最全面弹性力学基本方程和岩石力学介绍(精华版)
弹性力学基础知识
06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的 物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散 的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型 进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化， 将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单 元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力 作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生 的变形，以及这种变形如何影响物体 的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源 等。
THANKS
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有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建 立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭 代法等）求解整体刚度方程， 得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数 学模型，包括对系统进行离散 化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成 整体的刚度方程，同时引入边 界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力 作用下能量变化的重要理论，它为解决 弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统 在外力作用下，其能量变化等于外力所做 的功与物体形变所吸收的功之和。这个原 理在解决弹性力学问题时非常有用，因为 它可以将复杂的物理现象转化为数学上的 能量平衡问题。
第1章 弹性力学基本理论
偏微分方程 困难 宽
5
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学是一门基础理论，把弹性力学理论直接用于工程
问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方
程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析
方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发
展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分
（1.11）
17
1.1.4 应变
因此，剪应变 xy 为
应变通常是一个很小的值，而且无量纲
xy
1
2
u y x
ux y
应变分量的矩阵型式
（1.12）
ε yxx
xy y
xz yz
zx yy z
（1.13）
除了上面的两种应变，还有一种体积应变(Volume Starin)。体 积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变 的大小等于三个线应变的和，即
x1 y1
cos sin
s in c os
0x 0 y
z1 0
0 1z
（a）
22
1.2.1 应力坐标变换
第二次旋转确定了x’y’z’坐标，它们与 x1y1z1 坐标的关系如下
x' 1
y
'
图 1-3 应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
ux x
相应地，y轴方向的正应变为：
y
弹性力学基础讲解
一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。
弹性力学基本方程
03
应变分析基础
应变概念及分类
应变定义
应变是指物体在外力作用下产生的局部 相对变形，描述了物体形状的微小改变 。
VS
应变分类
应变可分为线应变、切应变、体应变等多 种类型，分别描述了物体不同方向的变形 情况。
应变张量表示方法
应变张量定义
应变张量是描述物体变形状态的二阶张量，可用于全面描述物体的应变情况。
几何方程（应变-位移关系）推导
应变定义
应变是描述物体变形程度的物理量，包括线应变、切应变和体应变 等。
位移与应变关系
在弹性力学中，应变可以通过位移来表示。具体来说，线应变可以 通过位移的导数来表示，而切应变则可以通过位移的差分来表示。
推导过程
通过对应变和位移的定义进行分析，可以推导出应变与位移之间的关 系式，即几何方程。
应力状态。
影响分析
03
初始条件对弹性体的动态响应和稳定性有重要影响，
不合理的初始条件可能导致求解结果偏离实际情况。
边界条件和初始条件在求解中作用
确定解的唯一性
边界条件和初始条件是弹性力学 问题有定解的必要条件，只有给 定合适的边界条件和初始条件， 才能保证解的唯一性。
影响解的精度和稳定性
边界条件和初始条件的处理直接 影响求解精度和稳定性，不合理 的边界条件和初始条件可能导致 求解结果失真或不稳定。
目前，弹性力学已经广泛应用于各种工程领域，如机械、土木、航空、航天等 。同时，随着计算机技术的发展，数值计算方法在弹性力学中的应用也越来越 广泛。
弹性力学在工程领域应用
机械工程
土木工程
在机械工程中，弹性力学被广泛应用于机 构工程中，弹性力学被用于分析建筑 结构的稳定性、承载能力以及地震响应等 问题。
弹性力学基础讲解
