4.2.2_最大值、最小值问题
什么是最大值和最小值定理问答
什么是最大值和最小值定理问答问题1：什么是最大值和最小值定理？最大值和最小值定理是微积分中的一个重要定理，它指出在闭区间上连续的函数中，函数一定会在这个闭区间的某个点取得最大值和最小值。
问题2：最大值和最小值定理的形式化表述是什么？最大值和最小值定理可以形式化地表述为：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在闭区间[a,b]内至少存在一点c，使得$f(c) \\geq f(x)$对所有$x \\in [a, b]$都成立，f(c)是f(x)在[a,b]上的最大值。
同理，存在一点d，使得$f(d) \\leqf(x)$对所有$x \\in [a, b]$都成立，f(d)是f(x)在[a,b]上的最小值。
问题3：最大值和最小值定理的重要性在哪里？最大值和最小值定理为我们对函数的极值进行研究提供了基础。
在微积分和数学分析中，求解函数最大值和最小值是一个重要的问题，通过最大值和最小值定理，我们可以知道函数在什么地方取得最大值或最小值，这对于优化问题和最优化算法有着重要的应用。
问题4：如何利用最大值和最小值定理求解函数的最值？为了利用最大值和最小值定理求解函数的最值，可以按照以下步骤进行：1.首先，确定函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续的；2.然后，计算函数f(x)在闭区间端点a和b处的取值，将这些端点和可能的极值点列在一个表格中；3.然后，求出在上一步中列出的各个点处的函数值，通过比较这些函数值，找出最大值和最小值所对应的点即可。
通过以上步骤，就可以利用最大值和最小值定理求解函数在闭区间上的最大值和最小值。
问题5：最大值和最小值定理和导数有什么联系？最大值和最小值定理和导数之间有着密切的联系。
导数可以帮助我们确定函数的增减性，而函数的最值通常对应着函数的极值点。
因此，通过导数的信息，我们可以在潜在的极值点附近进行搜索，进一步求解函数的最值。
最大值和最小值定理在一定程度上可以视为导数定理的延伸，它提供了在闭区间上连续函数中寻找最值的保证。
高中人教B版辽宁数学必修1 第4章 4.2.2 二次函数的性质与图象
4.2.2 二次函数的性质与图象1．二次函数的概念函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，其定义域为R . 2．二次函数的性质与图象思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？[提示]y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为()A．－7B．1C．17D．25D[因为函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以m8＝－2，即m＝－16，所以y＝4x2＋16x＋5，所以当x＝1时，y＝25.] 2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值C[y＝－2(x＋1)2＋8的图象开口向下，所以当x＝－1时取最大值8，无最小值．]3．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为________．y＝x2－6x＋5[将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5.]4．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上________(填“单调递增”或“单调递减”)．单调递增[因为f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以2m＝0，即m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，因为二次函数对应的抛物线开口向下，所以f(x)＝－x2＋3在(－∞，0)上单调递增．]【例1】()A B C D(2)函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.(3)当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？(1)D(2)1[(1)A图，a＜0，c＜0，－b2a＜0，∴b＜0，∴abc＜0，不合题意．B图，a＜0，c＞0，－b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，不合题意．C图，a＞0，c＜0，－b2a＜0，∴b＞0，∴abc ＜0，不合题意．D 图，a ＞0，c ＜0，－b2a ＞0，∴b ＜0，此时abc ＞0满足题意，故选D. (2)y ＝x 2－1的图象向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图象，则m ＝1.](3)解：由二次函数的定义知⎩⎨⎧2－m ≠0，m 2＋m －4＝2，即⎩⎨⎧m ≠2，m 2＋m －6＝0，解得⎩⎨⎧m ≠2，m ＝－3或m ＝2，所以m ＝－3.所以当m ＝－3时，函数y ＝(2－m )xm 2＋m －4＋(m ＋8)x 为二次函数．观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定c 的符号(值)，对称轴的位置决定－b2a 的符号.另外，还要注意与x 轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.1．在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )A BC DD [当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 递增，且在y 轴上的截距为正，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 递减，且在y 轴上的截距为负，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向上，对称轴在y 轴左侧．满足上述条件的只有D 选项．]【例a 的取值范围是________．