【步步高】高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词文1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.全称量词和存在量词4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ ) (4)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( × ) (5)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ ) (6)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ )1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称，则下列判断正确的是________． ①p 为真； ②綈q 为假； ③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．③正确．2．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是__________．(填序号) ①p ∧(綈q ); ②(綈p )∧q ； ③(綈p )∧(綈q ); ④p ∧q .答案 ①解析 由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )为真命题．3．(2015·浙江改编)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是______________． 答案 ∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解析 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．4．(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.5．(教材改编)给出下列命题： ①∀x ∈N ，x 3>x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则以上命题的否定中，真命题的序号为________． 答案 ①②③题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p 1：y ＝ln[(1－x )·(1＋x )]为偶函数；命题p 2：y ＝ln 1－x1＋x 为奇函数，则下列命题①p 1∧p 2；②p 1∨(綈p 2)；③p 1∨p 2；④p 1∧(綈p 2)中，是假命题的是________． (2)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________．答案 (1)④ (2)②③解析 (1)对于命题p 1：令f (x )＝y ＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )>0得－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，∵f (－x )＝ln[(1＋x )·(1－x )]＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴命题p 1为真命题；对于命题p 2：令g (x )＝y ＝ln 1－x 1＋x ，易知g (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，g (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，命题p 2为真命题，故p 1∧(綈p 2)为假命题．(2)当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题． 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知：①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．(1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题①p ∧q ；②(綈p )∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④p ∧(綈q )中，为真命题的是________．(2)若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”“綈q ”中，是真命题的有________．答案 (1)④ (2)綈p 、綈q解析 (1)p 为真命题，q 为假命题，故綈p 为假命题，綈q 为真命题．从而p ∧q 为假，(綈p )∧(綈q )为假，(綈p )∧q 为假，p ∧(綈q )为真，④正确．(2)依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为假，“ 綈p ”为真，“綈q ”为真．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例2 (1)下列命题中，为真命题的是________． ①∀x ∈R ，x 2≥0; ②∀x ∈R ，－1<sin x <1； ③∃x 0∈R,020;x <④∃x 0∈R ，tan x 0＝2.(2)下列四个命题p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，001()()23；x x 1< p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中真命题是________． 答案 (1)①④ (2)p 2，p 4解析 (1)∀x ∈R ，x 2≥0，故①正确；∀x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故②错；∀x ∈R,2x>0，故③错，故④正确．(2)根据幂函数的性质，对∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故命题p 1是假命题；由于log 12x －log 13x ＝lg x －lg 2－lg x －lg 3＝lg x lg 2－lg 3lg 2lg 3，故对∀x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ，所以∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0，命题p 2是真命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，log 12x >1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>log 12x 不成立，命题p 3是假命题；∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，log 13x >1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x ，命题p 4是真命题． 故p 2，p 4为真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________．(2)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________．答案 (1)对任意实数x ，都有x ≤1 (2)∃x ∈A,2x ∉B解析 (1)利用存在性命题的否定是全称命题求解，“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．(2)命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为存在性命题． ∴綈p ：∃x ∈A,2x ∉B .思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．(1)写出下列命题的否定，并判断其真假：①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；②q ：所有的正方形都是矩形； ③r ：∃x 0∈R ，200220＋＋；x x ≤④s ：至少有一个实数x 0，使3010.＋＝x 解 ①綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．②綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． ③綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． ④綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为______________． 答案 ∀n ∈N ，n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”． 题型三 由命题的真假求参数的取值范围例4 已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为_______________________________________． 答案 m ≥2解析 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0； 当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2. 因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.引申探究1．本例条件不变，若p ∧q 为真，则实数m 的取值范围为________． 答案 (－2,0)解析 依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0.2．本例条件不变，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数m 的取值范围为________________． 答案 (－∞，－2]∪[0,2)解析 若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p 、q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，∴m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，∴0≤m <2.∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．3．本例中的条件q 变为q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1<0，其他不变，则实数m 的取值范围为________． 答案 [0,2]解析 依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0， ∴m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2得0≤m ≤2，∴m 的取值范围是[0,2]．思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．(1)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是______________．(2)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是______________．