19.4课题学习 重心

正n边形的重心就是它的对称轴的交 边形的重心就是它的对称轴的交
探究——等边三角形是轴对称图形， 等边三角形是轴对称图形， 探究 等边三角形是轴对称图形 ①它有几条对称轴？ 它有几条对称轴？ ②与三条中线有什么关系？ 与三条中线有什么关系？ ③等边三角形的重心与它三条对称轴的交点有什么关系？ 等边三角形的重心与它三条对称轴的交点有什么关系？ ④由此能猜想正多边形的重心是什么？ 由此能猜想正多边形的重心是什么？
F G B D
E
C
三角形重心的特点： 三角形重心的特点：
A 分别取 、CG的中点 、I，连结 分别取BG、 的中点 的中点H、 ，连结EF,FH,HI,IE
∵EF是△ABC的中位线 是 的中位线 ∥ 1 BC ∴EF ＝ 2 ∵HI是△GBC的中位线 是 的中位线 ∥ 1 BC ∴HI ＝ 2 ∥ ∴ EF＝ HI ∴四边形EFHI是平行四边形 四边形 是平行四边形 D
线段的重心就是线段的中点。 线段的重心就是线段的中点。
2、平行四边形（矩形、菱形、正方形）的重心 、平行四边形（矩形、菱形、正方形） 大胆猜想： 大胆猜想： 探究过程： 探究过程： 平行四边形等的重心是什么？ 平行四边形等的重心是什么？
探究
材料——两根长短不一的均质玻 两根长短不一的均质玻 材料 方法——悬挂平衡法 悬挂平衡法 方法 结 璃棒、 璃棒、细线 （演示） 演示）
论： 平行四边形等的重心就是它的两条对角线的交点
七年级 数学 八年级 数学
富阳市郁达夫中学 富阳郁达夫中学
探究： 探究：几种常见规则图形的重心
活动：（ ） 活动：（1）如果用一个手指顶住一块均匀的正方形 ：（ 纸板，找到它的平衡点。 纸板，找到它的平衡点。 （2）探索这个平衡点与正方形对角线交点 ） 的关系， 的关系，你有什么发现 ？ O •
2、从重力分析角度认识 、 任何有固定形状的物体，不论如何放置， 任何有固定形状的物体，不论如何放置， 其物体重力的作用线， 其物体重力的作用线，都通过物体上一个确定 重心。 的点，这一点称为物体的重心 的点，这一点称为物体的重心。 特征一: 物体的重心相对物体的位置 特征一: 是一定的， 是一定的，它不会随物体放置的位置改变 而改变。 而改变。 特征二:随着物体位置的变化 其重力 特征二:随着物体位置的变化,其重力 线相交于一点. 作用 线相交于一点
的中点M， 的中点 的中点N， （提示：作BO的中点 ，CO的中点 ， 提示： 的中点 连接ED， 连接 ，EM，MN，ND） ， ， ）
A D O B M N C
E
探究： 探究：几种常见规则图形的重心
5、正多边形的重心 、
正五边形的重心吗？ （1）你能找到正五边形的重心吗？ ）你能找到正五边形的重心吗 任意五边形的重心吗？ （2）你能找到任意五边形的重心吗？ ）你能找到任意五边形的重心吗 （3）你能找到正六边形的重心吗？ 正六边形的重心吗？ ）你能找到正六边形的重心吗 任意六边形的重心吗？ （4）你能找到任意六边形的重心吗？ ）你能找到任意六边形的重心吗 任意多边形的重心吗？ （5）你能找到任意多边形的重心吗？ ）你能找到任意多边形的重心吗 O • O •
探究： 探究：几种常见规则图形的重心
4、圆的重心 、
O •
圆的重心就是它的圆心。 圆的重心就是它的圆心。
任意画一个三角形，再画出三条中线， 探究 任意画一个三角形，再画出三条中线， 看三条中线是否相交与一点。 看三条中线是否相交与一点。
A
量一量： 和 的长， 量一量：DG和AG的长， 的长 它们有什么关系？ 它们有什么关系？EG 和BG、FG和CG呢？ 、 和 呢
F
C D G
6、梯形ABCD的周长为 、梯形 的周长为40cm，上底 的周长为 ， CD=7cm,DE∥BC,G、F分别为 、AE 分别为AD、 ∥ 、 分别为 中点， AED与 AFG的 中点，且GF=0.5BC，求△AED与△AFG的 ， B 周长。 周长。
或பைடு நூலகம்
三角形的重心到一边 中点的距离等于这边 上中线长的三分之一。 上中线长的三分之一。
A E G B D F
G是∆ABC的重心 AG BG CG 2 = = = ⇒ GD GF GE 1 GD : AG : AD = 1 : 2 : 3
C
5、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=900， 、如图，在梯形 中 ∥ ， ∠ E、F分别是 、CD的中点， 分别是AB、 的中点 的中点， 、 分别是 求证： 求证：EF =
1 ( AB − CD ) 2
D
F
C
A
M
E
N
B
已知： 已知： ABC中AB = AC, AD ⊥ BC, AD与 ∆ BE G 中线 相交于点 ; AD = 18cm, GE = 5cm, BC的长。 求： 的长。
A
E G B C
?