(2)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝2对称，则b ＝________.(3)已知函数f (x )＝－12x 2－3x －52.①求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； ②已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝158，不计算函数值求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52；③不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154的大小．[思路探究] (1)f (x )的单调性⇒对称轴与区间关系． (2)图象对称⇒对称轴⇒定义域关于对称轴对称．(3)二次函数配方法⇒顶点、对称轴⇒利用对称性求值比较大小． (1)(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)10 [(1)f (x )的对称轴方程为x ＝－(a ＋1)， 又因为f (x )在区间[－2,3]上是单调函数， 所以－(a ＋1)≤－2或－(a ＋1)≥3. 解得a ≥1或a ≤－4，所以a 的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知函数对称轴为2，且a ，b 关于x ＝2对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝2，a ＋b ＝2×2，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝10，所以b 的值为10.](3)解：f (x )＝－12x 2－3x －52＝－12(x 2＋6x ＋5) ＝－12(x ＋3)2＋2.①顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x ＝－3.②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f (－3.5)＝f (－3－0.5)＝f (－3＋0.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝158. ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94. ∵－14，－94∈[－3，＋∞)，而f (x )在[－3，＋∞)上是减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154.1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．2．比较二次函数函数值的大小的方法(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小． (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大． 3．二次函数图象的对称轴的三种求法(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b 2a . (2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．2．(1)设函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1.若对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．(1)[－5，＋∞) [二次函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f(x1)－f(x2)x1－x2>0恒成立，说明f(x)在[3，＋∞)上为增函数．又f(x)开口向上，所以－a－12≤3，解得a≥－5，所以a的取值范围是[－5，＋∞)．](2)解：函数f(x)对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，所以二次函数的对称轴为x＝2，又开口向上并且|1－2|<|4－2|，所以f(2)<f(1)<f(4).[探究问题1．如果一个二次函数的对称轴在一个定区间内，如何求其最值？提示：函数在对称轴处取得最值．2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值．提示：∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.【例3】已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值．[思路探究]首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴，再看各区间内是否包含对称轴(数值)，从而确定各区间的性质后求其最值．[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∴抛物线的对称轴为x＝1.(1)∵x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(1)＝1.∵f(0)＝2<f(4)＝10，∴当x＝4时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(4)＝10.(2)∵x＝1∉[2,3]．∴f(x)在[2,3]上是单调增函数．∴当x＝2时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(2)＝2，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (x )max ＝f (3)＝5.