与圆有关的轨迹方程
3.3轨迹方程、与圆有关的位置关系
圆中的轨迹方程问题这是一个新的概念，我们以前都是要求出一个具体的值，给出方程一般都是解方程，而现在我们不要求值，而是要求出一个方程，这个方程我们称为轨迹方程。
之所以这样称，是因为我们可以通过方程和坐标系来看出来它究竟是一个怎么样的图形。
一般的轨迹方程都是有一个动点引起来的另一个动点的运动轨迹。
求轨迹方程的基本方法：（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：a.设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0），b.求出用x，y表示x0，y0的关系式，c.将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
例1、已知圆C的圆心坐标为（3，2），且过定点O（0，0）．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．练习1、已知A（0，2）是定圆C：x2+y2=16内的一个定点，D是圆上的动点，P是线段AD的中点，求：（1）P点所在的曲线方程E；（2）过点A且斜率为﹣的直线与曲线E交于M、N两点，求线段MN的长度．练习2、已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（2，3），C（1，2），且定点P（1，1）．（1）求△ABC的外接圆的标准方程；（2）若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程．练习3、已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．与圆有关的位置关系点与圆的位置：例2、写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(5,1)M M ---与圆的位置关系？练习： 点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？直线与圆的位置关系：例3 、若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为练习1、已知直线k x y +=2和圆 422=+y x 有两个交点，则k 的取值范围是练习2、一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．(1)求反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程；(2)求在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围．练习3、已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2111x x +为定值； *（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求使△CDE 的面积最大时直线m 的方程。
圆上弦中点轨迹方程
圆上弦中点轨迹方程在数学中，圆是一种非常重要的几何图形。
它由一组等距离于圆心的点组成，这个距离被称为半径。
圆在许多领域都有广泛的应用，例如建筑设计、航空航天和数学研究等。
其中一个有趣的问题是，如果我们在圆上选择一个弦的中点，这些中点的轨迹是什么样子的呢？为了回答这个问题，我们首先需要了解什么是弦。
在圆上，一条弦是连接圆上的两个点的线段。
当我们选择这条弦的中点时，我们可以得到一个新的点，我们把这些点的集合称为弦的中点轨迹。
现在让我们来推导一下这个轨迹的方程。
假设圆的半径是r，圆心坐标为(h, k)。
我们选择一个弦的中点，它的坐标为(x, y)。
根据中点的定义，我们可以知道这个中点与圆心之间的距离等于半径的一半。
根据勾股定理，我们可以得到以下方程：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2/4这个方程描述了弦的中点的轨迹。
我们可以把它简化为更常见的形式。
首先，我们展开方程并移项，得到：x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2/4然后，我们将常数项移到右边，得到：x^2 - 2hx + y^2 - 2ky = r^2/4 - h^2 - k^2通过合并同类项，我们可以得到轨迹方程的标准形式：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2/4 - h^2 - k^2现在我们可以来分析一下这个轨迹方程的特点。
首先，这是一个二次方程，它描述了一个圆。
圆心的坐标是(h, k)，半径的平方是r^2/4 - h^2 - k^2。
这个方程的图像是一个圆心在(h, k)的圆。
根据这个轨迹方程，我们可以看出，弦的中点轨迹取决于圆的半径和圆心的位置。
当半径越大时，轨迹的半径也会相应增大。
当圆心的位置发生变化时，轨迹也会相应移动。
在实际应用中，这个轨迹方程可以用于解决许多问题。
例如，在建筑设计中，这个方程可以用来确定建筑物的圆形结构的中心位置。
在航空航天中，这个方程可以用来计算飞行器的轨迹。
动圆的圆心轨迹方程
动圆的圆心轨迹方程动圆的圆心轨迹方程，是描述动圆圆心运动的数学公式。
动圆的圆心轨迹方程是一个非常重要的概念，在物理学、数学等多个领域都有广泛的应用。
在力学中，动圆的圆心轨迹方程用于描述刚体的运动轨迹；在几何学中，它则是研究圆的性质时的基础。
首先，我们来认识一下什么是动圆。
