同济高等数学第一章第七节课件
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同济六版高数第一册第一单元.ppt
定理 映射 f : X Y 可逆 f 是 X 到Y 的一一映射.
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
同济六版高等数学第一章第七节课件
无穷大量的定义
如果当x趋于某值时，函数f(x)趋于无穷大，则称f(x) 为无穷大量。
无穷小量与无穷大量的关 系
两者之间存在密切的联系，无穷小量是无穷 大量的极限状态，而无穷大量则是无穷小量 的极限状态。
03
导数的概念与性质
导数的定义与几何意义
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，即函数在该点的变化率。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行不定积分， 将其中一个函数作为u，另一个函数
作为v'，然后进行不定积分。
换元积分法
通过引入新的变量替换原函数中的自 变量，将不定积分转化为容易计算的
形式。
积分的应用
求面积
不定积分可以用来计算平面曲线下方的面积。
求长度
不定积分可以用来计算曲线在某个区间上的 长度。
物理应用
于这个值时的极限为A。
极限的性质
包括唯一性、有界性、局部 保号性等。这些性质对于理
解和应用极限非常重要。
极限的计算
包括直接代入法、因式分解 法、等价无穷小替换法等， 这些方法可以帮助我们计算 函数的极限。
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义
如果当x趋于某值时，函数f(x)趋于0，则称f(x) 为无穷小量。
同济六版高等数学第 一章第七节课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 函数与极限 • 导数的概念与性质 • 导数的应用 • 不定积分 • 定积分 • 总结与回顾
01
引言
本章概述
01
本章主要介绍极限的概念、性质及其在数学分析中的基础地位。
02
通过本章学习，学生将了解极限在研究函数、导数、积分等数
学概念中的作用。
高等数学同济第七版第一章ppt课件
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
同济大学线性代数__第一章PPT课件
20
例2： 计算四阶行列式
a0 0 b 0cd 0 D 0e f 0 g0 0 h
D = acfh + bdeg – adeh– bcfg
2021/3/21
21
重要结论：
(1) 上三角形行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a a11 22 ann
0 0 ann
2021/3/21
第一章 行列式
2021/3/21
1
§1 二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式 二元线性方程组
aa2111
x1 x1Leabharlann a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
2021/3/21
2
用消元法 (1) a22 (2) a12 得
(a11a2a2 21xa112aa2122)xx12
b1a22 b2
为三阶行列式, 记作
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
2021/3/21
9
对角线法则：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
22
(2) 下三角形行列式
a11 0 0
D
a21
a22
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann
2021/3/21
23
(3) 对角行列式
a 11
D
a22
a a11 22 ann
ann
2021/3/21
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
同济七版NUAA高数课件 第一章 函数与极限 函数
x sgn x x
16
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
17
(3) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
18
(4) 取最值函数
则
f u 1
u
1
1 u2
1
1 u2 ,
u
故
f (x) 1
1 x2 .
( x 0)
x
解：
x
2
x
k 1
x
k,k
0,1,2, x0
得定义域为 x < 0 且 x 1,2,
14
例3 设 f(x) 的定义域[0，1]，求 (1) f (x+a)+f(x-a) (a>0) 的定义域； (2) f (lnx)的定义域。
解: (1)
0 0
x x
a a
1 1
a
a
x
x
1 1
a
a
x应取在a≤x≤1-a, 而a ≤1-a
则: 若 a > 1/2 ，定义域为空集; 若 a <＝ 1/2 ，定义域为 [a, 1-a];
(2) 0≤ln x≤1 , 1≤x≤e为定义域。
15
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
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解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
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x3
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常用等价无穷小
～ ～ ～ ～
～推广ຫໍສະໝຸດ ～ ～ ～～作业 P55 5 (1) , (2) , (4)
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无穷小的阶
设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 b 如果 lim 0 就说b是比a高阶的无穷小 记为bo(a) a
b 如果 lim 就说b 是比a 低阶的无穷小 a b 如果 lim c 0 就说b 与a 是同阶无穷小 a b 如果 lim k c 0 k >0 就说b是关于a的 k 阶无穷小 a b 如果 lim 1 就说b与a是等价无穷小 记为a~b a
例 8 求 lim sin x 例 x 0 x3 3x 解 当x0时sin x~x 无穷小x33x与它本身显然是等 价的 所以 x lim x lim 1 1 lim sin x 0 x3 3x x 0 x3 3x x 0 x 2 3 3
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关于等价无穷小的定理 •定理1
b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b ao(a)
•定理2
b b b 设a~a b~b 且lim 存在 则 lim lim a a a 定理2的意义: 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等 价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得 适当 则可使计算简化
§1.7 无穷小的比较
观察与比较
观察两个无穷小比值的极限 2 x sin x lim 0 lim 3x lim 1 2 x0 3x x 0 x x 0 x 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不 同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来 3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿
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关于等价无穷小的定理 •定理1
b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b ao(a)
1 x2 例 例 66 因为当 x0 时 sin x~x tan x~x 1cos x~ 2 所以当x0时 有
sin xxo(x) tan xxo(x)
n
n
n
～
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关于等价无穷小的定理 •定理1
b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b ao(a) 证明 必要性: 设a~b 只需证b –ao(a) 因为
b a b b lim lim( 1) lim 1 0 a a a 所以b –ao(a) 充分性: 设bao(a) 则 b a o(a ) o(a ) lim lim lim[1 ] 1 a a a 因此a~b