(变条件)本题中解析式不变，求“当x ∈[t ，t ＋1]时，f (x )的最小值g (t )”． [解] f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t ＋1<1，即t <0时，函数在[t ，t ＋1]上为减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1； 当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上为增函数， g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1(t <0)，1(0≤t <1)，t 2－2t ＋2(t ≥1).求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[m ，n ]上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值.若对称轴在区间[m ，n ]外，则f (x )在[m ，n ]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间[m ，n ]内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m ，n ]端点处取得.1．本节课的重点是二次函数的图象与性质，难点是二次函数性质的应用． 2．本节课要掌握的规律(1)根据函数的解析式确定函数图象． (2)利用函数的性质求参数的范围． (3)求二次函数的最值问题．3．本节课的易混点是当二次函数的对称轴不确定时求函数的区间最值问题.1．思考辨析(1)若函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数，则a ＝c ＝0.( )(2)二次函数y ＝ax 2＋c 在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数．( ) [解析] (1)因为y ＝ax 2＋bx ＋c 是奇函数，对任意的x 都有2ax 2＋2c ＝0，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数的条件是a ＝c ＝0.(2)当a ＞0时，函数在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数；当a ＜0时，函数在y 轴左侧是增函数，在右侧是减函数．[答案] (1)√ (2)×2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )A B C DC [由y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限可知a ＜0，b ＜0，所以y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下、对称轴方程x ＝－b2a ＜0，结合图选项可知，选C.]3．函数f (x )＝－x 2＋2x －3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－2 B ．－2，－6 C ．－2，－3D ．－3，－6B [∵f (x )＝－(x －1)2－2，∴当x ＝1时有最大值－2，当x ＝3时有最小值－6.]4．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1.(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，不计算函数值求f (0)；(3)不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154的大小． [解] f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23.(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，所以结合二次函数的对称性可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1.(3)由f (x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23知二次函数图象开口向上，且对称轴为x ＝－13，所以离对称轴越近，函数值越小．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－⎝⎛⎭⎪⎫－13<⎪⎪⎪⎪⎪⎪154－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154.。
导数极值最值问题
导数极值最值问题1. 引言在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它表示了函数在某一点的变化率。
导数在许多实际问题中都有广泛的应用，其中之一就是求解导数极值最值问题。
本文将介绍导数极值最值问题的基本概念、求解方法和实际应用。
2. 导数极值最值问题的基本概念导数极值最值问题是指在给定函数的定义域内，寻找函数取得最大或最小值时对应的自变量取值。
其中，导数起到了至关重要的作用。
2.1 极大值和极小值在函数曲线上，如果某一点处的函数值比该点邻近的其他点都大（或都小），那么这个点就被称为极大值点（或极小值点）。
而相应的函数值则称为极大值（或极小值）。
2.2 导数与变化率导数可以理解为函数曲线上某一点处切线斜率的极限。
它表示了函数在该点附近的变化率。
当导数为正时，函数递增；当导数为负时，函数递减；当导数等于零时，则可能存在极值点。
2.3 极值的必要条件对于可导函数来说，极值点一定满足导数为零的条件。
这是因为在极值点处，函数的变化率为零。
3. 求解导数极值最值问题的方法为了求解导数极值最值问题，我们可以采用以下步骤：3.1 确定定义域首先要确定函数的定义域，即函数在哪个区间内进行讨论。
3.2 求解导数对给定函数进行求导，得到它的导函数。
3.3 导数为零的点求解导函数为零的点，即找到可能存在极值点的位置。
3.4 导数符号变化通过分析导数符号变化来确定极大值和极小值点。
当导数从正变负时，存在极大值；当导数从负变正时，存在极小值。
3.5 极大值和极小值验证将求得的可能存在极大、极小值点代入原函数中验证是否满足条件。
同时还需考虑边界情况和特殊点。
4. 导数极值最值问题的实际应用导数极值最值问题在实际中有广泛应用，下面以两个例子来说明。
4.1 最大利润问题假设一个公司生产某种商品，销售价格为P（元/件），销售量为Q（件）。
