02 张量概念 @@1
张量的知识点总结
张量的知识点总结一、张量的定义张量最早由数学家黎曼引入，描述了一种可以沿任意方向变化的数学对象。
在现代数学和物理学中，张量通常被定义为一种可以描述不同维度物理量间关系的数学对象。
张量是一个多维数组，它包括0维标量、1维向量、2维矩阵等，可以描述不同级别的物理量。
二、张量的特点1. 多维性：张量可以描述多维物理量之间的关系，可以用来描述空间中的各种物理量。
2. 方向性：张量可以沿任意方向变化，可以用来描述各种不同方向的物理量。
3. 连续性：张量可以描述连续的物理量，如电磁场、应力场等连续性的物理量。
三、张量的运算1. 张量的加法和减法张量的加法和减法与普通向量和矩阵非常类似，只不过在多维情况下需要注意张量的维度和方向。
2. 张量的乘法张量的乘法包括外积和内积两种，外积用于描述不同张量的叉乘关系，内积用于描述相同张量的点乘关系。
3. 张量的导数和积分张量的导数和积分是描述张量微分和积分的运算，包括对张量的微分和积分操作。
四、张量的应用1. 物理学中的应用张量在物理学中有着广泛的应用，可以描述各种力学量、电磁场、应力场等物理量之间的关系，同时也可以描述空间对称性和不变性等物理性质。
2. 工程学中的应用在工程学中，张量广泛应用于材料力学、流体力学、弹性力学等领域，能够描述各种物理场和物理量之间的相互作用和变化。
3. 计算机科学中的应用张量在深度学习和神经网络领域有着广泛应用，能够描述各种数据结构和数据间的关系，同时也可以描述各种算法和计算模型之间的联系。
五、结语张量作为一种描述多维物理量之间关系的数学对象，在物理学、工程学和计算机科学领域有着非常重要的应用。
对张量的深入理解和运用，对于理解和描述空间中的各种物理量和数据结构是至关重要的。
希望通过本文的总结，能够帮助读者更好地理解张量的概念和运用，为相关领域的学习和研究提供一定的帮助。
张量概念与基本运算
2
3
ii
2
( 11
22
33 )2
i1
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
★ 关于求和标号,即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示.
◆ 求和约定只适用于字母标号,不适用于数字标号.
、 、 、 当取n时,n阶张量,M = 3n.
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合.
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广.标量是0阶张量, 矢量是一阶张量,矩阵是二阶张量,而三阶张量 好比立体矩阵,更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示 物理量,可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量,所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大,于是张量就出现了.
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 .
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点.
◆ 所有与坐标系选取无关的量,统称为物理恒量.
◆ 在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明 的物理量,统称为标量.例如温度、质量、功等.
◆ 在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向 的物理量,称为矢量.例如速度、加速度等.
(3) ij jk i11k i2 2k i3 3k ik
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
张量的基本概念(我觉得说的比较好-关键是通俗)
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。
《张量基础知识》课件
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多 维数据。
《张量基础知识》PPT课 件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组， 用于表示和处理多维数 据。它具有多个轴和形 状，可以存储和计算多 维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维 度和形状。它可以是标 量、向量、矩阵或更高 维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的 不同可以分为标量、向 量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量 在基向量变换下的行为。 张量的象性可以用来研 究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量 在坐标变换中的不变性。 幺模张量在物理和拓扑 学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖 物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称 性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程， 张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两 个形状相同的张量可以直接相加。
张量的基本概念及应用
张量的基本概念及应用张量是数学和物理学中的一个基本概念，它可以用于描述多维数据集、向量和矩阵等多种数学对象。
下面是张量的基本概念以及一些应用领域：基本概念：1.张量的阶次：张量的阶次是指它有多少个坐标轴（或维度）。
标量是零阶张量，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量，依此类推。
2.张量的分量：张量的每个分量表示在各个坐标轴上的数值，这些分量可以是实数或复数。
3.张量的坐标系变换：张量的坐标系变换是指将张量从一个坐标系转换到另一个坐标系，这在物理学中非常常见。
张量的分量会根据坐标系的变化而变化，但张量的物理含义保持不变。
应用领域：1.相对论物理：在爱因斯坦的广义相对论中，使用度规张量来描述时空的弯曲，以及质点在弯曲时空中的运动。
2.量子力学：在量子力学中，使用态矢量（波函数）来描述粒子的状态，这可以看作是一种复数张量。
3.机器学习和深度学习：在深度学习中，神经网络中的权重和激活值可以表示为张量。
张量的高阶表示可以用于处理多维数据，如图像和时间序列数据。
4.工程学：张量在工程领域中用于处理多维数据，如应力张量用于描述物体的受力分布，流体动力学中的速度梯度张量等。
5.图像处理：在计算机视觉领域，图像通常表示为三维张量（宽度、高度、颜色通道），张量运算用于图像处理和分析。
6.地质学和地球物理学：张量在描述地质应力、地震波传播等方面有广泛的应用。
7.生物学：在分子生物学中，蛋白质折叠和DNA结构可以使用张量来建模。
8.计算流体动力学：在模拟流体行为时，使用张量来表示流体的速度梯度，从而预测流体的行为。
