弹性理论相关张量基础
弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系
0
m
0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中， 为波桑系数，于是可得
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m
0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 固体弹性力学基础
应力定义为：单位面积上所受的内力，是在面力或 体力作用下，物体内部假想面上单位面积上的一对 大小相等、方向相反的力，是作用在该面上力的大 小的度量。
应力也称为胁强(力的强度)：应力并不是一个 “力”，因为它的量纲不是力而是单位面积上的力。
应力的方向与作用力的方向相反。
6
2.1 应力分析
16
2、非均匀变形 用物体内部变形 单元体（应变椭 圆）表示非均匀 变形 ——褶皱
17
2.2.3 应变分类
应变---当弹性体受到应力作用后，将发生体积和形 状的变化，即应变。
体积形变----指物体只发生体积变化而无形状变化的 应变。它是受正应力作用的结果。 形状形变-----物体只发生形状的变化。它是剪切应力 作用的结果。 理论力学是研究物体的整体运动。把物体作为一种刚 体，在外力作用下只能产生整体平移和转动。 弹性力学不仅要考虑物体的整体运动，而且要研究物 体内部各质点的相对运动，相对运动是产生应变的必 要条件。
设N为M 邻近点，其向径 为 r dr 。受力后N点位移 到 N ，它的位移向量记 为 u(r dr) 。 N点对M点的相对位移是
z
N (x+dx,y+dy,z+dz)
dr
M （x,y,z)
u (r )
u( r )
u (r dr)
N
u(r dr) u(r)
dx 1。由 （1-9） ds
u e e xx x
同理可求得沿y和z轴上单位长度得伸长值
e e yy
e e zz
v y w z
28
（2）切应变：变形体不仅在三个坐标方向上有相对伸长(或 压缩)，而且还会产生旋转，即夹角也会发生变化。(见下图) 假设两个正交线元素 MN和MP。受力后， 相对位移分别是du1 和du2。假设： dx=|MN|=|dr1| dy=|MP|=|dr2| MN、MP的相对位移 du1和du2对可由（11）式求出。
弹性力学基本方程和一般原理
小结
➢ 一般说，位移场 ui 和 ui 之间还可能差一个刚体位移，
但是绝大多数弹性力学问题都给定足以限制刚体运动 的位移约束条件，因而位移场的解也是唯一的。
➢ 以上证明的前提是叠加原理、应变能正定性和应力张 量对称性。线弹性理论能自动满足这些条件，因为线 弹性问题的解是唯一的。
ji j Xi on S
不能消除刚体位移； 要满足整体平衡条件。
V
SSt
X3
X2 X1
SSuU Chapter 6.1
分量形式为：
x l yx m zx n X
xy
l
y
m
zy
n
Y
xz
l
yz
m
z
n
Z
◎ 当 X Y Z 0 时称为自由表面，是力边界的特殊情况。 ◎ 集中力可化为静力等效的在微小面积上的均布表面力。 ◎ 集中力矩化为静力等效的非均布（线性）表面力。
（3）在部分边界S 上给定外力，部分边界Su上给定 位移的混合边界S。这时要求
S Su S S Su
对于弹性动力学问题，还应给定 初始条件：初始位移和初始速度。
V
SSt
X3
X2 X1
SS uU
Chapter 6.1
2. 界面条件：
• 界面： 如果弹性体由两种以上材料组成，则不同材 料间的交界面称为界面。有时，物体虽由同样材料 的两部分组成，两者的连接面也称为界面。
如对集中力、集中力矩分别可以看作应力的合 力、合力矩处理。
利用圣维南原理可将位移边界转化为等效的力 边界,如图所示:
P l 位移边界
P M=Pl
w εz z ,
弹性力学基本理论(车辆工程)
基本量和基本方程的矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且 便于编制程序。
本章无特别指明，均表示为平面应力问 题的公式。
基本物理量：
• 体力 • 面力 • 位移函数
f ( fx f y )T 。 f ( fx f y )T 。 d (u(x, y),v(x, y))T。
• 应变
ε (εx εy γxy )T 。
2
P
1
y
N
B
x
将x、y轴分别放在两个主 A 应力的方向
N
N
§2-2 弹性力学的基本假设
•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不 分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困 难，将使得问题无法求解。
•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提 出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范 围。
切应变： 以直角变小时为正，变大时为负； 线应变和切应变都是量纲为1的量
（四）位移
位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移 1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种 性质的位移组成：
（1）整个物体像一个刚体一样运动所引起的位移， 包括平移、转动、平面运动等。这种位移并不使物 体的形状、质点间的相对距离发生变化。（刚体位 移）
△S
P
y 图1-3
（3）面力集度：
S上面力的平均集度为： F S
P点所受面力的集度为：
f lim F S 0 S
（4）面力分量：
z
fz F
P点的面力分量
△S
fx
f
fy P
y
为 f x 、f y 、f z ，其方向 与坐标轴正向相同时为正，
