张量的基本概念(我觉得说的比较好-关键是通俗)
张量及其运算的定义及应用
张量及其运算的定义及应用
张量的定义
张量是指在向量、矩阵等数学对象的基础上扩展形成的一种数
学工具。
它是一种多重线性函数，可以表示多个向量之间的关系。
张量在物理学、数学、计算机等领域都有广泛的应用。
在线性代数中，张量可以由向量和矩阵生成。
在物理学中，张
量可以描述弹性力学、流体运动和电磁学等现象。
张量的运算
张量在运算中主要有以下几种方式：
1. 张量乘法：张量乘法是指将一个张量与另一个向量或矩阵相乘。
这种方法常用于求解矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的相
似性等问题。
2. 张量变形：将张量的某些维度进行重新排列，得到新的张量。
这种方法常应用于机器学习、计算机视觉等场景中。
3. 张量积：将两个不同的向量或矩阵进行混合，生成一个新的张量。
4. 条件张量积：是指将两个张量按某种方式组合起来，形成一个新的张量。
这种方法广泛应用于量子计算和量子信息等领域。
应用领域
1. 物理学：张量在物理中的应用广泛，如爱因斯坦场方程、黎曼张量等都是张量概念的应用。
2. 工程学：张量在工程学领域中也有广泛的应用，如机械工程领域中常用的应力张量、应变张量等，在材料工程领域中也有重要应用。
3. 计算机：张量也是计算机领域中的热门话题，如深度学习模型中的卷积神经网络、循环神经网络等都是基于张量的设计。
总之，张量作为一种数学工具在不同领域都有着广泛的应用和巨大的发展前景。
张量概念及其基本运算
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
3
aijbj aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j1 3
ai2i ai2i a121 a222 a323 i 1
ii
2
3 i 1
ii
2பைடு நூலகம்
( 11
22
33 )2
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
、 、 、 当取n时，n阶张量，M = 3n。
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合。
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，
矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量 好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示
则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。
例如：
'i
xi
x1
,
x2
,
x3
ui 'i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2 a121 a222 a323
张量的知识点总结
张量的知识点总结一、张量的定义张量最早由数学家黎曼引入，描述了一种可以沿任意方向变化的数学对象。
在现代数学和物理学中，张量通常被定义为一种可以描述不同维度物理量间关系的数学对象。
张量是一个多维数组，它包括0维标量、1维向量、2维矩阵等，可以描述不同级别的物理量。
二、张量的特点1. 多维性：张量可以描述多维物理量之间的关系，可以用来描述空间中的各种物理量。
2. 方向性：张量可以沿任意方向变化，可以用来描述各种不同方向的物理量。
3. 连续性：张量可以描述连续的物理量，如电磁场、应力场等连续性的物理量。
三、张量的运算1. 张量的加法和减法张量的加法和减法与普通向量和矩阵非常类似，只不过在多维情况下需要注意张量的维度和方向。
2. 张量的乘法张量的乘法包括外积和内积两种，外积用于描述不同张量的叉乘关系，内积用于描述相同张量的点乘关系。
3. 张量的导数和积分张量的导数和积分是描述张量微分和积分的运算，包括对张量的微分和积分操作。
四、张量的应用1. 物理学中的应用张量在物理学中有着广泛的应用，可以描述各种力学量、电磁场、应力场等物理量之间的关系，同时也可以描述空间对称性和不变性等物理性质。
2. 工程学中的应用在工程学中，张量广泛应用于材料力学、流体力学、弹性力学等领域，能够描述各种物理场和物理量之间的相互作用和变化。
3. 计算机科学中的应用张量在深度学习和神经网络领域有着广泛应用，能够描述各种数据结构和数据间的关系，同时也可以描述各种算法和计算模型之间的联系。
五、结语张量作为一种描述多维物理量之间关系的数学对象，在物理学、工程学和计算机科学领域有着非常重要的应用。
对张量的深入理解和运用，对于理解和描述空间中的各种物理量和数据结构是至关重要的。
希望通过本文的总结，能够帮助读者更好地理解张量的概念和运用，为相关领域的学习和研究提供一定的帮助。
张量的基本概念及应用
张量的基本概念及应用张量是数学和物理学中的一个基本概念，它可以用于描述多维数据集、向量和矩阵等多种数学对象。
下面是张量的基本概念以及一些应用领域：基本概念：1.张量的阶次：张量的阶次是指它有多少个坐标轴（或维度）。
标量是零阶张量，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量，依此类推。
2.张量的分量：张量的每个分量表示在各个坐标轴上的数值，这些分量可以是实数或复数。
3.张量的坐标系变换：张量的坐标系变换是指将张量从一个坐标系转换到另一个坐标系，这在物理学中非常常见。
张量的分量会根据坐标系的变化而变化，但张量的物理含义保持不变。
应用领域：1.相对论物理：在爱因斯坦的广义相对论中，使用度规张量来描述时空的弯曲，以及质点在弯曲时空中的运动。
2.量子力学：在量子力学中，使用态矢量（波函数）来描述粒子的状态，这可以看作是一种复数张量。
3.机器学习和深度学习：在深度学习中，神经网络中的权重和激活值可以表示为张量。
