豪泰林(hotelling)产品决策模型
博弈论之豪泰林模型
p1+tx=p2+t(1-x)
解上式得需求函数分别为：
D1(p1，p2)=x=(p2-p1+t)/2t D2(p1，p2)=1-x=(p1-p2+t)/2t 利润函数分别为：
Π１(p1，p2)= (p1－c) D1(p1，p2) = (p1－c)(p2-p1+t)/2t
p1=p2=c ， Π１=Π２=0
更为一般地，我们可以讨论商店位于任何位 置的情况。假定商店1位于a≧0，商店2位 于1-b(b ≧0)。为不失一般性，假定
1-a-b ≧0(即商店1位于商店2的左边)。如 果旅行成本为二次式，即旅行成本为td2 , 这里d是消费者到商店的距离，那么，需求 函数分别为：
问题2
1 1
0
x
(x+y)/2 y
1
Cont….
I1( x,
y)
[1 (1 2
x)]x
[1
(1
y 2
x 2
)](
2
x
2
y
x)
1 8
(4
x
4y
5x2
y2
2 xy )
I2 ( x,
y)
[1 (1
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
2
y )](
y
2
x
2
y)
(1
y)(1 2
y)
1 8
(4
y
4x
5
y2
x2
2 xy
4)
他们感兴趣的唯一变量。还存在产品差异 的情况下，均衡价格不会等于边际成本。
豪泰林价格竞争模型课堂展示
邱海燕 Y160256 L/O/G/O 李 焕 Y160250
豪泰林价格竞争模型
目 录
商店分别位于两端的模型 商店位于同一位置的模型
一般情况下的模型
豪泰林价格竞争模型 假设条件
3
一、商店分别位于两端的模型
住在x的消费者在两个商店之间是无差异的→价格＋旅行成本之和相等
商店1
x
1-x
a 0 a x-a x 1-b-x 1-b
b
商店1
商店2
1
假定： 商店1位于a≥0，商店2位于1-b(这里b≥0) 为不失一般性，假定1-a-b≥0（即商店1位于商店2的左 边） 如果旅行成本为二次式，即旅行成本为td 2, d表示b-x
b
0
商店1
a
x
商店2
1-b
1
p1 + t (x-a) 2=p2 + t (1-b-x) 2
利润：
求导：
情况1：当a=b=0时，商店1位于0，商店2位于1
商店1
x x
1-x
商店2
0
1
情况2：当a=1－b时，商店1和商店2位于同一位置 商店2 商店1
0
a=1-b
1
Thank You!
L/O/G/O
商店2
0
旅行成本tx
x
旅行成本t(1-x
1
)
一、商店分别位于两端的模型
解之得：
一、商店分别位于两端的模型
(1)
(2) （1）－（2）得
每个企业的均衡利润为：
一、商店分别位于两端的模型
（1）旅行成本越高，产品的差异就越大，产品间的 替代性就越低，每个商店对附近消费者的垄断能力越
hotelling价格竞争模型1
这个差异进一步可以解释成消费者的距离成本。从纳什均衡中可
以看出，产品之间的差异体现在距离成本t上。距离成本越高，产 品间的差异就越大，均衡价格和均衡利润就越高。当距离成本为 零时，不同商店的产品之间具有完全的替代性，没有任何一个商 店可以把价格定的高与成本，此时得到伯川德均衡结果。 这是因为随着距离成本的增大，不同商店出售的产品之间的 替代性下降，每个商店对附近的消费者的垄断能力加强，商店之 间的竞争性越来越弱，每个商店的最优价格更接近于垄断价格。
Hotelling价格竞争模型
3.问题的提出与相关假设
5、相对于产品成本和交通成本足够大，从而每个消费者消费者都购 买1个单位的产品。 6、 pi为商店i的价格；Di(p1,p2)为需求函数，i=1,2。 7、如果住在的消费者在两个商店之间买商品无差异，那么住在x左 边的都在商店1购买，住在x右边的都在商店2购买。需求分别为
p1 t( x a)2 p2 t (1 x b)2
综合需求函数的定义可得：
1 a b p2 p1 , 2 2t (1 a b) 1 a b p1 p2 D2 1 x b 2 2t (1 a b) D1 x a
2 ( p1 , p2 ) ( p2 c) D2 ( p2 c)(b
求解利润最大化的一阶条件，
1 b a p1 p2 ) 2 2t (1 b a )
1 1 b a p2 2 p1 c a 0 p1 2 2t (1 b a )
