高一数学必修三第二章2.2.2第一课时
0
2.02
月均用水量/t
思考3：
如何在频率分 布直方图中估 计平均数
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
4 8 2 = x 1−4 + x 5−12 + L + x 99 −100 100 100 100 0 + 0 .5 0 .5 + 1 4 + 4 .5 =2.02 = 0.04 + 0.08 + L + 0.02 2 2 2
X = ( x1 + x2 + L+ xn ) n
思考2： 三种数字特征的优缺点
特征数 众数 优 点 缺 点 计算简单， 计算简单，体现了 只能表达样本数据 样本数据的最大集 中的很少一部分信 息，无法客观反映 中点 总体特征
中位数 计算简单，受极端 仅利用了数据中排 计算简单， 在中间数据的信息 值的影响较小 平均数 与每一个数据有关，受少数极端值的影 与每一个数据有关， 响较大， 更能反映全体的信 响较大，使其在估 息. 计总体时的可靠性 降低. 降低
作业：
1、学案
2、趣味作业 、
8+8=91
如何不动它使 等式成立？
频率 组距
众数： 众数： 最高矩形下端中点的横坐标。
中 位 数 众 数
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1
中位数： 中位数： 频率分布直方图左边 和右边的面积的平分线与x轴 交点的横坐标
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
月平均用水量(t) 月平均用水量
平均数： 平均数： 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中 点横坐标之和
２.2.2
用样本的数字特征估计总体的 数字特征 （一）
பைடு நூலகம்
曲师大数学系实习教师
荀华风
强化复习记忆
1、用样本的频率分布估计总体的分布的基本 、 方法有哪些？ 方法有哪些？ 2、从频率分布直方图中如何得到频率分布折 、 线图？ 线图？ 3、 当样本容量无限增大，分组的组距无限缩 、 当样本容量无限增大， 会得到什么？ 小，会得到什么？ 4、茎叶图的要点 中间是什么，旁边是什么 中间是什么， 、茎叶图的要点:中间是什么 旁边是什么? 5、比较各种表示方法的优缺点 、
1 1 x = (x1 + x2 +L+ x100) = [(x1 +L+ x4 ) + (x5 +L+ x12) +L+ (x99 + x100)] 100 100
平均数：每个小矩形的面积 平均数： 与小矩形底边中点的横坐标 的乘积之和。 的乘积之和。
例：对某电子元件进行寿命追踪调查，最终绘 ：对某电子元件进行寿命追踪调查， 制下图，试求电子元件使用寿命的众数， 制下图，试求电子元件使用寿命的众数，中位 平均数？ 数，平均数？
众数，中位数和平均数的简单性质
中心位置 一般数据中的意 义 特征 众数 在一组数据中出 现次数最多的数 把数按照从小到 大的顺序排列， 大的顺序排列， 位于最中间的数 一组数据的总和 除以这组数据个 数所得到的商 直方图中的含 对极端值的 敏感情况 义 最高举行下端 终点的横坐标 直方图面积平 分线与横轴交 点的横坐标 每个小矩形的 面积乘以小矩 形底边中点的 横坐标之和 不敏感
思考1 思考1：在城市居民月均用水量样本数据的 频率分布直方图中， 频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小 矩形内？由此估计总体的众数是什么？ 矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
众数： 众数： 最高矩形下端中
点的横坐标
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 月均用水量/t
应该采用平均数来表示每一个国家项目的平 应该采用平均数来表示每一个国家项目的平 平均数 均金额，因为它能反映所有项目的信息. 均金额，因为它能反映所有项目的信息 缺点：平均数会受到极端数据 万元的影响， 缺点：平均数会受到极端数据2200万元的影响， 万元的影响 所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大. 所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大
