数x y 2sin 2=的图象按),(n m c =（2||π<m ）平移后得到)(x f y =的图象，求实数m 、n 的值。
第五章高一数学知识点
第五章高一数学知识点第五章：高一数学知识点在高中数学学科中，数学知识点非常丰富，每个章节都有其特定的内容和重点。
而在高一数学中，第五章的内容包括了多个重要的数学知识点，下面将逐一介绍这些知识点及其应用。
一、一次函数与一元一次方程一次函数是数学中最基本的函数之一，其表达式为y = kx + b。
其中，k为斜率，b为截距。
通过一次函数的图像，可以直观地了解其特征，如斜率表示变化速度，截距表示与y轴的交点位置。
而一元一次方程则是求解一次函数的工具，它表示为ax + b = 0。
通过代数方法，可以解得方程的根，进而求得一次函数的交点等相关信息。
二、二次函数与二元一次方程二次函数是一次函数的推广，其表达式为y = ax^2 + bx + c。
在二次函数中，a表示抛物线的开口方向，b表示抛物线的对称轴位置，c表示抛物线与y轴的交点位置。
而二元一次方程则涉及到两个变量，表示为ax + by + c = 0。
这类方程可以用来求解二次函数与直线的交点等问题。
三、函数的综合应用函数的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题。
在数学的实用应用中，将函数与其他知识点相结合，可以解决诸如最大最小值问题、最优化问题等。
通过建立关系式、列方程等方法，将实际问题转化为数学问题，然后通过数学方法求解，最后再将结果反馈给实际问题，从而实现了数学知识的应用和实际问题的解决。
四、集合与逻辑运算在数学中，集合是由一组确定的对象组成的整体，而逻辑运算是对命题进行判断的一种方法。
集合论的基本概念包括空集、全集、子集、交集、并集等，通过对集合的操作和运算，可以进一步理解集合的关系和性质。
而逻辑运算则主要涉及到命题与命题之间的关系，包括与、或、非等。
在解决问题时，通过灵活运用集合与逻辑运算，可以简化问题的复杂度，提高问题的解决效率。
五、数列与函数数列是一系列具有特定规律的数按一定顺序排列而成的序列。
而函数则是将自变量与因变量之间的对应关系进行描述的工具。
新教材人教版高中数学必修1 第五章 5.5 5.5.2
sin2αcos2β ＝sin2αcossin2β2α－cocso2sβ2αsin2β ＝1－csions22ααcsoins22ββ＝1－ttaann22αβ＝右边． ∴原等式成立．
答案
证法二：右边＝1－csions22ααcsoins22ββ ＝sin2αcossin2β2α－cocso2sβ2αsin2β ＝sinαcosβ＋cosαssiinn2βαcsoisn2αβcosβ－cosαsinβ ＝sinαs＋in2βαcsoins2αβ－β＝左边． ∴原式成立.
1＋
3 2.
所以当 OA 与 OB 的夹角为56π时，四边形 OACB 的面积最大，最大面积是
1＋
3 2.
答案
金版点睛 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数 问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.
[跟踪训练5] 有一块以 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一 个内接矩形 ABCD 建为绿地，使其一边 AD 落在半圆的直径上，另外两点 B， C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为 a，如何选择关于点 O 对称的点 A， D 的位置，才能使矩形 ABCD 的面积最大？
5．5.2 简单的三角恒等变换
(教师独具内容) 课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、 变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角 函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式． 教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明． 教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.