总之，张量是一个非常通用且强大的数学工具，它在各种学科和应用领域中都有广泛的应用，用于描述和处理多维数据和复杂的数学对象。
张量的基本概念
张量的基本概念
嘿，咱来说说“张量”是啥玩意儿哈。
有一回我看一本很复杂的物理书，里面提到了张量。
我当时就懵了，这是啥神秘的东西呢？后来我专门去研究了一下。
张量呢，简单来说就是一种比普通数字和向量更复杂的东西。
就像你玩游戏，有普通的道具，还有那种很厉害很复杂的超级道具。
张量就有点像那个超级道具。
比如说，我们平时说的速度、力这些都是向量，只有大小和方向。
但是张量呢，它可以描述更多的信息。
我记得有一次，我看到一个工程师在计算桥梁的受力情况。
他就用到了张量，因为桥梁的受力很复杂，不是简单的一个方向的力就能说清楚的。
所以啊，张量就是一种很厉害的数学和物理工具，可以帮助我们描述更复杂的情况。
下次你看到那些很复杂的科学问题的时候，说不定就有张量在里面发挥作用呢。
两点变换张量
两点变换张量摘要：一、两点变换张量的概念1.变换张量的定义2.两点变换张量的特点二、两点变换张量的性质1.线性性质2.结合律3.单位元和逆元三、两点变换张量的应用1.图像处理2.机器学习3.信号处理四、两点变换张量的局限性及发展方向1.局限性2.发展方向正文：两点变换张量（Two-point Transform T ensor）是一种在数学和物理学中广泛应用的张量，具有重要的理论和实际意义。
本文将对两点变换张量的概念、性质、应用及局限性进行探讨。
首先，我们来了解两点变换张量的概念。
变换张量是一个多元函数，用于描述各向同性物理系统中一点的物理量如何随着空间位置的变化而变化。
两点变换张量是在两个空间点之间进行变换的张量，具有以下特点：1）具有对称性，即对空间点的顺序不敏感；2）具有反对称性，即当两个空间点重合时，变换张量为零。
接下来，我们来探讨两点变换张量的性质。
1）线性性质：两点变换张量满足线性组合的性质，即任意两个变换张量相加（或相乘）仍为变换张量；2）结合律：两点变换张量的结合律满足交换律和结合律；3）单位元和逆元：存在单位元和逆元，使得任意两点变换张量可以通过单位元和逆元进行变换。
两点变换张量在许多领域都有广泛应用。
在图像处理领域，两点变换张量可以用于图像的扭曲、缩放和旋转等变换；在机器学习领域，两点变换张量可以用于特征提取和降维等任务；在信号处理领域，两点变换张量可以用于信号的时频分析。
然而，两点变换张量也存在局限性。
例如，当应用于非线性问题时，线性变换张量的性质可能不再成立。
此外，随着实际应用问题的复杂性不断增加，对两点变换张量的理论研究和发展也提出了更高的要求。
张量概念及其基本运算
张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。
如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。
•张量：向量的推广。
在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。
一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。
张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。
•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量：由3n个分量组成的集合张量的阶◆现令n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。
当n =0时，零阶张量，M = 1，标量；当n =1时，一阶张量，M = 3，矢量；、、、当取n 时，n 阶张量，M = 3n 。
张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z) →x i (i=1,2,3)•应力张量：•n阶张量可以表示为：n阶张量的下标有n个。
()3,2,1;3,2,1333231232221131211==→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡j i ij σσσσσσσσσσ()3,2,1;3,2,1;3,2,1a 21i 21===n i i i i i nEinstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值∑=++==31332211i i ii i b a b a b a b a b a ∑=++==31332211j i i i j ij j ij b a b a b a b a b a ()23322112312)(σσσσσ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=i ii ii ∑∑===3131i j ijij ij ij εσεσ131312121111εσεσεσ++=232322222121εσεσεσ+++333332323131εσεσεσ+++2332222113122a a a a a j ii ii ++==∑=★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈工大 土木工程学院
2 / 50
02
1.1 张量概念
张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的 重要数学工具。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 ◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。 ◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客 观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。
7 / 50
02
矢量V 的方式表示：
张量概念
V (v1 ,v2 ,v3 )
v1e1 v2e2 v3e2 vi ei i 1 vi
3
vi 代表矢量V 的所有分量，即当V 写作vi 时，指标的值 从1到3变化。又：
f (X ) f (xi )=f (x j )=f (x1,x2 ,x3 )
展开式（27项）
哈工大 土木工程学院
9 / 50
02
3 j 1
张量概念
3 2
2 2 2 2 2 aii aii a11 a22 a33
ii
2
ii ( 11 22 33 )2 i 1
3 3 i 1 j 1
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例3 ：
Ami Anj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Anj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
哈工大 土木工程学院
5 / 50
02
张量定义
张量概念
设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢 量，Ti1i2…in是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当 坐标变换时，n一次式
