第一章 弹性力学基本理论资料
第1章 弹性力学基本理论
偏微分方程 困难 宽
5
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学是一门基础理论，把弹性力学理论直接用于工程
问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方
程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析
方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发
展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分
（1.11）
17
1.1.4 应变
因此，剪应变 xy 为
应变通常是一个很小的值，而且无量纲
xy
1
2
u y x
ux y
应变分量的矩阵型式
（1.12）
ε yxx
xy y
xz yz
zx yy z
（1.13）
除了上面的两种应变，还有一种体积应变(Volume Starin)。体 积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变 的大小等于三个线应变的和，即
x1 y1
cos sin
s in c os
0x 0 y
z1 0
0 1z
（a）
22
1.2.1 应力坐标变换
第二次旋转确定了x’y’z’坐标，它们与 x1y1z1 坐标的关系如下
x' 1
y
'
图 1-3 应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
ux x
相应地，y轴方向的正应变为：
y
弹性力学讲义
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
fz
F f
S
fy
f : 极限矢量,即物体在P点所受面力 的集度。方向就是F的极限方向。
fx P
fx , fy , fz：体力分量。
o
y 符号规定:
x
lim F f
V 0 S
沿坐标正方向为正，沿坐标负 方向为负。
量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2
即：L-1MT-2
(4)各向同性 — 假定物体是各向同性的.
符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.
(5)小变形假定 — 假定位移和形变是微小的. 它包含两个含义： ⅰ 假定应变分量 <<1. 例如：普通梁中的正应变 <<10-3 << 1,切应变 << 1;
ⅱ 假定物体的位移<<物体尺寸.
例如：梁中挠度 << 梁的高度
弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科 中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用 弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。
§1.2 弹性力学中的几个基本概念
弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移
1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力
体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
2 yzzx
弹性力学理论基础
§1.3 发展与研究方法7
钱学森
钱伟长
胡海昌
§1.3 发展与研究方法8
徐芝伦
杨桂通
§1.3 发展与研究方法9
•弹性力学——促进数学和自然科学基本理论的 建立和发展；
•广泛工程应用——造船、建筑、航空和机械制 造等。
•发展——形成了一些专门的分学科；
•现代科学技术和工程技术——仍然提出新的理 论和工程问题。
赫兹（H.Hertz）
§1.3 发展与研究方法5
1898年，基尔霍夫建立 了平板理论;
1824年生於德国，1887年 逝世。曾在海登堡大学和 柏林大学任物理学教授， 他发现了电学中的“基尔 霍夫定理”，同时也对弹 性力学，特别是薄板理论 的研究作出重要贡献。
基尔霍夫 (G.R.Kirchoff)
§1.3 发展与研究方法6
——弹性力学以坐标系定义应力分量；
材料力学以变形效应定义应力分量。
正应力二者定义没有差异
而切应力定义方向不同
§2.5 边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。
边界面力已知——面力边界Ss
§1.2 弹性力学基本假设
•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如 果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数 学推导的困难，将使得问题无法求解。
•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素， 提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个 可行的范围。
•基本假设是学科的研究基础。
•超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科 的研究。
§2.1 体力和面力
• 物体外力 • ——分为两类 • 体力 • 面力 • 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面
积的载荷。
弹性力学理论基础
§2.2 应力与应力张量
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。
附加内力
应力
应力矢量
lim pn
S 0
F S
pn随截面的法线方向n的方向改变而变化
§2.2 应力2
•应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。 •显然，弹性体内某确定点各个截面的应力 •——应力状态必然存在一定的关系。 •应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起 的应力变化趋势。
•对于现代工程技术和科研工作者的培养—— 对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都 有不可替代的作用。
§1.3 发展与研究方法10
•数学方法 •实验方法 •二者结合的方法
•弹性力学的基本方程——偏微分方程的边值 问题，求解的方法有解析法和近似解法。
•解析法在数学上难度极大，因此仅适用于个 别特殊边界条件问题。
•——宏观假设，材料性能是显示各向同性。
•当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等， 属于各向异性材料。
•——这些材料的研究属于复合材料力学研究 的对象。
§1.2 基本假设6
4. 完全弹性假设
•——对应一定的温度，如果应力和应变之 间存在一一对应关系，而且这个关系和时 间无关，也和变形历史无关，称为完全弹 性材料。
§1.2 基本假设2
•工程材料通常可以分为晶体和非晶体两种。
•金属材料——晶体材料，是由许多原子，离子 按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间 经常会有缺陷存在。
•高分子材料——非晶体材料，由许多分子的集 合组成的分子化合物。
•工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固 体材料微观结构的复杂性。
§1.2 基本假设3
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
弹性力学基本理论2012
用矩阵表示为：
禳 镲 σx 镲 镲 镲 σ = σy { } 睚 镲 镲 镲 t 镲 铪 xy = [D ]? {e} 轾 犏 禳 镲 ex 1 m 0 犏 镲 镲 E 犏 镲 = m 1 0 ey 犏 睚 2 镲 1- m 犏 镲 犏 1- m 镲 g 镲 0 0 犏 铪 xy 犏 2 臌 ( P 10, 式2.18)
⑶ 适用条件：a、连续性；b、小变形。
说明
⑷ 几何方程是变形后物体连续性条件
的反映和必然结果。 ⑸ 形变和位移之间的关系：
位移确定——形变完全确定；
从物理概念看，各点的位置确定，
则微分线段上的形变确定 。
从数学推导看，位移函数确定， 则其导数（形变）确定 。
形变与位移的关系
形变确定，位移不完全确定；从物 理概念看， 、 确定，物体还可作
应变中只有平面应变分量 εx , ε y , γxy 存 在，且仅为
f (x , y )
。
例如：
挡土墙
o x
隧道
o
x
y
y
2、平面应力问题 设有很薄的等厚薄板，只在板边 上受有平行于板面且不沿厚度变 化的面力或约束，同时体力也平 行于板面且不沿厚度变化，如 图所示。
特点：
a) 长、宽尺寸远大于厚度的等厚薄板； b) 由于沿板面受有平行板面的面力、 体力、约束，且不沿厚度变化，在平板
C 1 + f1 ( y ).
