复习专题对勾函数
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及 【2 】运用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f4. 图像在一.三象限, 当0x >时,b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号）,即)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=a b-时,取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ）,（a b -∞-,）,减区间是（0,a b ）,（a b -,0） 二、对勾函数的变形情势类型一：函数b y ax x =+)0,0(<<b a 的图像与性质1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2;当0x >时,)(x f 在x=a b -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0,a b ）,（a b -,0）减区间是（∞+,a b ）,（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞,0）,（0,+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac x c bx ax x f .此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(,可由对勾函数x c ax y +=高低平移得到 演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=阁下平移,高低平移得到 演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与x x x x f +++=23)(的草图2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标3. 求函数1)(-+=x x x x f 的单调区间及对称中间类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f .此类函数界说域为R ,且可变形为x b x a x b x a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值b a 2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -演习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为 b. 若0<a ,作出函数图像：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值b a2-, 当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a25. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -演习1.如2214x a x +=-+()1,2x ∈-,则的取值规模是类型六：函数)0()(2≠+++=a m x c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f , 则)(x f 可由对勾函数x t ax y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位.2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;3.已知1<x ,求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值 类型七：函数)0()(2≠+++=a c bx ax m x x f 演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值 类型八：函数a x bx x f ++=)(.此类函数可变形为标准情势：)0()(>-+-++=+-++=a b a x a b a x a x a b a x x f 演习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值; 2．求函数15)(++=x x x f 的值域; 3.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a a x bx x f .此类函数可变形为标准情势：)()()(22222o a b a x a b a x a x ab a x x f >-+-++=+-++=演习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值;2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域。
高考数学复习专题系列学案：基本不等式对勾函数
基本不等式与对勾函数b、对勾函数y = ax • b (a . 0,b .0)的图像与性质x性质： 1.定义 '*_f(x) =aj+ —>C.A A 0) 当孟a 0*. == 3 + —2石瓦f 当 且仅当站=—)」AX当孟= —(iix + —｝台 2-Jab,X所臥得到血点坐标A (£.2加)』,_2石咬一41 I I 1*iI I i i| I I5-—_—M —— —三 <_ — ■. ■■ ■■ ■ ■“ ■ ■■ tM' — —' "W— ■* ~ — 1(-=,0) (0,二)2. 值域：(-：：,-2 . ab) (2、ab,：：)3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 f(x) f(-x) =0 4. 图像在一、三象限当x =0时，由基本不等式知 yuax + PzzJab (当且仅当x = J 匕取等号)，xV a由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= — 时，取最大值 -^ab\ a一、对勾函数的变形形式 类型一：函数y =ax • b (a ：：： 0, b ：：： 0)的图像与性质 x此函数与对勾函数 y =(-a)x • J?关于原点对称，故函数图像为x即f (x)在x=—时，取最小值a2 . ab5.单调性：增区间为( 减区间是(0，性质: 类型二：斜勾函数y = ax • b (ab ：：： 0)xf(x)二2ax bx c(ac 0)此类函数可变形为cc f(x)二ax b ，贝y f(x)可由对勾函数 y 二ax上下平移得到xx性质： ②a 0,b . 0作图 如下： 类型三：函数例1作函数f (x) x2 x 1的草图解：f(x)二匚x1f(x)=x 1作图如下:x类型四：函数f(x)=x・a(a 0,k") x k此类函数可变形为a t af(x)=(x，k )-k ,则f (x)可由对勾函数y = x 左右平移,x上下平移得到例2作函数f (x)的草图x -2解：f (x) 例3作函数f(x)=x-2 12作图如下:x — 2=xx -2x 3x 2x 3x「f(x)二x的作图:x 2 1 1 1 f (x) x=1 x=x 2 1 x+2 x+2 x+21 练习：1.求函数f(x) =x 在(2/ ::)上的最低点坐标2x —4 解：f (x)X2.求函数f(X )= X的单调区间及对称中心X —1a.若a • 0 ,则f (x)的单调性和对勾函数 y = x •巴的单调性相反，图像如下: x1 .定义域：(一匚片•：：)由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= - b 时，取最小值-—a _2Jb5.单调性：减区间为( Jb, +30 ), (一00，-Jb )增区间是[- b, b]类型五： ax函数 f (X )二 2(a = 0,b . 