因次是[力][长度]-2。
张量
一、概论1.标量：最简单的物理量，是常量，是一个实数，例如：距离、时间、温度等2.矢量：有方向的，需要用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量，如位移、速度、力等；3.张量：最复杂的物理量，需要用空间坐标系中的三个矢量，也即九个分量才能完整地表示出来。
例如：应力状态、应变状态等。
张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所组成的集合为张量。
这表明张量的分量之间存在一定的函数关系，这些函数值与坐标选取无关。
即张量的不变量性质。
张量所带的下角标的数目称为张量的阶数。
标量为零阶张量，矢量为一阶张量，用矩阵表示的（张量）为二阶张量，三阶张量用图形无法表示出来。
二、张量1：张量（tensor)的理论来源。
亚瑟·凯莱( Arthur Cayley)着力研究的不变量理论( invariant theory)导致了矩阵理论的建立, 引进了现代意义上的行列式的代数表达, 这成为射影几何的重要工具。
凯莱的不变量理论产生于19世纪前半叶的英国着重对代数及代数在几何方面的应用研究这样的背景下。
矩阵理论对线性变换的研究引进了向量的代数定义, 而这是张量概念的先导。
另一方面, 格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼( Georg Friedrich Bernhard Riemann)提出的n维流形的概念, 这在客观上提出了深入研究代数形式的课题。
黎曼的几何思想在拓展几何学的同时,提高了代数在表达几何对象方面的抽象程度。
黎曼之后, 在克里斯托弗、里奇和列维-契维塔等人的努力下, 形成了张量分析这样的数学方法, 黎曼几何学也因此而建立起来了。
2：张量的定义、性质与应用价值从代数角度讲，它是向量的推广。
我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列），那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。
张量的严格定义是利用线性映射来描述的。
弹性力学教学大纲
课程编号：05z8514弹性力学 Theory of Elasticity学分学时：3/48先修课程: 高等数学；线性代数；理论力学；材料力学一、课程教学目标《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程，是固体力学的一个分支。
主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。
弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
本课程的主要研究对象为非杆状结构，如板、壳以及其它实体结构。
通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。
二、教学内容及基本要求1. 绪论（2学时）弹性力学的发展史；研究内容；基本假设；矢量、张量基本知识。
2. 应力理论（4学时）内力和应力；斜面应力公式；应力分量转换公式；主应力、应力不变量；最大剪应力；应力偏量；平衡微分方程。
3. 应变理论（4学时）位移和变形；几何方程；转动张量；主应变和应变不变量；变形协调方程；位移场的单值条件；由应变求位移。
4. 本构关系（2学时）热力学定律与应变能；本构关系；具有弹性对称面的弹性材料的本构关系；各向同性弹性材料的弹性常数；各向同性弹性材料的应变能密度5. 弹性理论的建立与一般原理（4学时）弹性力学基本方程和边界条件；位移解法和拉梅方程；应力解法与变形协调方程；叠加原理；解的唯一性原理；圣维南原理。
6.柱形杆问题（4学时）圣维南问题；柱形扭转问题的基本解法；反逆法与半逆法，扭转问题解例；薄膜比拟；*柱形杆的一般弯曲。
7.平面问题（12学时）平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；直角坐标解例（矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷）；极坐标中的平面问题基本方程；轴对称问题（均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞）；非轴对称问题（小圆孔应力集中、楔体问题）；关于解和解法的讨论。
用张量分析方法推导含偶应力弹性力学有限元理论
河 北 水 利 电 力 学 院 学 报JournalofHebeiUniversityof WaterResourcesandElectricEngineering2021 年3 月第31卷第1期Mar2021Vol31 No1文章编号：2096 — 5680(2021)01 — 0075 — 06用张量分析方法推导含偶应力弹性力学有限元理论孙晓勇1 2 ,宋兴海2,侯娜娜12,付建航2,刘立悦1,2(1.河北省数据中心相变热管理技术创新中心，河北省沧州市重庆路1号061001；2.河北水利电力学院土木工程学院，河北省沧州市重庆路1号061001)摘要：经典弹性力学理论用位移梯度表示无限小变形，不考虑旋转变形，把微元体的旋转视为刚体旋转。
含偶应力弹性力学理论将旋转变形以旋转张量表示，微元体旋转和微元体平动位移同量级，而旋转张量和应变张量同量级，旋转张量与旋转矢量一一对应，用旋转矢量的梯度表示旋转变形。
含偶应力弹性力学理论本构关系包括应力-应变关系和偶应力-曲率张量关 系，用等参变换方法离散单元位移到节点上，从虚功原理出发，增加罚函数项以降低有限元方程对高阶单元的需求，推导了拟 解决三维及二维问题的含偶应力弹性线力学有限元理论，可得三维及二维问题中位移、应力、应变等分布情况，对结构进行力 学评价。
