高数重积分测试题
高数重修试题
⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。
（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。
（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。
（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。
（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。
42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。
（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。
（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。
（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。
4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。
（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。
（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。
（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。
⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。
重积分习题word版
42、设Ω是由x2+y2+z2≤2z+3所确定的有界闭区域，试将 化成柱面坐标下的三次积分式
43、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
44、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤2,z≥0及x2+y2≤1所确定的闭区域，试将
35、设Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I= 分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。
36、设Ω是由x2+y2+z2≤a2, (a>0)及z≥0所确定的有界闭区域。试将
f(x,y,z)dv分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
37、试将 化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
31、Ω是由曲面2z=x2+y2,(x2+y2)2=x2－y2及z=0所围的有界闭区域，试将I= f(x,y,z)dv化成柱面坐标下的三次积分式。
32、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
33、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤4以及 所确定的闭区域，试将I= 化成柱面坐标下的三次积分式。
34、设Ω是由 (0<a<R)及z≥0所确定的闭区域，试将I= 化成球面坐标下的三次积分式。
7、设Ω是由曲面y=x2,y=1,z=y,z=－y所围的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
8、设Ω是由 所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
9、设Ω是由x+y≥a,x2+y2≤a2及0≤z≤a－y(a>0)所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
高数重积分测试题
高数重积分测试题 Prepared on 22 November 2020高数测试题七（重积分部分）答案一、 选择题（每小题5分，共25分）1、交换积分00(,)(a ydy f x y dx a ⎰⎰为常数）的次序后得（ B ） A 00(,)y a dx f x y dy ⎰⎰ B 0(,)a ax dx f x y dy ⎰⎰ C 00(,)a x dx f x y dy ⎰⎰ C 00(,)a ydx f x y dy ⎰⎰ 2、设2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，其中 f 为连续函数，(0)f '存在，而(0)0,(0)1f f '==，则50()limt F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 25π 3、球面22224x y z a ++=与柱面222x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ）A 2cos 2004a d πθθ⎰⎰B 2cos 2008a d πθθ⎰⎰C 2cos 2004a d πθθ⎰⎰D 2cos 202a d πθπθ-⎰⎰4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y d σ+⎰⎰=（ A ）A 12cos sin D x yd σ⎰⎰B 12D xyd σ⎰⎰C 1(cos sin )D xy x y d σ+⎰⎰ D 05、设2222222222sin()1arctan 0(,)02x y x y x y x y f x y x y π⎧++≠⎪⎪++=⎨⎪+=⎪⎩ ， 区域22:(0)D x y εε+≤>，则01lim (,)D f x y d εσπε+→⎰⎰=（ A ） A 2π B π C 0 D ∞二、填空题（每小题5分，共25分）1、设(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰，积分区域:0z z y Ω≤≥≥所确定，则I 