原子物理课件 第5节 索末菲理论

a
0
(mv)dx + ∫ (−mv)dx = 2mva = nh
a
0
动量是量子化的： 动量是量子化的： nh p = mv = , 2a
V
V =∞
n = 1, 2,3⋯⋯
V =0
0
若粒子是非相对论的，能量就为： 若粒子是非相对论的，能量就为：
1 2 p nh E = mv = = , 2 2 2m 8ma
.
1．量子化条件 ． 广义坐标： 广义坐标： r , ϕ
r
−e
rϕ
a
.
v
径向速度 角速度 线动量 角动量
r
b
ϕ
Ze
ɺ 广义速度： 广义速度： vr = r
ɺ ϕ
ɺ 广义动量： pr = mvr = mr 广义动量： ɺ pϕ = mωr 2 = mr 2ϕ
根据量子化通则有
∫ pϕ dϕ = nϕ h ∫ pr dr = nr h
2．电子椭圆轨道的一般特征 半长轴a只与 有关 半短轴b不仅与 有关，还与n 有关。 不仅与n有关 半长轴 只与n有关；半短轴 不仅与 有关，还与 ϕ有关。 只与 有关； 只要n、 确定了， 、 也就确定了 也就确定了， 只要 、nϕ确定了，a、b也就确定了，即椭圆的大小和形 状就完全确定了。椭圆轨道的形状和大小是量子化的。 状就完全确定了。椭圆轨道的形状和大小是量子化的。
§2.5、索末菲对玻尔理论的推广 2.5、
玻尔理论的成功： 玻尔理论的成功： 原子能级的存在 （1）指出了原子能级的存在。 ）指出了原子能级的存在。 定态的概念， （2）提出了定态的概念，事实表明，这一结论对于各种原 ）提出了定态的概念 事实表明， 子也是普遍正确的。 子也是普遍正确的。 （3）角动量量子化条件 ）角动量量子化条件L=nh/2π，引出了角动量量子化这 条件 一普遍正确的结论。 一普遍正确的结论。 （4）解释氢原子及类氢离子的光谱现象。 ）解释氢原子及类氢离子的光谱现象。 玻尔理论的局限性： 玻尔理论的局限性： 没有完全解决原子问题，只能解释氢原子和类氢离子光谱， 没有完全解决原子问题，只能解释氢原子和类氢离子光谱， 无法解释复杂原子的光谱现象。量子通则不具备有普遍性。 无法解释复杂原子的光谱现象。量子通则不具备有普遍性。 为了寻求原子结构的更完善的理论， 为了寻求原子结构的更完善的理论，物理学家们企图对玻尔 理论加以补充和修正，以便能解释更多的实验现象。 理论加以补充和修正，以便能解释更多的实验现象。 德国物理学家索末菲对玻尔理论进行了修正。 德国物理学家索末菲对玻尔理论进行了修正。 索末菲对玻尔理论进行了修正
∂U α v2 F = 2 =m 粒子所受的力： 解：粒子所受的力： = − ∂r r r
υ =
2
α
mr
1 2 α α α α − =− 粒子的总能量为： 粒子的总能量为： E = mυ − = 2 r 2r r 2r
由量子化通则： 由量子化通则： mvrdϕ =
即 r=−
α
2E
∫
∫
mα 2 − dϕ =nh 2E
2
2
2
a
x
n = 1, 2,3⋯
说明粒子在一维直角势阱中，能量是量子化的。 说明粒子在一维直角势阱中，能量是量子化的。
例2：一个质量为的粒子，在有心力场中沿圆形轨道运动，粒 ：一个质量为的粒子，在有心力场中沿圆形轨道运动， U = −α / r ，其中 α = Ze2 / 4πε 0。试 子在有心力场中的势能为 根据索末菲通则，求出这粒子能量的允许值。 根据索末菲通则，求出这粒子能量的允许值。
2π 2 mα 2 E= n2h2
结果与玻尔 理论结果完 全一致
mα 2 即： − ⋅ 2π = nh 2E
2π 2 mZ 2 e 4 Ze 2 将α = 代入： E = ，n = 1, 2,3⋯ 2 2 2 4πε 0 (4πε 0 ) n h
二、电子的椭圆轨道 实际上电子并非作圆形轨道运动，而是作椭圆轨道运动， 实际上电子并非作圆形轨道运动，而是作椭圆轨道运动， 就像行星绕太阳运动一样。如果假定原子核不动， 就像行星绕太阳运动一样。如果假定原子核不动，它处 于椭圆的一个焦点上。 于椭圆的一个焦点上。
一、量子化通则 量子化通则的一般形式
∫ p dq
i
i
= ni h
ni = 1, 2, 3⋯
变化一个周期的积分。 上式表示对q变化一个周期的积分。该式子具有更加普遍 的物理意义，不仅对圆周运动成立。 的物理意义，不仅对圆周运动成立。 q为广义坐标， dq为广义位移， p为广义动量。 为广义坐标， 为广义位移， 为 i是自由度个数，有几个自由度就有几个相应的量子化条件。 是自由度个数，有几个自由度就有几个相应的量子化条件。
