新人教版九年级数学上册讲义
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
人教版九年级数学上精品讲义
（1） 请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是 2，且每个方程的 b2 4ac 的值
也都是 1，但每个方程的解与已知的 5 个方程的解都不相同．
（2） 对于一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0,b2 4ac 0 ，能否作出一个
新的方程 ax2 b'x c' 0 ，使 b2 4ac 与 b'2 4ac' 相等？若能，请写出所作的新 的方程（ b' ， c' 需用 a ， b ， c 表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．
一、课标导航
第二十一章 一元二次方程
第一节 一元二次方程的概念和解法
课标内容
课标要求
目标层次
一元二次 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出
★
方程的概 各项系数
念
了解一元二次方程的根的意义
★
能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围
★★
会由方程的根求方程中待定系数的值
3．一元二次方程解法的灵活运用 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适 当的解法． （1）因式分解法：适用于右边为零（或可化为 0），而左边易分解为两个一次因式积的方程， 缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种罪常用的方法． （2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算
xn xn' ，其中 n 为正整数，且 a1 1．
（1） x1' x1 的值为________．
（2）当 n 分别取 1、2、…、2013 时，相对应的有 2013 个方程，将这些方程的所有实数根
人教版九年级数学上册初三数学全册同步讲义定稿
22.1.4 二次函数图形变换
一般式与顶点式的互换
一般式化为顶点式的步骤 (1)提取二次项系数； (2)配方； (3)去括号，合并.
顶点坐标公式 (
b
第二十三章 旋转 ................................................................................. 51 23.1 旋转变换 ................................................................................. 51 23.2 旋转模型 ................................................................................. 64
想一想：上下平移在哪加减？左右平移在哪加减？ 【练习 12.1】
前情回顾：
1.若 (m－2)xm22 x ²－3=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是．<2 分钟>
2. 3x2 x 2 3 0 <2 分钟>
3. x2 3x 28 0<2 分钟>
4.某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同．
漫漫学 22.1.1 二次函数的定义及图像
二次函数的定义
一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中， x 是自变量，分别是二次 项系数、一次项系数、常数项．
九年级数学上册章节重点复习考点讲义(人教版)正多边形和圆综合题(解析版)
专题12 正多边形和圆（综合题）知识互联网易错点拨知识点01：正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．细节剖析:判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点02：正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.细节剖析:要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点03：正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆细节剖析:（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点04：正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O 的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….细节剖析:画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.易错题专训一．选择题1．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG 为（）A．3B．C．D．3【易错思路引导】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．【规范解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．2．（2022•游仙区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110°B．120°C．118°D．122°【易错思路引导】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．【考察注意点】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．3．（2022•太原一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个【易错思路引导】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【规范解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故选：D．【考察注意点】本题主要考查圆的基本性质，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．4．（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（）A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm【易错思路引导】根据正方形性质得到△AOD为等腰直角三角形，根据正方形和圆的关系得到AC的长度，根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度．【规范解答】解：如图所示，∵AC＝BD＝22.25mm，∴AO＝OD＝＝mm．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴△AOD为等腰直角三角形，∴AD＝AO＝mm．故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，掌握正多边形和圆的关系，得到△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2022•固安县模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线A'﹣B'﹣C扫过的面积（阴影部分面积）之比是（）A．3：1 B．4：1 C．5：2 D．2：1【易错思路引导】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．【规范解答】解：正六边形的面积＝6××（2a）2＝6a2，阴影部分的面积＝a•2a＝2a2，∴空白部分与阴影部分面积之比是＝6a2：2a2＝3：1，故选：A．【考察注意点】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题6．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝18 ．【易错思路引导】连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出n．【规范解答】解：连接CE，正n边形的中心角的度数为：，则∠ECF＝×，∠AEC＝，∵∠EGF＝30°，∴∠ECF+∠AEC＝30°，∴×+＝30°，解得：n＝18，故答案为：18．【考察注意点】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是解题的关键．