同济大学高等数学课件
合集下载
高等数学同济大学第六版32省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
lim[af (h) bf (2h) f (0)] (a b 1) f (0) 0,
h0
f (0) 0, a b 1 0. 由罗必达法则得
0 lim af (h) bf (2h) f (0) lim af (h) 2bf (2h)
h0
h
h0
1
(a 2b) f (0), f (0) 0, a 2b 0.
g( x)
g( x)
限不存在，是否 f ( x)的极限也一定不存在？ g( x)
举例说明.
思索题解答
不一定． 例 f ( x) x sin x, g( x) x
显然 lim f ( x) lim 1 cos x
x g( x) x 1
极限不存在．
但 lim f ( x) lim x sin x 1 极限存在． x g( x) x x
0) 0
lim
x0
ln sin ax (a 0, b 0), ln sin bx
(
)
定理1 设
(1) lim f ( x) lim F ( x) 0;
xa
xa
(2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在
且 F ( x) 0;
(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x)
解
原式
lim
x
e x x2
(
)
lim x
e x
2x
()
lim
2e x
2 x
.
lim
x
e x x
( 0, 0).
(2) 求 lim x
ln x x
(
0). 1
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1
那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注 函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映 合射
逆映射
区邻 间域
构造 复合映射
初等函数 函
反函数
数
复合函数 构造
四则运算
第一讲 映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
)
lim
lim
lim
lim A(或).
17
定理2(等价无穷小替代定理)
设
~
,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
替代意义？？
lim
lim
复杂
简朴
将常用旳等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
(4)
如果
lim
k
C
(C 0, k 0),
就说是关于 的 k 阶无穷小.
(5) 如果 lim 1, 则称与是等价无穷小,
记作 ~ .
6
因为lim 3x 2 0 ，所以当x 0时，3x 2是比x 高阶旳无穷小， x0 x
即3x 2o(x)( x 0)．
例
比较无穷小：
1， n
1 n2
(n )
tan x x o( x),
arcsin x ~ x,所以 当x 0时有 arcsin x x o( x),
1 - cos x ~ 1 x2 , 所以 当x 0时有 2
1 - cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2(等价无穷小替代定理)
设
~
,
~
且
lim
A(或),
则
8.
2
27
小结
1. 无穷小旳比较 反应了同一过程中, 两无穷小趋于零旳速度
快慢, 但并不是全部旳无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 同阶(等价)无穷小; 无穷小旳阶. 2. 等价无穷小旳替代
第一课同济大学高等数学上预备知识ppt课件
例 设 X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,8 ,
T
X Y,
x
2 x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1 ,1 ,Y , ,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解 只要证明在 x 0 的任何空心邻域内，无论对怎样的
正数 M 0，总是存在该邻域内一点 x 0 ，使得
f x0 M.
1
现设
M
0，取
x0
2n
/
，
2
其中取
n
1
2
M
2
的正整数，
并且使得 x 0 在空心邻域内，
例：设 X R ,Y 1 ,1 ,Z 0 ,1 ,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z, T x(sinx)2.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
同济高数第4章课件第三节
同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
大学高数同济大学版PPT
( n 1, 0! 1)
( n) 设 y sin x , 求 y . 例5 解：y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu )
( n 1)
( n)
Cu
( n)
(3) (u v)
(n)
u v nu
(n)
n(n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n(n 1) (n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k!
x0
2.
x ( n) 设 y a ( a 0 , a 1 ), 求 y . 例2
解： y a ln a,
x
y a ln a,
x 2
y a ln a,
x 3
（a ） a ln a
x ( n) x n
特殊地： （e ） e
x ( n)
x
例3
设 y x ( R), 求y ( n) .
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0 lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99!
x 0
方法2 利用求导公式.
f ( x) ( x)
x
f (0) 99!
x, 3.设 f ( x ) ln( 1 x ),
1 y d dx d dy dy dy
d2x 2 dy
同济大学高等数学课件D121基本概念
可微性：偏导数是多元函数的偏导数之和，因此偏导数是可微 的 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
全微分的定义 全微分的基本性质 全微分与偏导数的关系 全微分在多元函数中的应用
偏导数的定义
全微分的定义
偏导数与全微 分的关系
偏导数与全微 分的应用
二重积分的定义：二重 积分是定积分在二维空 间上的推广，表示函数 在某个区域上的面积。
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
逼近性：傅里叶级数可以逼近任何周期函数
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
三角恒等式：傅里叶级数中的系数满足三角恒等式
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
傅里叶级数是无穷级数的一种特殊 形式
傅里叶级数的收敛性和基本性质
计算方法：定积分可以使 用牛顿-莱布尼茨公式计 算，不定积分可以使用微 积分的基本原理计算。
应用：定积分可以用于求 解面积、体积、平均值等 问题，不定积分可以用于 求解原函数、导数、微分 等问题。
偏导数的定义：对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量 固定，其他自变量变化时函数的变化率 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行
二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积
二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积， 而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其 导数之间关系的方程
分类：线性偏微分方程和非线性偏微分方程 偏微分方程的解法
偏微分方程的解法
有限差分法：用离散的有限个点上的近似值 来逼近偏微分方程的解
全微分的定义 全微分的基本性质 全微分与偏导数的关系 全微分在多元函数中的应用
偏导数的定义
全微分的定义
偏导数与全微 分的关系
偏导数与全微 分的应用
二重积分的定义：二重 积分是定积分在二维空 间上的推广，表示函数 在某个区域上的面积。
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
逼近性：傅里叶级数可以逼近任何周期函数
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
三角恒等式：傅里叶级数中的系数满足三角恒等式
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
傅里叶级数是无穷级数的一种特殊 形式
傅里叶级数的收敛性和基本性质
计算方法：定积分可以使 用牛顿-莱布尼茨公式计 算，不定积分可以使用微 积分的基本原理计算。
应用：定积分可以用于求 解面积、体积、平均值等 问题，不定积分可以用于 求解原函数、导数、微分 等问题。
偏导数的定义：对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量 固定，其他自变量变化时函数的变化率 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行
二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积
二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积， 而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其 导数之间关系的方程
分类：线性偏微分方程和非线性偏微分方程 偏微分方程的解法
偏微分方程的解法
有限差分法：用离散的有限个点上的近似值 来逼近偏微分方程的解