与圆有关的轨迹方程
3.3轨迹方程、与圆有关的位置关系
圆中的轨迹方程问题这是一个新的概念，我们以前都是要求出一个具体的值，给出方程一般都是解方程，而现在我们不要求值，而是要求出一个方程，这个方程我们称为轨迹方程。
之所以这样称，是因为我们可以通过方程和坐标系来看出来它究竟是一个怎么样的图形。
一般的轨迹方程都是有一个动点引起来的另一个动点的运动轨迹。
求轨迹方程的基本方法：（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：a.设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0），b.求出用x，y表示x0，y0的关系式，c.将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
例1、已知圆C的圆心坐标为（3，2），且过定点O（0，0）．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．练习1、已知A（0，2）是定圆C：x2+y2=16内的一个定点，D是圆上的动点，P是线段AD的中点，求：（1）P点所在的曲线方程E；（2）过点A且斜率为﹣的直线与曲线E交于M、N两点，求线段MN的长度．练习2、已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（2，3），C（1，2），且定点P（1，1）．（1）求△ABC的外接圆的标准方程；（2）若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程．练习3、已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．与圆有关的位置关系点与圆的位置：例2、写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(5,1)M M ---与圆的位置关系？练习： 点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？直线与圆的位置关系：例3 、若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为练习1、已知直线k x y +=2和圆 422=+y x 有两个交点，则k 的取值范围是练习2、一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．(1)求反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程；(2)求在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围．练习3、已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2111x x +为定值； *（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求使△CDE 的面积最大时直线m 的方程。
动圆的圆心轨迹方程
动圆的圆心轨迹方程动圆的圆心轨迹方程，是描述动圆圆心运动的数学公式。
动圆的圆心轨迹方程是一个非常重要的概念，在物理学、数学等多个领域都有广泛的应用。
在力学中，动圆的圆心轨迹方程用于描述刚体的运动轨迹；在几何学中，它则是研究圆的性质时的基础。
首先，我们来认识一下什么是动圆。
一个圆沿着某一路径做运动，即圆的半径和圆心都在不断变化，这时我们称该圆为动圆。
动圆的运动可以是任意的，可以是匀速的、非匀速的等等。
当我们观察一个动圆运动时，会发现它的圆心的轨迹是非常特殊的一条曲线，我们把这条曲线叫做动圆的圆心轨迹。
动圆的圆心轨迹是一个非常重要的概念，它是描述动圆运动的基本量。
对于任何一个动圆，它的圆心轨迹都是一条特殊的曲线。
接下来，我们来探索一下动圆的圆心轨迹方程。
当你初学动圆的圆心轨迹时，通常会采用参数方程的形式表示。
设圆的半径为r，圆心运动的轨迹为(x(t),y(t))，圆心的初始位置为(x0,y0)，圆的初始方向与x轴正方向之间的夹角为θ，则动圆的圆心轨迹参数方程可以表示为：x(t) = x0 + r cos(ωt+θ)y(t) = y0 + r sin(ωt+θ)其中，ω是圆的角速度，t是时间。
这样我们就得到了一个关于动圆圆心轨迹的基本方程，通过不断改变其中的参数，我们就可以得到各种不同运动状态下的圆心轨迹了。
不过需要注意的是，这个方程是一个参数方程，它并不能直接描绘出圆心轨迹的具体形状，因此我们需要进行进一步转化。
我们可以通过两次对参数方程求导，将其转化为笛卡尔坐标系下的表示形式。
具体来说，我们先对x(t)和y(t)分别求一次导数，得到：dx/dt = -rω sin(ωt+θ)dy/dt = rω cos(ωt+θ)然后再对它们分别求一次导数，得到：d²x/dt² = -rω² cos(ωt+θ)d²y/dt² = -rω² sin(ωt+θ)最终，我们就得到了动圆圆心轨迹的笛卡尔坐标系下的方程：(x-x0)² + (y-y0)² = r²这个方程描述了动圆圆心轨迹的几何特征，它对应的实际运动状态是一个圆形的轨迹，这个圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。
圆的一般方程2(求轨迹方程)
推导圆的标准方程 问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由 题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r．
圆的一般方程(轨迹问题)
(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
比是 1 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M
|
|
OM|
1 }
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
直译法
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.