7．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为54 厘米．【易错思路引导】根据对称性和周长公式进行解答即可．【规范解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．【考察注意点】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．8．（2022•陈仓区二模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A 落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为54°．【易错思路引导】根据正五边形的性质可求出角A的度数，再根据等腰三角形以及三角形的内角和可求出∠ABE，再根据正方形的性质求出∠ABG即可．【规范解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠BAE＝＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，又∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，∴∠ABG＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54°．【考察注意点】本题考查正五边形，正方形以及等腰三角形，掌握正五边形、正方形、等腰三角形的性质是正确计算的前提．9．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为1，则阴影部分的面积等于．【易错思路引导】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE，代入数据即可得到结论．【规范解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F．∵如图是由圆的六等分点连接而成，∴△ABC与△ADE是等边三角形，∵圆的半径为1，∴AH＝，BC＝AB＝，∴AE＝，AF＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝××+×××3＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键．10．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 2 ．【易错思路引导】根据正六边形的性质可得∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，从而利用等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCA＝30°，进而求出∠ABM＝90°，BM＝CM，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案为：2．【考察注意点】本题考查了等腰三角形的判定，正多边形和圆，多边形的内角与外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．11．（2022•河北二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为20 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是27 ．【易错思路引导】根据拼图，由“外围”的边长进行计算即可．【规范解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，可知这个正多边形为正十二边形，如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，故答案为：20，27．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，理解“外围”的意义是正确解答的前提，得出外围正多边形的边数是解决问题的关键．12．（2021秋•西湖区校级月考）如图，⊙O的内接正六边形，点M，N分别为AF，BC边的中点，直线MN与⊙O交于点PQ，若AB＝1，则PQ＝．【易错思路引导】如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．利用勾股定理求出PK，再利用垂径定理，可得结论．【规范解答】解：如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，CF∥AB，CF经过圆心O，∵CN＝BN，AM＝MF，∴MN∥AB∥CF，∴OK＝JK，∵OA＝OB＝AB＝1，∴OJ＝，∴OK＝，∵AB∥PQ，OJ⊥AB，∴OK⊥PQ，∴PK＝QK＝＝＝，∴PQ＝2PK＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，垂径定理，梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF ＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长．【易错思路引导】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．【规范解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，∴四边形ABPN是平行四边形，∴PN＝AB＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，∴△ANG是等边三角形，∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠PCG＝∠DHC，∵∠CPG＝∠D，∴△CPG∽△HDC，∴＝，∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴DH＝，∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．14．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为．【易错思路引导】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理即可得出结论．【规范解答】解：连接CE，作EF⊥PF．∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，∴△APD∽△CPE，∴＝，∵P为边CD的中点∴PD＝PC＝，PA＝＝，＝，∴PE＝，∵FE∥AD∴△APD∽△EPF，∴＝，∴＝，∴PF＝，∴EF＝＝1，∴DE＝＝＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．三．解答题15．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．（1）求证：AO＝CD；（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．【易错思路引导】（1））根据正五边形的性质可知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，所以∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，因此∠AOB ＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，推出AB＝AO，则CD＝AO；（2）根据圆周角定理求出∠BDE、∠E的度数，进而证明DF∥AE；证明AF∥DE，AE＝DE，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵五边形是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，∴∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，∴AB＝AO，∴CD＝AO；（2）四边形AODE是菱形；理由如下：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠BDE＝＝72°，∠E＝×360°＝108°，∴∠BDE+∠E＝180°，DO∥AE；同理可证：AO∥DE，而AE＝DE，∴四边形AODE是菱形．【考察注意点】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜测、合情推理、科学论证．16．