成本函数为C(Q)（元）。
我们希望确定最佳的销售量，使得公司的利润最大。
根据经济学原理，利润等于总收入减去总成本。
§2 2.2 最大值、最小值问题
一、预习教材·问题导入 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学， 再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题 1：试说明 y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值． 问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是 f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的 最大值是 f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能 在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中．
令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
二、归纳总结·核心必记 1．最值点 (1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)． 2．最值 函数的 最大值 与 最小值 统称为最值．
第四章 §2 2.2 最大值、最小值问题
面积、体积(容积)的最值问题
[例 3] 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的 一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科 技工业园．已知 AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC| ＝4 km，|AO|＝2 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点 且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的两边分别落在 AB，BC 上，且一个顶点落在曲线段 OC 上，应如何规划才能使矩形工业园 的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)．
(2)当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立，只需使 f(x)在[－1,2]上的 最大值小于 m 即可．
由(1)知 f(x)极大值＝f(－23)＝5＋2227， f(x)极小值＝f(1)＝72. 又 f(－1)＝121，f(2)7. 所以 m>7，即 m 的取值范围为(7，＋∞)．
求函数的最值 [例 1] 求下列函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π] [思路点拨] 先求函数在给定区间的极值，然后再与端点 值比较，即可确定函数的最值．
[精解详析] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
元，则总造价的最小值为
()
A．400 元
B．1 200 元
C．1 600 元
D．2 800 元
解析：设总造价为 y 元，池底的一边长 x 米，池底的面积为 8÷2 ＝4(平方米)，池底的另一边长为4x米，池壁的面积为 4x＋4x平 方米，故有 y＝4×300＋4x＋4x×100＝400x＋4x＋1 200(x＞ 0)．y′＝4001－x42， 令 y′＝0 得 x＝2，由 y′ ＞0 得 x ＞2，由 y′＜0 得 0＜x＜2， 即 y 在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当 x＝2 时，y 取得最小值，且 ymin＝2 800. 答案：D
最大和最小问题
最大与最小问题知识背景人们经常考虑有关“最”の问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等等问题。
这类求最大值、最小值の问题，亦称极值问题，是一类重要の典型问题，我们在实际生产和生活中都会经常遇到。
在本讲义の学习中，我们经常要用到以下几个重要结论﹕1.两个数の和一定，那么当这两个数の差愈小时，它们の积就愈大。
2.三个数a、b、c，如果a+b+c是定值时，只有当a=b=c 时，a b cの积才能最大，三个数越接近，积越大。
3.两个数の积是定值时，那么当两个数の差最小时，它们の和最小。
在所有周长相等のn边形中，以正n边形の面积最大。
在周界相等の封闭平而图形中，以圆の面积最大。
在棱长の和是定值の长方形中，以长、宽、高都相等の长方体(即正方体)の体积最大。
在所有表面积是定值の几何体中，球体の体积最大。
重点难点本节所涉及の题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一个变量の最大值或最小值。
如何根据题意，灵活运用不同の方法，求出表达の形式，再求出最值 (最大值或最小值)，或直接求出最值是本讲の重点。
最值问题亦称极值问题，解决这类问题要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单の情况或数字开始，找出规律，探索问题，进而寻求答案。
学法指导最大和最小都是在某一固定范围内比较の结果。
固定の范围就是一个定值，抓住这个「定值」就抓住了解题の关键。
解决极值问题の策略，常常因题而异，归纳起来主要有以下四个「突破口」：从极端情况入手；用枚举比较入手；由分析推理入手；凭构造方程入手。
例题练习例1.一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部の钥匙和锁？﹝1987年北京巿第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题﹞从最坏の情况考虑，开第一把钥需要试3次从最坏の情况考虑，开第二把钥需要试2次从最坏の情况考虑，开第三把钥需要试1次开第四把钥，剩下1锁1钥匙，不必尝试，必然成功！要试の次数是：3＋2＋1＝6例2.只有1和它本身为约数﹡の数叫质数，例如2, 3, 5, 7, 11 ……都是质数。
