三维欧氏空间中的张量
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4.6Riemann-Christoffel张量(曲率张量)
1 空间， 对于一个 m 维的 Riemann 空间，必定有一个 n = m(m + 1) 2 空间包容它， 空间是嵌入 维的 Euclidean 空间包容它，使 m 维的 Riemann 空间是嵌入 n 维 Euclidean 空间的一个子空间。 空间的一个子空间。 空间中， 在 Riemann 空间中，一般来说找不到一个适用于全空间的 笛卡儿坐标系（ 笛卡儿坐标系（即其度量张量的分量 gij 不一定能通过一种线性
yi 的非线性微分方程组。这组方程的可积性条件是 x p 对 yi 的非线性微分方程组。 混合偏导数与求导次序无关，此时这 个方程彼此是协调的 个方程彼此是协调的。 混合偏导数与求导次序无关，此时这18个方程彼此是协调的。
即
2x p x r x q p 2 x p x r x q p i′ j ′ + i′ j′ Γ rq = j ′ i′ k ′ + i′ k ′ Γ rq k′ y y y y y y y y y y
x r x q p i′ k ′ Γ rq j′ y y y
p x r x q x s Γ rs t p t p q Γ rq Γ ts Γ sq Γ rt = i′ j′ k′ y y y x
可积性条件可写成
p p Γ rq Γ rs x x x t p t p q + Γ rq Γ ts Γ rs Γ tq = 0 i′ j′ k′ s y y y x x (i′, j′, k ′, p = 1, 2, 3) r q s
s Γ ik r r r s r s r Sikj = ai,kj ar ,k Γ ij ai,r Γ kj ar , j Γ ik as j Γ rk Γ ij Γ ir Γ kj x
第一章 三维欧氏空间中的张量_小结
当坐标转动 当坐标反演
ij
（2）张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的下标数
（3）单位张量：
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
—— 三维空间中的单 位张量 二维空间中的单位张量
律。例如：
(aij + bij )ck = aij ck + bij ck (aij bk )cm = aij (bk cm )
或
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C、张量函数的求导：
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参
数 xi 的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 ◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前
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E、张量的分解： 若张量[aij] 的分量满足 aij = aji 则称[aij] 为对称张量。 若张量[aij] 的分量满足 aij =－aji 则称[aij]为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。
a11 = a22 = a33 = 0
(1) (2)
ai = U imVmn cn
把（2） 代入（1）
bi = Vim cm
bm = Vmn cn
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2 乘积 设
p = U m am q = Vm bm p q = U m amVn bn p q ≠ U m amVm bm
不符合求 和约定
则
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第一章 三维欧氏空间中的张量_第6次课
3. 散度：
a. 定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度 . b. 表达式：
v divF = lim
v v F ds
S
V 0
c. 散度的计算：
V
z
S3
S2
S6
在直角坐标系中，如图做一封闭 曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
S1 S4
S5
v v v v v v v v v v v v v v ds ds ds ds ds ds F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + F 5 + F 6 ds
球坐标系中： v 1 R 2 FR ) F ( ( 1 Fθ sin θ ) 1 φ = 2 F + + R R R sin θ θR sin θ φ 正交曲线坐标系中： v 1 = F h1h2 h3
Fu h 2 h 3 1 ( Fu2 h1h3 ) Fu3 h1h2 ) ( + + u 2 u 3 u 1
讨论
a. 如果闭合曲面上的总通量 ψ > 0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意 味着闭合面内存在正的通量源 . b. 如果闭合曲面上的总通量 ψ < 0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些 矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟 . c. 如果闭合曲面上的总通量 ψ = 0 说明穿入的通量等于穿出的通量 .
F F F G G G =i +j +k +i +j +k x y z x y z
= F + G
（2 + j + k )( FG ) ） ( FG ) = (i x y z
关于向量及张量的乘法_朱正元
(f
g ) = f g ij11……ijrs11++ rs22
ij11…… ijrs11 ijrs 11++ 11…… ijrs11++ rs22
易知 ,如上定义的张量积 f g 与基的选取无关 .
可以看到 ,两个张量相乘就是它们作为多重线性函数的张量积 .