（2021•云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【易错思路引导】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【规范解答】解：（1）连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为BC的中点，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．【考察注意点】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．17．（2019秋•长乐区期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交于E 点，连接BE，求∠ABE的度数．【易错思路引导】求出圆内接正方形的中心角度数∠AOD，再根据垂径定理求出∠AOE，由圆周角定理得出答案．【规范解答】解：如图，连接OA、OD，∵四边形ABCD是圆内接正方形，∴∠AOD＝＝90°，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠AOE＝∠AOD＝×90°＝45°，∴∠ABE＝∠AOE＝×45°＝22.5°．【考察注意点】本题考查正多边形和圆，圆周角定理以及垂径定理，求出圆内接正方形的中心角度数是解决问题的关键．18．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．求正方形ABCD的边长和边心距．【易错思路引导】过点O作OE⊥BC，垂足为E．解直角三角形求出BC，OE即可．【规范解答】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．19．（2022•包河区校级二模）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，连接DG，交BC于点H．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）求证：DH＝CE．【易错思路引导】（1）证明CF∥BE，BF∥EC可得结论；（2）证明△DCH≌△CBE（ASA），可得结论．【规范解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DF，∴∠DCE＝∠CEB，∵∠F＝∠BEC，∴∠F＝∠DCE，∴BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形；（2）∵BF∥EC，∴∠CBF＝∠BCE，∵∠CDH＝∠CBG，∴∠CDH＝∠BCE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCH＝∠CBE＝90°，在△DCH和△CBE中，，∴△DCH≌△CBE（ASA），∴DH＝CE．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．【易错思路引导】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．【规范解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，如图，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）连接OD，如图，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．【考察注意点】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答。
人教版九年级上册数学讲义知识点归纳
九年级上册数学讲义知识点归纳第21章一元二次方程一、学习目标一、明白得一元二次方程的概念二、学会一元二次方程的解法3、了解方程的根与系数的关系4、把握一元二次方程的实际应用二、重点一、一元二次方程一、一元二次方程含有一个未知数(一元)，而且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
二、一元二次方程的一样形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、降次----解一元二次方程1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的进程(不管用什么方式解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)2、直接开平方式利用平方根的概念直接开平方求一元二次方程的解的方式叫做直接开平方式。
直接开平方式适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。
依照平方根的概念可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
3、配方式：配方式的理论依照是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，那么有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方式解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判定2个根是不是实数根。
4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方式。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x当ac b 42->0时，方程有两个实数根。
当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。
当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。
5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式别离等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。
人教版数学九年级上册全册精品精品课件.
人教版数学九年级上册全册精品精品课件.一、教学内容1. 第十三章：一元二次方程13.1 一元二次方程的概念与求解13.2 一元二次方程的根与系数的关系13.3 一元二次方程的应用2. 第十四章：不等式与不等式组14.1 不等式的概念与性质14.2 一元一次不等式组的解法及应用3. 第十五章：图形的相似15.1 相似图形的概念与性质15.2 位似的判定与性质15.3 相似图形的应用二、教学目标1. 理解并掌握一元二次方程、不等式与不等式组、图形的相似等概念及性质。
2. 学会求解一元二次方程、不等式与不等式组，并能将其应用于实际问题的解决。
3. 掌握相似图形的判定与性质，并能应用于几何问题的解答。
三、教学难点与重点1. 教学难点：一元二次方程的求解、不等式与不等式组的解法、相似图形的性质与应用。
2. 教学重点：理解并掌握一元二次方程、不等式与不等式组、图形的相似的概念与性质，提高解决问题的能力。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型等。
2. 学具：教材、练习本、圆规、直尺、三角板等。
五、教学过程1. 实践情景引入通过生活实例，引出一元二次方程、不等式与不等式组、图形的相似等概念。
2. 例题讲解讲解一元二次方程、不等式与不等式组、相似图形的典型例题。
3. 随堂练习学生独立完成随堂练习，巩固所学知识。
5. 课堂小结六、板书设计1. 一元二次方程、不等式与不等式组、图形的相似的概念、性质与求解方法。
2. 典型例题及解题步骤。
3. 课堂小结与注意事项。
七、作业设计1. 作业题目一元二次方程、不等式与不等式组、图形的相似的应用题。
探究相似图形的性质及其应用。
2. 答案详见教材课后习题答案。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：对本节课的教学过程、学生掌握程度、教学效果等方面进行反思。
2. 拓展延伸：推荐相关学习资源，鼓励学生进行自主学习，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学内容的详细设计与章节分配。
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积(有答案)