一个圆沿着某一路径做运动，即圆的半径和圆心都在不断变化，这时我们称该圆为动圆。
动圆的运动可以是任意的，可以是匀速的、非匀速的等等。
当我们观察一个动圆运动时，会发现它的圆心的轨迹是非常特殊的一条曲线，我们把这条曲线叫做动圆的圆心轨迹。
动圆的圆心轨迹是一个非常重要的概念，它是描述动圆运动的基本量。
对于任何一个动圆，它的圆心轨迹都是一条特殊的曲线。
接下来，我们来探索一下动圆的圆心轨迹方程。
当你初学动圆的圆心轨迹时，通常会采用参数方程的形式表示。
设圆的半径为r，圆心运动的轨迹为(x(t),y(t))，圆心的初始位置为(x0,y0)，圆的初始方向与x轴正方向之间的夹角为θ，则动圆的圆心轨迹参数方程可以表示为：x(t) = x0 + r cos(ωt+θ)y(t) = y0 + r sin(ωt+θ)其中，ω是圆的角速度，t是时间。
这样我们就得到了一个关于动圆圆心轨迹的基本方程，通过不断改变其中的参数，我们就可以得到各种不同运动状态下的圆心轨迹了。
不过需要注意的是，这个方程是一个参数方程，它并不能直接描绘出圆心轨迹的具体形状，因此我们需要进行进一步转化。
我们可以通过两次对参数方程求导，将其转化为笛卡尔坐标系下的表示形式。
具体来说，我们先对x(t)和y(t)分别求一次导数，得到：dx/dt = -rω sin(ωt+θ)dy/dt = rω cos(ωt+θ)然后再对它们分别求一次导数，得到：d²x/dt² = -rω² cos(ωt+θ)d²y/dt² = -rω² sin(ωt+θ)最终，我们就得到了动圆圆心轨迹的笛卡尔坐标系下的方程：(x-x0)² + (y-y0)² = r²这个方程描述了动圆圆心轨迹的几何特征，它对应的实际运动状态是一个圆形的轨迹，这个圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。
圆的一般方程2(求轨迹方程)
推导圆的标准方程 问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由 题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r．
圆滚线的轨迹方程
圆滚线的轨迹方程
大家都知道，圆滚曲线是数学中重要的概念，它们往往被说是“不可能的曲线”。
圆滚曲线的轨迹方程是一个对曲线的描述，有助于我们研究这种曲线的特性和性质。
在本文中，我们将深入研究圆滚曲线的轨迹方程，并讨论它的含义和应用。
首先，我们来讨论圆滚曲线的轨迹方程。
圆滚曲线的轨迹方程是一个多项式方程式，它可以表达出曲线在不同位置处的行为。
其具体形式如下：y0=xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + + a3x3 + a2x2 + ax + b。
其中，n是当前曲线的阶数，而a1～an和b则是曲线的系数。
通过解决上述方程式，我们可以获得曲线上每一点的坐标。
圆滚曲线的轨迹方程有着多种应用。
首先，它可以用来定义一些复杂的空间几何体，例如空间曲面。
另外，它还可以用来研究圆滚曲线的特性和性质，如弧长、曲率等。
此外，它还可以被用于电子学中的模拟信号处理、机器视觉中的目标跟踪与定位等方面。
除了这些应用之外，圆滚曲线的轨迹方程还可以用于解决一些复杂的物理问题，如流体动力学和热传导的问题。
例如，汽车工程中，研究人员可以使用圆滚曲线的轨迹方程来分析汽车运动过程中曲轴
和曲柄的变化规律。
此外，圆滚曲线的轨迹方程也可以用于研究振动系统的运动模式。
圆滚曲线的轨迹方程是一个非常有用的数学模型，它被广泛应用于计算机图形学、流体动力学、振动系统研究和计算机视觉等多个领域。
通过研究圆滚曲线的轨迹方程，我们可以更好地理解曲线的特性，
从而为我们的工作和研究找到更多应用及发展方向。
一点在圆上运动,另一点固定,求它们中点的轨迹方程
一点在圆上运动,另一点固定,求它们中点的轨迹方程
写一篇300字文章
在圆弧中，有两个点，其中一个点在圆上运动，另一个点固定不动，求它们中点的轨迹方程。
首先，由于圆在二维平面上，圆心坐标为（x_c，y_c），半径为r，而所求的中点则代表着其他点在圆周运动时，它在它们两者之间的位置，换句话说，中点应为以圆心为中心的坐标系中的一点，即（x，y）。
由于每个点的位置也是在这个坐标系的，x和y必然有如下的关系（坐标系的原点为圆心）：
x=r*cosθ y=r*sinθ
因此，中点坐标为：
x=(r/2)*cosθ y=(r/2)*sinθ
再求中点的轨迹方程，则：
x=(r/2)*cosθ y=(r/2)*sinθ
转化成极坐标就为：
r=r/2
这就是求出来的它们中点的轨迹方程，即所求中点正在半径为r/2的圆弧上运动。
显而易见，当给定一个固定点，以及半径为r的圆时，若其他一个点在圆上运动，那么它们的中点的轨迹方程应为上述的形式，即可求得出。
通过以上的推导，我们可以得到有关点在圆上运动，它们中点轨迹方程的答案，这可以用于许多不同的场景，包括但不限于分析机器人的运动规律，了解物体的碰撞轨迹等等，每个场景可以根据它们双方的位置关系和质量，求出本质上相同的方程，以帮助理解物体之间的运动过程。
圆的一般方程(轨迹问题)
(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
比是 1 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M
|
|
OM|
1 }
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
直译法
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.