弹性力学基础讲解一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ??-?=→?'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=??=→?F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=??=→?F s 0lim 。
第三章 岩石力学基本知识介绍
p r0 t
c
P A
t
抗剪试验
抗弯试验
P s A
3Pl b 2bh 2
表 1-4 岩石的抗压、抗拉、抗剪和抗弯强度
岩石 粗粒砂岩 中粒砂岩 细粒砂岩 页 岩 泥 岩 石 膏 含膏石灰岩 安山岩 白云岩 石灰岩 花岗岩 正长岩 辉长岩 石英岩 辉绿岩 抗压强度 σ cMpa 142 151 185 14－61 18 17 42 98.6 162 138 166 215.2 230 305 343 抗拉强度 σ tMpa 5.14 5.2 7.95 1.7－8 3.2 1.9 2.4 5.8 6.9 9.1 12 14.3 13.5 14.4 13.4 抗剪强度 τ sMpa － － － － － － － 98 118 145 198 221 244 316 347 抗弯强度 σ rMpa 10.3 13.1 24.9 36 3.5 6 6.5
d dt
弹性
塑性
粘性
材料的变形性质
弹性：一定的应力范围内，物体受外力作用产生变形，而 去除外力后能够立即恢复其原有的形状和尺寸大小的性质
产生的变形称为弹性变形 具有弹性性质的物体称为弹性介质
弹性按其应力和应变关系又可分为两种类型
应力和应变呈直线关系—即线弹性或虎 克型弹性或理想弹性 应力应变呈非直线的非线性弹性
l
xx
xx l x
xx
o
xx l x
xy
xy x
l
yx
yx y
l
yy
yy y
l
一点应力状态——剪应力互等定理
xy xy 2 2 M oz xy l 2l l xy l 2l l x x yx yx 2 2 yx l 2l l yx l 2l l y y
第一章 弹性力学的基本理论
学习弹性力学的目的
理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本 方程、基本解法。 能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工 程服务。 能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分 法、差分法和有限单元法的理解。 为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础。
v v y dy dy v dy v y dy y
y
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
机自学院安全断裂分析研究室
应力张量
是对称的二阶张量
x xy xz yx y yz zx zy z
过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应 力张量唯一地确定。即一点的应力状态是用该点的应 力张量表示的。
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弹性力学的发展史 自学
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弹性力学中的几个基本概念
外力 体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力 表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也 可以是集中力
z
Q Z V X P
X
z
Q Z F Y P S
F Y
o
Q F V 0 V lim
x
y
o
Q F S 0 S lim
x
y
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内力、应力及应力张量
物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内
产生抵抗变形的力，称为内力。
Ⅱ
F2
F1 — Ⅱ部分物体对Ⅰ部分物体的作用力
F1
F2 — Ⅰ部分物体对Ⅱ部分物体的作用力 F1 和F2 大小相等，方向相反。
弹性力学
即:σ x
3) 平衡方程 因为平面应变问题独立分量只有σx ,σy ,τxy,而
σ z = (σ x + σ y ) ,它们都是x,y的函数与z无关,
且体力Z=0,故有:
σ x τ yx + +X =0 x y τ xy σ y + +Y = 0 x y
返回
Байду номын сангаас
二,平面应力问题 1. 特点: 特点: 1) 长,宽尺寸远大于厚度 2) 沿板面受有平行板面的面力,且沿厚度均布,体力 沿板面受有平行板面的面力,且沿厚度均布, 平行于板面且不沿厚度变化, 平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后表面上 无外力作用. 无外力作用. 例如: 例如: y x
注意:平面应力问题σz =0,但 ε z ≠ 0 ,这恰与平面应变 问题相反.
返回
由于σz =0,平面应力问题的物理方程为:
εx =
1 σ x σ y E 1 ε y = σ y σ x E 2(1 + ) γ xy = τ xy E 或写成: σ x 1 0 0 ε x E {σ } = σ y = 1 ε y = [D ] {ε } (1 2 ) τ 1 γ 0 0 xy xy 2 0 1 0 [D] = E 2 1 ——平面应力的弹性矩阵 其中 (1 ) 1 0 0 2
弹性力学基本理论回顾
1 弹性力学的几个基本假定 2 弹性力学中的基本力学量和方程 3 弹性力学的平面问题
返回
第一节
弹性力学的几个基本假定
