张量基础知识
01张量基础
01张量基础第一章张量基础晶体的物理性质一般是各向异性的，这些性质常常需要用与方向有关的两个可测量的量之间的关系来定义，而用张量来描述，张量是晶体物理的数学基础。
第一章张量基础张量的基本知识张量的变换定律张量的几何表示法晶体对称性对晶体性质的影响晶体物理性质的相互关系1.1 张量的基本知识（1）一、标量与矢量1、标量在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温度、密度等等，它们都与方向无关。
这些无方向的物理量，称为标量（也称零阶张量）。
它们完全由给定的某一数值来确定。
1.1 张量的基本知识（2）2、矢量与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张量）。
它们不仅有大小，而且有一定的方向。
如电场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。
矢量用上方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。
矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是就可以 E 写成： E = [E , E , E ]1 2 3——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。
这样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴上的分量来确定。
1.1 张量的基本知识（3）二、二阶张量在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：D =εEε——介电常数在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与的三个分量相关，此时，它们间的关系可表示为：D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E31.1 张量的基本知识（4）即D1 ? ? ε 11 ε 12 ? ? ? ? D2 ? = ? ε 21 ε 22 ? D ? ?ε ? 3 ? ? 31 ε 32ε 13 ?? E1 ? ?? ? ε 23 ?? E 2 ? ?E ? ε 33 ? ?? 3 ?ε 11 ε 12 ε 13 方形表ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。
张量表达式
张量表达式张量表达式是一种描述多线性代数关系的数学工具，它以张量和向量等数学对象为基础，通过加、减、乘、除和求和等基本运算，将多维数据结构在一些方面进行推广，从而成为了高维数据处理和机器学习中的核心工具之一。
本文将对张量表达式的数学特性以及在实际应用中的一些常见用法进行介绍和分析。
一、基本概念1. 张量在数学上，张量是一种广义向量的概念，可以看作是以一种特定的方式组织的多维数组。
在神经网络中，我们通常使用四层或三层张量。
其中四层张量通常表示为`(batch size, height, width, channels)`，代表了一些图片数据的信息。
此外，我们还可以使用三层张量表示`(height, width, channels)`，代表着一幅图像。
2. 向量在线性代数中，向量是指由一组有序数按照一定规律排列而成的数组。
通常用于表示大小和方向。
在深度学习中，向量通常使用一维数组表示。
3. 标量在数学中，标量是指中包含一个数的量。
常常用于表示权重、偏置、损失函数的值等。
二、定义张量表达式是指任意数量的张量、向量和标量之间通过一些运算法则所组成的式子。
张量表达式通过这些符号和运算法则来表达多维数据结构中的组合操作。
张量的操作包括：向量积、向量内积、对角线运算等线性代数运算。
例如，对于一个张量`T = [x_1, x_2,...,x_n]`，它可以表示为：$T_{i,j,k} = a_i + b_j c_k$其中`a,b,c`是张量，代表数据中的各个维度。
张量表达式则会将这些维度和操作法则相结合，从而可以对数据进行操作和分析。
三、基本操作1. 加法/减法张量之间可以做加法和减法的操作，在实际的应用中，这种操作可以用于修改数据的值或者处理缺失数据等。
例如，如果提取一张图片的红色通道，我们可以将整张图片的像素值减去除红色通道外的其他两个通道，从而实现红色通道选取的目的。
2. 乘法/除法指的是张量元素之间的相乘和相除。
张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时， 这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐 标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构， 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零 阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还 有三阶、四阶等高阶张量。
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
ijk l
ijk l i'i jj' k'k ll'
i' j'k'l'
高等流体力学_第一讲
）算子
保证物理量在不同坐标系表示下量不变，坐标转换应具有
时，经求和运算，张量A
对称张量与反对称张量
22
第一讲 流体力学的基本概念
二、描述流体运动的两种方法
1、拉格朗日法（Lagrangian Lagrangian Method
Method ）（1）质点运动方程：
a ，
b ，
c ：拉格朗日变量，为t=0时，流体质点的坐标值。
（2）特点：质点运动学的研究方法，难以形成对流体域整体运动特性的描述。
（3）流体质点的运动速度：
（4）流体质点的运动加速度：
)
3,2,1( ),,,(==i t c b a x x i i )
3,2,1( =∂∂=i t
x v i
i )
3,2,1( 22
=∂∂=∂∂=i t
x t v a i
i i
线变形率与角变形率
转动角速度
四、作用在流体上的力、应力张量及牛顿本构方程
应力张量与变形率张量的关系。
高一数学中的张量初步怎么入门
高一数学中的张量初步怎么入门在高一数学的学习中，张量是一个相对较新且具有一定难度的概念。
但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，入门张量并非遥不可及。
首先，我们来理解一下什么是张量。
简单来说，张量是一种数学对象，它可以用来描述物理、工程等领域中的各种现象和问题。
张量可以看作是向量和矩阵的推广，具有多个维度和分量。
那为什么要在高一学习张量初步呢？这是因为张量在现代科学和技术中的应用越来越广泛，提前接触和了解张量的概念，有助于为今后更深入的学习打下基础。
接下来，我们谈谈如何入门张量。
一、扎实掌握基础知识要理解张量，必须先有扎实的向量和矩阵知识。
向量是具有大小和方向的量，比如力、速度等。
矩阵则是一个按照矩形排列的数表。
熟练掌握向量的运算，如加法、减法、数乘、点乘和叉乘，以及矩阵的运算，如加法、乘法、转置等，是理解张量的重要前提。
同时，对于线性代数中的一些基本概念，如线性空间、线性变换等，也要有一定的了解。
这些知识能够帮助我们更好地理解张量的性质和运算规律。
二、从直观示例入手在学习张量的过程中，多接触一些直观的示例会很有帮助。
比如，在物理学中，应力张量可以用来描述物体内部的受力情况；在流体力学中，速度梯度张量可以描述流体的流动特性。
通过这些实际的例子，我们能够更直观地感受到张量的作用和意义。
我们可以想象一个正方体的物体，在不同的方向上受到不同大小的力。
为了准确描述这种受力情况，就需要用到应力张量。
应力张量中的每个分量都代表了在某个方向上的应力大小。
三、理解张量的指标和分量张量通常用指标来表示其维度和分量。
例如，一个二阶张量可以用两个指标来表示其分量。
在学习过程中，要学会正确地读写张量的指标和分量，并理解它们所代表的物理意义。
假设我们有一个二阶张量 T，用 Tij 表示其分量，其中 i 和 j 分别表示行指标和列指标。
通过对不同指标的组合，可以得到张量的所有分量。