估计样本的中 位数、 位数、众数和平 均数的两种方法： 均数的两种方法：
Two： Two：从频率直 方图中估计
Part One： One： 利用样本数据中直接估计
思考1：如何求一组样本数据的众数、 ： 中位数和平均数？ ？
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的 出现次数最多的数 众数。无需计算。 众数。无需计算。 中位数：把数按照从小到大的顺序排列，位于最中间的 中位数：把数按照从小到大的顺序排列，位于最中间的 就是中位数。 数就是中位数。简单易得 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商 1 叫这组数据的平均数。 叫这组数据的平均数。
人员 周工 资 人数
经理
管理 人员 2200 250 1 6
高级 技工 220 5
工人 200 10
学徒 100 1
1、求出这个问题的中位数、众数、平均数 求出这个问题的中位数、众数、 在这个问题中， 2、在这个问题中，平均数能客观地反映该 工厂人员的工资水平吗？ 工厂人员的工资水平吗？
Part Two： 从频率直方图中估计
比较各种表示方法的优缺点
图形 频率分 布直方 图 优点 1）易表示大量 数据 2）直观的反映 分布的情况 1）无信息损失 随时记录， 2）随时记录， 方便记录和表示 缺点
不能保留 原始数据
茎叶图
只能处理 样本容量 较小样本 数据
新课引入
（一）众数、中位数和平均数 One： One：从样本数据 中直接估计
频率 组距 0.0035
0.0025 0.0015 0.0010 0.0005 0 100 200 300 400 500 600
众数： 众数：150 中位数： 中位数：220 平均数： 平均数： 50×0.1+150×0.35+2 × 50×0.25+350×0.15+ × × 450×0.1+550×0.05= × × 245
寿命（小时）
探究
“用数据说话”，这是我们经常可以听到的 用数据说话” 一句话．但是，数据有时也会被利用， 一句话．但是，数据有时也会被利用，从而 产生误导．例如，一个企业中， 产生误导．例如，一个企业中，绝大多数是 一线工人，他们的年收入可能是1万元左右， 一线工人，他们的年收入可能是1万元左右， 另有一些经理层次的人， 另有一些经理层次的人，年收入可以达到几 十万元．这时， 十万元．这时，年收入的平均数会比中位数 大得多．尽管这时中位数比平均数更合理些， 大得多．尽管这时中位数比平均数更合理些， 但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人 时，也许更可能用平均数来回答有关工资待 遇方面的提问． 遇方面的提问． 你认为“我们单位的收入水平比别的单位高” 你认为“我们单位的收入水平比别的单位高” 这句话应当怎样解释 ?
思考2 思考2： 频率 如何在频率分布直方图中估计中位数 组距 0.6 前四个小矩形的 平分频率分布 面积和=0.49 面积和 直方图面积的 0.5 平分线与x轴 0.4 0.25 的交点的横坐 0.3 标 0.22
0.2 0.1
0.04 0.08 0.15 0.14 0.06 0.04 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.02 4.5
中位数
不敏感
平均数
敏感
特征数 优 点 众数 体现了样本数据 的最大集中点
缺 点 只能表达样本数据 中的很少一部分信 息，无法客观反映 总体特征 仅利用了数据中排 在中间数据的信息
中位数 计算简单，受极 计算简单， 端值的影响较小
平均数 与每一个数据有 关，更能反映全 体的信息. 体的信息
受少数极端值的影 响较大， 响较大，使其在估 计总体时的可靠性 降低. 降低
这里“收入水平” 这里“收入水平”是指员工收入数据的某 种中心点, 即可以是中位数、平均数或众数， 种中心点 即可以是中位数、平均数或众数， 不同的解释有不同的含义． 不同的解释有不同的含义．使用者常根据自己 的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据 的中心位置，从而产生一些误导作用． 的中心位置，从而产生一些误导作用．
思考5： 样本数据的平均数大于（或小于） 中位数说明什么问题？ ？
平均数大于（或小于）中位数， 平均数大于（或小于）中位数， 说明样本数据中存在许多较大 或较小）的极端值. （或较小）的极端值.