张量的高阶表示可以用于处理多维数据，如图像和时间序列数据。
4.工程学：张量在工程领域中用于处理多维数据，如应力张量用于描述物体的受力分布，流体动力学中的速度梯度张量等。
5.图像处理：在计算机视觉领域，图像通常表示为三维张量（宽度、高度、颜色通道），张量运算用于图像处理和分析。
6.地质学和地球物理学：张量在描述地质应力、地震波传播等方面有广泛的应用。
7.生物学：在分子生物学中，蛋白质折叠和DNA结构可以使用张量来建模。
8.计算流体动力学：在模拟流体行为时，使用张量来表示流体的速度梯度，从而预测流体的行为。
总之，张量是一个非常通用且强大的数学工具，它在各种学科和应用领域中都有广泛的应用，用于描述和处理多维数据和复杂的数学对象。
(最新整理)张量基础知识
2021/7/26
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二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
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xi' x i' j j
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同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
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于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
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二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
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1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
张量的基本概念
张量的基本概念
嘿，咱来说说“张量”是啥玩意儿哈。
有一回我看一本很复杂的物理书，里面提到了张量。
我当时就懵了，这是啥神秘的东西呢？后来我专门去研究了一下。
张量呢，简单来说就是一种比普通数字和向量更复杂的东西。
就像你玩游戏，有普通的道具，还有那种很厉害很复杂的超级道具。
张量就有点像那个超级道具。
比如说，我们平时说的速度、力这些都是向量，只有大小和方向。
但是张量呢，它可以描述更多的信息。
我记得有一次，我看到一个工程师在计算桥梁的受力情况。
他就用到了张量，因为桥梁的受力很复杂，不是简单的一个方向的力就能说清楚的。
所以啊，张量就是一种很厉害的数学和物理工具，可以帮助我们描述更复杂的情况。
下次你看到那些很复杂的科学问题的时候，说不定就有张量在里面发挥作用呢。
高等数学教材张量
高等数学教材张量张量是高等数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学以及计算机科学等领域。
本文将从定义、性质和应用等方面对高等数学教材中的张量进行详细介绍。
一、定义在高等数学教材中，张量被定义为多重线性函数。
具体来说，对于一个多重线性函数f（x1,x2,...,xn），如果对于任意向量的每个分量，该函数的取值都是这些向量分量的线性组合，则称f为n阶张量。
二、性质1. 平衡性：n阶张量是对所有向量分量有平衡作用的，即改变某一个向量分量的值，张量函数的取值也会发生相应的变化。
2. 线性性：n阶张量具有线性性，即对于任意的向量分量，张量函数对于分量的线性组合也是成立的。
3. 分量独立性：n阶张量中的每个分量是相互独立的，改变一个分量的值不会影响其他分量的取值。
三、应用1. 物理学中的应用在物理学中，张量是描述物理量与坐标系变换关系的数学工具。
例如，矢量就是一阶张量，它描述了物体在空间中的方向和大小。
而二阶张量则用于描述应力张量和惯性张量等物理量。
2. 工程学中的应用在工程学中，张量被广泛应用于力学分析、工程材料性能研究以及结构设计等方面。
通过定义适当的张量，可以描述材料的应力和应变分布，从而分析材料的强度和刚度。
3. 计算机科学中的应用在计算机科学中，张量主要应用于机器学习和深度学习领域。
通过构建合适的张量模型，可以实现对大量数据进行高效的处理和分析，从而帮助解决各种实际问题。
综上所述，高等数学教材中的张量是一个重要的数学概念。
它不仅具有平衡性和线性性，还具有分量独立性。
张量在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
对于学习高等数学的同学来说，深入理解和掌握张量的定义、性质和应用是非常重要的。
通过学习和应用张量，同学们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
张量和外代数的基本概念和运算法则
张量和外代数的基本概念和运算法则在现代数学中，张量和外代数是重要的代数结构。
它们在物理、工程、计算机科学等领域中被广泛应用。
本文将介绍张量和外代数的基本概念和运算法则，帮助读者对这些代数结构有更深入的认识。
一、张量的基本概念张量可以看作是线性函数的扩展。
线性函数接受向量作为输入，并输出一个标量。
而张量接受向量作为输入，并输出一个向量或张量。
因此，张量有多个分量，每个分量可以是标量、向量或张量。
在二维欧几里得空间中，一个二阶张量可以表示为一个矩阵。
设$T$是一个二阶张量，它的第$i$行第$j$列的分量为$T_{ij}$。
假设$u$和$v$是两个向量，它们的分量分别为$u_i$和$v_j$。
则$T(u,v)$可以表示为：$T(u,v)=T_{ij}u_iv_j$这里的$u_iv_j$表示一个标量的乘积，$T_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素。
