常州2015-2016高一数学第二学期期末试卷(含答案)

常州市教育学会学生学业水平监测高一数学试题2016.6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．不等式错误!未找到引用源。

的解集为 ▲ ．2．在ABC ∆中，2a =，30A =， 120=C ，则边c 的长度为 ▲ ． 3．若直线1:605l x my ++=与()2:6220l m x y m -++=垂直，则m 的值为 ▲ ． 4．已知1x >，则函数41y x x =+-的最小值是 ▲ ． 5．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2374=4a a a ，22=a ，则=1a ▲ ．6．已知点P (x ，y )满足不等式组1000x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2x y +的取值范围是 ▲ ．7．已知,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ① 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥； ② 若,l αββ⊥⊥，则//l α； ③ 若l 上有两个点到α的距离相等，则//l α；④ 若,//αβαγ⊥，则γβ⊥. 其中正确命题的序号是 ▲ ．8．两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9．在锐角ABC △中，若4a =，3b =，则边长c 的取值范围是 ▲ ．10．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为1256π的同一球面上，则PA 的长度为 ▲ ． 11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且410S =，187n S =，461n S -=，则n = ▲ ． 12．已知点(1,1)A ，(1,3)B ，圆C ：22(+)(2)16x a y a +--=上存在点P ，使2212PB PA -=，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知正实数a ，b 满足121a b+=，则(1)(1)a b ++的最小值是 . 14．已知数列{}n a 满足*+2+1=,n n n a a a n N -∈，若此数列的前100项的和是8，前200项的和是10，则2016a 的值为 .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知一条直线l 经过点()3,2P ，⑴ 若直线l 的倾斜角是直线230x y -+=的倾斜角的2倍，求直线l 方程；⑵ 若直线l 与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点），求直线l 方程.16．（本题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． ⑴ 求证：AE ⊥BE ；⑵ 设点M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，试在线段CE 上确定一点N ， 使得MN ∥平面DAE .ABDFM17．（本题满分14分）设函数2()f x x x =+，当[1,](*)x n n n N ∈-∈时()f x 的所有整数值的个数为g (n ) ． ⑴ 求g (n )的表达式；⑵ 设322(*)()n n n a n N g n +=∈，若11234(1)n n n S a a a a a -=-+-++-，求n S .18．（本题满分16分）如图，摄影爱好者在某公园A 处，发现正前方B 处有一高度为2.7米的立柱BO ，且AB摄影爱好者的眼睛S 距地面的距离SA 为1.7米，SA 与BO 均与地面垂直.立柱的顶端有一长度为2 米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．⑴ 设=SM a ，=SN b ，求22a b +的值； ⑵ 若在S 处有一视角范围为3π的镜头，在彩杆转动的任意时刻，镜头是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．SMON19．（本题满分16分）已知圆M ：()2244x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 是直线l 上一动点，过点P 作圆的切线PA 、PB ，切点为A 、B ． ⑴ 当∠APB ＝60°时，求点P 的坐标；⑵ 求证：经过B 、P 、M 三点的圆N 必过异于M 点的定点，并求出定点的坐标； ⑶ 求线段AB 长度的最小值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()12n n na n S +=+对任意*n N ∈恒成立. ⑴ 求证：数列{}nS n为等比数列； ⑵ 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；⑶ 若数列{}n b 满足：22n n n a b -⋅=，且关于n 的不等式：()1217log 1610n n n m b b b m ++++≤-+对于一切大于1的自然数n 恒成立，求实数m的取值范围.武进区教育学会2015～2016学年度第二学期期末高一数学试题评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1． ()(),12,-∞-+∞ 2． 3．2 4．5 5．16．[]0,2 7．①④ 8．()1,2- 9．)10．11．11 12． [7,1]- 13． 14．2-二、解答题：（本大题共6道题，计90分） 15．（本小题满分14分）解：⑴设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tan α＝12， tan θ＝tan 2α＝22tan 41tan 3αα=-，………………4分 从而方程为4360x y --=.………………7分⑵设直线方程为a x＋by ＝1，a ＞0，b ＞0，代入P （3，2），得a 3＋b2＝1≥2ab 6，得ab ≥24，………………10分当且仅当32321a ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即64a b =⎧⎨=⎩时取“=”，………………12分从而S △AOB ＝21ab ≥12，:164x yl ∴+=即23120x y +-=，∴方程为23120x y +-= ………………14分 16．