弹性力学基本理论
弹性力学理论
弹性力学理论弹性力学理论是研究物体在受力作用下的变形和应力分布规律的科学理论。
它是应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析至关重要。
本文将从理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面对弹性力学进行论述。
一、理论概述弹性力学理论是力学中的重要分支，它研究的是物体在受力作用下的弹性变形和应力分布规律。
从宏观上来看，弹性力学理论可以用于解释物体的形变和变形后的恢复情况。
从微观角度来看，弹性力学理论涉及到原子和分子之间的相互作用力，以及它们之间的位移和应力的关系。
二、基本原理弹性力学理论建立在几个基本原理之上。
首先是虚功原理，它表明物体在受力作用下的形变能量等于外力对物体所做的功。
其次是共轭原理，说明应力与应变之间存在一一对应的关系。
弹性力学还依赖于线性弹性假设，即假设物体的应力与应变之间是线性关系。
三、应力分析弹性力学理论对于应力分析提供了有力的工具。
应力是物体内部的力分布，它可以通过弹性模量、泊松比等参数进行描述。
弹性力学理论可以计算各个部位的应力大小和分布情况，从而评估物体在受力下是否会发生破坏。
在工程实践中，应力分析是设计结构和材料的重要环节。
四、变形分析除了应力分析，变形分析也是弹性力学理论的重要内容。
变形是物体在受力作用下发生的形状改变，它可以通过应变进行描述。
弹性力学理论可以计算物体在受力下的变形情况，包括线性弹性变形和非线性变形等。
通过对变形进行分析，可以判断物体是否满足设计要求，以及设计参数的合理性。
五、应用弹性力学理论在工程领域有广泛的应用。
在结构设计中，弹性力学理论可以用于计算各个部位的应力和变形情况，从而预测结构的安全性和可靠性。
在材料工程中，弹性力学理论可以评估材料的弹性性能和变形行为，为材料选择和优化提供指导。
此外，弹性力学理论还被应用于地质勘探、地震学和生物力学等领域。
结论弹性力学理论作为应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
通过理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面的论述，对弹性力学进行了全面介绍。
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
弹塑性力学基础理论与应用
弹塑性力学基础理论与应用弹塑性力学是力学中一个重要的分支，涵盖了弹性力学和塑性力学的基本原理和应用。
本文将简要介绍弹塑性力学的基础理论和一些应用领域。
一、弹塑性力学的基础理论1. 弹性力学理论弹性力学研究材料在外力作用下的弹性变形及其恢复过程。
根据胡克定律，应力与应变成正比。
弹性力学理论通过应力张量与应变张量之间的关系描述了弹性材料的力学行为。
弹性模量是弹性力学的重要参数，表征了材料的刚度。
2. 塑性力学理论塑性力学研究材料在超过弹性极限后的变形行为。
当外力超过材料的弹性极限时，材料会发生塑性变形，而不是立即恢复到原来的形状。
塑性力学理论包括弹塑性本构方程的建立和塑性流动规律的描述。
3. 弹塑性力学理论弹塑性力学是弹性力学和塑性力学的综合应用。
它考虑了材料在弹性和塑性行为之间的转换。
在某些情况下，材料可以同时表现出弹性和塑性特性。
弹塑性力学理论利用不同的本构关系来描述材料在变形过程中的不同阶段。
二、弹塑性力学的应用1. 材料工程弹塑性力学在材料工程领域中具有重要的应用价值。
通过研究材料的弹性行为和塑性行为，可以确定材料的强度、韧性和耐久性，从而指导材料的选用和设计。
在材料的加工过程中，弹塑性力学理论也可以用于模拟和预测材料的变形行为。
2. 结构工程在结构设计和分析中，弹塑性力学也发挥着重要作用。
结构的承载能力和变形行为与材料的弹性和塑性特性密切相关。
通过考虑弹塑性行为，可以更准确地评估结构的安全性和稳定性。
3. 土木工程土木工程中的地基和土壤材料往往存在复杂的弹塑性特性。
弹塑性力学可用于分析土壤的沉降和变形行为，以及地基的稳定性。
在岩土工程中，弹塑性力学理论也可以用于分析岩土体的稳定性和变形行为。
4. 金属加工金属的塑性变形是金属加工过程中的核心问题。
弹塑性力学理论可以用于研究金属的屈服和流动行为，从而指导金属的模具设计和加工工艺的优化。
总结：弹塑性力学是力学中的一个重要分支，它综合了弹性力学和塑性力学的基础理论与应用。
第一章 弹性力学的基本理论
学习弹性力学的目的
理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本 方程、基本解法。 能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工 程服务。 能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分 法、差分法和有限单元法的理解。 为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础。
v v y dy dy v dy v y dy y
y
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
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应力张量
是对称的二阶张量
x xy xz yx y yz zx zy z
过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应 力张量唯一地确定。即一点的应力状态是用该点的应 力张量表示的。
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弹性力学的发展史 自学
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弹性力学中的几个基本概念
外力 体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力 表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也 可以是集中力
z
Q Z V X P
X
z
Q Z F Y P S
F Y
o
Q F V 0 V lim
x
y
o
Q F S 0 S lim
x
y
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内力、应力及应力张量
物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内
产生抵抗变形的力，称为内力。
Ⅱ
F2
F1 — Ⅱ部分物体对Ⅰ部分物体的作用力
F1
F2 — Ⅰ部分物体对Ⅱ部分物体的作用力 F1 和F2 大小相等，方向相反。
2--弹性力学基本理论
yz
zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边 ：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定： 正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x
0
sx x
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
ͼ 1-3a ͼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介 质充满，不考虑材料缺陷，在物体 内的物理量是连续的, 可以采用连续 函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
有限元法基本原理及应用第2章重庆大学龙雪峰
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
