弹性理论基础
弹性力学基本理论
15
1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2
m A
B T
G
P A
n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
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1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1
弹性力学知识基础
上述6个方程称几何方程
u v w
唯一确定
{ε }
{f}
但
{ε }
不唯一确定
原因：刚体位移不能确定。
第三节 物理方程
当材料是均匀、连续、各向同性，应力与应变成正比 （小变形）,即广义虎克定律
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E = τ xy G , γ yz = τ yz G , γ zx = τ zx G
T
（1-2）
2、平衡微分方程 、
∂σ x τ yx τ zx + + + ∂y ∂z ∂x ∂ σ y τ xy τ zy + + + ∂x ∂z ∂y ∂ σ z + τ yz + τ xz + ∂y ∂x ∂z
F F F
Vx
=0 =0 =0
Vy
Vz
反映了物体内的应力场所须满足的静力关系， 或者应力分量的关系。
（1-9）
γ xy
其中： E
G
弹性模量 切变模量 泊松比
µ
G = E [2(1 + µ )]
解（1-9）式, 得物理方程：
{σ } = [D]{ε }
{σ } = σ xσ yσ zτ xyτ yzτ zx
T
（1-10）
{ε } = ε xε yε zγ xyγ yzγ zx
a、正应力虚功： 正应力 虚位移 虚功 b、切应力虚功
x方向
经济学基础知识弹性理论
Q=aP+b
P-自变量 Q-因变量
供给价格弹性，也称 为供给弹性，它表示 在一定时期内一种商 品的供给变动对于该 商品的价格变动的反 应程度。
即当自变量价格P变 动1%，引起因变量 供给量Q变动的百分 比
供给价格弹性类型
P
P
P
Q 0
０＜ Es＜１
Q0
Q
富有弹性
P
P1 P0
0
Q1 Q0
Q
缺乏弹性
P
P1 P0
0
Q1
Q0
Q
单位弹性
富有弹性的产品，适时采取降价策略
缺乏价格弹性的产品，适时采取提价 策略
单位价格商品，价格变动无效
生活必需品为高价高利，即价格越高，厂商收益越 多。牛奶为缺乏弹性的生活必需品，把部分牛奶倒 进河里，使得市场牛奶供给减少，牛奶价格上升以 获取更多的收益。
他做了一个统计，当价格下降10%时，侦探小 说的销量增加了30%；同样，当价格上升10%时， 侦探小说的销量减少了30%。而对于教辅书，价格 变动10%只会带来1%的销量变动。老板百思不得其 解，同样是书本，为什么市场反应如此不同呢？
分析：侦探小说富有弹性，教辅书缺乏弹性
需求价格弹性影响因素
因素
表现
弹性对税负分摊的影响
税负分摊 主要由生产者承担 主要由消费者承担 主要由消费者承担 主要由生产者承担
案例分析
1990年，美国国会通过对游艇、私人飞机、珠宝、皮草 、豪华轿车这类奢侈品征收新的奢侈品税。支持这项税的 人认为，这些奢侈品全部由富人消费，这种税也必然由富 人承担。向富人收税以补助低收入者，平等又合理。但实 施之后反对者并不是富人，而是生产这些奢侈品的企业与 工人，其中大部分是这项税所要帮助的低收入者。为什么 这些并不消费奢侈品的人反而反对这项税呢?
《弹性理论基础》课后答案
《弹性理论基础》课后答案
一、原题
1.什么是弹性理论？
2.弹性理论的基本原理是什么？
3.弹性理论的应用有哪些？
二、答案
1.弹性理论是一种物理学理论，它描述了物体在受到外力作用时的变形和变形后的恢复情况。
它是一种描述物体受力变形的数学模型，可以用来描述物体在受力作用时的变形情况，以及变形后的恢复情况。
2.弹性理论的基本原理是：物体在受到外力作用时，会发生变形，但是当外力消失时，物体会恢复原状。
这种变形和恢复的过程受到物体的弹性性质的影响，即物体的弹性系数。
3.弹性理论的应用非常广泛，主要应用于工程学、力学、材料学、地质学等领域。
在工程学中，弹性理论可以用来计算建筑
物、桥梁、桥梁等结构物的受力情况，以及结构物的强度和稳定性。
在力学中，弹性理论可以用来计算物体在受力作用时的变形情况，以及变形后的恢复情况。
在材料学中，弹性理论可以用来研究材料的弹性性质，以及材料在受力作用时的变形情况。
在地质学中，弹性理论可以用来研究地壳的变形情况，以及地壳在受力作用时的变形情况。
西方经济学-第3章弹性理论
需求弹性的类型
需求完全无弹性
需求弹性为0，表示无论价格如何变化，需求量都 不会发生改变。
需求单位弹性
需求弹性等于1，表示需求量与价格变化相同。
需求缺乏弹性
需求弹性小于1，表示需求量对价格的变动反应较 小。
需求富有弹性