小结
1、从频率分 布直方图中估 计三种数字特 征 2、三种数字 特征的简单 性质
3、三种数字 特征的优缺点
课本P74练习 练习 课本
假设你是一名交通部门的工作人员， 假设你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报 告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额， 26个公路项目投资的平均资金数额 告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其 中一条新公路的建设投资为2200万元人民币，另外25 2200万元人民币 中一条新公路的建设投资为2200万元人民币，另外25 个项目的投资是20 100万元 中位数是25万元， 20万元， 25万元 个项目的投资是20-100万元，中位数是25万元，平均 数是100万元，众数是20万元， 100万元 20万元 数是100万元，众数是20万元，你会选择哪一种数字 特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？ 特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？你选 择这种数字特征的缺点是什么？ 择这种数字特征的缺点是什么？
数学必修3第二章2.2.2(一)
答 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最 高矩形的中点的横坐标．例如，在 2.2.1(一)节调查的 100 位居民的月均用水量的问题中， 从这些样本数据的频率分 布直方图可以看出，月均用水量的众数估计是 2.25t.如图 所示：
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2.2.2(一)
本 讲 栏 目 开 关
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2.2.2(一)
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问题 4 从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众 数是 2.3，中位数是 2.0，平均数是 1.973，这与我们 从样本频率分布直方图得出的结论有偏差， 你能解释 一下原因吗？
答 因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明 分布的形状，从直方图本身得不出原始的数据内容， 也就是说频率分布直方图损失了一些样本数据，得 到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关， 所以估计的值有一定的偏差．
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数．
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2.2.2(一)
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解 在 17 个数据中，1.75 出现了 4 次，出现的次数最 多，即这组数据的众数是 1.75.上面表里的 17 个数据可 看成是按从小到大的顺序排列的， 其中第 9 个数据 1.70 是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这 1 组 数 据 的 平 均 数 是 x ＝ (1.50×2 ＋ 1.60×3 ＋ „ ＋ 17 28.75 1.90×1)＝ 17 ≈1.69(m)． 答 17 名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为 1.75 m，1.70 m,1.69 m.
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2.2.2(一)
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高一数学人教版必修三课件 第二章 统计 2.2.1
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2．频率分布折线图与总体密度曲线 (1)频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分 布折线图． (2)总体密度曲线 一般地，当总体中的个体数较多时，抽样时样本容量就不能太 小．可以想象，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加， 组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲 总体密度曲线 ，如图所示． 线，统计中称这条光滑曲线为______________
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3．茎叶图 茎叶图也是用来表示数据的一种图，其画法如下： 茎 (1) 将一个或两个样本的数据分为“____________ ”( 高位 ) 和 叶 “____________ ”(低位)两部分． 大小 次序排成一列． (2)将最小茎和最大茎之间的数按__________ 叶 (3)将各个数据的“____________ ”按大小次序写在其茎一侧 或两侧．
3．在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示什么？它们
的总和是多少？ 解:各小长方形的面积表示样本中落在该组内的数据的频率； 总和等于1.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
1．茎叶图的优缺点 优点：用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有 原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到 ; 二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与 表示．
可以满足85%以上的居民每月的用水量不超过标准． 对“P69思考”内容的导读：不同的样本得到的频率分布折线
图不同；即使对于同一样本，不同的分组情况得到的频率分
布折线图也不同，因此不能由样本的频率分布折线图得到准 确的总体密度曲线．
3.1.3
第一部分 第二章 §2 2.3 第一课时 直线和圆的位置关系
答案：0
8．过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20 ＝
解：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝52， 0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程． ∴圆心C(1,2)，半径r＝5. 由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三 角形， ∴圆心到直线的距离d＝ |AB| 2 r － 2 ＝ 52－42＝3.
1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆
心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌
握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股 定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利 用圆心到切线的距离等于半径．
3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分
利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时
42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－ ) ＋(y－ ) ＝5. 5 5
2 2
法二：∵圆的圆心在直线y＝2x上， 设圆的圆心为(m,2m)，因圆过点(3,2)， 则半径r＝ m－32＋2m－22. ∵圆与直线y＝2x＋5相切． |2m－2m＋5| ∴ 2 ＝ m－32＋2m－22 2 ＋－12
与直线y＝2x＋5相切的圆的方程．
解：法一：设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3－a2＋2－b2＝r2， b＝2a， 依题意得 |2a－b＋5| 22＋－12＝r，
a＝2， 解这个方程组，得b＝4， r＝ 5， ∴所求的圆的方程为：
4 a＝5， 8 或 b＝5， r＝ 5.
4 解得m＝2或5. 当m＝2时，圆心为(2,4)，半径r＝ 5. 4 4 8 当m＝5时，圆心为(5，5)，半径r＝ 5. 故所求的圆的方程为： 42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－5) ＋(y－5) ＝5.
2021学年数学人教A版必修3课件：2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
s
2
乙
＝
1 6
[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2
＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．
又s2甲>s乙2 ，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平 均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等 时，需先分析平均水平，再计算标准差方差分析稳定情况.
[难点] 对样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差意 义的理解．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 众数、中位数、平均数 [填一填]
[答一答] 1．一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？
提示：一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯 一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数 据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这 两个数据都是这组数据的众数．
s＝
30 3.
