同济大学 高等数学 课件 .ppt
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1-1 高等数学 同济大学 第四版 课件
o
I
x
3．函数的奇偶性: ．函数的奇偶性
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有 f ( − x ) = f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y = f ( x)
f (− x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称 , 对于 ∀x ∈ D, 有
f (− x ) = − f ( x )
∀ a , b ∈ R , 且a < b.
{ x a < x < b} 称为开区间 记作 (a , b ) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
o a
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则
x (
(
D
对应法则f 对应法则
x0 )
f ( x0 )
自变量
W
y
)
因变量
高等数学同济第七版第一章ppt课件
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
高等数学同济大学第六版1-01-函数课件
x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x
2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他 用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质 变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函 数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。 微积分的研究是以极限的思想为基 本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。 但根本上，微积分这一学说的诞生 的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
自然定义法: 定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值.
例1 求下列函数的定义域
(1) y 3 x 1 x
x(,0) (0,3
(2) y lg(x2 4)
x (, 2) (2, )
练习：求下列函数的定义域
以 C = C( s )表示这个函数，其中 s 的单位是 km，C 的单位是元。按问题的规定：
当 0 < s 3 时，C = 10； 当 3 < s 10 时，C = 10 + 2( s – 3 )= 2s + 4； 当 s > 3 时，C = 10 + 2( 10 – 3 )+ 3( s – 10 )= 3s – 6 .
U (a) { x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
o
记作U
(a).
o
U (a) {x 0 x a }.
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
55同济大学第六版高数第3章1PPT课件
C
Y f (x)
M
B
KAB f(b)f(a) F(b)FF(x)
D
X F(2)F(b)
弦 A:Y B f(a )f(b ) f(a )[X F (a )] F (b ) F (a )
一个小于1 的正实根 证 设 f(x ) x 5 5 x 1 ,则f(x)在 [0,1]连,续
且 f(0 ) 1 ,f( 1 ) 3 .
x0(0,1)使 , f(x0)0即为方程的小于1的正实根. 设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 ,使 f(x1)0. 0x 0x 1 1 f(x)在x0,x1之间满足罗尔定 件, 理的条 至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个 f得 ()0.
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
预备知识
y
① f( )lim f( x )f( )
x 0
x
②f()表示曲y线 f(x)
在x处 切 线 的 斜 率o
y=f(x)
x
1
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理
若函数 f(x)满足
y
C
1 在闭 [a ,b 区 ]上间 连续
A
yf(x)
B
2在开 (a,b 区 )内间 可导
D
3 f(a )f(b )
oa
2 b x
则在 (a,b)内至少有一点(几何解释） 使f()0
2
证：f(x)在 [a,b]连,续 必有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0.
(a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a)f(b), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a), 则(在 a,b)内至少存 使 f(在 )M 一 . 点 f( x ) f( ) 0,
《同济版高数下》PPT课件
L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
对坐标的曲线积分
定
n
P(x, y)dx Q(x, y)dy
义
L
f (x,
y)ds lim 0
i 1
f (i , i )si
L
n
lim
0
i 1
[P(i
, i
)xi
Q(i , i
)yi
]
联
系
L Pdx Qdy L(P cos Qcos )ds
Iz
x2 y2 dT
J
Io J x2 y2 dT 或 J x2 y2 z2 dT
2019/5/6
13
计算上的联系
f ( x, y)d
b
[
y2( x) f ( x, y)dy]dx, (d面元素)
D
a y1 ( x )
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(沿L的正向)
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
P Q R
(
x
y
z
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)1_1 函数-PPT精选文档
⑶半开区间 a,b x | a x b，a,b x | a x b ⑷无限区间 a, x | x a， ,b x | a x b，
全体实数集 R 可记作, ．
[a,b]
(a,b)
a (a) b x
O a (b) b x
i 只日光灯． （2）描述法 用一个命题（或一句话）来描述集
合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法．
例如：上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数；
C 是方程 x2 4x 3 0的解集：
列举法：C 1,3；描述法：C x x2 4x 3 0 .