3．完全弹性假设。 假设除去引起物体变形的外力之后，物体形状能够完全恢 复，而没有任何残余变形并且假定材料服从胡克定律，即 应力与应变成正比，这样物体在任意瞬时，应变完全取决 于该瞬时所受外力，而与它之前加载的历史无关，与外力 施加顺序也无关。 由材料力学知，物体所受应力未达到比例极限之前，可 近似看作完全弹性体。
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
2．均匀性假设。 假设物体内各处材料的力学性能完全相同，即从物体中任 意取出一个微元体进行分析，都可以使用同一组材料常数。 实际上，物体是由颗粒组成的，不可能是完全均匀的， 但只要颗粒的尺寸远远小于物体的尺寸并且均匀分布，将 物体性能看作各组成部分性能的统计平均量是没问题的。 这里的均匀性假设并不妨碍弹性力学处理由不同材料组成 的弹性体，只要在每一部分都满足均匀性假设即可。
有限元原理及应用
• 2.2.7 主应变 • 由单元体六个应变分量：
第二章 弹性力学基本理论
• 可以求出过该点任意方向线应变和任意两 线段之间角度的改变：
2.7 2.8
式中l、m、n 为过物体内一点P 的线 段PN 的方向余弦， l1、m1、 n1为过P 点 与PN 成θ 角的线段PN1 的方向余弦，θ’ 为物体受力变形后线段PN 与PN1 的夹角, 如图2.5 所示。
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
• 这个极限矢量p 就是物体在截面mn 上的、在P 点所受内力的 集度，即P 点的应力。因为ΔA 是标量，所以p 的方向就是ΔF 的极限方向。 • 对于应力，通常沿截面的法向和切向将应力分解为正应力σ 和切应力τ，如图2.3 所示。应力及其分量的因次是[力][长 度]-2。 • 在物体内的同一点，不同方向的截面上的应力是不同的。过 一点，各截面上应力的大小和方向的总和称为一点的应力状 态。
弹性力学理论基础
2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力 物体受外力作用后，在其内部将要产生 应力。 六面体称为微元体：从物体中取出一 个无限小的平行六面体，它的棱边平行于 坐标轴。 将微元体每一个面上的应力分解成为一 个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴 平行，并称为该面的三个应力分量
2.1 基本假设和基本概念
1）分析各点的位移
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小 的。
正应变的定义有：
u dx
x
dx
u dx x
dx
u x
同理：
y
PB2 PB
PB
v y
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物 体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。
考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运 动)微分方程及边界条件。
2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法 弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体
的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相 应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方 程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。
2 x
x 2
dx 2
略去二阶及二阶以上的微量后：
x
x
x
dx
同样设左面的剪应力是 xy
右面的剪应力将是
xy
xy x
dx
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分
布，并作用在对应面的中心。六面体所受的 体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的 体积的中心。
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用弹性力学是固体力学学科的分支。
其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
一．弹性力学的基本规律规律假设弹性力学的研究对象是完全弹性体。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。
要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。
没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设：1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空袭。
2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。
因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
因此，物体的弹性性质处处是相同的。
3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。
4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。
5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。
根据这一假设，弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。
二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法：弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。
数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。
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( , )2
可略去
等项,使几何方程成为线性方程。
弹性力学基本假定，确定了弹性力 学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
第二节 有限元方法概述
分析思路是： 将整个结构看作是由有限个力学小 单元相互连接而形成的集合体，每 个单元的力学特性组合在一起便可 提供整体结构的力学特性。
离散化的组合体与真实弹性体的区别 在于：组合体中单元与单元之间的联 接除了结点之外再无任何关联。但要 满足变形协调条件，单元之间只能通 过结点来传递内力。通过结点来传递 的内力称为结点力，作用在结点上的 荷载称为结点荷载。当连续体受到外 力作用发生变形时，组成它的各个单 元也将发生变形，因而各个结点要产 生不同程度的位移，这种位移称为结 点位移。
面力是指分布在物体表面的力，如
流体的压力和接触力 。
z
fz F
S
fy
fx P
y
x
三、应力分量 内力的平均集度即为平均应力。
z
p在法向和切向的分量，
F
p
A
P
也就是正应力和切应力，
y
如图所示。
x
应力分量如图所示。 应力分量可用矩阵表示为
四、应变分量
应变是指物体在受力后发生变形的 相对量，总的可以归结为长度的改 变和角度的改变。
5、小变形假定 假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸，
例：梁的挠度v＜＜梁高h。
b. ε,
1.