可以看出当a=b=0时，商店1位于0，商店2位于1，即我们讨 论的第一种情况，
* p*1 (0,1) p2 (0,1) c t
当a=1-b时，两个商店位于同一个位置，此时是另一种特殊情 况，
霍特林模型
霍特林模型（Hotelling model）
霍特林模型的基本假设
（1）产品同质；
（2）决策变量：价格；
（3）成本函数相同，且AC=MC=C0；
（4）消费者分布在一条线性的市场上，市场总距离为S公里，每公里有一个消费者，每个消费者购买一件商品；
（5）消费者购买商品的交通成本与离商店的距离成比例，单位距离的交通成本为t。
（6）寡头1的位置位于地点A，寡头2的位置位于地点B，则：|AC|=a为寡头1固有的地盘；|BD|=b为寡头2固有的地盘，|AB|为寡头1和寡头2需竞争的地盘。
若最终寡头1争夺到的地盘为|AE|=x；寡头2的争夺到的地盘为|BE|=y 如下图所示，则一定有：
解以上方程组可得：
；。
霍特林的基本模型
1.目标函数：
寡头1：
寡头2：
2.最优决策的一阶条件与反应函数
(1)由,可得寡头1的价格反应函数：
(2)由，可得寡头2的价格反应函数：
赫特林模型的均衡解 联立寡头1和寡头的价格反应函数，可得：。
假定a =b =1/4，代入P 1和P 2中可得120P P tS C ==+。
代入x 和y 中可得：
14x y S ==，即寡头1和寡头2平分市场。
产品差异定义分类及模型
二、产品差异的分类
水平差异：
➢指产品在空间上的差异。表现为两产品之间一些特征增加了，而其 他一些特征却减少了。
➢对于水平差异而言，在给定价格相同的情况下，消费者的最优选择 与特定消费者有关，因为消费者的偏好不尽相同。比如不同的消费者 喜欢不同的颜色，或者对于购物地址的选择，消费者更喜欢去附近的 商店或超级市场购物。描述水平差异时，不存在“好”与“坏”的评 判。
假定存在两个厂商，每个厂商仅能提供一种品 牌，分别定位于a1和a2处（代表厂商的不同产 品定位），产品的平均成本和边际成本均为0， 消费者的单位距离交通成本为t(体现产品差异。 越大，消费者偏好与厂商提供的产品特征相差 就越大)。 t x a1 2 t a2 x2
0
a1
x
a2
1
位于x位置的消费者从厂商1和厂商2购买需要 支付的总费用分别为：
➢ 案例4-2 宝马以差异化服务赢得客户
信息差异
➢ 是指由于消费者和厂商之间存在着信息不对称，从而 导致消费者对产品认识产生了差异。
➢ 解决方法：信息性广告和劝说性广告 ➢ 案例4-3 利用劝说性广告形成垂直差异
三、产品差异理论溯源
包括非选址模型和选址模型两条主线。
➢ 非选址模型研究从一般竞争（large group competition）方面研究产品差异，对现实中 规模经济未充分利用的现象进行解释，如代表 性消费者模型。
q1
a 2b
c
,
p1
ab 2b
c
,1
a2b (2b c)2
差异化伯川德竞争均衡
Hotelling模型
Hotelling模型
三种均衡情况：
1，2的分界点意义是：中点消费者对在那个企业买和是否买无差异。
这就意味着随着t增大到2/3，中点消费者的购买价格加上交通成本恰好等于其效用
即：p+t/2=1
通过前面的式子我们有p=t，则联立得t=2/3，也就是1，2的分界点。
2，3的分界点意义是：中点消费者对买与不买无差异
这就意味着当t超过1时，中点消费者将不会购买
考虑当t>=1时，左边的企业与右边的企业将不再有竞争，于是成为了垄断的情况，求解企业的最大化利润：
Max [（1-P）/t]*P，得P=1/2
P=1/2，中点消费者对购买与不购买无差异的条件是P+1/2*t=1
于是得到t=1，也就是2，3的分界点。
至于第2段为什么会下降，我们可以看到，价格下降时，中点消费者的效用一直是0。
我的感觉是，t<=2/3时，企业的提价是有正外部性的，他们的提价是相互促进的。
而2/3<=t<=1时，企业将没有直接竞争（中点消费者买与不买无差异），为了让中点消费者继续购买，企业只好降价。
当1>=t时，企业成为垄断企业，由于路程成本太高，放弃中点消费者。
Hotelling-model以及两个扩展和多党竞选模型解析
基本思路： 假定两家厂商生产的同种产品具有质量差异， 及消费者对产品质量偏好服从 [d,e]