由于 E. Cart an外微分方法的深远意义 ,使得反对称张量在流形理论的研究中发挥了巨大
( f , g )→ fΛg=
( r+ r!
s )! s!
Ar+ s ( f
g)
把 Λ称为外乘 . ( r+ s)阶反称共变张量 fΛg 称为 f 与 g 的外积 .
外积是双线性的 ,特别地它满足反交换律:
fΛg= ( - 1)rs gΛf , f ∈ Λr ( V* ) , g∈ Λs ( V* )
r 1+
1 ,…
, v*
, v r1+ r 2 s 1+
1,…
, vs1+
s2 )
其中对于任意
58
中央民族大学学报 (自然科学版 )
第 9卷
( v* 1 ,… , v* ) ∈ r1பைடு நூலகம் r 2
V0 r 1+ r2
和
( v1 ,… , vs1+ s2 ) ∈ Vs01+ s2
此外 , f
g 关于基 {ei }的分量是 f 的分量和 g 的分量的乘积 ,即
的 n 个分量分别是第一行元素的代数余子式 A1 ,… , An
于是有
[a1 ,… , an - 1 ] = Ai ei
( 5)
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
张量分析第五章
r3是相互正交的V中每一点都不变的单位矢量时， ( x1, x 2 , x 3 ) ( x1 , x2 , x3 )称为 x ∈V的直角坐标。显然 x ∈V的曲线坐标 ( x i ) 随基底的变化而不同。也正是这种变化使得对不同的物理 、力学问题，或是 Euclid 空间的某些几何属性采用不同的 曲线坐标，其数学表述形式上将会不同。同一问题的不同 曲线坐标描述有的更为直接，有的可能会很复杂。当然对 具体问题的数学表述越直接越好。这就要求在对具体问题 进行数学表述时应当首先选择一个好的曲线坐标（本质上 不同曲线坐标的同一问题表述都是等价的）。正是为了这 一目的，本章将对曲线坐标进行讨论。
( xi i j ) x i
x1 x2 x3 i i1 i i2 i i3 ; (i 1, 2,3) x x x
r1, r2, r3称为参考坐标系{o；i1, i2, i3}中位置矢量x处的局部 基。{ x；r1, r2, r3}称 x 处的局部坐标系。或称为 x 处的曲 线坐标系。 例2： 试求例1曲线坐标（球坐标）的局部基矢量。 解： x x sin x cos x ; x x sin x sin x ; x x cos x ∵ x x x x r i i (sin x cos x )i (sin x sin x )i (cos x )i ∴ x x x x
1 2
con st a
x2
x1 A x2
( x )
1
2
( x2 x3
1 2 2 )
o
const b
x1
x3
( x1 ) 2 ( x 2 ) 2 (bx3 ) 2 0
这是{o；i1, i2, i3}坐标系内顶点在o的锥面。 当 x 3 const 时：
张量的基本概念
张量的基本概念
概念
由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合。
张量是矢量和矩阵概念的推广，标量是0阶张量，矢量是1阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量好比是立方体矩阵。
它的出现是有原因的，因为我们无法用标量和向量完整的表示所有的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就必须扩大，所以张量就出现了。
下标标记法
求和约定
关于自由标号
同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶标号字母相同。
关于Kronecker delta (δij)符号
张量的基本运算
参考文献
康冉1991，张量的概念及其基本运算，百度文库。
你们的评论、反馈，及对你们有所用，是我整理材料和博文写作的最大的鼓励和唯一动力。
欢迎讨论和关注！
没有整理与归纳的知识，一文不值！高度概括与梳理的知识，才是自己真正的知识与技能。
永远不要让自己的自由、好奇、充满创造力的想法被现实的框架所束缚，让创造力自由成长吧！多花时间，关心他（她）人，正如别人所关心你的。
理想的腾飞与实现，没有别人的支持与帮助，是万万不能的。
第一章 三维欧氏空间中的张量
aij bi c j = ∑∑ aij bi c j = a11b1c1 + a12 b1c2 + a13b1c3
i =1 j =1
j =1 3
3
展开式（9项）
+ a21b2 c1 + a22 b2 c2 + a33b2 c3
+ a31b3c1 + a32 b3c2 + a33b3c3
aijk xi x j xk = ∑∑∑ aijk xi x j xk
r r r r 得到 r e i × e j = ε ij 1 e1 + ε ij 2 e 2 + ε ij 3 e3
●
r r r r r e1 × e2 = −e2 × e1 = e3 r r r r r e2 × e3 = −e3 × e2 = e1 r r r r r e3 × e1 = −e1 × e3 = e2
2 2 11 2 22
2
2 33
2
(aii ) = (a11 + a22 + a33 )
例外情况
R1 = C1 E1 R2 = C2 E2
Ri = C i E i = C i Ei
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和.