D
拓展训练
已知：四边形 是直角梯形， 已知：四边形ABCD是直角梯形， AB=8cm, 是直角梯形 AD=24cm,BD=26cm,点P从A出发，以1cm/s 点 从 出发 出发， 的速度向D运动， 出发， 的速度向 运动，点Q从C出发，以3cm/s的速 运动 从 出发 的速 度向B运 动，其中一动点达到端点时，另一动 其中一动点达到端点时， 度向 运 点随之停止运动。从运动开始，经过多少时间， 点随之停止运动。从运动开始，经过多少时间， 四边形PQCD是平行四边形？成为等腰梯形？ 是平行四边形？成为等腰梯形？ 四边形 是平行四边形
结
论
正多边形的重心是它的对称轴的交点。 正多边形的重心是它的对称轴的交点。
总之，一个规则多边形的重心就是它的几何中心。 总之，一个规则多边形的重心就是它的几何中心。
确定不规则物体的重心的方 法．
已知： Rt 已知： ∆ACB, ∠ACB = 90 , AC = 4, BC = 3,
o
G是∆ABC的重心 ;
生活情景： 生活情景：
支撑法 验重心 ！
例如四边形木板，我们可以找到一点， 例如四边形木板，我们可以找到一点，如果用 一个手指顶住这点，木板会保持平衡，这个平衡 一个手指顶住这点，木板会保持平衡， 点就是这块木板的重心。 点就是这块木板的重心。
几种常见图形的重 1、线段的重心 、 心
大胆猜想：线段的重心在什么？ 大胆猜想：线段的重心在什么？ 探究过程： 探究过程： 探究 材料——一根均质玻璃棒、细线 材料 一根均质玻璃棒、 一根均质玻璃棒 手指平衡法 方法——平衡法 平衡法 方法 悬挂平衡法 （演示） 演示） 结 论： 线段的重心就是线段的中点
D

5 ⇒ CG = 3
B
3
C
3
小结
1.找重心常用的几种方法： 1.找重心常用的几种方法： 找重心常用的几种方法 （1）支撑法 （2）悬挂法 （3）利用总结出的规律画图法 2.几种常见规则图形的重心。 2.几种常见规则图形的重心。 几种常见规则图形的重心 （1）线段的重心就是线段的中点。 ）线段的重心就是线段的中点。 （2）平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点。 ）平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点。 （3）三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心。 ）三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心。 边形的重心就是它的对称轴的交点。 （4）正n边形的重心就是它的对称轴的交点。 ） 边形的重心就是它的对称轴的交点 （5）圆的重心就是它的圆心。 ）圆的重心就是它的圆心。
F G H I
E
B
C
∴EG=HG,FG=IG ∴EG:GB=1:2,FG:GC=1:2
三角形的重心把中线分成1： 的两部分 的两部分。 三角形的重心把中线分成 ：2的两部分。
是边AC， 上的 探究：在⊿ABC中，BD，CE是边 ，AB上的 中 ， 是边 中线， 与 相交于点 相交于点O， 与 的长度有 中线，BD与CE相交于点 ，BO与OD的长度有 什么关系？ 什么关系？
人都有心！ 人都有心！而世界上所有没有 生命的固态物体都有心吗？ 生命的固态物体都有心吗？
19.4
课题学习 重心
地调学校数学教研组
新课引入
杂技演员头上的碗， 杂技演员头上的碗，顶杆上的碟子掉不 下来是由于它们保持着一种平衡． 下来是由于它们保持着一种平衡． 怎样才能达到平衡？ 怎样才能达到平衡？ 试一试：怎样用一根手指平衡地顶起一本书？ 试一试：怎样用一根手指平衡地顶起一本书？
到直角顶点C的距离 ； 求：点G到直角顶点 的距离 到直角顶点 的距离GC；
A
解：Rt∆ACB, ∠ACB = 90 ⇒ AB = 5 5 AC = 4, BC = 3 = ⇒ CD= 2 CD是中线 CD是中线 G是∆ABC的重心⇒ CG = 2 CD
o
4
G
你能说出平行 你能说出平行 四边形的重心 在什么位置 吗？ ！
平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点。 平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点。
3、三角形的重心 、 大胆猜想： 大胆猜想： 探究过程： 探究过程： 探究——仍然采用平衡法可行吗？有没有更好的方法呢？ 仍然采用平衡法可行吗？有没有更好的方法呢？ 探究 仍然采用平衡法可行吗 材料——三角形木板、重锤、铅笔、刻度尺、细线等 三角形木板、重锤、铅笔、刻度尺、 材料 三角形木板 方法——悬挂重力法 悬挂重力法 方法 （演示） 演示） 三角形的重心是什么？ 三角形的重心是什么？
3.三角形的重心把中线分成 ：2的两部分。 三角形的重心把中线分成1： 的两部分 的两部分。 三角形的重心把中线分成
中线的交点叫做三角形的重心。 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心。
三角形的重心定理
三角形的重心与 顶点的距离等 于它与 对边中点 距离的两倍。 距离的两倍。