大量的工程问题都涉及到应力,应变及位移的分 大量的工程问题都涉及到应力,应变及位移的分 应力 析计算,弹性力学(又称弹性理论)就是研究物体在 析计算,弹性力学(又称弹性理论) 外部因素(如外力,温度变化等)作用下产生的应力, 外部因素(如外力,温度变化等)作用下产生的应力, 应变及其位移规律的一门科学,它是固体力学的一个 应变及其位移规律的一门科学, 分支.弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况, 分支.弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况, 确定弹性体内应力与应变的分布规律.也就是说,当 确定弹性体内应力与应变的分布规律.也就是说, 已知弹性体的形状,物理性质, 已知弹性体的形状,物理性质,受力情况和边界条件 时,确定其任一点的应力,应变状态和位移.弹性力 确定其任一点的应力,应变状态和位移. 学所研究的对象是理想弹性体, 学所研究的对象是理想弹性体,其应力与应变之间的 关系为线性关系,即符合虎克定律.所谓理想弹性体, 关系为线性关系,即符合虎克定律.所谓理想弹性体, 理想弹性体 是指符合下述四个假定的物体, 是指符合下述四个假定的物体,即 :
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第二章 弹性力学的基本原理§2.1 应力分析2.1.1 应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点 设 S 的外法P 的周围取一微元S , 线为 ν ,S 上的力为 T ，如极限 存在，则称 T 为 P 点在该截面上的应力矢量。
lim T / S T S 0(1 )( 2)(3 )考察三个面为与坐标面平行的截面(即以 x 1 , x 2 , x 3 三个坐标轴为法线的三个截面), T , T , T分别表示三个截面上的应力矢量。
每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有(i )Tije j(i,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足 “求和约定” ，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，3则理解为对所有同类求和， 即 ij e j ije j 应理解为。
这样的求和指标 j 称之为假指标或哑指标。
由此得到j 1九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：1112 13 xxxy xz 或(2.2)ij21 22 23 ij yx yy yz 313233zxzyzz在本书第一章致第九章，应力分量符号 (正负号 )规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪 应力为正，反之为负。
如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为 负。
2.1.2 柯西 (Cauchy)方程记 S 为过 P 点的外法向为n 的斜截面。
外法线 n 的方向可由其方向余弦记为 cos(n , x 1 ),n1cos(n , x 3 ) 。
cos(n , x 2 ) , 设此斜截面坐标面平行的截面 n3 n2ABC (即以 的面积为 S, 则如图 2.1, 过此点所取的小四面体 OABC 另外三个面为与x 1 , x 2 , x 3 三个坐标轴为法线的三个截面其面积分别为), OBC : S 1 OAC : S 2 OAB : S 3S S S cos(n , x 1 ) cos(n , x 2 ) cos(n , x 3 ) S S Sn1 (2.3)n 2 n3( n)此截面上的应力矢量记为即T, ( n )( n)TT j e jT。
(2.4)(1)( 2),(3)另外三个面上的应力矢量分别为T, T考虑此微元 (四面体 OABC 的平衡，其平衡方程为13( n)(1)( 2 )( 3 )TS TS 1 TS 2 TS 3f S h 0 (2.5)1 S 3其中 f 为作用于此单元上的体力，h 为 O 点至截面 ABC 的垂直距离， h 为此微元的体积。
当此四面体微元无限缩小时 , 上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得( n)(1 )( 2)( 3)TTTT (2.6) n1n 2n 3将 (2.1)代入 , 就得到( n)Tij nie j(2.7)( n )T的坐标分量与应力分量间的关系为：与 (2.4)比较就得到 ( n)Tj(2.8)ni ij这就是柯西 (Cauchy) 公式，写成矩阵形式就是( n ) ( n ) Tx T 1 l m n11 12 13 n1 xx xy xz ( n ) ( n )T yT 2 或 (2.9)21 22 23 n 2 yx yy yz ( n ) T3( n ) Tz313233n 3zxzyzz斜截面上总应力在法线方向上的分量 (正应力 )为njTj(n ) (2.10)ni nj ij或将n1,n 2,n 3写成 l, m, n,222lmn2lm2mn2nl(2.11)112233122331切线方向上的分量 (剪应力 )T22 2 2 ( n ) 2( n) ( n) (n ) 2T1T2T3(2.12)图 2.12.1.3 坐标变换x 1 , x 2 x 2 x 3 , x 1 建立新的正交坐标系 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面, 新坐标轴, x 1 , x 2 , x 3 与原坐标轴 x 1 , , x 3 之间的夹角余弦如下表示：x 1x 2x 3x 1 x 1 x 31 11 21 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3(1 )则上面的应力矢量成为 o xyz 变换到新坐标系 o x' y' z' ，(2.10)T 将应力分量从原坐标系 成为( 1 )1 j T j(2.13)111 i1 jij同理(1 )2 j T j12 1 i 2 j ij (2.14)(1 ) 3 j Tj131 i3 jij一般地，有(i )j j T j(2.15)i ji ij jij上式为应力张量坐标变换式用矩阵表示为, 1'1 ' 1'2 ' 1'3 ' 1 1 1 2 13 11 12 13 1 1 2 1 3 1 (2.16)2'1 ' 2'2 ' 2'3' 2 1 22 2 3 21 22 23 12 2 2 32 3'1'3'2 '3'3 '3 132333132331 32 33 3上式用在具体计算时比较方便。