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式 由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则 的最大值为.解：设 ，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（ ）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设 ，则从而可知，当时，解：由 得解得由是非负实数，得 , 解得又 ，故， 三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛） 实数满足.则 z 的最大值是.解：由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即 ，整理得 解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根，则 ,因为 ，所以 ，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。
最大值与最小值教案
最大值与最小值教案一、教学目标：1. 让学生理解最大值和最小值的概念。
2. 培养学生寻找数据中的最大值和最小值的能力。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 最大值和最小值的概念。
2. 如何在数据中找到最大值和最小值。
3. 实际问题中的最大值和最小值的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：最大值和最小值的概念，如何在数据中找到最大值和最小值。
2. 教学难点：实际问题中的最大值和最小值的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生思考和探索。
2. 利用实例讲解，让学生更好地理解最大值和最小值的概念。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 准备一些实际问题，让学生解决。
2. 准备一些数据，让学生寻找最大值和最小值。
3. 准备教学PPT，展示最大值和最小值的应用实例。
六、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考最大值和最小值的概念。
2. 新课导入：介绍最大值和最小值的概念，解释其在数学和实际生活中的应用。
3. 实例讲解：通过一些具体的例子，展示如何找到数据中的最大值和最小值。
4. 练习时间：让学生分组讨论，尝试解决一些实际问题，找到其中的最大值和最小值。
七、课堂练习：1. 给出一些数据，让学生找到其中的最大值和最小值。
2. 给出一些实际问题，让学生运用最大值和最小值的概念解决。
3. 让学生自主设计一些问题，寻找最大值和最小值。
八、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固最大值和最小值的概念。
九、教学反思：1. 反思本节课的教学内容，是否清晰易懂，学生是否掌握最大值和最小值的概念。
3. 反思学生的学习情况，了解学生在最大值和最小值方面的掌握程度，针对性地进行辅导。
十、拓展与延伸：1. 引导学生思考最大值和最小值在其他数学领域的应用，如优化问题、函数图像等。
2. 让学生尝试解决更复杂的实际问题，提高最大值和最小值的应用能力。
3. 推荐一些相关的数学书籍或资源，激发学生对最大值和最小值的兴趣和探究欲望。
数字的最大值与最小值
数字的最大值与最小值数字的最大值与最小值在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
无论是在数学领域还是在其他应用领域，了解数字的最大和最小值是解决问题的关键。
本文从数学、统计学和计算机科学的角度探讨数字的最大值与最小值的概念、计算方法以及应用场景。
一、最大值与最小值的概念在数学中，最大值指的是一组数字中最大的那个数字，而最小值是指一组数字中最小的那个数字。
例如，在数字1、3、5、7、9中，最大值是9，最小值是1。
最大值与最小值是描述一组数字的极值。
二、最大值与最小值的计算方法计算一组数字的最大值与最小值可以使用各种方法。
以下是几种常见的计算方法：1. 遍历比较法：通过遍历一组数字并将每个数字与当前最大值和最小值进行比较，来找出最大值和最小值。
这种方法适用于小规模的数字集合。
2. 排序法：将一组数字进行排序，最大值就是排序后的最后一个数字，最小值就是排序后的第一个数字。
这种方法适用于较大规模的数字集合，但需要进行排序操作。
3. 数学函数法：利用数学函数来计算最大值与最小值。
例如，在计算机科学中，可以使用max()和min()函数来求解最大值和最小值。
这种方法通常使用较多，因为它简单、高效。
三、最大值与最小值的应用场景1. 数据分析与统计学：在数据分析与统计学中，最大值和最小值可以帮助我们了解数据的分布情况以及异常值的存在。
例如，在销售数据中，最大值和最小值可以告诉我们某个产品的最高销量和最低销量。
2. 程序设计与算法：在程序设计与算法中，最大值和最小值可以用于解决各种问题。
例如，找出一个数组中的最大数或最小数，或者确定一个数是否在某个范围内。
这些问题可以通过遍历比较、排序或数学函数等方法来解决。
3. 游戏设计：在游戏设计中，最大值和最小值可以用于确定游戏的得分、时间、速度等参数。
通过设定最大和最小值，可以控制游戏的难度和挑战性。
四、总结数字的最大值与最小值在数学、统计学和计算机科学中有着广泛的应用。
了解数字的最大值和最小值可以帮助我们解决各种问题，从数据分析到算法设计，从游戏开发到实际应用中的各种领域。
新教材人教A版高中数学必修第一册4.2.2指数函数的图象和性质 教学课件
二、忽视对底数的讨论致错 [典例] 函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为12，则 a＝ ________. [解析] (1)当 a＞1 时，函数 f(x)＝ax 在[0,1]上是增函数． 所以当 x＝1 时，函数 f(x)取最大值； 当 x＝0 时，函数 f(x)取最小值． 由题意得 f(1)－f(0)＝12，即 a－a0＝12， 解得 a＝32.