第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB=；2、正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =3、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积lO2、圆柱侧面展开图：2S S S =+侧表底=222rh r ππ+C 1D 13、圆锥侧面展开图S S S =+侧表底=2Rr r ππ+考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（ ） A ．10cm B ．5cm C ．cmD ．cm例2A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a ，这个圆的周长为 ．例5、如图，已知边长为2cm 的正六边形ABCDEF ，点A 1，B 1，C 1，D 1，E 1，F 1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S ．1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．1、若一个扇形的面积是相应圆的A．150°B．120°C．90°D．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（）A．π+1 B．2π C．4 D．63、如图，O为圆心，半径OA=OB=r，∠AOB=90°，点M在OB上，OM=2MB，用r 的式子表示阴影部分的面积是．4、如图，直角△ABC的直角顶点为C，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC扫过的面积是．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD是长方形，AB=a，BC=b（a＞b），以A为圆心AD长为半径的圆与CD交于D，与AB交于E，若∠CAB=30°，请你用a、b表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．16πcm2 B．20πcm2 C．28πcm2 D．36πcm2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m，母线长是3.2m，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m2）（）A．58 m2 B．29 m2 C．26 m2 D．28 m2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得4、如图，有一边长为4的等边三角形纸片，要从中剪出三个面积相等的扇形，那么剪下的其中一个扇形ADE（阴影部分）的面积为；若用剪下的一个扇形围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r是．5（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．1、如图，八边形ABCDEFGH中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°，AB=CD=EF=GH=1cm，BC=DE=FG=HA=cm，则这个八边形的面积等于（）A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．14cm22、起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（）A．108°B．60°C．54°D．27°3、如果一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的边长为4cm，那么圆锥的全面积是（）A．8πcm2 B．10πcm2 C．12πcm2 D．9πcm24、如图，OAB是以6cm为半径的扇形，AC切弧AB于点A交OB的延长线于点C，如果弧AB的长等于3cm，AC=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．15cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm25、如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，⊙O的半径均为2cm，⊙O与⊙O1，⊙O3相外切，⊙O与⊙O2，⊙O4相外切，并且圆心分别位于两条互相垂直的直线L1，L2上，连接O1，O2，O3，O4得四边形O1O2O3O4，则图中阴影部分的面积为（）平方厘米．A．32 B．32-8π C．16-4π D．8π6、如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为．7、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点A、O在三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm，重叠阴影部分的量角器弧所对的扇形圆心角∠AOB=120°，若用该扇形AOB 围成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则该圆锥的底面半径为 cm．8、如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．9、如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的边长是8，PB=4．求阴影部分面积；（2）若PB=4，PA=7，∠APB=135°，求PC的长．10、如图，有一直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC （1）找到圆形铁皮的圆心O（要求尺规作图，保留作图痕迹）；（2）求剪掉部分即阴影部分的面积（结果保留π）；（3）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？11、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，点B的坐标为（-1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O．（1）在旋转过程中，点B所经过的路径长是多少？（2）分别求出点A1，B1的坐标；（3）连接BB1交A1O于点M，求M的坐标．1、阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形．如图，已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S1，正四边形ABCD的面积为S2，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON 分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H．设由OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S．①（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S1、S2之间的关系为：S=______（用含S1、S2的代数式表示）；（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．2、如图中有四个面积相同的圆，每个圆的面积都记为S，∠ABC的两边分别经过圆心O1、O2、O3和O4，四个圆盖的面积为5（S-1），∠ABC内部被圆盖住的面积为8，阴影部分的面积为S1、S2、S3满足关系式：．求S的值．3、铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．1、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°2、如图中，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（）A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）3、如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm4、圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是（）A．180°B．200°C．225°D．216°5、如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）（）A．B．C．D．6、将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（）A．4cm B．4cm C．4cm D．2cm7、一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm（保留根号）．8、如图，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剩下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 cm．9、如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm 的圆形，使之恰好围成图210、如图，以AD 为直径的半圆O 经过点E ，B ，点E 、B 是半圆弧的三等分点，弧BE长为 32，则图中阴影部分的面积为 ．