在柱面坐标系下的三次积分为1200(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰2、设D 是由3,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域，则 sin D x d xσ⎰⎰= 32(cos1sin1)-+ 3、二次积分2220y x dx e dy -⎰⎰= 41(1)2e -- 4、设D 是由11,22x y -≤≤-≤≤围成的平面区域，则3(2)Dx y dxdy +⎰⎰= 05、设Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域，则222222ln(1)1z x y z dxdydz x y z Ω++++++⎰⎰⎰= 0 三、计算题1、（6分）计算 222:(0)Dxy dxdy D x y a a +≤>⎰⎰解：由对称性知3、（6分）计算D ，其中D 为 221x y +≤的第一象限部分 解：原式=220(2)48d t r πππθπ==-⎰⎰⎰ 4、（8分）22224:9Dx y dxdy D x y +-+≤⎰⎰解：5、（6分）计算Ω，其中 Ω为2216,4,0x y y z z +=+==所围成的区域 解：原式=244sin 0005123r d rdr rdz πθπθ-=⎰⎰⎰6、（8分）计算22222222:,2(0)z dv x y z a x y z az a ΩΩ++≤++≤>⎰⎰⎰解： 1222220222222202[][]59(2)()480z z a a a D D a a a z dv z d dz z d dz z az z dz z a z dz σσπππΩ=+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
重积分习题及解答
重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。
高数 厦门理工高数作业重积分
《高等数学Ⅰ》练习题系 专业 班 姓名 学号 08060122436．1 二重积分（1）一．选择题1．设积分区域D 是4122≤+≤y x ，则⎰⎰Ddxdy = [ B ]（A ）π （B ）3π （C ）4π （D ）15π 2．设积分区域D 是1≤+y x ，则⎰⎰Ddxdy = [ B ]（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 3．设平面区域D 由1,21=+=+y x y x 与两坐标轴所围成，若⎰⎰+=Ddxdy y x I 91)][ln(， ⎰⎰+=Ddxdy y x I 92)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ]（A ）321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤ 4．设区域D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则⎰⎰Dxydxdy ＝ [ D ]（A ）41 （B ）81 （C ）121 （D ）241二．填空题1．设区域D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 2 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )1( 82．设⎰⎰≤+++=10||||22sin cos 100y x yx d I σ，则I 的取值范围是 ≤≤I 23．120xdx xy dy ⎰⎰= 三．计算题1．设区域D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求 ⎰⎰-Ddxdy x y xy )(解：原式=111221112()03----==⎰⎰⎰dx xy x y dy xdx2．设D 是由直线2=x ，x y =及双曲线1=xy 所围成的平面区域，求⎰⎰Ddxdy yx 22解：由题意知112;⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭D x y x x，于是原式=222312119()4=-=⎰⎰⎰xxx dx dy x x dx y3．设区域D 由x y x y ==22,所围成，求σd y xD)(2⎰⎰+.解; 由题意知{}x y x x D ≤≤≤≤=2;10，于是原式=2511242333)()22140+=+-=⎰⎰x x dx x y dy x x dx《高等数学Ⅰ》练习题系 专业 班 姓名 学号6．1 二重积分（2）一．选择题1．设区域D 是顶点为)0,0(O 、)1,10(A 、)1,1(B 的三角形，则⎰⎰-Ddxdy y xy 2= [ C ]（A ）3 （B ）5 （C ）6 （D ）10 2．设),(y x f 是连续函数，则0(,)a xdx f x y dy ⎰⎰= [ B ]（A ）00(,)a ydy f x y dx ⎰⎰ （B ）0(,)aaydy f x y dx ⎰⎰（C ）(,)ay ady f x y dx ⎰⎰ （D ）0(,)a ady f x y dx ⎰⎰3．二次积分220(,)x dx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序是 [ A ]（A）420(,)dy f x y dx ⎰ （B）40(,)dy f x y dx ⎰ （C ）242(,)xdy f x y dx ⎰⎰ （D）402(,)dy f x y dx ⎰⎰4．设f 是连续函数，而D ：122≤+y x 且0>y ，则dx dy y x f D)(22⎰⎰+= [ A ]（A ）10()rf r dr π⎰ （B ）1()f r dr π⎰ （C ）21()rf r dr π⎰ （D ）21()f r dr π⎰二．填空题 1．改换积分的次序12201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰=2．改换积分的次序212(,)xdx f x y dy -⎰⎰=3．