0)f (x)二x 2 b3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈 中心对称，即f(x) f (-x) =04.图像在一、三象限 当x 0时，由基本不等式知f (x) V ——a 二a (当且仅当X 二• b 取等号2"： 2"即f (x)在x - b 时，取最大值a2“b此类函数定义域为R ，且可变形为性质:3当 x=1 时，f(x)二X-12(x —1)23(xT) 4 (X-1)3(xT) 4 x 〔4x — 1问：若区间改为［4,则f (x)的最大值为2x 7x 10类型七：函数f(x)2x max +bx+cx 1x例4作函数f(x)二—X x 解：f(x)二: x +1 11 x - xb.若acO ,作出函数图像： 2x r 的草图 x 2 4 例5作函数f (x)二类型六：函数 f (x)二 ax bx c(a = 0) x 十m 2 此类函数可变形为f(xH a(X m) S(X m)=a(x m) —t — s(at 0)x+ m则f (x)可由对勾函数 y 二ax •丄左右平移，上下平移得到 xx 2+x +1 1 例6说明函数f(x) 由对勾函数y=x 如何变换而来 ■ x 解：f(x)= (x 1)2 -(x 1) ^x . 1 1 X 十1 故 此函数f (x)可由对勾函数 (填“上”、“下”)平移*1宀 y = x 向 __________ x单位.草图如下:(填 “左”、“右”)平移 单位,2.已知x 1 ，求函数f (X )口x 2 9x -10x-1的最大值练习：1.已知x ^ -1，求函数f(x)=的最小值例7求函数f ( X )工 在区间(1, •二)上的最大值解：当x =1时，f (1)=0x + b 类型八：函数f (x)=Jx + a此类函数可变形为标准形式：f(x^x a ^^./xb-a (b_a.O) v x + ax + 3例8求函数f(x)的最小值 <x 解:f(x) =x "4Jx —1x + 5 •求函数f(x)的值域J x +1函数 f(x)=—— v'x 十此类函数可变形为标准形式：解: y =x…x 2 aa2xf (x )= ( X 2 * * a)2 b-ax 2 a二 x 2 a 「Tag °〉工的最小值4x 2 5 =解：f(x) = x 2 4x 2 4 1 f (x)' = lx 2 +4 十 1 Jx 2 +4 lx 2+4练习：1.求函数f (X )例10已知a 0,求函数y= X 2 1、—2 的值域X 2 17x 2a 1 .X 2—a 的最小值。
对勾函数的图象及性质
对勾函数一、定义对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其标准形式为f(x)=ax+（其中ab>0）。
由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。
在许多情况下，为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为f(x)=x+。
研究初等函数的一般路径，背景—概念—图象—性质—应用二、图象及性质图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y 轴和直线y=ax 为渐近线的两支曲线。
2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。
3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。
定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。
值域：。
单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。
奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。
x 122严禁复制三、题型1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。
2.、图像结合题根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。
利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。
3.、综合应用题求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如ax+（ab>0）的函数的最值问题。
不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。
实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾函数的应用。
4、参数变化分析：探讨参数a 和b 变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。
5、复杂函数组合将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。
四、解题步骤1、对勾函数求最值问题的解题步骤（1）理解函数形式确认函数f(x)=ax+的形式，注意a 和b 都是正数且不相等。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
对勾函数_中学教育-中考
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
2022届高考数学一轮复习讲义微专题5：对勾函数的性质与图像的综合应用
【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像的综合应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数； 对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时， 对勾函数()bf x ax x =+是正比例函数()f x ax=与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数；（1）当,a b 同号时， 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当,a b 异号时， 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的综合应用例1、已知函数ky x x=+有如下性质：如果常数0k >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（1）用定义法证明：函数(0)ky x k x=+>在(上是减函数； （2）若函数()24123,21x x f x x --=+()2g x x a=--，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围。
【提示】；【答案】（； 【解析】； 【说明】；例2、已知勾函数2(0)a y x a x=+>在(,)a -∞-和(,)a +∞内均为增函数，在(,0)a -和(0,)a 内均为减函数。
若勾函数()(0)tf x x t x=+>在整数集合Z 内为增函数，则实数t 的取值范围为___________。