2π 2 me 4 Z 2 Z2 En = − ⋅ 2 = − Rhc ⋅ 2 2 2 (4πε 0 ) h n n
a1 a=n Z
2
a1 b = nnϕ Z
9a1 / Z = a nϕ = 3,圆形 a = 9a1 / Z , b = 6a1 / Z , nϕ = 2, 椭圆 3a / Z n = 1, 椭圆 1 ϕ
⋅
一个电子轨道的进动
2．原子的能量 ． 考虑了相对论效应，经过繁杂的计算可得： 考虑了相对论效应，经过繁杂的计算可得：
讨论： 讨论：
hcRZ 2 hcRZ 4α 2 n 3 − E=− − 2 4 n n n 4 ϕ
能量包含了主项和修正项。 ① 能量包含了主项和修正项。主项和未考虑相对论时的情 况一致， 决定，修正项远小于第一项。 况一致，修正项则由 n 和 nϕ 决定，修正项远小于第一项。 一定时， 越小E 越小，说明： ② 当n 一定时，nϕ 越小 越小，说明：椭圆轨道越扁能量 越小，圆形轨道能量最大。 越小，圆形轨道能量最大。 考虑了相对论效应， 个支能级， ③ 考虑了相对论效应，量子数为 n 的能级分裂为 n 个支能级， 结果原来看起来是一条的谱线， 结果原来看起来是一条的谱线，其实是由 n 条极为接近的谱 谱线的精细结构。 线构成的，这称为谱线的精细结构 在修正项中， 线构成的，这称为谱线的精细结构。在修正项中， α 占重要 地位，被称为精细结构常数。 地位，被称为精细结构常数。
设粒子的质量为m，在具有无限高势垒、宽度为a的一 例 1 ： 设粒子的质量为 ， 在具有无限高势垒、宽度为 的一 维直角势阱里运动。 维直角势阱里运动。试根据索末菲量子化通则对上述情况求 出这粒子能量的允许值。 出这粒子能量的允许值。 解：根据量子化通则： 根据量子化通则： 量子化通则
∫ pdx = ∫
nϕ = 1, 2, 3, ⋯ n
n一定时 一定时
nr = n − 1, n − 2 , n − 3, ⋯ 0
有n对（n,nφ)相应于不同形状的轨道，其中一个为圆形， 对 , 相应于不同形状的轨道，其中一个为圆形， 这就是玻尔理论中的圆轨道。玻尔理论只是一个特殊情况。 这就是玻尔理论中的圆轨道。玻尔理论只是一个特殊情况。
a1 a=n Z
2
a1 b = nnϕ Z
n = 3, nϕ = 3
三、相对论修正 按照相对论原理： 按照相对论原理：
m = m0 / 1 − υ 2 / c 2
考虑了相对论效应后，对电子的运动有两点影响： 考虑了相对论效应后，对电子的运动有两点影响： 1．电子的轨道 电子绕核作椭圆运动时， 电子绕核作椭圆运动时，它的速度 是变化的。靠近核时快些， 是变化的。靠近核时快些，远离核 时慢些。 时慢些。这样就能保证在运动中角 动量不变。所以电子的质量在轨道 动量不变。所以电子的质量在轨道 运动中始终是变化的，这种情况下， 运动中始终是变化的，这种情况下， 电子的轨道不再闭合。 电子的轨道不再闭合。椭圆轨道有 连续的进动， 一个连续的进动 如图所示。 一个连续的进动
椭圆轨道的 量子化条件
nr = 0, 1, 2 ⋯ 径向量子数
1 1 Ze 2 1 1 Ze 2 体系的能量： 体系的能量： E = mυ 2 − ɺ ɺ = m( r 2 + r 2ϕ 2 ) − 2 4πε 0 r 2 4πε 0 r
由量子化通则可得以下结果
a1 a=n Z
2
a1 b = nnϕ Z
a ：半长轴，b：半短轴 半长轴， ：
2π 2 me4 Z 2 Z2 En = − ⋅ 2 = − Rhc ⋅ 2 2 2 (4πε 0 ) h n n
主量子数
n = nr + nϕ
径向量子数
角量子数
与圆轨道相比较： 与圆轨道相比较： 能量的表达式无变化，对光谱的解释仍成立。 （1）能量的表达式无变化，对光谱的解释仍成立。 椭圆轨道的形状和大小是量子化的。 （2）椭圆轨道的形状和大小是量子化的。 n 有三个量子数： 只有两个是独立的。 （3）有三个量子数： , nr , nϕ，因 n = nr + nϕ ，只有两个是独立的。
能级简并：对于一定的n，有个 不同 能级简并：对于一定的 ，有个n不同 的定态，它们的n 不同， 的定态，它们的 ϕ不同，但具有相同 的能量E 的能量 n。这种能级称为退化了的 能级， 是退化度，也叫简并度 简并度。 能级，nϕ是退化度，也叫简并度。
6a1
n = 3, nϕ = 1
3a1
9a1
n = 3, nϕ = 2