如果 a 是集合 A 的元素，记为a A； 如果 b 不是集合 A 的元素，记b A为 (或b A)．
2． 集合的表示法 （1）列举法 将集合中的元素列举出来的表示法． 例 如 ： 小 于 10 的 正 奇 数 所 组 成 的 集 合
A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的 集合 B b1,b2,b3,b4,b5．其中bi i 1, 2,3, 4,5分别表示第
数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的 集合为Q ．
（4）空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
例如： x x R且x2 2 0 是空集．
（二）区间与邻域
的元素，称A是B的子集．记为AB或BA
（2）相等子集 若集合A与集合B含有相同的元素，
称A与B相等，记为AB或B A
（3）真子集 若AB且AB，称A是B的真子集， 记为AÖ B
全体实数集 R 可记作, ．
[a,b]
(a,b)
a (a) b x
O a (b) b x
i 只日光灯． （2）描述法 用一个命题（或一句话）来描述集
合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法．
例如：上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数；
C 是方程 x2 4x 3 0的解集：
列举法：C 1,3；描述法：C x x2 4x 3 0 .
如果 a 是集合 A 的元素，记为a A； 如果 b 不是集合 A 的元素，记b A为 (或b A)．
2． 集合的表示法 （1）列举法 将集合中的元素列举出来的表示法． 例 如 ： 小 于 10 的 正 奇 数 所 组 成 的 集 合
A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的 集合 B b1,b2,b3,b4,b5．其中bi i 1, 2,3, 4,5分别表示第
数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的 集合为Q ．
（4）空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
例如： x x R且x2 2 0 是空集．
（二）区间与邻域
的元素，称A是B的子集．记为AB或BA
（2）相等子集 若集合A与集合B含有相同的元素，
称A与B相等，记为AB或B A
（3）真子集 若AB且AB，称A是B的真子集， 记为AÖ B
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)3_7 曲率-PPT课件
M 00M M M 的方向与曲线的正向一致时， s 0;当二者方向相反 M0 M s( x), 且为 x 的单 时， s 0 ，故弧 s 为 x 的函数 s M 0M 调增函数. s( x) 的微分称为弧微分.下面求函数 s( x) 的导数 和微分. 在曲线 y f ( x) 上点 M ( x, y) 的邻近取一点 M ( x x, y y) ( x (a, b), x x (a, b)),则函数 s( x) 的 增量为 s : s M M00M M M M00M M MM M M (图 3-12)
y A M’ R M x 图3-14
1 O s R 1 lim 从而 s 0 s R 这就是说，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，即处 处弯曲程度相同.半径愈小，曲率愈大，弯Biblioteka 愈甚.1M2 M1
2
M3
M1
N1
M2 N2
图3-13 （b） （a） M1 M 22 较弧 M 从图 3-13(a)看出，弧 M M 22M M33 平直.在弧 M M11M M2 2 1M 上，当动点沿曲线由点 M 1 移动到点 M 2 时，切线转过角1 ；
M2 M 33 上， 在弧 M 当动点由点 M 2 移动点 M 3 时， 切线转过角 2 ， 2M 显然 2 1 .但仅仅由切线转过的角度的大小还不足以充分
M M时 s 0， 当 ， 将 平 均 曲 率 取 极 限 （ 若 极 K 限 存 在 ） ， 称 该 极 限 值 为 曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 ， 记 作 K lim K lim . M M s 0 s 由 导 数 定 义 得 d K (2 ) d s
例1 求直线上各点的曲率 .
y A M’ R M x 图3-14
1 O s R 1 lim 从而 s 0 s R 这就是说，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，即处 处弯曲程度相同.半径愈小，曲率愈大，弯Biblioteka 愈甚.1M2 M1
2
M3
M1
N1
M2 N2
图3-13 （b） （a） M1 M 22 较弧 M 从图 3-13(a)看出，弧 M M 22M M33 平直.在弧 M M11M M2 2 1M 上，当动点沿曲线由点 M 1 移动到点 M 2 时，切线转过角1 ；
M2 M 33 上， 在弧 M 当动点由点 M 2 移动点 M 3 时， 切线转过角 2 ， 2M 显然 2 1 .但仅仅由切线转过的角度的大小还不足以充分
M M时 s 0， 当 ， 将 平 均 曲 率 取 极 限 （ 若 极 K 限 存 在 ） ， 称 该 极 限 值 为 曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 ， 记 作 K lim K lim . M M s 0 s 由 导 数 定 义 得 d K (2 ) d s
例1 求直线上各点的曲率 .
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设数列
lim
n
xn 存在，则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
n
xn
lim
k
xn k
.
用此定理，即可说明数列 1n 的极限不存在。事
实上：
lim
n
x2n1
1,
lim
n
x2n
1,
所以，lim n
xn
不存在.
值得注意的是，对于函数，我们不能用此定理来证明
个不同的子列，使函数收敛到两个不同的值，则说明函
数在这一点无极限.
lim
n
f
(xn )
y
A
lim
xx0
f
(x).
f (x2 )
f (x4 )
A
f (xn )
f (x3 )
f (x1)
O x1 x3
xn x0
y f x
lim
n
xn
x0,
x4 x2
x
例 证明函数 f (x) sin 在x 0时极限不存在.