方法2适用于每个数据都比较接近同一个数的问题，当数据 又大又多时，更能体现方法2的优越性.
[变式训练4] 一组数据：3,4,6,7,10，其标准差是 6 .
解析：∵ x ＝15×(3＋4＋6＋7＋10)＝6，
∴s2＝
1 5
×[
(3－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(10－6)2]
[变式训练2] 一组数据的频率分布直方图如图所示，请你 在直方图中标出这组数据的众数、中位数和平均数对应的位置 (用虚线标明)，并根据直方图读出其相应的估计值．
解：众数、中位数、平均数对应的位置如图中虚线所示(众 数：右端虚线，中位数：左端虚线，平均数：左端虚线)．由直 方图观察可得众数为2.25，中位数为2.02，平均数为2.02.
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.2第一课时对数函数的图象及性质aa高一数学
[点睛] 形如 y＝2log2x，y＝log2 x3都不是对数函数，可 称其为对数型函数．
2021/12/12
第二页，共十八页。
2．对数函数的图象及性质
a 的范围
0＜a＜1
4．已知 y＝ax 在 R 上是增函数，则 y＝logax 在(0，＋∞)上是 ________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
2021/12/12
第六页，共十八页。
对数函数(duìshù hán shù)的概念
[例 1] 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；(3)y＝logx5; (4)log2x＋1.
[活学活用] 1．函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实 数 a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 1. 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，∴a＝1. 答案：1
2021/12/12
第九页，共十八页。
求对数(duìshù)型函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x); (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝lnx4－－3x； (4)y＝ log0.54x－3.
2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的图象及性质
预习课本 P 70～73，思考并完成以下问题
(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有 哪些性质？
(3)反函数的概念是什么？
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人教版高一数学必修三第二章统计全部教案和测试题
人教版高一数学必修三第二章统计目录2．1.1 简单随机抽样(新授课)2.1．2 系统抽样(新授课）２.1.3 分层抽样(新授课）2.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时）（新授课) 2.２.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时）（新授课) 2．３.１变量之间的相关关系（新授课）2．3．2两个变量的线性相关（第一课时)(新授课）２.3．２两个变量的线性相关（第二课时）(新授课）2．3.２生活中线性相关实例（第三课时)（新授课）第二章统计单元检测题(一）第二章统计单元检测题(一)参考答案第二章统计单元检测题(二)第二章统计单元检测题（二)参考答案第二章统计单元检测题(三)第二章统计单元检测题（三）参考答案第二章统计一、课程目标：本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法,以及集中从样本数据中提取信息的统计方法，其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容。
本章通过实际问题，进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法。
二、学习目标：1、随机抽样(1)能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
(2)结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
(3）在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样从总体中抽取样本;通过对实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法。
（4)通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
2、用样本估计总体(1)通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布彪、花频率分布直方图、频率折线图、茎叶土，体会它们各自的特点。
（２）通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据样本差。
(3）能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征,并做出合理的解释。
(4）进一步体会用样本估计总体的思想。
(5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。
(6)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
2019-2020数学必修3人教A版课件：第二章 2.2 2.2.2 第1课时 众数、中位数、平均数
(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动 对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能 不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，用中位数 描述这种趋势．
第十五页，编辑于星期日：点 二十一分。
【跟踪训练 1】 在一次中学生田径运动会上，参加男 子跳高的 17 名运动员的成绩如表所示：
(2)某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表： 型号 34 35 36 37 38 39 40 41
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种型号的鞋销量最 大，那么下列统计量中对你来说最重要的是( ) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
第三十二页，编辑于星期日：点 二十一分。
第二十四页，编辑于星期日：点 二十一分。
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所 有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩 形的面积即可．
∴ 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.021×10) ＋ 95×(0.016×10)≈73.7.
第二十八页，编辑于星期日：点 二十一分。
(3)去掉李某的工资后的平均工资 x 2＝16×(4500＋3500 ＋4000＋3200＋3200＋4100)＝3750(元)，该平均工资能代表 打工人员的当月收入的一般水平．
(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很 大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据．
答：17 名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为 1.75 m，1.70 m,1.69 m.