区间上的均匀分布，研究二次运输成本下两家厂商的选址和价格竞争的二阶段完全 信息动态博弈问题。 假设： （1）长度为1的“ 线性城市”； （2）交通费用为距离的二次函数，单位交通费用为t （3）消费者对产品质量的偏好 在 [d，e ]区间均匀分布，
w
x1 x2 m或x1 x2 m x1 = x2 = m
m x1 x2或m x1 x2
• 当x2 < m，党派1的最优策略x1为大于x2，小于2m-x2之间的任意数。 • 当x2 = m时，那么党派1的最优策略x1=x2。 • 当x2 > m，党派1的最优策略x1为大于2m-x2 ，小于x2之间的任意数。
1、来源：1838“伯特兰德悖论”———解决：引入产品差异性；特殊空间上的差异。 1929哈罗德·霍特林——经典Hotelling模型。
2、基本假设： （1）产品同质。 （2）决策变量：价格。 （3）成本函数相同，且AC＝MC＝C0； （4）长度为1的线性市场，两个厂商，消费者均匀分布，每个消费者购买一件商品。 （5）消费者购买商品的交通成本与离商店的距离成比例，单位距离的交通成本为t。
Hotelling模型中企业选址问题——转化成跨国企业选择经营何种品牌 产品的问题。
一、单一 A品牌经营下跨国公司的均衡利润 和基本模型 中 A、 B两企业 进行竞争的结果相同：
二、单一 D品牌经营下跨国公司的均衡利润 1、 先考虑给定 的情况下 ，B企业的两种选择 ： 第一种， 在 [ x ，1 ] 区间 内达到利润最大化：
启示 1 跨国公司并购我国企业后，在大多数情况下并不会选择弃
用我国民族品牌，现有民族品牌被弃用的例子，可能是因为
豪泰林(Hotelling)模型
（2）、当a=1-b时，两个商店位于同一位置，我们走到另一种极端：
P１＊ ＝ P２＊ ＝ c
Π１=Π２=0
a=b=0与差异最大化对应，a+b=1与差异最小化对应
第十二页，编辑于星期四：九点 七分。
豪泰林的选址（空间）模型假设消费者和品牌位于产品和地 理空间内。消费者偏好于靠近自己的品牌。因此，企业具有 市场势力。并且，该模型表明了只有当产品同质时（位于产 品或地理空间的同一位置），伯川德均衡价格才等于边际成 本。在一个更为一般化的产品差异化模型中，做出伯川德预 期的企业将收取不同的价格，而且所有价格都高于边际成本。 简而言之，差异化使得企业拥有市场势力。
需求函数：D1(p1，p2)=x =a + ( 1-a-b )/2 + (p2-p1)/2t (1-a-b) D2 (p1，p2)=1-x
=b + ( 1-a-b )/2 + (p1-p2)/2t (1-a-b) 需求函数的第一项是商店自己的“地盘”（ a 是住在商店 １左边的消费者， b 是住在商店２右边的消费者）， 第二项是位于两商店之间的消费者中靠近自己的一半， 第三项代表需求对价格差异的敏感度。
第九页，编辑于星期四：九点 七分。
更为一般地，我们可以讨论商店位于任何位置的情
况。假定商店1位于a≥0，商店2位于1-b(b ≥0)。 为不失一般性，假定1-a-b ≥0(即商店1位于商店2 的左边)。如果旅行成本为二次式，即旅行成本 为td2 ,这里d是消费者到商店的距离。
第十页，编辑于星期四：九点 七分。
第十一页，编辑于星期四：九点 七分。
纳什均衡为：
P１＊ (a，b) ＝ c＋t (1-a-b)(1+（a-b）／３)
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豪泰林（hotelling ）产品决策模型
对伯特兰德悖论（Bertrand paradox ）的一种解释是引入产品差异性。
如果不同企业生产的产品是有差异的，替代弹性就不会是无限的，在这种情况下，消费者对不同的产品具有不同的偏好，购买该产品的均衡价格就不会等于边际成本。
产品差异有多种形式，豪泰林（Hotelling ，1929）提出了一个考虑空间差异的产品决策模型。
在此模型中，产品在物质性能上是相同的，但在空间位置上存在差异，因为不同位置上的消费者要支付不同的运输成本，这时他们关心的是价格和运输成本之和，而不仅是价格。
假定有一个长度为1的线性城市，消费者均匀地分布于[0，1]区间内，分布密度为1。
假定有两个商店，分别位于城市两端，出售的产品性能相同，每个商店提供单位产品的成本为c ，消费者购买商品的旅行成本与距商店的距离成比例，单位距离的成本为t 。