即： f x 在x0的某个空心邻域内有界.
局部有界的几何意义
从图中可以看出局部有界的含义：函数 f x 在 x0 处 o
的极限为 A，则存在点x0的一个空心邻域 U (x0, ), 当
点 x0 在该邻域中，对应
的函数图形在某一个带
y
A+1
y f x
形区域中，而该邻域外 A
的点所对应的函数图形， A-1
x
证令
1
1
xn 2n 1 , yn 2n ,
2
则
lim
n
xn
lim
,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
(
yn )
0,
所以lim sin 不存在.
x0
x
y
y sin
x
1
x
1
对于数列，相应的归并性定理为
定理
有
f (x) A ,
又因
lim
n
xn
x0,
故对 0，存在N，当n N时，有
0 xn x0 ,
即
xn U (x0, ),
因而
f (xn) A ,
即
lim
n
f
(xn )
A
lim
xx0
f
(x).
此定理的一个实际意义是：对函数，如果能够找到两
平行地得到.）
设
lim
n
xn
a且
lim
n
xn
b,
假如 a b,
因为
lim
n
xn
a,当取
b a / 2, 时，
ba
N1 ,
当 n N1时，有xn a 2 ,
因为
lim
n
xn
b,当取
b a / 2, 时， N2,
ba
当 n N2时，有 xn b 2 ,
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A / 2,存在 0,
o xx0
当x U (x0, ) 时，有
f (x) A A
y 3A/2
y f x
2 A
f x A A 0.
2
A/2
o x0 x0 x0
x
推论 在x0的某个空心领域中，有 f x 0, 且
的存在，但对数列，若数列 xn 的两个子列
(x2n1), (x2n ) 满足：
lim
n
x2n1
lim
n
x2n
a,
则，
lim
n
xn
a
.
思考：对于数列而言，这个性质说明的本质问题是什 么？
你是否能给出一个一般结论并证明之.
证：
设 lim n
x2n1
lim
n
x2n
a,
则
0, N1, N2
当 n N1 时，x2n1 a
当 n N2 时，x2n a
第四节 极限的性质
本节要点
本节主要讨论函数极限的性质，数列极限的性质可以 平行地得到。函数极限的性质主要包括 一、唯一性 二、局部有界性 三、局部保号性 四、归并性
定理1 (极限的唯一性)如果极限
lim
x x0
f (x)(lim x
f
( x),
lim
n
xn
).
存在，则极限是唯一的.
证 （仅证数列的情况，函数的极限性质的证明可以
x0的某个空心邻域内，函数
f
xx0
x 有界.
证 设 lim f (x) A，由定义，对 1, 存在 0,当
xx0
o
0 x x0 ，即x U (x0, ), 有
f (x) A 1,
f (x) f (x) A A
f (x) A A 1 A ,
xn
n1
是函数 f
x 定义域中
的一个任意数列，xn x0 ,且
lim
n
xn
x0,
则此数列相应的函数值数列
f
xn
收敛，且
n1
lim
n
f
(xn )
lim
x x0
f
(x).
证
设
lim
xx0
f (x) A，则存在U (x0, ), 当x U (x0, ),
lim f (x) A,
x x0
则 A 0.
注意：如果推论的条件改成 f x 0 （严格大于），则
不能推出 A 0,
例 f (x) | x |, x 0 时f x 0, 但 lim f (x) 0. x0
定理4(函数极限的归并性)
设 lim f (x) 存在，又设 xx0
取 N maxN1, N2,则当 n N 时有，
b a (xn a) (xn b)
ba ba (xn a) | | (xn b) 2 2 b a ,
这是矛盾的，所以 a b.
定理2 (局部有界性)如果极限lim f (x) 存在 ，那么在
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a ，则对所有的 n，
有 xn M 。
推论
若数列
xn
无界
n 1
，则极限
lim
n
xn
不存在.
定理3 (极限的保号性)如果 lim f (x) A 0 ，则存在点 xx0
x0 的某个空心邻域内，使得在该领域中有：f x 0.
则可能呈现无规律的变
化状态.
o x0 x0 x0
x
定理 2
(有界性)如果极限
lim
n
xn
存在
，那么存在
M
0,
使得对所有的n，有 xn M .
证
设
lim
n
xn
a
，由定义，对 1, 存在N 0,当
n N 时，有 xn a 1, 从而
xn xn a a 1 a ,