因此，$T(u,v)$是一个标量。
同样的，对于$n$维欧几里得空间中的$k$阶张量，它可以表示为一个$n^k$维的数组。
二、张量的运算法则张量有多种运算法则，包括张量的加法、张量的数乘、张量的乘法和张量的缩并等。
这里介绍其中的几种基本运算法则。
1. 张量的加法设$T$和$S$是两个$k$阶张量，它们的分量分别为$T_{i_1i_2...i_k}$和$S_{i_1i_2...i_k}$。
则$T$和$S$的和可以表示为：$(T+S)_{i_1i_2...i_k}=T_{i_1i_2...i_k}+S_{i_1i_2...i_k}$即将$T$和$S$的每个对应分量相加，得到一个新的$k$阶张量$T+S$。
2. 张量的数乘设$a$是一个标量，$T$是一个$k$阶张量，它的分量为$T_{i_1i_2...i_k}$。
则$aT$可以表示为：$(aT)_{i_1i_2...i_k}=aT_{i_1i_2...i_k}$即将$T$的每个分量乘以标量$a$，得到一个新的$k$阶张量$aT$。
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向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟
其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。
而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。
只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。
而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。
这种定义在现代数学中推广起来比较困难。
所以把它定义成了多重线性映射。
我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。
但好像解释来解释去，他们还是不太明白。
可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。
不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。
有时与他们神侃，很是佩服他们的计算机水平，不只对数值计算有极深的造诣，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU
中执行，操作系统如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能
侃了。
赫赫。
尤其他们用java编写的程序，速度与用fortaun编写的速度差不多，太佩服他们了。
本来想用弹性理论中的应力张量作一番解释的。
但手头没有弹性理论的书，而且对于应力如何在一个弹性体中给出的，也不太清楚。
所以就此作罢了。
但要清楚地一点是，数学中定义的空间，与实际的物理空间，比如定义在一个弹性体上的应力所在的空间，是两码事清。
线性代数被捕，想想还是当时实在不能理解N维空间。
三维空间好理解，想象不出N维空间是个什么玩艺儿。
其实程序中经常用数组，一维、二维、三维用惯了，多维照用就是了，根本不用想象它是平的还是方的。
张量就相当那个N维数组。
我也是数学上学习吃力.但我对四维空间最近有了新的几何理解.我认为三维物体,包括所有星体和粒子,都以光速辐射出自身质量,就象把自身的拷贝以光速传送出去一样,产生引力场空间.物质的全部能量以光速辐射后,对周围物体不产生任何作用,因为匀速运动的空间或能量是对物质不产生任何作用的.这样就存在一个光速扩散的似乎与我们无关的辐射空间,即所谓的虚空间,或第四维空间.如果物质还以2倍光速辐射能量和物质,则有第5维空间.依次类推.实空间的真空和物体,都要加速收缩,以弥补辐射损失,从而产生了引力.总之,静止和加速运动的物体和能量,用三维空间的数学来表示;匀速运动的物体和能量,主要是光速空间,用n+3维来表示.不知我的理解是否有道理,请高人指教.
现在，一看到与相对论物理有关的东东，就感觉心烦气躁，细想，一是天资愚钝，二是功力太差。
不是我这种人能理解的了得，否则，非得走火入魔。
关于维数，我一直想用通俗的语言解释清楚，一是因为给别人通俗的解释一遍，更能加深自己的理解，做一些总结，对于一个概念，如果能以通俗的语言讲，就表明对它的理解已达到一定的境界了；二是因为有些搞力学的朋友问到我关于维数的问题，但他们又不需要做很深的理论数学的学习，只需要应用数学即可。
但是，解释来解释去，还是解释不清楚。
前两天，与一位搞音乐的朋友交流，他讲的浅显的东西还是能理解的了得，但是，更深入的，就到云里了。
所以，是不是对于一门学科，如果没有很深的基础做支撑，弄明白其中的一些概念，还是挺费劲的。
而且，弄明白，往往是出于好奇心，并没有太大的用处。
所以，现在还是很矛盾。
但，还是经常写一些小散记，以记下对一些基本概念的理解。
其实，维数的概念应该最早出现在几何中(猜得)，而在拓扑学中体现的比较严谨和直观。
历史上，数学家造出了一个一一映射，能把一维线段内部映为一个正方形里面，难道这说明直线与正方形同维吗后来才发现，这个一一映射，应该加上连续这个限定词，才能保持维数的不变，这正是同胚的概念。
这种概念对于我们来说是很直观的。
后来学习代数几何，它是用“环”、“模”、“群”这些代数工具来研究几何问题。
结果，在里面，维数的定义一下子出现了4种，其中，最常用的一种定义是使用一种特殊的“环”定义的。
这下子可真摸不着头脑了，后来时间长了，才慢慢琢磨出它们的好处了。
那就是，这些概念与定义，更适合与其他分支的交叉，而不是只具备很少现代数学基础的人所能理解的。
而上面提到的n维空间的概念，在几何中是使用公理化的方式定义的。
也是经过一段时间的琢磨，才感觉到这种定义方式的优越性的。
而要用通俗的语言解释，现在确实非常的难。