一、“同为幂值，差别这么大”——指数函数与幂函数的区别 指数函数 y＝ax 与幂函数 y＝xα，其函数值都是幂的形式．但是自变量的位置发生
了变化，其图象性质也会有变化． [典例] 一个函数 y＝f(x)是幂函数或指数函数，过点(－2，14)，研究这个函数的定义 域、值域、单调性，如果该函数具有奇偶性，能确定 f(x)是什么函数吗？
探究三 指数函数性质的综合应用 [例 3] 已知 f(x)＝x(2x－1 1＋12)． (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求证：f(x)>0.
[解析] (1)由 2x－1≠0 得 2x≠20，故 x≠0， ∴函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
答案：D
3．y＝3x2＋1 的值域是________． 解析：设 t＝x2＋1，则 t≥1，∵y＝3t 是增函数，∴y＝3t≥31＝3. 答案：[3，＋∞) 4．对任意实数 m、n，当 m＞n 时，恒有 am＜an，则 a 的取值范围为________． 答案：(0,1)
探究一 利用指数函数单调性比较大小 [例 1] 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5 和 1.53.2； (2)0.6－1.2 和 0.6－1.5； (3)1.50.3 和 0.81.2.
[解析] 若 y＝f(x)为指数函数，设为 y＝ax(a＞0，a≠1)． ∵函数过点(－2，14)， ∴14＝a－2， ∴a＝2. f(x)＝2x，定义域为 R. 值域为(0，＋∞)． 单调增函数，是非奇非偶函数．
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1 2 1 3 200－ x x－(50 000＋200x)＝－ x ＋24 000x 5 5
－50 000(x≥0)． 3 2 由 f′(x)＝－ x ＋24 000，令 f′(x)＝0， 5 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．
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因为 f(x)在[0，＋∞)内有意义，则有且只有当 x＝200 时 1 f′(x)＝0，且它就是最大值点，最大值为 f(200)＝－ ×2003 5 ＋24 000×200－50 000＝3 150 000. 故每月生产 200 吨产品时，利润达到最大，最大利润为 315 万元．
3
(1)求函数 f(x)的单调递增、递减区间； (2)当 x∈[－1,2]时， f(x)＜m 恒成立， 求实数 m 的取值范 围．
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解析：
(1)由已知得 f′(x)＝3x2－x－2，
2
2 令 f′(x)＝0，即 3x －x－2＝0，解得 x＝1 或 x＝－ ， 3 ∴当 当
2 x∈－∞，－3时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
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1．函数极值的判定 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧 那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧 那么f(x0)是极小值．
f′(x)＞0 f′(x)＜0
，右侧 f′(x)＜0
，右侧 f′(x)＞0
，
，
2．函数y＝x2＋4x＋4在[－3,4]上的最大值为36，最小值为 0 .
3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨) 1 2 与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p＝24 200－ x ， 5 且生产 x 吨的成本为 R＝50 000＋200x(元)． 问该厂每月生产 多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
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解析： 依题意，每月生产 x 吨时的利润为
2 x∈－3，1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
2 ∴f(x)的递增区间为－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间 2 为－3，1.
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(2)当 x∈[－1,2]时，f(x)＜m 恒成立， 只需使 f(x)在[－1,2]上的最大值小于 m 即可． 由(1)知
2.2 最大值、最小值问题
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1.理解函数最值的概念． 2.掌握利用导数求函数最值的方法． 3.掌握利用导数求最值的步骤.