（本题满分14分）解：⑴因为AD ⊥平面ABE ，AD BC ，所以BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE BC ⊥. ………………2分又因为BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE BF ⊥，………………4分DAB又BF BC B =，所以又因为BE ⊂平面⑵在ABE ∆中，过点MG AE 交BE GN BC 交EC 于点N ，连结MN ，则由比例关系易得//MG AE ，MG ADE ，AE ⊂所以MG ………………同理GN 又MG GN G =，所以平面又因为MN 的一个三等分点17．（本题满分14分）解：⑴当[1,](*)x n n n N ∈-∈时，函数x x x f +=2)(单调递增， ………………2分 ∴)(x f 的值域为22[,](*)n n n n n N -+∈，………………4分 ∴()21(*)g n n n N =+∈． ………………6分⑵3222()n n n a n g n +==． ………………8分 ① n 为偶数时，])1[()43()21(22222214321n n a a a a a a S n n n --++-+-=-++-+-=- ()()(1)=1+23+4(1)=2n n n n +----+-；………………10分 ②当n 为奇数时，()1321(1)+()()12+3+(1)2n n n n n S a a a a a n n -+=-++-=++-+=，………………12分A∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=为偶数）（为奇数）n n n n n n S n 2)1((2)1(2)1()1(1+-=-n n n . ………………14分 18．（本题满分16分）解：(1) 作SC 垂直OB 于C ，则四边形SABC 为矩形，1.7BC ∴=，SC AB =1OC OB BC ∴=-=，2SO ∴==， ………………2分在SOM ∆中，2222cos SM OM OS OM OS SOM =+-⋅⋅∠，即254cos a SOM =-∠， 在SON ∆中，2222cos SN ON OS OM OS SON =+-⋅⋅∠，即254cos b SON =-∠， ………………6分SOM SON π∠+∠=，cos cos 0SOM SON ∴∠+∠=，2210a b ∴+=. ………………8分(2) 在SOM ∆中，2246cos =22a b MSN ab ab+-∠=， ………………10分 22631cos 52MSN a b ∴∠≥=>+， ………………13分又()0,MSN π∠∈，3MSN π∴∠<， ………………15分故摄影者可以将彩杆全部摄入画面． ………………16分19．（本题满分16分）解：⑴由题可知，圆M 的半径r ＝2，设P （2b ，b ）， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°，60APB ∠=︒，30APM ∴∠=︒，24MP MA ∴==， ………………2分又因MP4=＝2r ，解得0b =或85， ………………4分故点P 的坐标为()0,0或168,55⎛⎫⎪⎝⎭； ………………5分⑵因为∠MAP ＝90°，所以经过B 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭， ………………7分 即()22(24)40x y b x y y +--+-=，由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩， ………………9分解得04x y =⎧⎨=⎩（舍）或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点84,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；………………10分⑶因圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即 222(4)40x y bx b y b +--++= ……①圆M ：()2244x y +-=即228120x y y +-+= ……②②－①得圆M 方程与圆N 相交弦所在直线m 方程为2(4)1240bx b y b +-+-=， ………………12分 点M 到直线m的距离d =， ………………13分相交弦长即AB ===，……………15分 当45b =时，AB.………………16分 20．（本题满分16分）解：⑴证明 将a n +1=S n +1-S n 代入已知na n +1=(n +2)S n ;整理得11++n S n =2×n Sn (n ∈N *). ………………2分又由已知11S=1，所以数列{}nS n是首项为1，公比为2的等比数列. ………………4分 ⑵解 由⑴的结论可得nS n=2n -1，∴S n =n ·2n -1， 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n ·2n -1-（n -1）·2n -2=2n -2（n +1）. ………………6分 由已知，a 1=1符合上式，∴a n =(n +1)2n -2(n ∈N *). ………………8分(3)()22122n n n n b --+⋅=，，11n b n ∴=+，设121111221n n n n T b b b n n n +=+++=++++++， ………………10分 则11111123212223n T n n n n n +=++++++++++， 111111022*******n n T T n n n n n +∴-=+-=-<+++++，1n n T T +∴<， ………………12分1n >，()21114734560n max T T ∴==++=，()4717log 160610m m ∴≤-+，即()1log 12m m -≥， ………………14分 11m m >⎧⎪∴⎨-≥⎪⎩21310m m m >⎧⎨-+≥⎩，解得m ≥，故实数m 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. ………………16分。