弹性力学薄板基础理论
《弹性力学》第十二章薄板弯曲资料
与应力分量的关系，求得应力分量。
例1 试求边界固定的椭圆形薄
板在承受均布载荷q 后的最大
挠度和最大弯矩。
解：在图示坐标下，椭圆薄板 的边界方程为:
x2 a2
y2 b2
1
ao x
b
y
25
设挠度的表达式为:
w
C 1
x2 a2
y2 b2
2
其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界
每单位宽度之值如下：
dx
16
同理
t
M x
2 t
x
zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
Qx
2 t
xzdz
2
t
M y
2 t
y
zdz
2
t
M yx
2 t
yx
zdz
2
t
Qy
2 t
xzdz
2
17
将上节给出的应力分量与挠度 w 之间关系代入，并积分
则称为薄板。
我们把平分板厚度的平
面称为中面。
o
x
将坐标原点取于中
面内的一点，x 和y 轴
y
z
在中面内，z 垂直轴向
下，如图所示。
3
当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解 为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是 作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它 沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章 只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应 力、应变和位移。
第12章-薄板的小挠度弯曲问题
第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
第1章 弹性力学基本理论
偏微分方程 困难 宽
5
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学是一门基础理论，把弹性力学理论直接用于工程
问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方
程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析
方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发
展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分
（1.11）
17
1.1.4 应变
因此，剪应变 xy 为
应变通常是一个很小的值，而且无量纲
xy
1
2
u y x
ux y
应变分量的矩阵型式
（1.12）
ε yxx
xy y
xz yz
zx yy z
（1.13）
除了上面的两种应变，还有一种体积应变(Volume Starin)。体 积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变 的大小等于三个线应变的和，即
x1 y1
cos sin
s in c os
0x 0 y
z1 0
0 1z
（a）
22
1.2.1 应力坐标变换
第二次旋转确定了x’y’z’坐标，它们与 x1y1z1 坐标的关系如下
x' 1
y
'
图 1-3 应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
ux x
相应地，y轴方向的正应变为：
y
弹性力学圆形薄板
xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2
x
Q
同样可得Qy,
记 可得
Et 2 D 12 (1 2 )
x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成 弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形 状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基 本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它 所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲 面的微分方程。
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足， 一般只要求满足边界内力条件。 情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处 的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的 挠度和曲面的法向斜率等于零。即
x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度 和弯矩等于零。即：
y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板轴对称 弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定
二、弹性曲面的基本公式 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解
第二章 弹性力学的基本理论
2
0 0 0
0 0 0
0
0
0
x （2－18）
y
0 0 0
0
0
z
yz
0 0
0
0
66
zx xy
61
弹性力学简明教程
二、平面问题
平面问题｛ 平面应力问题 平面应变问题 1、平面应力问题:
z zx zy 0
xz yz 0
由（2－15）式知：