【答案】； 【解析】； 【说明】； 例3、因函数t y x x =+(t >0)的图象形状象对勾，我们称形如“ty x x =+(t >0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0上是减函数，在+∞)上是增函数； （1）已知()[]425,1,321f x x x x =+-∈-，利用上述性质，求函数()fx 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x 和函数()24g x x mx =-+，若对任意1x ∈[1，3]，总存在2x ∈[1，3]，使得()()21g x f x <成立，求实数m 的取值范围； 【提示】； 【答案】； 【解析】；【说明】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若对于任意的[]1,x a b ∈，对于任意的[]2,x c d ∈，总有()()12f xg x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若对于任意的[]1,x a b ∈，存在[]2,x c d ∈，有()()12f xg x <成立，故()()2maxmax f x g x <；（3）若存在[]1,x a b ∈，存在[]2,x c d ∈，有()()12f xg x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若对于任意的[]1,x a b ∈，存在[]2,x c d ∈，有()()12f xg x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．例4、已知函数21()ax f x x+=；（1）在0a >时求()f x 的单调区间(不必写过程);（2）若1223310,0,0,0,1,2,3)i a x x x x x x x i >+>+>+>>=， 求证：()()()123f x f x f x ++>【练习】1、函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值为______2、求函数2sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈的单调区间，并求当(0,)x π∈时函数的最小值；3、方程240x ax -+=在区间[0,1]内有解求a 的取值范围；4、若对于51x -，不等式260x ax a ++->恒成立，求实数a 的取值范围；5、已知函数22([1,))x x ay x x++=∈+∞ （1）求12a =时，求()f x 的最小值； （2）若对任意，[1,],()0x f x ∈+∞>恒成立，求a 范围；【教师版】微专题：对勾函数的性质与图像的综合应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数； 对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时， 对勾函数()bf x ax x =+是正比例函数()f x ax=与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数；（1）当,a b 同号时， 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当,a b 异号时， 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的综合应用例1、已知函数ky x x=+有如下性质：如果常数0k >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（1）用定义法证明：函数(0)ky x k x=+>在(上是减函数；（2）若函数()24123,21x x f x x --=+()2g x x a=--，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围。
2022届高考数学一轮复习讲义微专题1：对勾函数的性质与图像(学生版+教师版)
【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像1、对勾函数的定义与表示对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数；当0,0a b ≠≠时，对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=，通过“函数的和的运算”合成的函数； （1）当,a b 同号时, 对勾函数()bf x ax x=+的图像，形状酷似双勾；故称“对勾函数”，如下图所示：（2）当,a b 异号时，对勾函数()bf x ax x=+的图像，形状发生了变化；如下图所示：2、对勾函数的性质研究以一般式：(0)by ax x x=+≠(a 、0b >)为例； （1）定义域： （2）值 域： （3）奇偶性： （4）单调性： （5）渐近线：【拓展】对于对勾函数()bf x ax x=+（0ab >）的单调性判断与证明； ① 当0,0a b >>时， 说明：；② 当0,0a b <<时 说明：；③当0,0a b ><时 ④当0,0a b <>时 3、对勾函数的图像特征对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时, 对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数. 【拓展】对勾函数顶点与最值相关对勾函数()(0,0)bf x ax a b x=+>>， 对勾函数()(0,0)bf x ax a b x=+<<， 4、对勾函数的初步应用 1、若函数()4f x x x=+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小值为4B ．函数()f x 在(0,2)上严格单调递减，在(2,)+∞上严格单调递增C ．函数()f x 的最大值为4D ．函数()f x 在(0,2)上严格单调递增，在(2,)+∞上严格单调递减 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】；2、已知函数()bf x ax x=+，其中a 、b 为常数，且()15f =，()24f =；（1）求a 、b 的值；（2）利用单调性的定义证明函数()f x 在区间()0,2上是减函数；（3）求函数()f x 在区间[]1,3上的最大值和最小值； 【提示】； 【答案】； 【解析】【说明】利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论；即取值→作差→变形→定号→下结论；体验教材研究函数单调性的方法与证明； 综上，理解对勾函数的构成，及单调性，单调区间，形成结论；注意利用定义法加以证明。
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基本不等式与对勾函数
一、 对勾函数b y ax x
=+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质：
1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f
4. 图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b
y ax x
=+≥ab 2（当且仅当b x a
=等号），
即)(x f 在x=a
b
时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a
b
-
时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（
∞+,a b ），（a
b -∞-,） 减区间是（0，a
b ），（a b
-,0）
一、 对勾函数的变形形式
类型一：函数b
y ax x
=+)0,0(<<b a 的图像与性质 此函数与对勾函数x
b x a y )
()(-+-=关于原点对称，故函数图像为
性质：
类型二：斜勾函数b y ax x
=+)0(<ab
①
0,0<>b a 作图
如下
性质：
②0,0><b a 作图如下：
类型三：函数)0()(2>++=
ac x
c
bx ax x f 此类函数可变形为b x c
ax x f ++=)(，则)(x f 可由对勾函数x
c ax y +=上下平移得到
例1作函数x
x x x f 1)(2++=的草图
解：11
)(1)(2++=⇒++=
x
x x f x x x x f 作图如下：。