反比例函数知识点集锦
反比例函数知识点集锦
一、反比例函数的概念
1．反比例函数的概念
一般地，函数kyx（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1ykx的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2．反比例函数kyx（k是常数，k0）中x，y的取值范围
反比例函数kyx（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．
二、反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式
kyx（k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3．注意
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
三、反比例函数解析式的确定
1．待定系数法
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为kyx（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
四、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数kyx交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=1||2AOCy+1||2BOCy=1(||||)2ABOCyy；
（3）如图③，已知反比例函数kyx的图象上的两点，其坐标分别为()AAxy，，()BBxy，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=1||2AOCy–1||2BOCy=1(||||)2ABOCyy．
五、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数11ykxb与反比例函数22kyx相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12yy时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于
反比例函数(基础)知识讲解
反比例函数（基础）
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xyk，或表示为kyx，其中k是不等于零的常数.
一般地，形如kyx (k为常数，0k)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，定义域是不等于零的一切实数.
要点诠释：（1）在kyx中，自变量x是分式kx的分母，当0x时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y.故函数图象与x轴、y轴无交点；
（2）kyx ()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3）kyx ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：kyx (0k)；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数k的值；
（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx 中.
要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
反比例函数知识点及典型例题
1 反比例函数
知识点及考点：
（一）反比例函数的概念：
知识要点：
1、一般地，形如 y = xk ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：
（A）y = xk（k ≠ 0） ， （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0）
例题讲解：有关反比例函数的解析式
（1）下列函数，① 1)2(yx②. 11xy③21xy ④.xy21⑤2xy⑥13yx ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。
（2）函数22)2(axay是反比例函数，则a的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．2 D．2或－2
（3）若函数11mxy(m是常数)是反比例函数，则m＝________，解析式为________．
（4）如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
练习：（1）如果y是m的正比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（ ）
（2）如果y是m的正比例函数，m是x的正比例函数，那么y是x的（ ）
（5）反比例函数(0kykx）的图象经过（—2，5）和（2， n），
求1）n的值； 2）判断点B（24，2）是否在这个函数图象上，并说明理由
（6）已知y与2x－3成反比例，且41x时，y＝－2，求y与x的函数关系式．
2 （7）已知函数12yyy，其中1y与x成正比例, 2y与x成反比例，且当x＝1时，y＝1；
x＝3时，y＝5．求：（1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝2时，y的值．
(二)反比例函数的图象和性质：
知识要点：
1、形状：图象是双曲线。
反比例函数知识点及常见例题
反比例函数知识点总结
一、定义
如果两个变量x、y之间的关系可表示为：kyx(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
定义解释1、
从定义中，我发现了反比例函数的关系式是 ，这个关系式还可写成： ， 。
定义解释2、
自变量x因在分母的位置上，所以x应满足的条件为 。
因变量（函数值）y由于 ，所以y应满足的条件为 。
定义解释3、
从定义中，我们可以发现反比例函数的关系式中只有一个系数k，所以确定反比例函数的解析式，只需要一个点就可以。
例1、下列等式中，哪些是反比例函数（1）y=3x （2）2xy （3）xy＝21 （4）myx （5）3xy
（6）12yx （7）y＝x－4
反比例函数有：
例2、当k取什么值时，函数22(1)kykx是反比例函数？
例3、已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5
（1） 求y与x的函数关系式
（2） 当x＝－2时，求函数y的值
例4、下列各关系中，符合反比例关系的是（ ）
A 矩形的面积一定时，它的长与宽； B 矩形的周长一定时，它的长与宽；
C 导体电阻一定时，电流强度与导体两端的电压；D 匀速运动中，时间与路程。
例5、若函数xy32表示y与x的反比例函数，则k= ；
练习：
1、已知21yyy，1y与x成反比例关系，)2(2xy与成正比例关系，并且当3x时，5y；当1x时，1y，求y与x之间的函数表达式。
反比例函数知识点归纳和典型例题
1 反比例函数知识点归纳和典型例题
知识点归纳
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解
析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；
在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；
在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（，）在双曲线的另一支上． 2 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
反比例函数最全知识点
反比例函数的图象和性质
一、 知识清单梳理
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例
1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．
2.反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. k>0
图象经过第一、三象限
（x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.
k<0
图象经过第二、四象限
（x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.