四、掌握张量的运算张量的运算包括加法、减法、数乘、张量积等。
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
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所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
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③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
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I 0
1
0 21
22
23
ij
0 0 1 31 32 33
即相当于单位矩阵。
ij Ai
1 j A1
2 j A2
3 j A3
A1 A2
A3
Aj
j 1 j2 j 3
现在我们 以二维直 角坐标系 为例来看 看一个小 问题：
x2
x1'
x2' x2
x2' e2'
e2 e1'
x1'
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的 对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标 系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义 的张量。
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质
量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。
i'
j
xx12
( )
同样：xx12
1211''
1
2'
2 2'
x1' x2'
i
'
j
T
xx12''
由（）式得
x1 x2
i
'
j
1
xx12''
比较 :
i
'
j
T
i
'
j
1
[i' j ] 为正交矩阵
引用指标符号：
xi ij x j xi i j' x j'
由 xi x i j' j' ij' j'k xk
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
S ai xi a j x j
i1
j 1
约定
S ai xi aj xj
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标， 表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这 样的指标为哑指标。
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33x3 y3
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j ) ( i' , j 1,2 )
则：i' j
ccooss((ee12''
, ,
e1 ) e1 )
cos(e1' cos(e2'
, ,
e2 e2
) )
cos sin
sin
cos
于是：xx12''
12'1'1
1'2 2'2
xx12
Pi* aikTkla jlQ*j
令：P* T *Q* 则：T * AT A
令： Pi* Tij*Q*j 则： Tij* aikTkla jl
二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a jlTkl
Tij*k ail a jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
P* PA1 P A
a11 a21 a31
P1*
P2*
P3* P1
P2
P3 a12
a22
a32
a13 a23 a33
P* AP
P1* P2*
a11 a21
a12 a22
a13 P1
a23
P2
P3* a31 a32 a33 P3
P AP*
P1 a11
P2
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
J E
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
或简写为
3
e' i a eij j （i 1, 2 , 3) j 1
反之，有
3
ei ajie' j ( i 1, 2, 3) j 1
表示成矩阵形式为
e'1 e'2
a11 a21
a12 a22
a13 e1
a23
e2
e'3
a31
a32
a33 e3
将以上关系列成方阵形式则为
aij cos(e'i e j )
又 xi ik xk
ij' j'k ik
讨论上式的几何意义
说明
1 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 ei' i' je j ei ij' e j'
2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi' i' jv j vi ij' v j'
再看三维情况
ei e j ij
ei' e j' i' j'
X1 X2 X3 (老坐标轴)
（ 新坐标系） X1' a11 a12 a13
X2' a21 a22 a23
X3' a31 a32 a33
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,
以此类推，若A,B是阶数各为m,n的张量，则A,B 分量的积构成一个m+n阶的张量C，称为A,B的积， 表示为C=AB。
三、张量的收缩
在三阶张量 Aijk ( i, j , k 1, 2, 3) 中，如果让 j k
并对 j求和，即
3
Ci Aijj (i 1, 2,3)
j 1
则 Ci (i 1, 2,3) 为一阶张量，此种运算称为张量的收缩。
Tij akialjTk*l
Tijk ali amjankTlm* n
Tijkl
ami anj
aok
a
T*
pl mnop
张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
i' j'k'l'
i'i j' j k 'k
ijkl
ijkl
ii' jj' kk' ll '
a12
a21 a22
a31 a32
PP12**
P3 a13 a23 a33 P3*
Pi* aij Pj
Pi ajiP* j
二阶张量的变换
P* P Q Q*
P、Q均为矢量
若有：P* AP P TQ Q AQ*
P* AT AQ*
若有： Pi* aik Pk Pk TklQl Ql a jlQ*j
考虑一位置矢量
x x je j x j' e j' x je j ei' x j' e j' ei' x j cos(e j ,ei' ) x j' j'i' xi'
xi' i' j x j
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
于是得到最终的矢量变换法则如下
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Aij, Bij (i, j 1, 2,3) 皆为二阶张量，则
Cij Aij Bij (i, j 1, 2,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij , Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢 量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
三、张量 先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E
其中σ为电导率，是标量。
但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具 有相同的方向，此时J与E的关系变为
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： a ji xi bj
aki xi bj aki xi bk
wrong right
3．克罗内克（Kronecker-δ）符号
定义： ij 10