(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互 垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?
x2 y2 a2
轨迹的常用求法:
1.直译法; 2.定义法;
y
B
M
Ｏ
A
x
【课堂练习】
1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),
复习引入
【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的
点M的轨迹是什么？
M r
|MA|=r
A
【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。
【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点
M的轨迹是什么？
M
|MA|= |MB|
【答】线段AB的垂直平分线。 A
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）; ②列式代入； ③化简检验.
与圆相关的动点轨迹问题
与圆相关的动点轨迹问题1、 过动点P 向圆222:a y x C =+引两条切线，这两条切线的夹角为定值θ2，求动点P 的轨迹方程。
2、 已知定点()0,4A 和圆4:22=+y x C 上的动点B ，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程。
3、 已知定点()0,3A 和圆1:22=+y x C 上的动点B ，AOB ∠的平分线交AB 于点P ，求点P 的轨迹方程。
4、 已知定点())0,1(,0,1B A -，BC 是圆1:22=+y x C 上的动弦，延长BC 到点D ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程。
5、 已知定点())0,(,0,0a C B ，P 是PBC ∆的顶点，PB 的中线长为m 到点D ，求：点P 的轨迹方程。
6、 动圆被两条直线03,03=-=+y x y x 截得的弦长依次为8和4，求动圆圆心P 的轨迹方程。
7、 动圆与圆100:22=+y x C 内切，且过点)6,0(M ，求动圆圆心P 的轨迹方程。
8、 已知045,04B )0,4(=∠-APB A ），（，,动点P 的轨迹方程。
9、 已知)0,(),0,(a B a A -,以AB 为斜边作直角三角形，求两锐角的外角平分线的交点P 的轨迹方程。
10、对定点)0,1(A 和第一象限的动点B ，若090=∠OBA ，求OAB ∆的内切圆圆心的轨迹方程，并求内切圆面积的最大值。
11、点)0,(a A 是圆222:r y x O =+内一点)00(<<<r a ，C B ,是圆O 上两动点，且090=∠BAC ，求ABC ∆外心P 的轨迹方程。
12、已知)0,2(A 是圆4:22=+y x O 上一点，在圆上另取两点C B ,，使060=∠BAC ，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程。
13、求两条动直线05=+-m y mx 与05=-+my x 的交点P 的轨迹方程。
14、已知)2,0(A ，圆4:22=+y x O ，S 为过点A 的切线上任意一点，SR 为圆的另一条切线，R 为切点，ASR ∆的垂心为H ，当S 在切线上变动时，求点H 的轨迹方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求与圆有关的轨迹方程
［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。
（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0），
求出用x，y 表示x0，y0 的关系式，将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y 之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
［讲解设计］重点和难点
例 1 已知定点A（ 4 ，0 ），点 B 是圆x2+y2=4 上的动点，点P 分AB的比为 2 ： 1 ，求点P 的轨迹方程。
例 2 自 A （4，0）引圆x2+y2=4 的割线ABC，求弦BC 中点P 的轨迹方程。
方法一：（直接法）设P（x，y），连接OP，则OP⊥BC，
当x≠0 时，k OP·k AP＝－1 ，即
即x2＋y2－ 4x＝ 0. ①
当x＝ 0 时，P点坐标（0,0）是方程①的解，
∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0（在已知圆内的部分）．
方法二：（定义法）
由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M（2,0），|PM|＝ |OA|＝2，由圆的定义知，P的轨迹方程是（x－2）2＋y2＝4（在已知圆内的部分）．
例 3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数（
0），求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
设直线MN 切圆于N，则动点M 组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|} ∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，
设点M 的坐标为（x，y），则√（2 + 2 - 1） = √（ - 2）2 +2 整理得（x-4）2+y2=7．
∴动点M 的轨迹方程是（x-4）2+y2=7．
它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为√7
例 4 如图，已知两条直线l1：2x-3y+2=0，l2：3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l1，l2 都相交，
并且l1与l2被截在圆内的两条线段的长度分别是26 和24，求圆心M 的轨迹方程。
• 设动圆的圆心为 M（x,y）,半径为 r,点 M 到直线 l1,l2的距离分别为 d1和 d2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，消去 r 得动点M 满足的几何关系为=25,
即 =25.
化简得（x+1）2-y2=65.此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程.
练习与作业
1、已知：点P是圆x2+ y2= 16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当P点在圆上运动时，求线
段PA的中点M的轨迹方程
2、已知点A（-1，0）与点B（1，0），C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D，使|CD|=|BC|，求AC与OD（O
为坐标原点）的交点P 的轨迹方程。
3、求与y轴相切，且与圆x2+ y2-4x = 0也相切的圆P的圆心的轨迹方程
4、由点P分别向两定圆C1:（x+2）2+y2=1及圆C2:（x-2）2+y2=4所引切线段长度之比为1：2，求点P的轨迹方程
5、已知与C : x + y - 2x - 2y +1= 0相切的直线l交x轴、y轴于A、B 两点，O 为坐标原点，OA = a, OB = b(a 2,b2).
(1)求证: (a - 2)(b- 2) = 2 ;(2)求线段AB 中点P 的轨迹。