需求弹性大于1，表示需求量对价格的变动反应较 大。
需求弹性的影响因素
商品的性质
生活必需品的需求弹性较小，奢侈品的需求 弹性较大。
市场结构的差异可能导致弹性理论的适用性受限，需要具体情况具体分析。
弹性理论的假设条件
完全竞争市场假设
弹性理论通常基于完全竞争市 场的假设，但在现实中完全竞 争市场并不常见。
需求和供给曲线不变
弹性理论假设需求和供给曲线 在一定时期内保持不变，但实 际情况并非如此。
无外部效应
弹性理论假设市场中的外部效 应不存在，但现实中外部效应 是普遍存在的。
政策制定
政府可以通过分析商品的需求弹性和供给弹性，制 定相应的经济政策，以实现宏观经济的稳定和增长 。
02
需求弹性
需求弹性的定义与计算
敏感程度，通常用需求量变化 的百分比与价格变化的百分比之 比来表示。
02
计算公式为：需求弹性 = (需求量 变化的百分比) / (价格变化的百分 比)。
供给弹性的影响因素
生产周期
生产成本
生产周期较长的商品，其供给弹性通常较 小；生产周期较短的商品，其供给弹性通 常较大。
生产成本与价格直接相关，生产成本较高 的商品，其供给弹性通常较小；生产成本 较低的商品，其供给弹性通常较大。
生产技术
市场需求
生产技术的改进可以提高生产效率，从而 增加供给弹性。
市场需求的变化会影响供给量的变化，从 而影响供给弹性。
弹性力学基础知识点复习
弹性力学基础知识点复习固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。
这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。
如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。
反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。
几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，。
第2章 弹性理论
第二章需求分析价格上升意味着收益的增加。
收益=P×Q，当Q一定时，P上升---利润的增加。
有时，价格的上升，意味着收益的减少。
由于P上升，转为购买其他厂商的产品。
我们需要了解价格的变化量对需求量的敏感性的度量。
这就是本章要学习的内容：弹性理论。
供需法则说明了当P变化时，需求和供给的方向变化，不能说明其变化的数量。
只“定性分析”而非“定量分析”，弹性理论可以说明这种量的变化程度：定量需求分析。
第一节弹性的一般原理1、弹性的概念弹性（Elasticity）是物理学中的概念，泛指物体对外界作用力的反应能力。
经济分析中引用弹性的概念，测算因变量变化率对自变量变化率的反应的敏感程度。
通常对y=f(x)这一函数的弹性系数E。
则有：()()变化的百分比自变量变化的百分比因变量xyE=例（a）（b）（c）图1（a）、（b）、（c）三种情况，价格变化率相同，而需求量的变化率却是不相等。
（a）最小，（c）为最大，（b）为二者之间。
说明，三者在这一价格区间的（P0、P1）弹性不同。
2、弹性分析的重要意义弹性分析对企业管理决策有着重要的意义。
价格上升5%，对销售额有什么影响？销售额增加20%，价格需下降多少？如果大米和彩电同时涨价20%，为什么人们可能继续买大米而暂时放弃买彩电等等。
弹性分析与边际分析一样都是管理经济学中的重要分析工具。
弹性理应用最广泛莫过于需求弹性和供给弹性。
第二节、需求弹性需求量受众多的因素的影响，最主要： （1）该商品的自身价格变化称为需求价格弹性。
（2）该商品相关商品的价格变化，称为需求交叉价格弹性。
（3）消费者实际收入的变化，称为需求收入弹性。
1、需求的价格弹性在需求量与价格这两个经济变量中，价格是自变量，需求量是因变量。
一、需求价格弹性的定义：价格变化所引起的需求量变动的程度，或者说是需求量变动对价格变动的反应程度。
Q P P Q PP QQEd ⋅∆∆=∆∆==价格变动的百分比需求数量变化的百分比（1）Ed 被定义为自变量变动（ΔP ）的百分比（P P ∆）与因变量变动（ΔQ ）的百分比（QQ∆）这两个百分比的比率。
弹塑性力学基础理论与应用
弹塑性力学基础理论与应用弹塑性力学是力学中一个重要的分支，涵盖了弹性力学和塑性力学的基本原理和应用。
本文将简要介绍弹塑性力学的基础理论和一些应用领域。
一、弹塑性力学的基础理论1. 弹性力学理论弹性力学研究材料在外力作用下的弹性变形及其恢复过程。
根据胡克定律，应力与应变成正比。
弹性力学理论通过应力张量与应变张量之间的关系描述了弹性材料的力学行为。
弹性模量是弹性力学的重要参数，表征了材料的刚度。
2. 塑性力学理论塑性力学研究材料在超过弹性极限后的变形行为。
当外力超过材料的弹性极限时，材料会发生塑性变形，而不是立即恢复到原来的形状。
塑性力学理论包括弹塑性本构方程的建立和塑性流动规律的描述。
3. 弹塑性力学理论弹塑性力学是弹性力学和塑性力学的综合应用。
