线性空间中向量之间线性关系共25页文档
向量间的线性关系
1 2 0 1 2 1 1 0 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
∴ 1 , 2 为一个极大无关组.且 1 3 1 2 ， 4 1 2 2
证毕
注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系
例 设向量组 1 (1 , 1, 1, 0) ， 2 (1 , 0, 3 ( 0, 1, 0, 0) ，验证向量组线性相关. 解
∵ 1 2 3
1, 0) ，
∴ 1 , 2 , 3 线性相关.
定理5 如果向量组 1 , 2 ,......, , s 线性无关，则向量 可以由 向量组 1 , 2 ,......, s 线性表示，且表示法 唯一. 证明 (1)先证 可由1 , 2 ,......, s 线性表示
矩阵的列秩： 称矩阵A的列向量组的秩为矩阵A 的列秩.
定理9
A 为m n 矩阵，r ( A) r
A 的列秩与行秩相等，且为 r.
求向量组的极大无关组的方法：
1 给定向量组 1 , 2 ,......, n ，以 1 , 2 ,......, n 为列向量构成一个矩阵 1 2 ...... n ，然 后进行初等行变换，求得矩阵的秩，即是极大 无关向量组所含向量的个数. 2 而不为零的 r 阶子式所对应的向量组，即 是极大无关组.
.......... .......... .......... .......... ... n k1n 1 k2 n 2 ... krn r
（2）证明题：
由于证明题中向量组中向量的分量一般不给出， 固不能按上述方法来判定向量组相关性，而应 按照相关无关的定义来证明.
线性代数第2章第3节向量间的线性关系
T T T 1 , 2 , 2
4 2 1 3 1 1 0 5 1 11 1
1
4 0 5 5 0 3 4 0 9 9
1 2 4 0 1 1 . 0 0 1 0 0 0
第二章 线性方程组
第三节 向量间的线性关系
一、向量的线性组合
二、线性相关与线性无关
1
一、向量的线性组合
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
x 即有方程组的向量形式： 11 x2 2 xn n
2
线性方程组(2.3.1)是否有解，就相当于是是否存在一组 数：x1=k1， x2=k2，…， xn=kn，使线性关系式
x11 x2 2 xn n
成立． 即常数列向量β是否可以表示成上述列向量组α1， α2，…， αn 的线性关系．如果可以，则方程组有解；否则方 程组无解． β可以表示成上述关系时，称向量β是向量组α1，α2，…， αn 的线性组合，或者称β可由向量组α1，α2 ，…， αn 的线性
表示．
3
定义2.8 设α1，α2，…， αs ， β∈Rn(s为正整数），如 果存在一组数k1， k2，…， ks ∈R，使得
k11 k2 2 ks s
称向量β 可以表示为向量组 α1，α2，…， αs 的线性组合， 或者称β可由向量组α1，α2 ，…， αs 的线性表出(或线性
有解．
7
例：设 1 1, 3, 2 , 2 3, 2, 1 , 3 2, 5, 1 ,
线性空间中向量之间线性关系共27页文档
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
空间中向量关系
空间中向量关系
嘿，咱今儿就来聊聊这空间中向量的关系。
你说这向量啊，就像是咱生活中的那些有方向的力量。
你看啊，向量有大小还有方向，这不就跟咱走路似的嘛，走多远就是大小，往哪儿走就是方向。
要是你在操场上跑步，那速度和跑的方向不就是个向量嘛。
想象一下，空间里有好多向量，它们就像一群小伙伴，各自有着自己的特点和脾气。
有的向量长得长，那就是力量大呗；有的向量歪歪斜斜的，那就是方向特别。
两个向量之间还能相加呢！这就好比你和朋友一起用力，把你们的力量合起来。
比如说你往东推一个箱子，你朋友往西推，那最后箱子会往哪儿走呢，不就得看你们俩谁的力气大，谁的方向更占优势嘛。
还有啊，向量和向量之间也会有夹角。
这夹角可重要啦！就好像你和朋友之间的关系，有时候亲密无间，夹角就小；要是闹别扭了，那夹角可能就大啦。
而且这夹角还能决定很多事情呢，比如两个向量一起能产生多大的作用。
咱再说说向量的乘法。
这就像是不同的力量组合起来能产生奇妙的效果。
有时候一个小向量和一个大向量相乘，可能会得出一个意想不到的结果，就像小蚂蚁和大象合作，也能做出大事情来。
你说这向量的世界是不是很神奇？它们在空间里来来去去，相互作
用，构成了一个丰富多彩的世界。
就好像我们的生活，每个人都有自己的方向和力量，大家在一起相互影响，共同创造出美好的世界。
所以啊，可别小瞧了这向量关系，它们在数学里、在生活中都有着重要的地位呢！它们让我们看到了事物之间的联系和变化，让我们能更好地理解这个世界。
你说是不是呢？。
向量组间的线性关系
也线性无关。
例10 已知 证明 设存在数
线性无关，证明 线性相关.
使得
即 已知
线性无关， 只有
不全为零，故向量组线性相关。
三、线性组合与线性表示
定义2 设有m维向量组
则称 的线性组合 称
如果存在一组数 是向量组 为组合系数.