在理论推导中，用应力张量的变换符号表示比较方便： 其中i 'i 为新坐标中x i ’与旧坐标中 x i 之间夹角的方向余弦。
剪应力互等定理 :设体积微元 (小长方体 )的三个边长各为 力 )对于任一轴的矩的代数和必然为零。
因而得dx 1、 dx 2、 dx 3, 作用于此体积元上所有的力(包括惯性(2.17)ijji这就是剪应力互等定理。
它表明，应力张量是对称张量。
2.1.4 主应力与应力张量不变量如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。
主平 面的正应力为主应力。
设方向n 为主方向，其方向余弦为(n 1、n 2、 n 3 ) , 此面上的主应力为, 则( n)T 1 n 1 n 2 n 3( n) T2 (2.18)( n)T 3将上式代入柯西公式 (2.7), 得() n 1 12n2) n 2 13 n3 23n3)n 3 0 011 21n2 31 n 1((2.20)22 32n 2(33上式写成张量形式就是：(2.21)ijiji其中为克罗耐克尔 (Kroneker) 符号：1iji i j jij因为 n 、n 、n 不能同时为零，所以 (2.20)的系数行列式必须为零。
得 1 2 3 (i ) 111213(i ) 0 (2.22)12 2223()313222i上式写成张量形式就是：det(2.23)ij ij将 (2.22) 的行列式展开后得3 i2I 1I 2 I 3(2.24)方程 (2.13)称为应力状态特征方程，其三个系数分别为I 1 11 22 33 11 12 22 23 33 31 I 2212232331311(2.25)1112 13 I 321 22 23 313233特征方程 (2.24) 在坐标变换时保持不变， 即它的三个系数 I 2, I 3 不随坐标系的变化而改变， I 1, I 1, I 2 , I 3 通常取分别称之为应力张量的第一、第二、第三不变量。
解特征方程求得三个实根就是主应力, 22 2 n1n2n31联立3。
将其值代入方程组 (2.20), 并和条件 , 即可求得对应于每一个主12应力(i 1,2,3) 的主方向i1 H(i 1,2,3)n in 1 ,n 2 , n 3w 1, w 2 , w 3(2.26)其中w 1 w 2 23, 13,13 i 22 12 23 2 i1112( i 1,2,3) (2.27)2 12w 3 H11 ,i1122 i12222w w w 21 3上述过程在数学上实际就是求应力张量矩阵的特征值和特征向量。
x 1, x 2, x 3 , I 1 I 2 I 3如果选择主方向为坐标轴则应力张量不变量 (2.25) 可化简为1 23 (2.28)1 2 233 1123 2.1.5 最大剪应力可以证明，三个最大剪应力分别为1 2 ( 2 ( 2) 3 )1)12 1 1 (2.29)23 2 1 2(313这些剪应力所在的截面平行某一主轴面而与另外两个主轴成 45°夹角。
模型中会用到。
最大剪应力在塑性力学的屈服准则和断裂力学的Dugdale 2.1.6 应力圆 (Mohr 圆)平面上的一个圆，记为某一截面上的正应力， 为该截面上的剪应力。
Mohr 圆为NN22 1211 2211 22这个圆的圆心 C 的坐标为,0 。
圆上的一点表示某一截面, 半径为22上的应力。
该点的横坐标表示该截面上的正应力，纵坐标表示该截面上的剪应力。
这个圆用方程表示就是：2222 1211221122(2.30)N2 2图 2.2 显示了 Mohr 圆，其中 A 点代表以 x 1 轴为法线的截面上的应力 (11,12) 。
该截面的法线与' 。
延长 第一主方向的夹角为AC 交 Mohr 圆于 D 点。
D 点代表以 x 1 轴为法线的截面上的应力0 , (22,21) 。
令 从 (2.17) 式可以得出 圆与横轴的两个交点的横坐标为Mohr 21 21211221122(2.31)2 22AC 这正是两个主应力， 和解特征方程 (2.24) 得到的结果是一致的。
规定 和横轴的夹角为 2 ' ,211 2 22CB12CB12， tg 2 'cos2 'sin 2 '(2.32)11221212OC CB cos2 'cos2 '1122221cos '2sin '1212OC CB cos2 'cos2 '222 222sin' 'cos '12CB sin 2 ( 2) s in 'cos '121图 2.2 平面应力的应力圆(Mohr 圆)这个结果和用坐标变换的方法求得的结果一致。
从 A 点 顺时针 沿圆周移动， 扫过圆心角 2 后至 BB 点的坐标 (N, ) 的值。
点。
现在我们来计算 OC CF CEcos2 22OC CBcos(2 ' 2 )NOCcos(2 ' 2 )'111122(cos 2 ' cos2sin 2 ' sin 2 ) 22 cos2 '112211221122cos2 tg 2 ' sin 222211221122cos2sin 2122 2CB sin(2 ' 2 )11 22 (sin 2 ' cos2 cos2 ' sin 2) 2 cos2 '11 22 sin 212 cos22上述结果中的与和坐标变换方法结果比较，可以看出， B 点正代表图 2.3 中HK 面逆时N针转过角后的LM 截面上的应力情况。