它考虑了材料在弹性和塑性行为之间的转换。
在某些情况下，材料可以同时表现出弹性和塑性特性。
弹塑性力学理论利用不同的本构关系来描述材料在变形过程中的不同阶段。
二、弹塑性力学的应用1. 材料工程弹塑性力学在材料工程领域中具有重要的应用价值。
通过研究材料的弹性行为和塑性行为，可以确定材料的强度、韧性和耐久性，从而指导材料的选用和设计。
在材料的加工过程中，弹塑性力学理论也可以用于模拟和预测材料的变形行为。
2. 结构工程在结构设计和分析中，弹塑性力学也发挥着重要作用。
结构的承载能力和变形行为与材料的弹性和塑性特性密切相关。
通过考虑弹塑性行为，可以更准确地评估结构的安全性和稳定性。
3. 土木工程土木工程中的地基和土壤材料往往存在复杂的弹塑性特性。
弹塑性力学可用于分析土壤的沉降和变形行为，以及地基的稳定性。
在岩土工程中，弹塑性力学理论也可以用于分析岩土体的稳定性和变形行为。
4. 金属加工金属的塑性变形是金属加工过程中的核心问题。
弹塑性力学理论可以用于研究金属的屈服和流动行为，从而指导金属的模具设计和加工工艺的优化。
总结：弹塑性力学是力学中的一个重要分支，它综合了弹性力学和塑性力学的基础理论与应用。
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弹性理论基础
产生弹性形变的介质叫弹性介质。
（一）各向同性介质和各向异性介质
对弹性介质，如果沿不同方向测定的物理性质均相同，称各向同性介质，否则是各向异性介质。
（二）均匀介质、层状介质
若介质的弹性性质不仅与测定方向无关，而且与坐标位置无关，就称为均匀介质；非均匀介质中，介质的性质表现出成层性，称这种介质为层状介质；其中每一层是均匀介质；不同介质层的分界处称界面（平面或曲面）；两个界面之间的间隔称为该层的厚度。
（三）连续介质
将速度v是空间连续变化函数的介质定义为连续介质。
连续介质是层状介质的一种极限情况。
即当层状介质的层数无限增加，每层厚度无限减小，层状介质就过渡为连续介质，如 v=v0 (1+bz)叫线性连续介质。
（四）单相介质和双相介质
只考虑单一相态的介质称单相介质，由两种相态组成例如一种是固相一种是流相的，称为双相介质。
二、弹性模量
（一）应力与应变
1.应力：弹性体受力后产生的恢复原来形状的内力称内应力，简称为应力。
应力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变。
对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体，设作用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上均匀分布，则应力pn定义为 Pn=f/s ，若外力f非均匀分布，则可以取一小面元△S,作用于小面元上的力为△f，则应力定义为（lim(△f/△S)）。
因此应力的数学定义为：单位横截面上所产生的内聚力称为内力。
根据力的分解定理，可以将力分解成垂直于单元面积的应力—法向应力（正应力）；相切于单元面积的应力—切向应力（剪切应力）。
2.应变：物理定义：弹性体受应力作用，产生的体积和形状的变化称为应变。
只发生体积变化而形状不变的应变称正应变；反之，只发生形状变化的应变称切应变。
数学定义：弹性理论中，将单位长度所产生的形变称应变。
3.应力与应变的关系：应力与应变成正比关系的物体叫完全弹性体，虎克定律表示了应力与应变之间的线性关系。
对于一维弹性体，虎克定律为： F=kx； F: 外力； x: 形变； k: 弹性系数。
对于三维弹性体，用广义虎克定律表示应力与应变之间的关系。
（二）弹性模量
1.杨氏弹性模量（E）表示膨胀或压缩情况下应力与应变的关系，所以又叫压缩模量。
数学定义：物体受胀缩力时应力与应变之比。
物理定义：杨氏弹性模量表示固体对所受作用力的阻力的度量。
固体介质对拉伸力的阻力越大，则杨氏弹性模量大，物体越不易变形；反过来说，坚硬的不易变形的物体，杨氏弹性模量大。
2.泊松比（s）在拉伸变形中，物体的伸长总是伴随着垂直方向的收缩，所以把介质横向应变与纵向应变之比称泊松比，显然泊松比是表示物体变形性质的一个参数，如果介质坚硬，，在同样作用力下，横向应变小，泊松比就小，可小到0.05 。
而对于软的未胶结的土或流体，泊松比可高达0.45 —0.5。
3.体变模量（K）设一物体，受到静水柱压力p 的作用，产生体积形变，△v/v, 其中v是物体的原体积，△v 是体积变化量。
但形状未发生变化。
则在这种情况下的应力与应变的比称为体变模量。
体变模量表示物体的抗压性质，有时也称为抗压缩系数，其倒数称为压缩系数。
4.剪切模量（m）指物体受剪切应力作用，并发生形状变化，应力与应变之比。
m是阻止剪切应变的度量。
液体的m=0，没有抗剪切能力。
5. 拉梅常数（l）横向拉应力与纵向应变之比。
以上五个弹性常数E, k ,s, m ,l,中的任一个，均可用其余两个常数表示。