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1.求函数在[a，b]上的最值．(重点) 2.函数的极值与最值的区别与联系．(易混点) 3.利用函数的单调性，图象等综合考查．(难点)
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而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54， ∴x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54. 要使f(x)＜2c恒成立，只要c＋54＜2c即可． ∴c＞54. ∴c的取值范围为(54，＋∞)．
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1 2 2.设 f(x)＝x － x －2x＋5. 2
2 22 7 f(x)极大值＝f－3＝5＋ ，f(x)极小值＝f(1)＝ ， 27 2
11 又∵f(－1)＝ ，f(2)＝7， 2 ∴f(x)在[－1,2]上的最大值为 f(2)＝7， ∴m＞7，即 m 的取值范围为(7，＋∞)．
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某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米， 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个 桥墩的工程费用为 256 万元．距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有 桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
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1．函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部 对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情 况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． 2．函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数 值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．
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3．如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值 就是最大值，极小值就是最小值．
∴a＝3.
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(2)由a＝3知f(0)＝3，f(2)＝－5 ∴f(0)＝3是f(x)在[－2,2]上的最大值．
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1 3 (2011· 江西卷，20)设 f(x)＝ x ＋mx2＋nx. 3 (1)如果 g(x)＝f′(x)－2x－3 在 x＝－2 处取得最小值－ 5，求 f(x)的解析式． (2)如果 m＋n<10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长 度是正整数，试求 m 和 n 的值．(注：区间(a，b)的长度为 b －a)
答案： C
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求函数最值的步骤：
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求下列各函数的最值． (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝sin
π π x－x，x∈－2，2.
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[解题过程] (1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： (－3， (－ x 0 (0,1) －3 －1 1,0) －1) f′(x) f(x) －60 ＋ 0 极大 值4 － 0 极 小 值3
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解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际 问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利 用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模 型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回 到实际问题，其思路如下：
Pag. x
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解析： (1)由题意得 g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋ m－1)2＋(n－3)－(m－1)2， 已知 g(x)在 x＝－2 处取得最小值－5，
m－1＝2， 所以 n－3－m－12＝－5， m＝3， 解得 n＝2.
1 3 故所要求的解析式为 f(x)＝ x ＋3x2＋2x. 3
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2．函数f(x)＝x3－3x＋1的闭区间[－3,0]上的最大值、最小值 分别是( )
A．－1、－1
C．3、－17 解析： ±1
B．1、－17
D．9、－19
f(x)＝3x 2 －3，令f(x)＝3x 2 －3＝0，∴x 2 ＝1，∴x＝
f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，∴最大值3.最小值－17.
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[解题过程]
(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值， ∴－1,3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根， 2 －1＋3＝3a， ∴ －1×3＝b， 3
a＝3， ∴ b＝－9.
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(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，当x变 化时，有下表： (－∞，－ x 3 －1 (－1,3) (3，＋∞) 1) f′(x) f(x) ＋ 0 极大值c ＋5 － 0 极小值c －27 ＋
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1.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37.
(1)求实数a的值； (2)求f(x)在[－2,2]上的最大值． 解析： (1)∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. ∵f(－2)＝a－40，f(0)＝a，f(2)＝a－8， 比较知f(x)的最小值是f(－2)， 由已知f(－2)＝a－40＝－37，
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f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数； 当 64＜x＜640 时， f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数， 所以 f(x)在 x＝64 处取得最小值． m 640 此时 n＝ －1＝ －1＝9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．
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x f′(x) f(x) (－∞，－ ) ＋
2
－ 0
极大
(－ ，) －
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(，＋∞) 0
极小
＋
所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋ ∞)． 因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2， 所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值为－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值为 18.
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已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． (1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2c恒成立，求c 的取值范围．
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(1)由函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值，知导函数 有两根，利用韦达定理可求出 a，b. (2)等价于求 f(x)在[－2,6]上的最大值．
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1 0 极大 值4
(1,2) 2 － － 5
＋
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝cos x－1≤0， ∴f(x)＝sin x－x
π π 在－2，2上是减函数．
π π ∴f(x)max＝f－2＝ －1， 2 π π f(x)min＝f2＝1－ . 2
(1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m，