(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互 垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?
x2 y2 a2
轨迹的常用求法:
1.直译法; 2.定义法;
y
B
M
Ｏ
A
x
【课堂练习】
1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),
复习引入
【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的
点M的轨迹是什么？
M r
|MA|=r
A
【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。
【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点
M的轨迹是什么？
M
|MA|= |MB|
【答】线段AB的垂直平分线。 A
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）; ②列式代入； ③化简检验.
与圆相关的动点轨迹问题
与圆相关的动点轨迹问题1、 过动点P 向圆222:a y x C =+引两条切线，这两条切线的夹角为定值θ2，求动点P 的轨迹方程。
2、 已知定点()0,4A 和圆4:22=+y x C 上的动点B ，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程。
3、 已知定点()0,3A 和圆1:22=+y x C 上的动点B ，AOB ∠的平分线交AB 于点P ，求点P 的轨迹方程。
4、 已知定点())0,1(,0,1B A -，BC 是圆1:22=+y x C 上的动弦，延长BC 到点D ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程。
5、 已知定点())0,(,0,0a C B ，P 是PBC ∆的顶点，PB 的中线长为m 到点D ，求：点P 的轨迹方程。
6、 动圆被两条直线03,03=-=+y x y x 截得的弦长依次为8和4，求动圆圆心P 的轨迹方程。
7、 动圆与圆100:22=+y x C 内切，且过点)6,0(M ，求动圆圆心P 的轨迹方程。
8、 已知045,04B )0,4(=∠-APB A ），（，,动点P 的轨迹方程。
9、 已知)0,(),0,(a B a A -,以AB 为斜边作直角三角形，求两锐角的外角平分线的交点P 的轨迹方程。
10、对定点)0,1(A 和第一象限的动点B ，若090=∠OBA ，求OAB ∆的内切圆圆心的轨迹方程，并求内切圆面积的最大值。
11、点)0,(a A 是圆222:r y x O =+内一点)00(<<<r a ，C B ,是圆O 上两动点，且090=∠BAC ，求ABC ∆外心P 的轨迹方程。
12、已知)0,2(A 是圆4:22=+y x O 上一点，在圆上另取两点C B ,，使060=∠BAC ，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程。
13、求两条动直线05=+-m y mx 与05=-+my x 的交点P 的轨迹方程。
14、已知)2,0(A ，圆4:22=+y x O ，S 为过点A 的切线上任意一点，SR 为圆的另一条切线，R 为切点，ASR ∆的垂心为H ，当S 在切线上变动时，求点H 的轨迹方程。
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
动圆与两圆分别内切外切求圆的轨迹方程
圆是数学中常见的几何图形，它有着丰富的性质和应用。
在几何学中，人们经常会研究圆的轨迹方程，来揭示圆与其他几何图形之间的关系。
一、动圆与两圆的内切首先我们来考虑一个简单的问题，即一个圆在另一个圆的内部滚动，两个圆始终相切。
设两个圆的半径分别为R和r（R>r），则动圆的轨迹是一个以较小圆的圆心为起点，以R-r为半径的圆。
这个性质可以通过简单的几何推导来得到。
我们设大圆的圆心坐标为（a，b），小圆的圆心坐标为（p，q）。
假设小圆的半径r始终与大圆外接，设小圆的圆心在大圆上沿着一定路径作运动，由于两圆始终相切，所以小圆的圆心在大圆上的轨迹是一个以大圆圆心为圆心，以R-r为半径的圆。
二、动圆与两圆的外切接下来我们来研究一个稍微复杂一点的问题，即一个圆在另外两个圆的外部滚动，且始终与两个圆相切。
假设两个外切的固定圆的半径分别为R和r（R>r），而动圆的半径为R。
根据这个问题的特点，我们可以得到动圆的轨迹方程。
设两个固定圆的圆心分别为（a，b）和（c，d），则根据动圆与两个固定圆始终相切的性质，我们可以得到动圆的圆心坐标为（(a-c)/(R+2r), (b-d)/(R+2r)）3、动圆与一个固定圆的内切，一个固定圆的外切以上两个问题分别解决了动圆与两个固定圆的内切和外切的情况，接下来我们来研究一个更一般的问题，即一个圆在另外一个固定圆的内部滚动，同时在另一个固定圆的外部滚动。
最终目标是找到动圆的轨迹方程。
对于这个问题，我们可以分两步来考虑：1.我们可以用已知的方法得到动圆在一个固定圆的内部滚动时的轨迹方程，即一个以该固定圆圆心为起点，以R-r为半径的圆。