3.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 例：若(a，b)在反比例函数kyx的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")
4.待定系数法 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. 例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.
知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.
反比例函数经典专题
反比例函数经典专题
知识点回顾
由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：
一、
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k 故S=|k| 从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|
结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|
1.如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为 .
2.如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn-1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An-1An都在x轴上．则点A10的坐标为
3、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=1x的图像上，如果△PAB的面积为6，求P点的坐标。
如右图，已知点（1,3）在函数y=kx（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=kx（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标为m，解答下列各题
反比例函数知识点总结,比例系数k的几何意义和七大常考模型
反比例函数知识点总结
一.反比例函数的概念
1.概念：一般地，函数xky（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
注意：(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;
(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;
(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,
反之,则不一定成立
例1 给出的六个关系式:①x(y+1);②22xy;③21xy;
④x21y;⑤2xy;⑥x3-y.其中y是x的反比例函数的是 ( )
A.①②③④⑥ B.③⑤⑥ C.①②④ D.④⑥
例2 若函数321mmxmy是y关于x的反比例函数,则m= .
例3 关于正比例函数x31-y和反比例函数x31-y的说法正确的是 ( )
A.自变量x的指数相同 B.比例系数相同
C.自变量x的取值范围相同 D.函数y的取值范围相同
2.易错点解析 漏掉k≠0这一条件
解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义
中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.
例4已知函数2k-8x3-ky为反比例函数,则k= .
二.反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的性质
反比例函数 )0(kxky
k的符号 k>0 k<0
图像
y
O x
y
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题（含答案解析）
知识点总结
1. 反比例函数k的集合意义：
①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k。
②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。这个三角形的面积等于2k。
2. 待定系数法求反比例函数解析式：
在反比例函数中只有一个系数k，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k
的值，从而求出反比例函数解析式。
3. 反比例函数与一次函数的不等式问题： 若反比例函数()0=kxky与一次函数()0+=kbkxy有交点，则不等式bkxxk+＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式
bkxxk+＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范
围。反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。
练习题
1、（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝xk1（k1是非零常数，x＞0）的图像
交于点M，N，与反比例函数y2＝xk2（k2是非零常数，x＞0）的图像交于点B，连接OM，
ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．23 D．﹣23
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【解答】解：∵y1、y2的图像均在第一象限，
∴k1＞0，k2＞0，
∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图像上，
∴S△OAM＝S△OCN＝k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图像上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
故选：B．
2、（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝43，若反比
反比例函数典型例题以及知识点归纳
1 反比例函数知识点归纳和典型例题
知识点归纳
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解
析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；
在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；
在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（，）在双曲线的另一支上．
2
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点归纳
知识点1 反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x（k为常数，k≠0）的函数。其中，自变量x的取值范围为x≠的一切实数，而函数值y的取值范围为y≠0.
知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数只有一个待定系数k，因此只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3 反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，与原点对称。由于自变量x≠，函数值y≠，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点。画反比例函数的图像应该先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接。
知识点4 反比例函数的性质
反比例函数的图像位置与函数值的增减情况与k的符号有关。当k>0时，函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，函数图像的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大。
反比例函数的图像位置和函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。在每个象限内，当k>0时，y随x的增大而减小；当k0.
反比例函数y=k/x中，k的几何意义可以通过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，得到矩形OEPF的面积S=k=xy=x*y=PF*PE。
在反比例函数y=k/x中，k越大，双曲线y=k/x越小，离坐标原点越远；k越小，双曲线y=k/x越大，离坐标原点越近。双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x。
练题：
1、反比例函数是y=k/x，其中k≠0.
2、函数y1=kx和y2=1/2x的图象如下所示，自变量x的取值范围相同的是第四象限。
3、函数y=m/x和y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是第一象限和第三象限。
4、反比例函数y=k/x的图象的两个分支分别位于第一象限和第三象限。