答案
金版点睛 1为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型 余弦型函数，这是解决问题的前提. 2解此类题时要充分运用两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式消 除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
高中数学必修一第五章三角函数知识汇总大全(带答案)
高中数学必修一第五章三角函数知识汇总大全单选题1、若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα，则tanα=（ ） A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153答案：A分析：由二倍角公式可得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α，再结合已知可求得sinα=14，利用同角三角函数的基本关系即可求解.∵tan2α=cosα2−sinα∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin 2α=12−sinα，解得sinα=14， ∴cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=√1515. 故选：A.小提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sinα. 2、已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2B ．–1C ．1D ．2 答案：D分析：利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. ∵2tanθ−tan(θ+π4)=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，令t =tanθ,t ≠1，则2t −1+t1−t =7，整理得t 2−4t +4=0，解得t =2，即tanθ=2. 故选：D.小提示：本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.3、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果. 因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A. 4、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57. 又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.5、已知简谐振动f (x )=Asin (ωx +φ)(|φ|<π2)的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0,34)，则该简谐振动的频率和初相是（ ） A ．16，π6B ．18，π3C ．18，π6D ．16，π3答案：C分析：根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点(0,34)求出初相即可得解. 由题意可知，A ＝32，32＋(T2)2＝52， 则T ＝8，ω＝2π8＝π4，∴ y ＝32sin (π4x +φ). 由32sin φ＝34，得sin φ＝12.∵|φ|＜π2， ∴φ＝π6.因此频率是18，初相为π6.故选：C6、下列函数中为周期是π的偶函数是（ ） A ．y =|sinx |B ．y =sin|x| C ．y =−sinx D ．y =sinx +1 答案：A分析：根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解. 对于A ，y =|sinx |为偶函数,且最小正周期为π,所以A 正确; 对于B ，y =sin |x |为偶函数,但不具有周期性,所以B 错误; 对于C ，y =−sinx 为奇函数，所以C 错误; 对于D, y =sinx +1为非奇非偶函数,所以D 错误. 综上可知,正确的为A 故选:A7、已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S 为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π 答案：C解析：利用S =12αr 2即可求得结论. 由扇形面积公式得：S =12×3π4×42=6π.故选：C.8、已知A 为三角形的内角，且sinA +cosA =713，则tanA =（ ） A ．−125B ．−512C ．512D ．125答案：A分析：根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.∵sinA +cosA =713∴(sinA +cosA )2=(713)2计算得2sinAcosA =−120169<0，所以sinA >0，cosA <0，从而可计算的(sinA −cosA )2=1−2sinAcosA =289169∴sinA −cosA =1713， ∴sinA =1213，cosA =−513∴tanA =sinAcosA =−125,选项A 正确，选项BCD 错误. 故选：A. 多选题9、[多选题]下列说法正确的有（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第一象限角可能是负角 D ．小于90°的角都是锐角 答案：BC分析：对于A ：取特殊角30°和390°.即可否定结论；对于B ：由第二象限角的范围直接判断； 对于C ：取特殊角－330°即可判断； 对于D ：取特殊角－45°角进行否定结论.对于A ：终边相同的角不一定相等，比如30°和390°.