2.我们可以用类似的方法得到动圆在另一个固定圆的外部滚动时的轨迹方程，即一个以该固定圆圆心为圆心，以R+r为半径的圆。
综合以上两步的结果，我们可以得到动圆在同时滚动的情况下的轨迹方程。
假设两个固定圆的圆心分别为（a，b）和（c，d），则根据动圆与两个固定圆始终相切的性质，我们可以得到动圆的圆心坐标为（(a(R+r)+c(R-r))/(2R), (b(R+r)+d(R-r))/(2R)）通过以上的推导，我们可以得到动圆在一个固定圆的内部滚动，一个固定圆的外部滚动的情况下的轨迹方程。
高中数学与圆有关的轨迹问题与最值问题
b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ， （8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ， （10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，
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求与圆有关的轨迹方程
［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。
（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N （x o, y o）,
求出用x，y表示x o，y o的关系式，将（x o, y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
［讲解设计］重点和难点
例1 已知定点A（4，o ），点B是圆x2+y2=4上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。
例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC求弦BC中点P的轨迹方程。
方法一：（直接法）设P（x，y），连接OP则OPL BC
』-=一止
当x^0 时，k op ■ k AP=—1，即TT x—4
即x2+ y2—4x = O.①
当x= O时，P点坐标（0,0）是方程①的解，
BC中点P的轨迹方程为x2+ y2—4x= O（在已知圆内的部分）.
方法二：（定义法）
由方法一知OPtAP,取OA中点M 则M2,0）, |PM =2 I OA = 2，
由圆的定义知，P的轨迹方程是（x —2）2+ y2= 4（在已知圆内的部分）.
例3 已知直角坐标平面上的点Q（2, 0）和圆C: x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数
（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
设直线MN切圆于N,则动点M组成的集合是：P={M||MN|= J'|MQ|}
T圆的半径|ON|=1，二|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 , 设点M的坐标为（x, y）,则j
整理得（x-4）2+y2=7 .
•••动点M的轨迹方程是（x-4 ）2+y2=7 .
它表示圆，该圆圆心的坐标为（4 , 0）,半径为越
例4 如图，已知两条直线11：2x-3y+2=0 , I2: 3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与丨1,丨2都相交, 并且I 1与I 2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24,求圆心M的轨迹方程。
设动圆的圆心为M（x,y）,半径为r,点M到直线1* 2的距离分别为d1和dz 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
一J 即」
消去r得动点M满足的几何关系为'町=25,
（靈一护ay 心一丹4爭即口
口=25.
化简得（x+1）2-y2=65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.
练习与作业
2 2
1、已知：点P是圆x y 16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当P点在圆上运动时，求线段
PA的中点M的轨迹方程
2、已知点A（-1，0）与点B（1，0），C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D,使|CD|=|BC|，求AC与OD（O为坐标原点）的交
点P的轨迹方程。
2 2
3、求与y轴相切，且与圆x y 4x 0也相切的圆P的圆心的轨迹方程
5、已知与 0C : x 2 y 2 2x 2y 1 0相切的直线I 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，0为坐标原点, OA a,OB ba 2,b 2 .
(1)求证：a 2 b 2 2 ;(2)求线段AB 中点P 的轨迹 _ 2 4、由点P 分别向两定圆G ：(x 2) 2 2 y 1 及圆 C 2 ：(x 2) 2
y 4所引切线段长度之比为 1 : 2,求点P 的轨迹方程。