化二次积分为极坐标的二次积分101(,)xdx f x y dy -⎰=⎰⎰+1c o ss i n 120)s i n ,c o s (θθπθθθdr r r rf d三．计算题 1．求222y xdx e dy -⎰⎰解：因为2y e -在简单区域{}02,2=≤≤≤≤D x x y 连续，所以原式=2222401(1)2---==-⎰⎰⎰y y y edy dx yedy e2．设区域D 由y 轴与曲线y x cos =（22ππ≤≤-y ）所围成，求⎰⎰Dydxdy x22sin 3解：由题意，积分区域,0cos 22ππ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭D y x y ，所以原式=cos 222322022sin 3sin cos ππππ--=⎰⎰⎰yydy x dx y ydy22202sin (1sin )sin π=⋅-⎰y y d y 415=3．设积分区域D 为122≤+y x ，求⎰⎰-+Ddxdy xy y x )(22解：令c o s,s i n θθ==x r y r 则积分区域{}02,01θπ=≤≤≤≤D r于是原式=2122000112(sin cos )(sin 2)383πππθθθθθ-=-=⎰⎰⎰d r r r dr d4．设区域D 是由22224ππ≤+≤y x 所围成，求dxdy y x D⎰⎰+22sin解：令cos ,sin ,θθ==x r y r 则积分区域{}02,2θπππ=≤≤≤≤D r 于是原式=⎰⎰220sin d r rdr πππθ=⋅-+22(cos sin )|r r r πππ=-26π《高等数学Ⅰ》练习题系 专业 班 姓名 学号6．3 三 重 积 分（1）一．选择题1．设区域2222|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0≥z ，22221|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0,0,0≥≥≥z y x ，则等式成立的是 [ C ]（A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xdv xdv （B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14ydv ydv（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14zdv zdv （D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdv xyzdv2．若三重积分⎰⎰⎰Ω=328πdxdydz ，积分区域Ω为 [ C ] （A ）4122≤+≤y x ，380≤≤z （B ）422≤+y x ，380≤≤z （C ）41222≤++≤z y x （D ）4222≤++z y x 二．计算题 1．计算⎰⎰⎰Ωdv z xy32，其中Ω是由曲面xy z =与平面x y =，1=x 和0=z 所围成的闭区域.解：由题意，积分区域{}01,0,0x y x z xy Ω=≤≤≤≤≤≤，则原式=1231364xxydx dy xy z dz =⎰⎰⎰ 2．计算⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域. 解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域2r ⎧⎫则原式=2222302163r d r dr dz πθπ=⎰⎰⎰ 3．计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中闭区域Ω是由不等式2222)(a a z y x ≤-++，222z y x ≤+所确定. 解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域{02,0,Ω=≤≤≤≤≤≤r a r z a θπ，则原式=42076=⎰⎰⎰aa ra d rdr πθπ《高等数学Ⅰ》练习题系 专业 班 姓名 学号6．3 三 重 积 分（2）1．求由曲面226y x z --=及22y x z +=所围成的立体的体积.解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域{}202,02,6r r z r θπΩ=≤≤≤≤≤≤-，则所求立体的体积22260323r rV dv d rdr dz ππθ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.解：锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xy 平面上的投影{}22(,);(1)1,,xy x y x y x y R σ=-+=∈于是所求曲面面积2cos 202S d πθπσθ-==⎰⎰⎰⎰2202d πθθ==⎰3．设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点),(y x 处的面密度y x y x 2),(=μ，求该薄片的质心。
福州大学高等数学第七章重积分习题
x2 y2 4 x y 4
2 2
,
计算 f ( x , y )dxdy .
D
解 I d r 3dr d 4rdr
0 0 0 2
2
2
2
3
y
3 2
2 4 2 10 28 .
O
2 3 x
p.38.二.4.求由平面y 0, y kx( k 0), z 0以及球心在 原点,半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的 z 立体的体积. R 解 V R 2 x 2 y 2 dxdy
4 y
1
;
y
y x2
y 4 x2
(2)
4 0
dy
0 2
1 ( y 4) 2 4 y
f ( x , y )dx
O
1 2 x y 4
dx
4 x 2 2 x4
f ( x , y )dy
y 4 x2 y 2x 4
;
2 O
x
p.35.一.3.设D {( x , y ) | | x | 3,| y | 1}, 则
1.计算 e x y d , 其中D是由 | x | | y | 1所确定的闭区域.
