弹性力学-第二章 张量基础知识
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张量弹性力学2
23
2 3
2
消去l2
2 2 ; l2 ; l3 0 2 2
12
1 2
2
因为：1
2 3
max 3 1 min 2
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
•
3
八面体（每个坐标象限1个面）
2 1
沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八面体。
代入
S N 1 11l1 12l2 13l3 S N 2 21l1 22l2 23l3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
( 11 )l1 12l2 13l3 0 21l1 ( 22 )l2 23l3 0 l l ( )l 0 32 2 33 3 31 1
(1.3)
SNi ij l j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N S N 1l1 S N 2l2 S N 3l3
2 11l12 22l2 33l32 2 12l1l2 2 23l2l3 2 31l3l1
SOBC 1 cos( n, x1 ) l1 SOAC 1 cos( n, x2 ) l2 S OAB 1 cos( n, x3 ) l3
3 S N 1 11l1 12l2 13l3 1 j l j j 1 3 S N 2 21l1 22l2 23l3 2 j l j j 1 3 S N 3 31l1 32l2 33l3 3 j l j j 1
弹塑性力学第二章 矢量和张量概述
U (V W ) (U V )W
(2.16) （2.17）
矢量方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 条件为
F , F ,..., F
(2)
(1)
(2)
( n)
作用，质点的平衡
F
(1)
F
... F
i y
( n)
0
n i z
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
U V u1v1 u 2 v2 u3 v3 ui vi ui vi u k vk
i 1
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新 矢量，即 (w , w , w ) (u v , u v , u v )
C
X’
D
B x
A
可以表示为
' i
x ij x j
(i, j 1,2)
(a)
11 ij 21
12 cos sin 22 sin cos
Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即 G grad ( , , ) x1 x2 x3 这里 ( , , ) 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面
( x1 , x2 , x3 ) c
则有如下平移公式
x x ' h x ' x h 或 y y ' k y ' y k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转 角得到
(2.16) （2.17）
矢量方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 条件为
F , F ,..., F
(2)
(1)
(2)
( n)
作用，质点的平衡
F
(1)
F
... F
i y
( n)
0
n i z
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
U V u1v1 u 2 v2 u3 v3 ui vi ui vi u k vk
i 1
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新 矢量，即 (w , w , w ) (u v , u v , u v )
C
X’
D
B x
A
可以表示为
' i
x ij x j
(i, j 1,2)
(a)
11 ij 21
12 cos sin 22 sin cos
Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即 G grad ( , , ) x1 x2 x3 这里 ( , , ) 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面
( x1 , x2 , x3 ) c
则有如下平移公式
x x ' h x ' x h 或 y y ' k y ' y k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转 角得到
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
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Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
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Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
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哈工大弹塑性力学02_张量概念
哈工大 土木工程学院
……
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02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
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02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
……
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02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
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张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
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◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
弹性力学附录_张量
定一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
i j 可起到换下标的作用
ija j i1a1 i2a2 i3a3 a (i)(i) i ai
ikTk j i iTij Tij
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3
1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333
ai，i
出
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示双（多） 重求和
双重求和 S aij xi xj
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
i j 可起到换下标的作用
ija j i1a1 i2a2 i3a3 a (i)(i) i ai
ikTk j i iTij Tij
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3
1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333
ai，i
出
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示双（多） 重求和
双重求和 S aij xi xj
弹塑性力学-02(张量初步)
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案
第二章知识点： （1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。
可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。