关键词：偶应力；旋转变形；旋转张量；张量分析中图分类号：O343文献标识码:A DOI ： 10. 16046/j. cnki. issn2096-5680. 2021. 01. 0151经典线弹性理论与考虑偶应力线弹 性理论在经典弹塑性力学理论中，物体内任意一点的 应力状态只和应变或应变的历史有关，其基本变量为位移，对位移求梯度得到应变张量,用位移梯度描述无限小的变形，然后再由一点的应变张量分析得 到应力张量［1］。
含偶应力的线弹性力学理论认为, 物体内任意一点的微元体，除有各个方向的位移外,还有本身的旋转变形，而这种旋转变形并非单纯的 以旋转角表达，而是用和应变张量一个量级的旋转张量来表示［］。
位错理论3-位错的弹性性质
31
Line tension of dislocation
位错的线张力：
因为位错的总应变能与位错线的长度成 正比； 所以为了降低系统的能量，必须有位错 线由曲变直，由长变短的自发倾向。
该倾向视为：一个张力沿位错线作用 位错线张力T定义：使位错线增长一 定长度dl所做的功W，即：
3 s E Ee 2
e e
所以，刃位错的弹性应变能比螺位错大50%
24
Strain energy of mixed dislocation
混合位错：
因为： b b b b cosq b sin q m e s
所以
2 2 2 2 Gb sin q R Gb cos q R m s e Ee Ee Ee ln ln 4 (1 ) r0 4 r0
20
Strain energy of screw dislocation 单位长度的螺位错的应变能Eess：
Gb R E ln 4 r0
S e
2
21
Strain energy of edge dislocation 刃位错Eee：
位错在滑移面上 （x方向）只有切 应力分量sqr 且q＝0
对于位错，除了位错中心严重畸变区外， 均适用于上述模型。
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e3 e2
e1 e1
e2
Appendix A.2
a b (a j e j ) (bk e k ) a j bk (e j ek ) (eijk a j bk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元矢 量”，其大小等于由矢量a 和b构成的平行四边形面积， 方向沿该面元的法线方向。
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
符号ij与erst
u u1e1 u2 e2 u3e3
u e
i 1 3 i 1
i i
=ui ei
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =ai bi
Appendix A.1
d s
2
d x1 d x2 d x3
2
2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
ห้องสมุดไป่ตู้
ji , j f i 0
i换成k
jk , j f k 0
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
df
Appendix A.1
f d xi xi
Appendix A
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标 又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k 个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方 程代表了nk 个分量方程。 在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1～n的 哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
其中u1, u2, u3 是u的三个分量， e1, e2, e3是单位基矢量。
Appendix A.1
Appendix A.1
张量基本概念
矢量(可推广至张量)的三种记法：
张量基本概念
指标符号用法 1. 三维空间中任意点P的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
主要内容-清华大学冯西桥教授整理 高等弹性理论－附录
弹性理论相关张量分析
引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量
张量基本概念
张量基本概念
矢量（一阶张量）
位移，速度， 加速度，力， 法向矢量，等 符号体系 •参考 •惯例 用黑体或加上箭头表示
(A.23a) (A.24)
若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反 号。当a, b, c构成右手系时，混合积表示这三个矢量 所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积 的负值。
d=ab
[a, b, c ] a b c = ( am em )( eijk b j ck ei ) eijk amb j ck mi eijk ai b j ck
希腊指标
u =u e u1e1 u2 e2
a b=a b = a1b1 a2b2
张量基本概念
二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量 压电张量，等。 四阶张量 弹性张量，等。
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量 低阶张量的梯度 低阶张量的并积 更高阶张量的缩并等。
但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特