C 2 + f 2 (x ).
代入第三式 抖 v + 抖 x
u = g xy = 0 y
(a)
分开变量，
df 1 ( y ) df 2 ( x ) = (= dy dx w ). (b)
弹性力学第一章
第一章 教学参考资料（一）本章的学习要求及重点1．弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别。
2．弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处。
3．弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。
（二）本章内容提要1．弹性力学的内容─弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2．弹性力学中的几个基本物理量：体力—— 分布在物体体积内的力、记号为,,,x y z f f f 。
量纲为L -2MT -2，以坐标正向为正。
面力—— 分布在物体表面上的力，记号为,,,x y z f f f 。
量纲为L -2MT -2 ，以坐标正向为正。
应力—— 单位截面面积上的内力，记号x xy στ⋯⋯，量纲为L -2MT -2，以正面正向为正，负面负向为正；反之为负。
形变—— 用线应变, x y εε和切应变xy γ表示，量纲为1，线应变以伸长为正，切应变以直角减小为正。
位移—— 一点位置的移动，记号为,,u v w ，量纲为L ，以坐标正向为正。
3．弹性力学中的基本假定理想弹性体假定—连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。
小变形假定。
4．弹性力学问题的研究方法已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。
求解：应力、形变和位移。
解法：在弹性体区域V 内，根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。
在弹性体边界S 上，根据面力条件，建立应力边界条件，根据约束条件，建立位移边界条件。
然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。
（三）弹性力学的发展简史与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人们认识自然的不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙到精确，从错误到正确的演变历史。
弹性力学基础
弹性力学基础弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在受力后的变形和恢复能力。
本文将介绍弹性力学的基本概念、公式和应用。
一、基本概念弹性力学研究的对象是弹性体，即当受到外力作用后，可以恢复原状的物质。
弹性体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在外力作用下，物体发生变形但不改变其内部结构，当外力消失后，物体可以完全恢复原状。
塑性变形是指在外力作用下，物体发生变形会改变其内部结构，当外力消失后，物体无法完全恢复原状。
二、弹性模量弹性模量是衡量物体弹性变形程度的物理量，常用的弹性模量包括杨氏模量、剪切模量和泊松比。
其中，杨氏模量是衡量物体在拉伸或压缩时的弹性变形程度的量值，剪切模量是衡量物体在受到切割力时的弹性变形程度的量值，泊松比是物体在受到拉伸或压缩时在垂直方向上的变形程度与水平方向上的变形程度之比。
三、胡克定律胡克定律是弹性力学中的基本定律，描述了物体受到力的作用下的弹性变形。
根据胡克定律，当物体受到力的作用后，物体发生的弹性变形与力的大小成正比，与物体的初始长度成反比。
胡克定律可以用数学公式表示为F = kx，其中F为外力的大小，k为弹性系数，x为物体的弹性变形量。
四、应力和应变应力是物体受到外力作用后单位面积上的力的大小，用σ表示。
应变是物体受到外力作用后单位长度变化量与原始长度的比值，用ε表示。
根据胡克定律，应力与应变之间存在线性关系，称为胡克定律。
五、弹性力学的应用弹性力学在工程领域中有广泛的应用，例如在结构设计中，通过弹性力学的理论分析，可以确定结构的稳定性和安全性。
在材料科学中，弹性力学可以帮助研究材料的强度和刚度，为材料的选择和设计提供指导。
此外，弹性力学还在地震学、电子学和生物学等领域中有着重要的应用。
总结：弹性力学是研究物体受力后的变形和恢复能力的学科。
本文介绍了弹性力学的基本概念，包括弹性体、弹性变形和塑性变形等概念；弹性模量、杨氏模量、剪切模量和泊松比等物理量；胡克定律、应力和应变的关系；以及弹性力学在工程、材料科学和其他学科中的应用。
弹性力学 第一章 绪论
第一章绪论一、内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。
弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。
目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。
知识点：弹性力学的特点；弹性力学的任务；弹性力学的基本假设；弹性力学的发展；弹性力学的研究方法二、重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。
§1.1 弹性力学的任务学习思路：弹性力学，又称弹性理论。
作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比出材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
弹性是固体的基本属性。
而"完全弹性"，则是对实际弹性体的抽象。
弹性力学与材料力学的研究内容和基本任务是基本相同的，研究对象也是近似的，但是研究方法却有比较大的差别。
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1.1.1 弹性力学及其基本假设
五个基本假设——理想弹性体
（3） 均匀性假定。假定整个物体由同一材料组成。保证整个
物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不 会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。
（4）各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。
（1.5）
B
m A P
G T n
T就是P点处的应力。
通常将应力沿截面A的法向和
o
A
切向进行分解，相应的分量就是常用y的正应力和剪应力。它们满足
x 图1-1 物体内任意点处的应力
Tn
2
2 n
2 n
（1.6）
14
1.1.3 应力
应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有