（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量 （6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。
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由叉积定义,若 e1, e2 , e3 是直角坐标系的单位基矢量
则
ei e j ei jkek
(2.6)
ei jk ei jlel ek (ei e j) ek (ek ei ) e j (e j ek ) ei
(2.7)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3
0 0 1 31 32 33
(a)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
i1 i2 i3
j1 j2 j3 eijk e123
(b)
k1 k2 k3
(3).同理,由(b)式交换列可得到(2.10)式 从(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式
ir eijk ersk jr
kr
is js ks
ik jk kk
ik
jr kr
js ks
jk
ir kr
is ks
kk
ir jr
is jr js ir
js ir is jr
is 3 ir js jr
is js
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ir eijk ersk jr
kr
is js ks
ik jk kk
ik
jr kr
js ks
jk
ir kr
is ks
kk
ir jr
is jr js ir
js ir is jr
任意两矢量a和 b的点积
a b | a || b | cos(a,b) 两矢量a和 b用正交基ei 表示,则其点积为
a b aiei bje j aibjei e j aibjij aibi (2.4)
矢量a的模
| ei || e j | cos(ei , e j )
ikTk j i iTij Tij
ik k j ij , ik k j jm im
例
Ami Bn j , 34 81 个数，
求 m n 项的和。
nm Ami Bn j Ani Bn j Ami Bm j
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
在卡氏直角坐标系下，Kronecker delta 符号定义为：
ij
1, 0,
i j i j
其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定 一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
C13 A1k B3k A11B31 A12B32 A13B33
C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23B13
……
C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33B33
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
C: Kronecker delta符号
(2.16)
ei ei e j e j ije j ei ei e j e j ije j
(2.15)
ij 变换系数 ij ji ij ei e j ikek jtet ik jt kt ik jk ij ei e j ikek ejt t ik jt kt ik jk
b1
b2
b3
(2.9)
aibjck e jkl il
c1 c2 c3
aibjck e jki
a,b,c为共点棱的平行六面体的体积，
a,b,c构成右手系为正
aib jck eijk
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
Ｅ: Kronecker delta符号与置换符号 Permutation symbol的关系
ei jk ejki eki j ejik eik j ek ji
ei jk 也称为三维空间的排列符号。
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
任意两矢量a和 b的叉积
e1 e2 e3
a×b
a b u1 u2 u3
b
(2.8a)
v1 v2 v3
a
(u2v3 u3v2 )e1 (u3v1 u1v3 )e2 (u1v2 u2v1)e3
aicibses aibicses (ac)b (ab)c
即 a(bc) (ac)b(ab)c
(2.14)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
F: 坐标变换
旧坐标系： O x1x2 x3 单位基矢量： (e1, e2 , e3)
新坐标系： O x1 x2 x3 单位基矢量： (e1, e2, e3 )
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指
标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取
遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
33
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
旧
新 e1
e 2
e 3
e1
11
12
13
e2
21
22
23
e3
31
32
33
33
S
aij xi xj
i1 j1
S aij xi xj
展开式（9项） S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3 a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
三重求和（27项）
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
n
aibi xi 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
B:自由指标
i1
例如
xi aij xj
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指 标。一个自由指标每次可取整数1,2,3, …, n，与哑 标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方 程的缩写：
a a a a aiai
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
D:置换符号 Permutation symbol
1, i, j, k为顺序排列 ei jk 1, i, j, k为逆序排列
(2.5)
0, i, j, k有两个相等
例如：
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1 可见e：111 e121 e232 0
eijk eijk 2ii 6
二重叉积
(2.13)
a (b c) aiei (bje j ckek ) aiei (bjcke ejkt t )
aibjcke ejkt itses aibjcke jkteistes aibjck ( ji ks jski)es
弹性力学 主讲 邹祖军 第二章 张量基础知识
第二章 张量基础知识
§2-1
§2-2 §2-3 §2-4 §2-5
§2-6 §2-7
坐标系和矢量
张量的定义 张量代数 二阶张量 对称二阶张量的谱表示
张量分析 积分定理
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
张量:简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关 §2-1 坐标系和矢量
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例题
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
bjj b11 b22 b33
双重求和
cmem c1e1 c2e2 c3e3
il im in eijk elmn jl jm jn
(2.10)
kl km kn
证明 (1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理， l,m,n有两个相同时，上式也成立
1 0 0 11 12 13
(2).不同时,由 下式交换行
0
1
0 21
22
23 e123e123
如图2.1，三维空间直角坐标系Oxyz,
x1, x2 , x3
x, y, z