注意：等价无穷小替换定理应遵从因式代替规则
若 a ~ b , 且 ( x) 极限存在或有界, 则 lim a ( x) lim b ( x) 1 1 lim 例如, arcsin x sin lim x sin 0 x 0 x x 0 x
tan x sin x 例9 求 lim . 3 x 0 x
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阶的比较举例
2 3 x 例 0 例 11 因为 lim x0 x 所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2o(x)(x0)
1 例2 因为 lim n n 1 n2 1 1 所以当 n时 是比 2 低阶的无穷小 n n
例 例 55 因为 lim sin x 1 x 0 x 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin x~x(x0)
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阶的比较举例 例6 证:
n 1 n 1 n2 ( a b ) a b ( a b ) a b
1 证明: 当 x 0 时, 1 x 1 ～ x n
1cos x 1 x 2 o( x 2 ) 2
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关于等价无穷小的定理 •定理1
b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b ao(a)
•定理2
b b b 设a~a b~b 且lim 存在 则 lim lim a a a a b b b 证明 lim lim a b a a b b a b lim lim lim lim b a a a
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b b b 若a~a b~b 且lim 存在 则 lim lim a a a
例 例 7 求 lim tan 2x x 0 sin 5x 解 当x0时 tan 2x~2x sin 5x~5x 所以 tan2 2x x 2 x x 2 lim lim tan lim lim 2 2 xx 00sin 005 5 x x 5 5 sin5 5 x x xx
2 9 x 例 6 例 33 因为 lim x3 x 3 所以当x3时 x29与x3是同阶无穷小
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阶的比较举例
1 cos x 1 例 4 例 4 因为 lim 2 x 0 x 2 所以当x0时 1cos x 是关于x 的二阶无穷小
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
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常用等价无穷小
～ ～ ～ ～
～推广ຫໍສະໝຸດ ～ ～ ～～作业 P55 5 (1) , (2) , (4)
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无穷小的阶
设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 b 如果 lim 0 就说b是比a高阶的无穷小 记为bo(a) a
b 如果 lim 就说b 是比a 低阶的无穷小 a b 如果 lim c 0 就说b 与a 是同阶无穷小 a b 如果 lim k c 0 k >0 就说b是关于a的 k 阶无穷小 a b 如果 lim 1 就说b与a是等价无穷小 记为a~b a
例 8 求 lim sin x 例 x 0 x3 3x 解 当x0时sin x~x 无穷小x33x与它本身显然是等 价的 所以 x lim x lim 1 1 lim sin x 0 x3 3x x 0 x3 3x x 0 x 2 3 3
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关于等价无穷小的定理 •定理1
b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b ao(a)
•定理2
b b b 设a~a b~b 且lim 存在 则 lim lim a a a 定理2的意义: 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等 价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得 适当 则可使计算简化
§1.7 无穷小的比较
观察与比较
观察两个无穷小比值的极限 2 x sin x lim 0 lim 3x lim 1 2 x0 3x x 0 x x 0 x 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不 同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来 3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿
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关于等价无穷小的定理 •定理1
b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b ao(a)
1 x2 例 例 66 因为当 x0 时 sin x~x tan x~x 1cos x~ 2 所以当x0时 有
sin xxo(x) tan xxo(x)
n
n
n
～
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关于等价无穷小的定理 •定理1
b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b ao(a) 证明 必要性: 设a~b 只需证b –ao(a) 因为
b a b b lim lim( 1) lim 1 0 a a a 所以b –ao(a) 充分性: 设bao(a) 则 b a o(a ) o(a ) lim lim lim[1 ] 1 a a a 因此a~b
注意：等价无穷小替换定理应遵从因式代替规则
若 a ~ b , 且 ( x) 极限存在或有界, 则 lim a ( x) lim b ( x) 1 1 lim 例如, arcsin x sin lim x sin 0 x 0 x x 0 x
tan x sin x 例9 求 lim . 3 x 0 x
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阶的比较举例
2 3 x 例 0 例 11 因为 lim x0 x 所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2o(x)(x0)
1 例2 因为 lim n n 1 n2 1 1 所以当 n时 是比 2 低阶的无穷小 n n
例 例 55 因为 lim sin x 1 x 0 x 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin x~x(x0)
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阶的比较举例 例6 证:
n 1 n 1 n2 ( a b ) a b ( a b ) a b
1 证明: 当 x 0 时, 1 x 1 ～ x n
1cos x 1 x 2 o( x 2 ) 2
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关于等价无穷小的定理 •定理1
b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b ao(a)
•定理2
b b b 设a~a b~b 且lim 存在 则 lim lim a a a a b b b 证明 lim lim a b a a b b a b lim lim lim lim b a a a
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b b b 若a~a b~b 且lim 存在 则 lim lim a a a
例 例 7 求 lim tan 2x x 0 sin 5x 解 当x0时 tan 2x~2x sin 5x~5x 所以 tan2 2x x 2 x x 2 lim lim tan lim lim 2 2 xx 00sin 005 5 x x 5 5 sin5 5 x x xx
2 9 x 例 6 例 33 因为 lim x3 x 3 所以当x3时 x29与x3是同阶无穷小
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阶的比较举例
1 cos x 1 例 4 例 4 因为 lim 2 x 0 x 2 所以当x0时 1cos x 是关于x 的二阶无穷小