同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
9
1.1.2 外力与内力
（1）外力
作用于物体的外力通常可分为两类： 面力(Surface Force) 体力(Body Force)
10
1.1.2 外力与内力
面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、 水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情 况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。
杆、板、壳、块、 三维体
偏微分方程 困难 宽
5
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学是一门基础理论，把弹性力学理论直接用于工程 问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方 程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析 方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发 展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分 法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有 限单元法，为解决工程实际问题开辟了广阔的前景。
6
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学的基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内 应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体的形状、物 理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变 状态和位移。 弹性力学的研究对象是理想弹性体，所谓理想弹 性体应符合下述的五个假定。
7
1.1.1 弹性力学及其基本假设
五个基本假设——理想弹性体
（1） 连续性假定。也就是假定整个物体的体积都被组成该
物体的介质所填满，不存在任何空隙。保证物体内一些物理 量（应力、应变、位移等）的连续性，从而可以用坐标的连 续函数来描述。
（2）完全弹性假定。这是假定物体服从胡克定律，即应变
与引起该应变的应力成正比。保证物体在任意瞬时的应变将 完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而 与加载的历史和加载顺序无关。
在物体表面P点处取一微小面积S，假设其上作用有表面力
F，则P点所受的表面力定义为
QS
lim
S 0
F S
（1.1）
通常用各坐标方向上的分量来表示面力，即
X
QS
Y
X,
Y,
T
Z
Z
（1.2）
11
1.1.2 外力与内力
体力(Body Force)一般是指分布在物体体积内的外力，作用 于弹性体内每一个体积单元。通常与物体的质量成正比、且是各 质点位置的函数，如重力、惯性力、磁场力等。作用在物体内P 点上的体力，可按面力定义方式进行定义，即在P点处取一微小
1
第一章 弹性力学基础理论
2
第一章 弹性力学基础理论
本章概述
本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：线弹性问 题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几 何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。这些是进行机 械结构有限元分析的重要力学理论基础。
要求: 学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握 弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等。
体积V，假定其上作用有体力R，则P点所受的体力可定义为
QV
lim R V 0 V
（1.3）
一般也是用各坐标方向上的分量来表示体力，即
X
QV
Y
X
,
Y,
ZT
Z
（1.4）
12
1.1.2 外力与内力
（2）内力
物体在外力作用下，其内部 将产生抵抗变形的“附加”内力 。若假想用一经过物体内P点的截 面mn将物体分为两部分A和B，移 去其中的一部分B。显然，在截面 mn上必定有某种力存在使A平衡 x ，这种力就称为内力，实际上也 就是物体内部的相互作用力。
3
1.1 弹性力学的基本概念
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学（Elastic Theory）
弹 性 力 学 是 一 门 基 础 学 科 ， 弹 性 力 学 是 固 体 力 学 (solid
mechanics)的一个分支，其基本任务是针对各种具体情况，确 定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体 的形状、物理性质、受力情况和边界条件时,确定其任一点的应 力、应变状态和位移。在机械、航空、航天、土建和水利等领 域的结构分析中,都需要应用弹性力学的基本理论。
z
B
G
T
m A P
n
A
o y
图1-1 物体内任意点处的应力
13
1.1.3 应力
1.1.3 应力 所谓一点处某个截面上的应力(Stress)
就是指该截面上的“附加内力”，即应力是
内力在该点处的集度。如图1-1所示，在截面
mn上P点处取一微小面积A，假设作用于
A上的内力为G，则
z
T lim G A0 A
也就是说，物体的弹性常数不随方向而变化。
（5）小位移和小变形的假定。假定物体受力以后，物体所有
各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都 小于1。保证在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的 尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，在考察物 体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以 略去不计。
4
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学与材料力学的区别
弹性力学与材料力学(Strengths of Materials)在研究对象、研究 内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大 差别。
研究对象几何形状
描述方程 求解难易程度
适用范围
材料力学
杆状构件
常微分方程 容易 窄
弹性力学