答案 (1){a |a ≤－2或a ＝1} (2)(－1,3)解析 (1)∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题， ∴p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1.(2)依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3.1．常用逻辑用语及其应用一、命题的真假判断典例 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么下列说法判断正确的是________． ①“綈p ”是假命题； ②q 是假命题； ③“p 或q ”为假命题； ④“p 且q ”为真命题．解析 由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成立，所以命题q为假命题．综上可知：綈p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题．答案②③温馨提醒判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断．二、求参数的取值范围典例已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案[e,4]温馨提醒含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．三、利用逻辑推理解决实际问题典例(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一温馨提醒在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．[方法与技巧]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．[失误与防范]1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．两种形式命题的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )中，为真命题的是________． 答案 ④解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(綈p )∨(綈q )为真命题．2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的____________条件． 答案 充分不必要解析 由“綈p 为真”可得p 为假，故p ∧q 为假；反之不成立．3．已知命题p ：“x >2是x 2>4的充要条件”，命题q ：“若a c 2>bc2，则a >b ”，那么下列关于命题的真假判断正确的是________． ①“p 或q ”为真； ②“p 且q ”为真； ③p 真q 假； ④p ，q 均为假．答案 ①解析 由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，因此①正确． 4．下列命题中的假命题是________．(填序号)． ①∀x ∈R,2x －1>0；②∀x ∈N *，(x －1)2>0； ③∃x 0∈R ，lg x 0<1； ④∃x 0∈R ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5. 答案 ②解析 ①中，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；②中，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；③中，当x 0＝110时，lg 110＝－1<1；④中，当x ∈R 时，tan x ∈R ，故∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5.5．已知命题p ：若a >1，则a x>log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面为真命题的是______(填序号)． ①(綈p )∧(綈q ); ②(綈p )∨(綈q )； ③p ∨(綈q ); ④p ∧q .答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x<log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．6．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下面为真命题的是________．(填序号) ①p ∧q; ②(綈p )∧q ； ③p ∨(綈q ); ④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．7．命题p ：∃x 0>0，x 0＋1x 0＝2，则綈p 为__________________．答案 ∀x >0，x ＋1x≠2解析 “∃”的否定为“∀”，“＝”的否定为“≠”．8．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个是假命题，若命题p 为真命题，则m ≤－1，若q 为真命题，则Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2，若命题p 和命题q 都是真命题，则－2<m ≤－1，∴若“p ∧q ”为假命题，则m ≤－2或m >－1. 9．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是__________． 答案 [9，＋∞) 解析 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p ：A ＝{x |x >10或x <－2}． 由x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴綈q ：B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10且等号不能同时取到，解得m ≥9.10．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.11．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3，所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 12．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确，所以正确结论的序号为①③.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)13．若命题p ：∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a <－2x 2＋1是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥2解析 若命题p ：∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a <－2x 2＋1是假命题，则綈p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即(2＋a )x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，当a ＝－2时不成立，舍去，则有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a >016－42＋aa －1≤0，解得a ≥2.14．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________． 答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立， ∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题． 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题． 4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立， ∴④为假命题． ∴①②③④均为假命题． 15．下列结论正确的是________．①若p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0； ②若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；③“函数f (x )为奇函数”是“f (0)＝0”的充分不必要条件； ④命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题为真命题． 答案 ④解析 ∵x 2＋x ＋1<0的否定是x 2＋x ＋1≥0，∴①错；若p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，∴②错；f (x )为奇函数，但f (0)不一定有意义，∴③错；命题“若x 2－3x ＋2＝0则x ＝1”的否命题为“若x 2－3x －2≠0，则x ≠1”，是真命题，④对． 16．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________. 答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题， 即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解， 由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.17．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2]∪[－1,3)解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0，得m <－1，所以命题p 为真时，m <－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0，得－2<m <3，所以命题q 为真时，－2<m <3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m <3，所以所求实数m 的取值范围是m ≤－2或－1≤m <3. 18．有下列命题：①在函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y ＝x ＋3x －1的图象关于点(－1,1)对称； ③已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x 0∈R ，使得sin x 0>1； ④在△ABC 中，若3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 等于30°或150°. 其中的真命题是________． 答案 ③解析 对于①，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ，相邻两个对称中心的距离为T 2＝π2，①错；对于②，函数y ＝x ＋3x －1的图象关于点(1,1)对称，②错；对于③，根据全称命题的否定，③很明显是对的；对于④，由3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，则A ＋B ＝π6或5π6，而3sin A ＋4cos B ＝6≤4＋3sin A ，故sin A ≥23>12，即A >π6，∴A ＋B ＝5π6，故C ＝π6，④错．。