R3 = C3 E3
规定
出现双重指标但不求和时，在指标下方 加划线以示区别，或用文字说明(如 i 不 求和).
r r ei × e j = 0
i=j
任意两矢量的叉积
3 r r r r r a = a1e1 + a2 e2 + a3 e3 = ∑ ai ei i =1 r 3 r r r r b = b1e1 + b2 e 2 + b3 e3 = ∑ bi ei r r 3 3 r r i =1 a × b = ∑ ∑ ai b j ei × e j
三维欧氏空间中的张量
旋转与平移
旋转和平移操作会影响张量的值，需要根据具体的变换规则进行计 算。
缩放与拉伸
缩放和拉伸操作会影响张量的尺寸，需要根据具体的变换规则进行 计算。
张量的分解与重构
01
分解
将一个复杂的张量分解为若干个 简单的张量或基本张量，便于理 解
根据分解后的简单张量或基本张 量，重新构造出原来的复杂张量。
张量的运算
总结词
张量的运算包括标量运算、矢量运算和张量运算，这些运算可以用于计算张量的值和变 换张量。
详细描述
标量运算是针对张量的单个元素进行的代数运算，如加法、减法、乘法和除法等；矢量 运算是针对由多个元素组成的矢量进行的运算，如矢量的加法、减法、数乘和点积等； 张量运算是将一个或多个张量作为输入，通过一定的变换规则得到一个新的张量，如张
三维欧氏空间中的张量
contents
目录
• 张量基础 • 三维欧氏空间中的张量表示 • 张量在物理中的应用 • 张量的计算与变换 • 三维欧氏空间中张量的应用实例
01
张量基础
张量的定义
总结词
张量被定义为满足一定规则的数学对象，用于描述物理量在坐标变换下的性质。
详细描述
在三维欧氏空间中，张量是一个多维数组，其元素可以是实数、复数或向量等。 张量可以表示物理量在不同坐标系下的关系，具有变换规则，能够保持物理量 在不同坐标变换下的不变性。
量的缩放、转置和求导等。
02
三维欧氏空间中的张量表示
坐标系与基底
坐标系
在三维欧氏空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来表示点的位置。该坐标系由三 个互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
基底
基底是三维欧氏空间中一组线性无关的向量，通常选择三个两两正交的单位向量 作为基底，分别为ex、ey和ez。
旋转和平移操作会影响张量的值，需要根据具体的变换规则进行计 算。
缩放与拉伸
缩放和拉伸操作会影响张量的尺寸，需要根据具体的变换规则进行 计算。
张量的分解与重构
01
分解
将一个复杂的张量分解为若干个 简单的张量或基本张量，便于理 解
根据分解后的简单张量或基本张 量，重新构造出原来的复杂张量。
张量的运算
总结词
张量的运算包括标量运算、矢量运算和张量运算，这些运算可以用于计算张量的值和变 换张量。
详细描述
标量运算是针对张量的单个元素进行的代数运算，如加法、减法、乘法和除法等；矢量 运算是针对由多个元素组成的矢量进行的运算，如矢量的加法、减法、数乘和点积等； 张量运算是将一个或多个张量作为输入，通过一定的变换规则得到一个新的张量，如张
三维欧氏空间中的张量
contents
目录
• 张量基础 • 三维欧氏空间中的张量表示 • 张量在物理中的应用 • 张量的计算与变换 • 三维欧氏空间中张量的应用实例
01
张量基础
张量的定义
总结词
张量被定义为满足一定规则的数学对象，用于描述物理量在坐标变换下的性质。
详细描述
在三维欧氏空间中，张量是一个多维数组，其元素可以是实数、复数或向量等。 张量可以表示物理量在不同坐标系下的关系，具有变换规则，能够保持物理量 在不同坐标变换下的不变性。
量的缩放、转置和求导等。
02
三维欧氏空间中的张量表示
坐标系与基底
坐标系
在三维欧氏空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来表示点的位置。该坐标系由三 个互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
基底
基底是三维欧氏空间中一组线性无关的向量，通常选择三个两两正交的单位向量 作为基底，分别为ex、ey和ez。
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称为n阶张量