这样，住在x 处的消费者若去商店1购买要花费tx 的运输成本；若去商店2去购买，要花费)1(x t -的成本。
为简单起见，现假定消费者具有单位需求，即或者消费1个单位，或者消费个0个单位。
假定两个商店同时选择自己的销售价格，现考虑两商店进行价格竞争的纳什均衡。
在该博弈中，两个参与者为商店1和商店2，其可选择的策略分别为各自的价格1p 、2p 。
设),(21p p D i 为需求函数，2,1=i 。
若住在x 的消费者在两个商店之间是无差异的，则所有在x 左边的消费者都将在商店1购买，所有住在x 右边的消费者将在商店2购买，需求分别为x D =1，x D -=12，这里，x 满足
)1(21x t p tx p -+=+ （1）
由（1）式得两商店的需求函数分别为
t
t p p x p p D 2),(12211+-==
t
t p p x p p D 21),(21212+-=
-= 利润函数分别为 ))((21),()(),(1212111211t p p c p t
p p D c p p p +--=-=π ))((21),()(),(2122122212t p p c p t
p p D c p p p +--=-=π 商店i 选择各自的价格i p ，最大化其利润i π（2,1=i ）。
给定j p ，两个一阶
条件分别为：
02121
1=-++=∂∂p t c p p π （1） 02212
2=-++=∂∂p t c p p π （2） 联立（1）、（1）两式，求得两商店的纳什均衡解：
t c p p +==*
*21
两商店的均衡得益为 ： 2
21t ==ππ 在豪泰林模型中，我们将消费者的位置解释为产品差异，这个差异可进一步解释为消费者购买产品的旅行成本。
旅行成本越高，则产品的差异越大，均衡价格从而均衡利润也越高。
这是因为，随着旅行成本的上升，不同商店出售的产品之间的替代性下降，每个商店对附近消费者的垄断力增强。
相应的，商店之间的竞争越来越弱，消费者对价格的敏感度下降，从而每个商店的最优价格更接近于垄断价格。
另一方面，当旅行成本为零时，不同商店的产品之间具有完全的替代性，没有任何一个商店可以把价格定得高于成本，这便是产品同质条件下的伯特兰德均衡的结果。
在以上分析中，假定两个商店分别位于城市的两个极端，事实上，商店的位置直接影响到均衡的结果，下面更一般地讨论商店处于任何位置时的情况。
假定商店1位于0≥a ，商店2位于b -1（这里0≥b ）。
不失一般性，假定01≥--b a ，即商店1位于商店2的左边。
若旅行成本计为2td ，其中d 为消费者到商店的距离。
同样，若住在x 的消
费者在两个商店之间购买是无差异的，那么，所有住在x 左边的都将在商店1购买，而住在x 右边的将在商店2购买，需求分别为x D =、x D -=1，这里x 满足：
2221)1()(x b t p a x t p --+=-+ （8.12）
由（8.12）解得：
)1(221)1(2)
1)(1(1212b a t p p b a a b a t b a b a t p p x ---+--+=-----++-=
两商店的需求函数分别为：
)
1(221),(12211b a t p p b a a x p p D ---+--+== （8.13） )1(2211),(21212b a t p p b a b x p p D ---+--+
=-= （8.14） 由（8.13）、（8.14）两式求解均衡价格与均衡利润，得：
)3
1)(1(),(1b a b a t c b a p -+--+=* )3
1)(1(),(2a b b a t c b a p -+--+=* 21)3
3)(1(2b a b a t -+--=π 22)33)(1(2a b b a t -+--=π 当0==b a 时，即商店分别位于线段的两端，这是可推导出前面讨论的结果： t c p p +==*
*)1,0()1,0(21 当b a -=1时，两商店位于同一位置，这时可推导出伯特兰德均衡： c a a p a a p =-=-*
*)1,()1,(21 即若两商店出售同质商品，消费者只关注价格，竞争的结果是两个商店都不能获得超额利润。
这也说明，当企业的产品差别化较弱时，易引发激烈的价格竞争；产品差别化程度越高，则企业间的价格竞争越弱。