F ... Ti1i2 ...in ai1 bi2 ......sin
i1 1 i2 1 in 1
ij ij ij ij
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
哈工大 土木工程学院
10 / 50
02
张量概念
关于下标的约定可以总结为以下三条规则：
别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。
◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三
维空间，即变程为3。
哈工大 土木工程学院
ai bi xi
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
11 / 50
哈工大 土木工程学院
02
张量概念
例题：利用求和约定缩写下面线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
C11 A1k B1k A11B11 A12 B12 A13 B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13 B23 C13 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13 B33 C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23 B13 C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33 B33
02
张量概念
◆ 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。
◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意
义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来 解决定义。
i 不参与求和，只在数值上等于 i
哈工大 土木工程学院
16 / 50
02
关于自由标号：
标号字母相同。
张量概念
◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且 ◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次。
哈工大 土木工程学院
17 / 50
02
1.4
张量概念
Kronecker delta（ij）符号
R3 C3 E3
规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如 i 不求和）。
哈工大 土木工程学院
15 / 50
02
又如111 2 22 3 33
用指标法表示，可写成
i i i i i i i i i i i
21 / 50
02
1.5
张量概念
交错张量或置换符号(erst 符号)
erst 符号有33 = 27个元素，这些元素根据下标值规定为+1， -1，0。这种定义是根据将下标交换成1，2，3自然顺序所 需交换的次数而定的。如果下标交换次数为偶数，则元素 的值为1；若下标交换的次数为奇数，则元素的值为-1；若 下标出现重复，则元素的值为0。
解：作为第一步缩写，可以写成： a1 j x j b1
a 2 j x j b2 a3 j x j b3
最后可以缩写为： aij x j bi 其中i 称为自由标，j 称为哑标。
哈工大 土木工程学院
12 / 50
02
张量概念
例题：Cij=AikBjk，的意义。
Cij=AikBjk，则表明i ，j为自由指标，k 为哑标 表示9个方程：
02
张量概念
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
弹塑性力学
土木工程学院
工程力学学科组
哈工大 土木工程学院
1 / 50
02
第1节
张量概念
张量概念及其基本运算
自然界的物质的性质和规律是一种客观存在， 不受描述它的方法的影响。 数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐标 系的选择，会使问题简单化或复杂化。 希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量摆 脱具体坐标系的影响。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个
分量来确定。
◆ 若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，
则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成：
M r
n
4 / 50
哈工大 土木工程学院
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
3 / 50
02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单
位张量,也叫置换算子.其定义为：
1, ij 0,
当 i j 时； 当 i j 时；
或：
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
ijvj = vi 即在将ij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换；
3
3
3
保持不变，则取决于脚标的3n个量Ti1i2…in 的集合称 为 n 阶张量，其中每个元素称为此张量的分量。 由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。
哈工大 土木工程学院
6 / 50
02
1.2 指标记法
张量概念
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
(6) ij l j li ij l j ij l j ( ij ij )l j
哈工大 土木工程学院
19 / 50
02
张量概念
若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则
ei e j = ij ii ei ei = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 = 11 22 33 3
ei ei = i i
注意：ii是一个数值（3）
ij的作用：1）换指标；2）选择求和。
哈工大 土木工程学院
20 / 50
02
例1：完成变换 Ai→Ak
张量概念
ki Ai kk Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用 任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示。
采用交替的图解，也可以确定交错张量的符号。
U V eijku j vk ei
证明
U V eijku j vk ei
i 1 j 1 j 1 3 3
i 1 3 3
展开式（3项）
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
S aijk xi x j xk aijk xi x j xk