x3
P点坐标（x,y,z)
(x1, x2 , x3 )
P
r
e3
o
x1
e1
e2
P点坐标可记为：xi (i 1,2,3) x2 xi 正方向的单位基矢量 ei
则
ei e j ei jkek
(2.6)
ei jk ei jlel ek (ei e j) ek (ek ei ) e j (e j ek ) ei
(2.7)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3
0 0 1 31 32 33
(a)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
i1 i2 i3
j1 j2 j3 eijk e123
(b)
k1 k2 k3
(3).同理,由(b)式交换列可得到(2.10)式 从(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式
ir eijk ersk jr
kr
is js ks
ik jk kk
ik
jr kr
js ks
jk
ir kr
is ks
kk
ir jr
is jr js ir
js ir is jr
is 3 ir js jr
is js
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ir eijk ersk jr
kr
is js ks
ik jk kk
ik
jr kr
js ks
jk
ir kr
is ks
kk
ir jr
is jr js ir
js ir is jr
任意两矢量a和 b的点积
a b | a || b | cos(a,b) 两矢量a和 b用正交基ei 表示,则其点积为
a b aiei bje j aibjei e j aibjij aibi (2.4)
矢量a的模
| ei || e j | cos(ei , e j )
ikTk j i iTij Tij
ik k j ij , ik k j jm im
例
Ami Bn j , 34 81 个数，
求 m n 项的和。
nm Ami Bn j Ani Bn j Ami Bm j
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
在卡氏直角坐标系下，Kronecker delta 符号定义为：
ij
1, 0,
i j i j
其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定 一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
C13 A1k B3k A11B31 A12B32 A13B33
C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23B13
……
C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33B33
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
C: Kronecker delta符号
(2.16)
ei ei e j e j ije j ei ei e j e j ije j
(2.15)
ij 变换系数 ij ji ij ei e j ikek jtet ik jt kt ik jk ij ei e j ikek ejt t ik jt kt ik jk
b1
b2
b3
(2.9)
aibjck e jkl il
c1 c2 c3
aibjck e jki
a,b,c为共点棱的平行六面体的体积，
a,b,c构成右手系为正
aib jck eijk
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
Ｅ: Kronecker delta符号与置换符号 Permutation symbol的关系
ei jk ejki eki j ejik eik j ek ji
ei jk 也称为三维空间的排列符号。
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
任意两矢量a和 b的叉积
e1 e2 e3
a×b
a b u1 u2 u3
b
(2.8a)
v1 v2 v3
a
(u2v3 u3v2 )e1 (u3v1 u1v3 )e2 (u1v2 u2v1)e3
aicibses aibicses (ac)b (ab)c
即 a(bc) (ac)b(ab)c
(2.14)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
F: 坐标变换
旧坐标系： O x1x2 x3 单位基矢量： (e1, e2 , e3)
新坐标系： O x1 x2 x3 单位基矢量： (e1, e2, e3 )
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指
标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取
遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
33
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
旧
新 e1
e 2
e 3
e1
11
12
13
e2
21
22
23
e3
31
32
33
33
S
aij xi xj
i1 j1
S aij xi xj
展开式（9项） S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3 a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
三重求和（27项）
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
n
aibi xi 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
B:自由指标
i1
例如
xi aij xj
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指 标。一个自由指标每次可取整数1,2,3, …, n，与哑 标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方 程的缩写：
a a a a aiai
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
D:置换符号 Permutation symbol
1, i, j, k为顺序排列 ei jk 1, i, j, k为逆序排列
(2.5)
0, i, j, k有两个相等
例如：
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1 可见e：111 e121 e232 0
eijk eijk 2ii 6
二重叉积
(2.13)
a (b c) aiei (bje j ckek ) aiei (bjcke ejkt t )
aibjcke ejkt itses aibjcke jkteistes aibjck ( ji ks jski)es
弹性力学 主讲 邹祖军 第二章 张量基础知识
第二章 张量基础知识
§2-1
§2-2 §2-3 §2-4 §2-5
§2-6 §2-7
坐标系和矢量
张量的定义 张量代数 二阶张量 对称二阶张量的谱表示
张量分析 积分定理
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
张量:简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关 §2-1 坐标系和矢量
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例题
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
bjj b11 b22 b33
双重求和
cmem c1e1 c2e2 c3e3
il im in eijk elmn jl jm jn
(2.10)
kl km kn
证明 (1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理， l,m,n有两个相同时，上式也成立
1 0 0 11 12 13
(2).不同时,由 下式交换行
0
1
0 21
22
23 e123e123
如图2.1，三维空间直角坐标系Oxyz,
x1, x2 , x3
x, y, z
x3
P点坐标（x,y,z)
(x1, x2 , x3 )
P
r
e3
o
x1
e1
e2
P点坐标可记为：xi (i 1,2,3) x2 xi 正方向的单位基矢量 ei