z
fy
0
(2-4)
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
x
0
0
0
y 0
0
0 z
0
z y
z
0
x
x
y x
0
36
y
z yz
zx xy
61
fx fy fz
31
0 31
H P 0
36
61
31
31
(2-6)
弹性力学简明教程
二、空间问题的平衡微分方程
弹性力学简明教程
§2 平衡微分方程
一、平面问题的平衡微分方程
y
y
y
dy
x
fy
yx
yx
y
dy
xy
xy
x
dx
y
xy
dy c dx
fx
yx
x
x
x
dx
o(z)
x y
平衡微分方程：
Fx 0 Fy 0
微元体：厚度为1
平面问题的特点：
一切现象都看作是在一个平面内发生的
Fx 0 Fy 0
Mc 0
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
薄板理论在工程中的应用研究
薄板理论在工程中的应用研究引言：薄板理论是一种广泛应用于工程领域的理论模型，它主要用于描述和分析薄板结构在受力情况下的变形和破坏行为。
在工程实践中，薄板结构广泛应用于航空航天、建筑、汽车等领域，因此对薄板理论的研究和应用具有重要的意义。
本文将探讨薄板理论在工程中的应用研究，并分析其在不同领域的具体应用案例。
一、薄板理论的基本原理薄板理论是基于弹性力学理论的基础上发展起来的，它假设薄板结构在受力作用下的变形主要发生在板的中面，而板的表面则保持平面状态。
根据这一假设，薄板理论可以通过边界条件和力平衡方程来描述薄板结构的变形和破坏行为。
二、薄板理论在航空航天领域的应用在航空航天领域，薄板结构广泛应用于飞机机翼、机身等部件中。
薄板理论可以用于分析飞机结构在飞行过程中受到的各种载荷情况下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化飞机结构设计，提高结构的强度和刚度，同时减少结构的重量，提高飞机的性能。
三、薄板理论在建筑领域的应用在建筑领域，薄板结构常用于大跨度屋盖、墙板等部件中。
薄板理论可以用于分析这些结构在风荷载、地震荷载等外力作用下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化结构设计，提高结构的稳定性和安全性，同时减少材料的使用量，降低建筑成本。
四、薄板理论在汽车工程中的应用在汽车工程中，薄板结构广泛应用于车身、车顶等部件中。
薄板理论可以用于分析汽车结构在碰撞、振动等工况下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以提高汽车的安全性和舒适性，同时降低车身重量，提高燃油经济性。
五、薄板理论在其他领域的应用除了航空航天、建筑和汽车工程领域，薄板理论还可以在其他工程领域中得到应用。
例如，薄板理论可以用于分析电子设备中的散热板、光学器件中的薄膜等结构的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化这些结构的设计，提高其性能和可靠性。
结论：薄板理论作为一种重要的理论模型，在工程领域中得到了广泛的应用。
通过对薄板结构的变形和破坏行为进行分析，可以优化结构设计，提高结构的性能和可靠性。
弹性力学第九章 薄板弯曲问题_OK
（9－12）
20弹21/7性/6 力学简明教程
28
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
讨论： （1）内力是作用在薄板单位宽度上的内力，
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
同理，在xz面上（y为常量） y , yx , yz 也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。
M y
2 2
z
y dz
12
E 3 1 2
2w y 2
2w x2
M yx
2 2
z yxdz
E 3
121
2w xy
M xy
UNIVERSITY
（2）应力分量 xz
应力分量 xz 只可能合成横向剪力，在单位宽度上
2
Fsx
2
xz
dz
将（9－5）的第一式代入，并对z积分
E
Fsx 2 1 2
x
2w
2 2
z
2
2
4
dz
E 3 2w
12 1 2 x
（c）
20弹21/7性/6 力学简明教程
23
2w y 2
2w x2
M xy
M yx
D 1
2w xy
FSx
D
x
2w,
FSy
D
y
2w
（9－10）
20弹21/7性/6 力学简明教程
25
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
薄板内力正负方向的规定
My
0
Mx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章 薄板基础理论
第一节 基本概念
X
Z
1、 薄板：
δ— 板厚度 B — 短边长 当δ满足
b b )8
151()1001801(-≤≤-δ 时为薄板
左侧为厚板， 右侧为薄膜
中面 所弯曲的曲面称薄板弯曲曲面
2、 薄板假设
1、直法线假设
X
OA 是垂直于中面的一点，A （X ，Y ，Z ），即OA=Z 弯曲后A 好在中面上， 且 O / A / = OA = Z ， 即 XZ 还是直角，
0,0=∂∂+∂∂=z u x w xz γ 同 0,0=∂∂+∂∂=z u x w xz γ 垂直于中面方向的线应变不计 即0=z ε 即
,0=∂∂z w ),(y x w w =
2、计z σ引起的变形即平面应力问题
3、 薄板内各点没有平行与中面的位移 ()00==z u ()00==z v
所以 ()00==z x ε ()00==z y ε ()00==z xy γ 这就是说：中面虽然弯曲成一个曲面，但其上各点的X 、Y 坐标保持不便，即中面在XY 面上的投影保持不便。