高考数学总复习课件12.3 几何概型.ppt

解 设事件D为“作射线CM,使|AM|>|AC|”.
在AB上取点C′使|AC′|=|AC|,因为△ACC′是等
腰三角形,所以 ACC 180 30 75,
2
A
90 75
15, Ω
90, P(D)
15 90
1. 6
探究提高 几何概型的关键是选择“测度”,如本例
以角度为“测度”.因为射线CM落在∠ACB内的任意
阴影部分的梯形,其面积
SM
6
122 2
4.
由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根
的概率 P(B) SM 4 2 . SΩ 6 3
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别 是试验的可能结果不是有限个.它的特点是试验结果 在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与 随机事件所在区域的形状位置无关,只与该区域的大 小有关.
π. 81
4
探究提高 几何概型的概率计算公式中的“测度”,
既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积
等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和
位置无关.
知能迁移2 在边长为2的正△ABC内任取一点P,
则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率
3π 是__6___.
解析 以A、B、C为圆心,以1为半
3
600 2 025 3 600
7. 16
所以,两人能会面的概率是 7 . 16
探究提高 (1)甲、乙两人都是在6~7时内的任意时 刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用
x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中 正方形内的任一点. (2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出 来,分别计算面积即可. (3)本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表 示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积 型几何概型的问题.
OT落在30°角的终边上,任作一条
射线OA,则射线OA落在∠yOT内的
1 概率为___6__.
解析 如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分
布的,则OA落在∠yOT内的概率为 60 1 . 360 6
题型分类 深度剖析
题型一 与长度有关的几何概型 【例1】有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段
2.如图所示,边长为2的正方形中有
一封闭曲线围成的阴影区域,在正
方形中随机撒一粒豆子,它落在阴 影区域内的概率为 2 , 则阴影区域
3 的面积为
(B )
A. 4
B. 8
C. 2
3
3
3
解析 由几何概型知,
D.无法计算
S阴 S正方形
2 3
, 故S阴
2 3
22
8. 3
3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点
知能迁移4 已知函数f(x)=x2-2ax +b2,a,b∈R. (1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合 {0,1,2}中任取一个元素,求方程f(x)=0有两个不相 等实根的概率； (2)若a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中 任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率. 解 (1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合 {0,1,2}中任一个元素,
∴a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), (3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的 取值,即基本事件总数为12. 设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A, 当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的充要 条件为a>b. 当a>b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1), (3,0),(3,1),(3,2),即A包含的基本事件数为6, ∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率
的时刻是随机的,则他候车时间不超过3分钟的概率
是
A. 3 5
解析
( A)
B. 4
C. 2
D. 1
5
5
5
此题可以看成向区间［0,5］内均匀投点,而
且点落入［0,3］内的概率设为A={某乘客候车时间
不超过3分钟}.
则P(A)=
构成事件A的区域长度 试验的全部结果构成的区域长度
3. 5
4.如图所示,A是圆上固定的一点,在圆
定时检测
一、选择题
1.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM
为边作正方形,则这个正方形的面积介于36 cm2与
81 cm2之间的概率为
(A )
A. 1
B. 1
C. 4
D. 4
4
3
27
15
解析 面积为36 cm2时,边长AM=6,
面积为81 cm2时,边长AM=9, P 96 3 1.
.
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点: (1)无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限 多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
4.几何概型的试验中,事件A的概率P(A)只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位 置和形状无关.
径作圆,与△ABC交出三个扇形,
当P落在其内时符合要求.
3 (1 π 12 ) P 2 3
3π.
3 22
6
4
题型三 与角度有关的几何概型 【例3】在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射
线CM交线段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率. 思维启迪 如图所示,因为过一 点作射线是均匀的,因而应把在 ∠ACB内作射线CM看做是等可能 的,基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处,使 |AM|>|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关,这符合 几何概型的条件.
思维启迪 应用几何概型的概率计算公式P(A)= d的测度 即可解决此类问题.
D的测度
解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm
和9 cm的正方形围成的区域内,所以概率为
92 72 32 .
92
81
(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的
1
圆
内,因正方形有四个顶点,所以概率为
π 92
方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正 方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内,须再交5 角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
P( A) 6 1 . 12 2
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,
b从区间[0,3]中任取一个数,则试
验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|
0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形
区域,其面积 SΩ 2 3 6.
设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成
的区域为M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b},即图中
上其它位置任取一点A′,连接AA′,
它是一条弦,它的长度大于等于半径
长度的概率为()A源自 1B. 223
C. 3
D. 1
2
4
解析 如图所示,当AA′长度等于半
径时,A′位于B或C点,此时∠BOC=
120°,
则优弧 BC 4 π R, 3
∴满足条件的概率为
P
4 3
π
R
2.
2πR 3
答案 B
5.如图所示,在直角坐标系内,射线
题型四 可化为几何概型的概率问题 【例4】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,
并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率. 思维启迪 在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达 约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用 0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵 轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、 乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会 面的时间由|x-y|≤15所对应的图中阴影部分表示.
的面积大于 S 的概率是
4
A. 1
B. 1
C. 3
(C) D. 2
4
2
4
3
解析 由△ABC,△PBC有公共底边BC,所以只需P位
于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间,这是一个
几何概型, P AE 3 . AB 4
4.已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4,高为3,在正
三棱锥内任取一点P,使得VP—ABC<
1 2
VS—ABC的概率
是
(A )
A. 7
B. 3
C. 1
D. 1
8
4
2
4
解析 当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三
棱台内时符合要求,由几何概型知,
P 1 1 7. 88
5.(2009·辽宁文,9)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O
为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的
5.求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区
域和整个区域 Ω的几何度量,然后代入公式即可求
解.
基础自测
1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概
率为
( D)
A.0.25 B.0.5
C.0.6
D.0.75
解析 因为在［1,3］上任取一数是随机的,故这个
数大于1.5的概率 P 3 1.5 15 3 . 3 1 20 4