若存在一组数
使得
称 可由
线性表示。
1、线性表示
观察四个向量 之间的关系有
例1
即 线性相关。
例2 当向量组含两个非零向量时，
设
，
与 线性相关
与 对应分量成正比
证明 与 线性相关
或
或
即 与 的对应分量成比例
例3 对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，
几何上说向量
共线。
线性相关。
求证含有零向量的向量组必线性相关。
例4 证明 设向量组中 取数 必有
则此向量组必定线性相关。
例13 判断 是否为向量组 的线性组合？ 对矩阵
4
3
0 11
1
2
4
1 2 4
1
1
2
1 5
2
2
1
1 1
2
1 5
1 1 1
3
0 11
~
0
0 0
1 0 0
1
1 0
线性无关，
01
定理6
02
03
线性相关，则
可由A线性表示且表法唯一。
已知向量组
例14 证明 ①
②
0 1 0 2
0 0
0 0
1 0
-1 0
1 1 2 2 0 2 -1 5
空间向量的线性关系与应用
空间向量的线性关系与应用在线性代数中，空间向量的线性关系及其应用是一项重要的研究内容。
本文将介绍空间向量的线性关系，分析其应用，并探讨其在实际问题中的应用案例。
一、空间向量的线性关系在三维空间中，向量是由坐标表示的，可以表示为(A1, A2, A3)，其中A1、A2、A3分别代表向量在X、Y、Z轴上的分量。
当多个向量之间存在线性关系时，我们可以通过线性组合的方式来表达这种关系。
具体来说，假设有n个向量v1、v2、v3......vn，每个向量都可以表示为(v1, v2, v3)、(v4, v5, v6)......(vn-2, vn-1, vn)。
如果存在一组实数k1、k2、k3......kn，使得k1v1 + k2v2 + k3v3 + ......+ knvn = 0，则称这些向量之间存在线性关系。
二、空间向量的应用空间向量的线性关系有很多实际应用，下面将介绍其中几个常见的应用。
1. 平面几何在平面几何中，通过空间向量的线性关系可以进行平面求交、相交线的夹角等计算。
通过求解线性方程组，可以确定平面的位置关系，帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。
2. 向量运算空间向量的线性关系在向量运算中起着重要作用。
通过对向量的线性组合，我们可以进行向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，进一步拓展了向量的应用领域。
3. 物理学空间向量的线性关系在物理学中也有广泛的应用。
以力学为例，我们可以通过空间向量的线性关系来描述物体所受到的力的合成和分解，进而求解物体的运动状态和受力分析。
三、空间向量线性关系的应用案例下面将通过一个实际问题案例来说明空间向量线性关系的应用。
案例：假设有一辆汽车在平面上行驶，其行驶速度可以表达为一个向量v1。
另外，还有两个力F1和F2作用在汽车上，分别表示汽车所受到的推力和阻力，它们也可以用向量表示。
根据牛顿第二定律，我们知道力的合成可以通过向量的线性组合来表示。
假设F1的大小为a，方向与行驶方向相同，F2的大小为b，方向与行驶方向相反。
2.3向量及其线性关系
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 ( 2.10 ) 2n n 2 M 即 am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm x1α1 + x2α 2 + ... + xnα n = β
2 0 0 0 β = 1 β = 0 例 β 1 = 2 3 称 β 1 , β 2 , β 3 线性无关. 线性无关. 0 1 1 2 0 0 0 0β 1 + 0β 2 + 0β 3 =0 0 + 0 1 + 0 0 = 0 0 1 1 0 k1β1 + k2 β 2 + k3 β 3 = k1 = 0 2 0 0 2k1 0 0 +k 1 + k 0 = k = 0 k2 = 0 k1 2 2 3 如果 k = 0 0 1 1 k2 +k3 0 3 都是0 只有当系数 k1 , k2 , k3 都是0时,才有 k1β1 + k2 β 2 + k3 β 3 = o
1 = −2 ≠ 0 det A = x1 − x2 = 2 1 −1 方程组可写为： x 方程组有唯一解： 方程组有唯一解： 1 = 6 x2 = 4 方程组可写为：
10 1 1 1 x1+ −1 x2 = 2 2 x1 + 2 x2 = 4 10 1 1 表法唯一； =6 +4 表法唯一； 2 1 −1
§3.2 向量之间的线性关系
有
2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 2 5 3 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1
即 = 2 1 5 2 3 3 0 4
二 向量的线性相关性
定理1 向量组 a1 a2 am(m2)线性相关的充要条件是在 向量组中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 证明 必要性 如果向量组a1 a2 am线性相关 则存在不全为0的 k1 k2 km，使得 k1a1k2a2 kmam0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam) 即a1能由a2 am a 2 , , a n
则方程组的向量表示为
x1 a 1 x 2 a 2 x n a n b
(参见P62)
若 C m n A m s B s n ，则矩阵 矩阵 A 的列向量组线性表示， 矩阵：
C 的列向量组能由 B 为这一表示的系数
定理1 向量组 a1 a2 am(m2)线性相关的充要条件是在 向量组中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 证明 充分性 如果向量组中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向 量线性表示 即有1 2 m1 使 am1a12a2 m1am1 于是 1a12a2 m1am1(1)am0 因为1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关
解
例4
已知
1
1 1 ， 1
2
0 2 ， 5
3
2 4 ， 7
.
试讨论向量组
1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性
解 因为
1 0 2 5 2 4 0 7
1 , 2 , 3 1