第十七页，编辑于星期日：点 二十一分。
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法
题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
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高中数学必修3第二章 2.2.2
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征.知识点一 众数、中位数、平均数思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大.梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数.知识点二 方差、标准差 标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差.s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数).(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近.s ＝0时，每一组样本数据均为x . 知识拓展：平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a . (2)设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则 a .s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]； b .数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； c .数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.1.中位数是一组数据中间的数.( × )2.众数是一组数据中出现次数最多的数.(√)3.一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近.(√)类型一众数、中位数、平均数的应用命题角度1众数、中位数、平均数的计算例1某公司的各层人员及工资数构成如下：人员：经理1人，周工资22 000元；高层管理人员6人，周工资均为1 800元；高级技工5人，周工资均为1 500元；工人10人，周工资均为1 000元；学徒1人，周工资为500元.(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？考点众数、平均数、中位数的综合题点具体数据中的众数、平均数、中位数解(1)众数为1 000，中位数为1 500，平均数为22 000×1＋1 800×6＋1 500×5＋1 000×10＋500×1≈2 209.1＋6＋5＋10＋1(2)虽然平均数为2 209，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平.反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题.(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中.(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m).答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 命题角度2 用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 例2 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：分组 频数 频率 [121,123) [123,125) [125,127) [127,129) [129,131] 合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 考点 众数、平均数、中位数的综合题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 (1)频率分布表如下：分组 频数 频率 [121,123) 2 0.10 [123,125) 3 0.15 [125,127) 8 0.40 [127,129)40.20[129,131] 3 0.15 合计201.00(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3， 平均数的精确值为x ＝125.75.反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征 ①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； ②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.考点 众数、平均数、中位数的综合题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 众数＝39.99＋40.012＝40；中位数为39.99＋0.225＝39.998；四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2. 平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.类型二 标准差、方差的应用例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1). 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋18×0＝90；②计算x i －x (i ＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3； ③计算(x i －x )2(i ＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9； ④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝448＝5.5；⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小. (2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散. (3)若样本数据都相等，则s ＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 解 x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100； x乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100； s 2甲＝17[[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2] ＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2] ＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57.所以s2甲＜s2乙，故甲车间产品较稳定.1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23考点中位数题点求茎叶图中的中位数答案 B解析由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.2.设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A.1＋a,4B.1＋a,4＋aC.1,4D.1,4＋a考点平均数题点由两组数的关系求平均数和方差答案 A解析∵x1，x2，…，x10的平均数x＝1，方差s21＝4，且y i＝x i＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数y＝110·(y1＋y2＋…＋y10)＝110·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝110·(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝x＋a＝1＋a，其方差s22＝110·[(y1－y)2＋(y2－y)2＋…＋(y10－y)2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s21＝4.故选A.3.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是()A.73.3,75B.73.3,80C.70,70D.70,75考点 中位数题点 求频率分布直方图中的中位数 答案 A解析 由图可知小于70的有24人，大于80的有18人，则在[70,80)之间的有18人，所以中位数落在[70,80)这组内，且为70＋103≈73.3；众数就是频率分布直方图中最高的矩形底边中点的横坐标，即70＋802＝75.4.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________. 考点 方差与标准差 题点 求标准差 答案 16解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8， 可知数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为2s ＝16. 5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 利用定义求平均数与方差解 (1)这10个学生体重数据的平均数为x ＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71. 这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72， ∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5.这10个学生体重数据的方差为 s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为11.1.标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.3.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.一、选择题1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数，众数，中位数分别为( ) A.85分，85分，85分 B.87分，85分，86分 C.87分，85分，85分D.87分，85分，90分考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 答案 C解析 平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85，故选C.2.