a 1b1c1 a 2b2 c2 a 3b3c3 ai bi ci
i 1
Appendix A.1
Appendix A.1
张量基本概念
小结 叙述方法
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量
Appendix A.1
标 量（零阶张量）
例如：质量，温度 质量密度 应变能密度等
其值与坐标系选取无关。
1 ei e j 0
i j i j
Appendix A.1
张量基本概念
矢 量
矢量u在笛卡尔坐标系中分解为
3
张量基本概念
矢 量
既有大小又有方向性的物理量; 其分量与坐标系选取有关，满 足坐标转换关系； 遵从相应的矢量运算规则
ij ji
Appendix A.2
Appendix A.2
符号ij与erst
类似地有
符号ij与erst
erst符号(排列符号或置换符号) 定义(笛卡尔坐标系)
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
1 或 erst r s s t t r 2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
分解式记法：
分量记法：
ij
用黑体或加下横线表示
Appendix A.1 Appendix A.1
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
张量基本概念
例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具
ij n j i1n1 i 2 n2 i 3n3 Ti
有二重方向性的二阶张量，记为 (或 ) 。
矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量
11n1 12n2 13n3 T1 21n1 22n2 23n3 T2
为零阶张量。
31n1 32n2 33n3 T3
Appendix A.1 Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得 在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例： 若i为自由指标
Appendix A.1
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指 标应防止重名。
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空 间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
ji , j f i 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字。
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
★ 三个矢量a, b, c的混合积是一个标量，其定义为：
[a , b, c ] = a b c a (b c )
符号ij与erst
利用(A.24)和(A.23a)式有
ei e j ij a b (eijk a j bk )ei
Appendix A.1
张量基本概念
★ 可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来 表示多重求和。 例如： aij xi x j aij xi x j
i 1 j 1 3 3
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
aibi ai ci 两边消去ai导得
bi ci
殊值使得上式成立
3
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和， 一般应加求和号。如：
Appendix A.1
符号ij与erst
ij符号 (Kronecker delta)
定义(笛卡尔坐标系)
1 ij 0 (i = j ) (i j )
(i, j=1, 2, …, n)
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0 22 23 0 1 0 21 31 32 33 0 0 1
3
实体记法：
u
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
分解式记法： 分量记法：
2. 两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：
3
ui
Appendix A.1
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi
i 1
Appendix A.1
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。 例如：表达式
xi aij x j
ji , j fi 0
ji , j f ii 0
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
Appendix A.1
x1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x2 x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
Appendix A.2
Appendix A.2
符号ij与erst
特性 1. 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素 为-1，其余的元素都是0 2. 对其任何两个指标都是反对称的，即