D
解 原式 dx
1
0
1 x x 1
e
x y
dy dx
0 1 0
1
1 x x 1
e
x y
dy
(e
1
0
2 x 1
e )dx (e 1 e 2 x 1 )dx
1 lim 2 f ( x , y )d t 0 t D
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
高数第六章重积分课堂练习题及答案
r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、 最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有
重积分练习题答案
重积分部份练习题1．计算()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I 22，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面2=z ，8=z 所围的立体。
2.一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω是由曲面22y x z +=和平面0=z ，a x =||，a y =||所围成的。
(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z 轴的转动质量。
3．设()y x f ,持续，且()()⎰⎰+=D dudv v u yf x y x f ,,，其中D 是由xy 1=，1=x ，2=y 所围区域，求()y x f ,。
4．设()()⎰⎰⎰≤++++=2222222t z y x dxdydz z y x f t F ，其中()u f 为持续函数，()0f '存在，且()00=f ，()10='f ，求()50lim t t F t →。
5.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部份的曲面面积。
6.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上,问当R 取何值时,球面∑在定球面内部的那部份面积最大?7.设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心。
8.计算以下二重积分:(1)24212sinsin 22xx x I dx dy dx dy y y ππ=+⎰⎰;(2) ⎰⎰--=Dd y x I σ221, 其中:1,1D x y ≤≤.（3）计算2||,:11,01Dy x dxdy D x y --≤≤≤≤⎰⎰.（4）⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+=D d y f x x f y y x I σ221,其中(){}222,D x y x y R =+≤。
9. 求极限4/2/)(2/00221lim x x t du u t x x e e dt ---→-⎰⎰+ .10. 设Ω是曲面与 所围成的立体，求Ω的体积V 与表面积S 。
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高数测试题七（重积分部分）答案
一、 选择题（每小题5分，共25分） 1、交换积分0
(,)(a
y
dy f x y dx a ⎰
⎰为常数）的次序后得（ B ）
A 00
(,)y
a
dx f x y dy ⎰⎰ B 0
(,)a
a
x
dx f x y dy ⎰⎰
C
(,)a
x dx f x y dy ⎰
⎰ C 0
(,)a y
dx f x y dy ⎰⎰
2、设2222
222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=
++⎰⎰⎰
，其中 f 为连续函数，(0)f '存
在，而(0)0,(0)1f f '==，则5
0()
lim
t F t t →=（ B ）
A π
B 45π
C 35π
D 2
5
π
3、球面2
2
2
2
4x y z a ++=与柱面2
2
2x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ）
A 2cos 2
04a d π
θ
θ⎰
⎰
B 2cos 20
8a d π
θ
θ⎰⎰
C 2cos 20
4
a d πθ
θ⎰
⎰
D 2cos 20
2
a d π
θ
πθ-⎰⎰
4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D
xy x y d σ+⎰⎰=（ A ）
A 1
2
cos sin D x yd σ⎰⎰ B 1
2D xyd σ⎰⎰ C 1
(cos sin )D xy x y d σ+⎰⎰ D 0
5、设22222222
22sin()1
arctan 0
(,)0
2
x y x y x y x y f x y x y π⎧++≠⎪⎪++=⎨
⎪+=⎪⎩ ，
区域22
:(0)D x y ε
ε+≤>，则0
1
lim (,)D
f x y d εσπε
+
→⎰⎰=（ A ）
A
2
π
B π
C 0
D ∞ 二、填空题（每小题5分，共25分） 1、 设(,,)I
f x y z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰，积分区域
:0z z y Ω≤≥≥所确定，则I 在柱面坐标系下
的三次积分为
120
(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz π
θθθ⎰
⎰
2、 设D 是由3
,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域，
则
sin D
x
d x σ⎰⎰= 32(cos1sin1)-+ 3、二次积分
22
20
y x dx e dy -⎰
⎰= 41
(1)2
e --
4、 设D 是由11,22x y -≤≤-≤≤围成的平面区域，则
3
(2)D
x y dxdy +⎰⎰= 0
5、 设Ω是由球面2
2
2
1x y z ++=所围成的闭区域，则
222222ln(1)
1z x y z dxdydz x y z Ω
++++++⎰⎰⎰= 0 三、计算题 1、（6分）计算 222:(0)D
xy dxdy
D x y a a +≤>⎰⎰
解：由对称性知 3、（6分）计算
D
，其中D 为 221x y +≤的第一象限部分
解：原式
=
220
0(2)48
d t r π
ππθπ==-⎰
⎰
⎰ 4、（8分）
2
2224:9D
x
y dxdy D x y +-+≤⎰⎰
解：
5、（6
分）计算Ω，其中 Ω为2216,4,0
x y y z z +=+==所围成的区域
解：原式=
24
4sin 0005123
r d rdr rdz π
θ
πθ-=
⎰⎰⎰
6、（8分）计算22222222
:,2(0)z dv x y z a x y z az a Ω
Ω++≤++≤>⎰⎰⎰
解：
1
2
2
2
2
20
22222220
2
[][]59(2)()480
z z
a a
a
D D a a
a z dv z d dz z d dz
z az z dz z a z dz σσπππΩ
=+=-+-=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。