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：次品数0123 4频率0.50.20.050.20.05则次品数的平均数为()A.1.1B.3C.1.5D.2考点平均数题点由表或图估计平均数答案 A解析设数据x i出现的频率为p i(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1，故选A.3.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为()A.65 B.65C.2D. 2 考点方差与标准差题点求方差与标准差答案 D解析∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∴a＋65＝1，解得a＝－1.则样本的方差s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为 2.故选D.4.某省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究，将连续5年棉花产量(千克/亩)的统计数据用茎叶图表示，如图所示，则平均产量较高与产量较稳定的分别是()A.甲棉种；甲棉种B.乙棉种；甲棉种C.甲棉种；乙棉种D.乙棉种；乙棉种考点用样本数字特征估计总体数字特征题点平均数与方差的综合应用答案 C解析根据茎叶图的数据知，甲棉种产量为68,69,70,71,72；乙棉种产量为68,68,69,69,71.∴甲棉种的平均值x 甲＝15×(68＋69＋70＋71＋72)＝70； 乙棉种的平均值x乙＝15×(68＋68＋69＋69＋71)＝69. 甲的方差s 2甲＝15×[(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2， 乙的方差s 2乙＝15×[(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2＋(69－69)2＋(71－69)2]＝1.2. ∴甲棉种平均产量较高，乙棉种产量较稳定.故选C.5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为( )A.62,62.5B.65,62C.65,62.5D.62.5,62.5考点 众数、中位数的综合应用 题点 频率分布直方图中的众数、中位数 答案 C解析 ∵最高的矩形为第三个矩形， ∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4. ∵0.5－0.4＝0.1，0.10.4×10＝2.5，∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.故选C.6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 答案 D解析 由已知得a ＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b ＝12×(15＋15)＝15，c ＝17，∴c ＞b ＞a .故选D. 7.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x －y |的值为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 答案 D解析 由题意得，x ＋y ＋105＋109＋1105＝108，① (x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.故选D.8.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6D.62.8,3.6考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 答案 D解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.9.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定 考点 平均数与方差的综合应用题点 平均数和方差在决策中的意义 答案 A解析 甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95， 所以x 甲＝15×(78＋77＋72＋86＋92)＝81， x乙＝15×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8. 所以x 甲＜x 乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定.二、填空题10.一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是________. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 答案 2 2解析 ∵一组数据2，x,4,6,10的平均数是5， ∴2＋x ＋4＋6＋10＝5×5，解得x ＝3，∴此组数据的方差s 2＝15×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8，∴此组数据的标准差s ＝2 2.11.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________.考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义 答案 5 甲组解析 由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a5＝76＋85＋89＋98＋975＝89，解得a ＝5.因为s 2甲＝15×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝3145，s 2乙＝15×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝3305， 所以s 2甲＜s 2乙，故成绩相对整齐的是甲组.12.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________.考点 平均数与方差的综合应用 题点 求平均数与方差 答案 5743解析 ∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5， ∴4＋x 2＝5，∴x ＝6.∴这组数据的平均数是－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5，这组数据的方差是16×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝743.三、解答题13.现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？ 考点 用样本的数字特征估计总体的数字特征的综合应用 题点 众数、平均数、中位数的综合应用解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5， 故直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数为220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，得a ＝224， 即月平均用电量的中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量在[240,260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量在[260,280)内的有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280,300]内的有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×15＝5(户).四、探究与拓展14.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s B考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差的综合应用 答案 B解析 由题图知，A 组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B 组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10， 所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝254，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝353.显然x A ＜x B .又由图形可知，B 组数据的分布比A 组的均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A ＞s B .15.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时.考点平均数题点由表或图估计平均数答案50 1 015解析由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件).由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时).。
北师大版数学必修三课件第2章第 2.2节
(2)赋值：把B的值赋给变量A，这个过程称为赋值，记作___A_＝__B____，其中
“__＝____”为赋值符号．
注意：赋值符号“＝”的右边B可以是常数，也可以是表达式，也可以是变
数 量，但是赋值符号“＝”的左边A只能是__变__量____，否则没有意义．
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第二章 算法初步
[思路分析] 当看到流程图时，应想到各种图形符号的含义及作用，仔细分
通过某些载体来表达一件事，肯定会有一种便捷、易懂的作用．我们即将
学习的变量与赋值就是基于这种考虑而萌发的．那么什么是变量与赋值呢？它
又是如何构成的呢？这就是本节将要学习的内容．
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第二章 算法初步
变量与赋值
(1)变量：在研究问题的过程中，可以取__不__同__数__值__的__量____称为变量．
新课标导学
数学
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第二章
算法初步 §2 算法框图的基本结构及设计
2.2 变量与赋值
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
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第二章 算法初步
自主预习学案
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第二章 算法初步
中国有一种古老的喝酒文化“划拳”，你会吗？当想表示八时将大拇指、
食指同时伸出，嘴里喊“八大仙”等，每个手势都被赋予了特定的“任务”．
『规律总结』 运用赋值号应注意：赋值号左边只能是变量名字，而不是
表达式；赋值号左右不能对换；不能利用赋值语句进行代数式或符号的演算；
数 赋值号与数学中的等号的意义不同．