T
(
n)
r (r
)
r Ti1i2L in (r)
是 T(n)(第rr )
(i1,i个2,L分,i量n)
标量是零阶张量,矢量为一阶张量
四维空间：n阶张量: 4 n个分量
张量的判断
例2.1 试证
i
是 三维矢量 xi
证明: 由
Y(xj(xi))Yxj xj
xi
xj xi xi xi xj
即得 i aij j
ijkkkl detijm m
ik jk
detijll ijm miljmimjl
(3.13)
ijklm k il jm imjl
(3.14)
上式中取 m j
ijk ljk detijll
ij jj
detijll
ij
3
3il ijjl 2il
(3.15)
上式中取 l ，i 有
ijkijk2ii233! (3.16)
则分别称张量T相当于指标 ( i1 , i是2 ) 对称的和反对称的 如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵 Tij Tji
● 构造张量T关于指标 ( i1 , i的2 ) 对称部分和反对称部分
对称部分 反对称部分
T T T 2 {i1 i2}L in
i1 i2L in i2 i1 L in
当 aijij (aI,d et(a)1 )则由(3.9)(3.10)两式得
ijk detij11
i2 j2
ij33det11ij
2i 2j
3i 3j
k1 k2 k3
1k 2k 3k
(3.11)
由此得
ijklmndetij11
i2 j2
ij33det12ll
k1 k2 k3 3l
1m 1n 2m 2n 3m 3n
e3
A3
B1 B2 B3
(3.19)
(Ar Br)Cr detBA11
A2 B2
A3
可写成
x2
a21
a22
a23
x2
及
x3 a31 a32 a3 x3
x ax
(1.6)
1.1.3 变换矩阵的特性
OP的间距为L x 2x 1 2x 2 2x 3 2x ix i 因为间距与坐标系转动无关，故 x2 x2
将(1.5)式代入得 x i x i ( a i jx j) ( a i k x k ) a i ja i k x jx k x jx j
(三维空间的)场：物理量是空间坐标的函数
标量场: 一个量 且 空间转动变换下不变,即满足
(rr)(rr)
(2.1)
矢量场: 三个量 A i(r r)(i在 空1 ,2 间,3 转)动变换下像
坐标 x i一样变换,即 A i(rr)aijA j(rr) (2.2)
A1
A
2
A 3
记为
r A
(
rr
标量 坐标系反演时数量和符号不变 如质量，电荷，温度等
赝标量 反演时符号改变。如极矢量Ar,Br,的Cr 混合乘积 rrr C(AB)
1.3.3 不变张量: 若张量 T i1i2 L在in 坐标转动变换不变
T i1 i2 L in (r r) T i1 i2 L in (r r)
(3.4)
例3.1 不变矢量是零矢量 证明: Q A a A A a A A Q a I A 0
即 T ij(r r) a ila jm T lm (r r)
(2.3)
记为 T (rr )
Tij ( rr ) :第 ( i ,个j ) 分量
3*3矩阵表示
T T
11 21
T12 T 22
T13 T 23
T 3 1 T 3 2 T 3 3
补充:坐标表示 T T 1 1 e 1 e 1 T 1 1 e 1 e 2 T 1 3 e 1 e 3 T 2 1 e 2 e 1 T 2 2 e 2 e 2 L
)
Ai (rr ) :第i个分量
列矢形式, 行矢: r
A1, A2, A3
坐标表示 A A 1 e 1 A 2 e 2 A 3 e 3
二阶张量: 九个量 T ij(r r)(i,且j 在1 ,空2 ,3 间)转动变换下
像两个坐标分量的乘积 xixj (i,j一1,样2,变3)换
(两个坐标分量乘积的变换为 xixj aila ) jmxlxm
对于一个二阶张量 a ,以其分量 为a i j矩阵元的行列式为
a11 a12 det(a)deta21 a22
a31 a32
a13
a23 lmna1la2ma3n
a33
(3.8)
上式可写成
a1l
lmndeta2l
a3l
a1m
a2m
a1n a2nijk
ail lmndetajl
a3m a3n