故A 不正确；对于B ：因为钝角的大小在(90°,180°)，所以钝角一定是第二象限角，故B 正确； 对于C ：如－330°角是第一象限角，所以C 正确； 对于D ：−45°<90°，－45°角它不是锐角，所以D 不正确. 故选：BC ．10、已知sin (x +π4)=−√55,x ∈(π2,π)，则（ ）A ．cos (x +π4)=−2√55B ．tan (x +π4)=2C ．cos (π4−x)=−√55D ．sin (π4−x)=2√55答案：AC分析：依题意，可得x +π4∈(π,5π4)，再结合sin (x +π4)=−√55，利用同角三角函数间的关系及诱导公式，对四个选项逐一判断可得答案． 解：∵x ∈(π2,π),∴x +π4∈(3π4,5π4)，又sin (x +π4)=−√55,∴x +π4∈(π,5π4)，∴cos (x +π4)=−√1−sin 2(x +π4)=−2√55，故A 正确；∴tan (x +π4)=sin(x+π4)cos(x+π4)=12，故B 错误；又cos (π4−x)=cos [π2−(x +π4)]=sin (x +π4)=−√55，故C 正确；sin (π4−x)=sin [π2−(x +π4)]=cos (x +π4)=−2√55≠2√55，故D 错误，故选：AC ．11、设θ的终边在第二象限，则√1−sinθcos θ2−sinθ2的值可能为（ ）A ．1B ．-1C ．-2D ．2 答案：AB分析：先求得θ2的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.∵θ的终边在第二象限，∴2k π+π2<θ<2k π+π，k ∈Z ，∴k π2+π4<θ2<k π2+π2，k ∈Z ，√1−sinθcos θ2−sinθ2=√sin 2θ2+cos 2θ2−2sin θ2cosθ2cos θ2−sinθ2=√(sin θ2−cos θ2)2cos θ2−sinθ2=|sin θ2−cos θ2|cos θ2−sinθ2，故当2k π+π4<θ2<2k π+π2，k ∈Z 时， sin θ2−cos θ2>0，√1−sinθcos θ2−sinθ2=sin θ2−cosθ2cos θ2−sinθ2=−1当2k π+5π4<θ2<2k π+3π2，k ∈Z 时，sin θ2−cos θ2<0，√1−sinθcos θ2−sinθ2=cos θ2−sinθ2cos θ2−sinθ2=1.故选：AB 填空题12、已知120°的圆心角所对的弧长为4πm ，则这个扇形的面积为_________m 2． 答案：12π分析：选求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 由题意，120°=2π3，且圆心角所对的弧长为4πm ，∴2π3R =4π，解得R =6，∴扇形的面积为S =12×4π×6=12π(m 2)． 所以答案是：12π．13、已知tan α=2，则1sin 2α−cos 2α_____.答案：53分析：根据弦切互化即可求解.因为tan α=2 ，所以1sin 2α−cos 2α=sin 2α+cos 2αsin 2α−cos 2α=tan 2α+1tan 2α−1=4+14−1=53 所以答案是：53 14、已知tan(α+β2)=√62,tanαtanβ=137,则cos(α−β)的值为______.答案：23分析：应用三角函数的恒等变换公式对tanβ=sinαsinβcosαcosβ变形求得cos(α−β)=−103cos(α+β)，再由tanα+β2求得cos(α+β)，可得结论． tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)]12(cos(α−β)+cos(α+β)]=137，所以cos(α−β)=−103cos(α+β)，cos(α+β)=1−tan 2α+β21+tan 2α+β2=1−(√62)21+(√62)=−15，所以cos(α−β)=−103×(−15)=23．所以答案是：23． 解答题15、已知函数f (x )=sin (5π6−2x)−2sin (x −π4)cos (x +3π4).(1)解不等式f (x )≥−12；(2)若x ∈[π12,π3]，且F (x )=−4λf (x )−cos (4x −π3)的最小值是−32，求实数λ的值. 答案：(1)[kπ,kπ+2π3]，k ∈Z ；(2)λ=12. 分析：(1)利用三角恒等变换公式化简，再结合三角函数图像解不等式；(2) 利用三角恒等变换公式化简，再转化为关于λ的一元二次不等式，利用分类讨论的思想求出λ的值. (1)∵f (x )=sin (5π6−2x)−2sin (x −π4)cos (x +3π4)=12cos2x+√32sin2x+(sinx−cosx)(sinx+cosx) =12cos2x+√32sin2x+sin2x−cos2x=12cos2x+√32sin2x−cos2x=sin(2x−π6)由2kπ−π6≤2x−π6≤2kπ+7π6，得kπ≤x≤kπ+2π3，解集为[kπ,kπ+2π3]，k∈Z(2)F(x)=−4λf(x)−cos(4x−π3)=−4λsin(2x−π6)−[1−2sin2(2x−π6)]=2sin2(2x−π6)−4λsin(2x−π6)−1=2[sin(2x−π6)−λ]2−1−2λ2∵x∈[π12,π3]，∴0≤2x−π6≤π2，0≤sin(2x−π6)≤1，①当λ<0时，当且仅当sin(2x−π6)=0时，f(x)取得最小值−1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x−π6)=λ时，f(x)取最小值−1−2λ2，由已知得−1−2λ2=−32，解得λ=12；③当λ>1时，当且仅当sin(2x−π6)=1时，f(x)取得最小值1−4λ，由已知得1−4λ=−32，解得λ=58，这与λ>1相矛盾.综上所述，λ=12.小提示：解三角函数的不等式问题需要利用数形结合的思想，而二次函数含参的最值问题需要利用分类讨论的思想.。