例：梁的ε 103 1
＜＜1弧度。
小变形假定的应用：
a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡
条件时，可以用变形前的尺寸代替变形
后的尺寸。
b.简化几何方程：在几何方程中，由
于(, ) (, )2 (, )3 ,
注意：平面应力问题z =0，但 ,这
与平面应变问题相反。
如：弧形闸门闸墩、深梁
弧形闸门闸墩
深梁
fy fy
平面应力
例题1：试分析AB薄层中的应力状态。
因表面无任何面力，
即 ： fx 0,fy 0
B
故表面上，有：
Байду номын сангаас
σz, zx, zy 0
A
在近表面很薄一层内：
σz, zx, zy 0.
故接近平面应力问题。
2、几何关系
研究弹性体内任意一点的位移，除 了刚体位移外，还有弹性体因变形 而引起的位移(变形位移) 。研究弹 性体的应力应变关系、微元间的变 形协调方程就可以得出弹性体的几 何微分方程或变形协调方程，研究 边界位移和外加约束的协调关系就 可以建立位移边界条件。
3、物理关系
二、基本假设
1、连续性假定 假定物体是连续的。因此，各物理 量可用连续函数表示。
二、平面问题基本方程
1、几何方程：表示任一点的微分 线段上形变与位移之间的关系。
定义
通过点P(x,y)作两正坐标向的微
分线段PAdx, PBdy,
变形前位置：P , A, B ,
变形后位置：P , A , B 位置如图。
－－各点的
应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。
PA 线应变 PB 线应变
所以平面问题的几何方程为：
变和位移8个未知函数，且均为
f x,y
uv x、 y、 xy、 x、 y、 xy、 、
第二节 弹性力学平面问题 的直角坐标解答
一、两类问题
1、平面应变问题
设有很长的柱形体，它的横截面不沿 长度发生变化，在柱面上受有平行于横截 面且不沿长度变化的面力或约束，而且体 力也平行于横截面且不沿长度变化，如： 水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等 。如图所示。
x
x u,
y
y v,
xy
v x
yu.
对几何方程的说明：
⑴ 适用于区域内任何点，因为A （x,y）； ⑵ 应用小变形假定，略去了高阶 小量----线性的几何方程；
⑶ 适用条件：a、连续性；b、小变形。
说明
⑷ 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。 ⑸ 形变和位移之间的关系：
五、位移
位移是指物体内任一点位置的移 动。物体内一点可用沿x、y、z三 个方向的位移分量u、v、w表示
。
弹性力学空间问题共有应力、应 变和位移15个未知函数，且均为
f x,y,z
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
uvw x、 y、 z、 xy、 yz、 zx、 、 、
弹性力学平面问题共有应力、应
弹性力学基本理论
第一章 绪 论
第一节 弹性力学方法概述
一、研究内容
研究弹性体在受到外力作用、边界约 束或是由于温度变化等原因而产生的 应力、应变和位移。主要通过以下几 个方面进行研究：
1、静力平衡关系
弹性体内部的平衡是弹性力学 研究的主要的平衡关系。为此我们 假想弹性体是由内部无限个无限小 的微六面体和边界上无限个微四面 体所组成的集合体。在变形完成之 后把每一个微元看作是刚体并研究 它们的平衡即可建立弹性力学的平 衡微分方程式
y x
特点：
a) z向尺寸远大于x，y向尺寸，且 与z轴垂直的各个横截面尺寸都相 同。
b) 由于受有平行于横截面(x、y平 面)且不沿z向变化的外载荷(包括 体力x、y，但z=0)，约束条件沿z 向也不变。
3、由于截面形状、体力、面力及 约束沿z向均不变，故应力、应变和 位移均为x、y的函数。 所以平面应变问题： 应变中只有平面应变分量 εx,εy,γxy 存 在，且仅为 f x , y 。
2、完全弹性假定 a.完全弹性—外力取消，变形恢复，
无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。 即应力与应变关系可用胡克定律表 示（物理线性）。
3、均匀性假定
假定物体由同种材料组成,因此， E、 μ等与位置 (x, y, z)无关。
4、各向同性假定 假定物体各向同性。E、μ与方向无关
。
由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定
例如： 挡土墙
o x
隧道
o x
y
y
2、平面应力问题
设有很薄的等厚薄板，只在板边 上受有平行于板面且不沿厚度变 化的面力或约束，同时体力也平
行于板面且不沿厚度变化，如 图所示。
特点：
a) 长、宽尺寸远大于厚度的等厚薄板 ；
b) 由于沿板面受有平行板面的面力、 体力、约束，且，不沿厚度变化，在平板 的前后表面上无外力作用，因此 σx,σy,xy 为x、y的函数。
第一节 弹性力学的基本概念 第二节 弹性力学平面问题 的直角坐标解答 第三节 用直角坐标法求解平面问题实例 第四节 弹性力学平面问题的极坐标解法 第五节 用极坐标解法求解平面问题实例
第一节 弹性力学的基本概念
一、体力
分布在物体体积内的力，如常见的
重力、惯性力
z
fz F
V
fy
fx P
y
x
二、面力