akl
则为真正的张量,简称张量
若n阶张量T的分量按照下式变换
T () T i1i2Lin
n1 i1i2Lin
称为赝张量
n ()n 称为场的空间宇称
(3.2) (3.3)
常见的空间宇称为
标量 n 1 (极)矢量 n 1 二阶张量 n 1
赝标量 n 1 (轴)矢量 n 1 二阶赝张量 n 1
OPxkek
因为转动前后位矢相等，故有 xkek xjej
用 e i 点乘，有 xkekeixjejei 得 xi aij xj (1.5) 即转动后坐标满足 x i a i1 x 1 a i2 x 2 a i3 x 3 a ijx j i 1,2,3
x1 a11 a12 a13 x1
三维矢量 eii
例2.2 试证 是i j 三维欧氏空间中的二阶张量
证明: 由 ei aije j 有 eiailel, ejajm em
可得 eiej ailajmelem
由于基矢正交性,得 ij ailajmlm
●
若张量 T i1 i2 L in
满足
T T i1i2Lin
i2i1Lin
(2.5)
例3.2 是i j 一个二阶对称张量,而且是不变张量
证明: Q e ie j e je i ijji 二阶对称张量
又二阶张量 为i j 一单位矩阵 I
故 IaIaTaaTI 不变张量
1.3.4 符号 和i j 的 关i j k 系
Levi-Civita 符号的定义
1
1
ijk
1
0
i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环
即 eT eTa
(1.11)
其分量形式 ej eiaij 对坐标变换成立，即 xj xiaij
(1.12) (1.13)
对(1.5)和(1.13)式两边微商后可将 a写i j 成
aij
x
i
x j
x j
x
i
正交关系(1.7)式写成
x
i
x j
x
i
xk
jk
(1.14) (1.15)
§1.2 物理量在空间转动变换下的分类
ak1 ak2 ak3
(3.9)
相邻两行交换改变符号
a 的转置矩阵
a11 a21 a31
aT
det
a12
a22
a32
a13 a23 a33
a1i
deta1j
a2i a2j
a a3 3ijlm naliam jankijkdet(aT)ijkdet(a)
a1k a2k a3k
(3.10)
T T T 2 [i1 i2]Lin
i1 i2L in i2 i1 L in
(2.6)
则
T T T i1 i2Lin {i1 i2}Lin [i1 i2]Lin
(2.7)
取n=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为 一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵)之和
§1.3 物理量在空间反演变换下的分类
32 (3.5)
其它情况
如：123 1
共27个分量，6个不为零
构成三阶全反对称张量
Q ijk jik ik j k ji
全反对称张量
(3.6)
● 3×3矩阵的行列式的计算为
A1 A2 A3
detB1 B2 B3ijkAiBjCk
C1 C2 C3
(3.7)
易验证 det(AT)detA
利用公式 d e t(A B ) d e t(A )d e t(B )可得
i1
ijklm nd etj1
i2 j2
i3 1l j32l
1m 2m
1 2n n d et ijll
im jm
in jnk1k2源自k3 3l3m 3n
ij
0, 1,
ij ij
z(x3)
e3 e2 e1O
正交曲线坐标系
x ( x1)
如：直角坐标系; 球坐标系; 柱坐标系
S y(x2)
右旋直角坐标系: e1(e2e3)1
左旋直角坐标系: e1(e2e3)1
z(x3)
z(x3)
O
x ( x1)
y(x2)
右旋系
O y(x2)
x ( x1) 左旋系
1.1.2 转动变换矩阵
a11 a12 a13
记
a
21
a22
a23
a
a31 a32 a3
(1.3)可写为 e ae
(1.4)
坐标的变换u u u r考虑空间P点,在S系中坐标为 (x1, x2, x3)
位矢 O P x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x j e j uuur