11、如图，正方形ABCD 的外接圆为⊙O ，点P 在劣弧CD 上（不与点C 重合）． （1）求∠BPC 的度数；（2）若⊙O 的半径为4，求正方形ABCD 的边长．12、“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m ，匀速转动一周需要12min ，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m ）．（1）经过2min 后小雯到达点Q ，如图所示，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m 的空中？13、如图，一个圆锥的高为3求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）锥角的大小（锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角）；（3）圆锥的侧面积．14、如图，已知△ABC，AC=BC=4，O是AB的中点，⊙O分别与AC、BC相切于点M、N，与AB交于E、F，连ME并延长交BD的延长线于D，∠1=∠2．（1）求证：∠C=90°；（2）设图中阴影部分的面积分别为S1、S2，求参考答案第17讲正多边形和圆、弧长和扇形面积考点1、正多边形和圆的求解例1、D例2、B例3、例4、例5、1、B2、B3、4、5、解答（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4-t，在△ABP和△DEQ中，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°-30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．故答案为2s，0s或4s．考点2、弧长的计算例1、C例2、C例3、例4、例5、1、D2、D3、4、5、考点3、扇形面积的计算例1、A例2、A例3、例4、例5、1、C2、C3、4、5、考点4、圆锥侧面积计算例1、B例2、B例3、例4、例5、1、B2、B3、4、5、1、A2、C3、C4、D5、B6、7、8、9、10、11、1、2、3、而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为1、A2、C3、D4、D5、A6、B7、8、9、10、11、12、13、14、。
第22章二次函数第10课时 建立坐标系解决实际问题-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)
人教版九年级数学上册讲义第二十二章二次函数第10课时建立坐标系解决实际问题教学目的1．建立坐标系解决球类轨迹等抛物线型问题；2．建立坐标系解决桥拱等抛物线型问题．教学重点1．建立坐标系解决球类轨迹等抛物线型问题；2．建立坐标系解决桥拱等抛物线型问题．教学内容知识要点轨迹、拱桥问题的求解步骤①建系：建立合适的直角坐标系②标线转化：把线段条件转化为点坐标③求解析式：把点坐标代入解析式，求出解析式④求点坐标：根据相关点的某个坐标求出另一个坐标⑤标线转化：把点坐标转化为具体线段，作答对应练习1．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB为 m.．2．烟花厂为咸宁温泉旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 .3．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．4．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．5．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+（x＞0）（1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m？（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外？6．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图．当球离抛出地的水平距离为30m时，达到最大高度10m．（1）问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式．（2）当球的高度为m时，球离抛出地的水平距离是多少？7．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降2.5m，水面宽度增加 m.8．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.（精确到1米）课后作业1．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是 m．2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．3．如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；4．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB.5．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？6．如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 (写出顶点式和一般式均可)．图①图②7．如图所示是某斜拉索大桥，主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度AB＝50米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米，桥面CD距水面的咨度为36米，则桥的宽度CD 米．8．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，当水位上涨1m时，水面宽CD为2 m，则桥下的水面宽AB为 m.对应练习答案1.解答：解：∵喷出的水柱中心4m处达到最高，高度为6m，∴抛物线的顶点坐标为（4，6）或（−4，6），设抛物线解析式为或即这个喷水头应设计的高度为m．把代入抛物线解析式，解得：所以，函数解析式为或当时，抛物线与x轴的交点坐标为（10，0）或（−10，0），∴圆形喷水池的直径为20m，故答案为：20．2.解答：解：∵，∴h＝﹣（t﹣4）2+41.∴t＝4时，h最大＝41.故答案为：4s.3.解答：解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．4.解答：解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．5.解答：解：（1）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+，∴该二次函数的顶点坐标为（1，），∴水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为1米；（2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+＝0，解得x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）所以花坛的半径至少为2.5m，才能使喷出的水流不落在池外；6.解答：解：（1）根据题意，得设抛物线的解析式为y＝a（x﹣30）2+10，把（0，0）代入得a＝﹣．所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣30）2+10＝x2+x．当y＝0时，x1＝0，x2＝60．或者：因为抛物线对称轴为x＝30，所以抛物线与x轴的交点为（0，0），（60，0）答：球被抛出60m．该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝时，＝﹣（x﹣30）2+10，解得x1＝50，x2＝10．答：球离抛出地的水平距离是10m或50m．.7.解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了6﹣4＝2米，故答案为：2.8.解答：解：由"在该抛物线上距水面AB高为8米的点"，可知y＝8，把y＝8代入y＝﹣x2+10得：x＝±4，∴由两点间距离公式可求出EF＝8≈18（米）.课后作业答案1.解答：解：由题意得：t＝4时，h＝0，因此0＝16a+19.6×4，解得：a＝﹣4.9，∴函数关系为h＝﹣4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：＝19.6（m），2.解答：解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，解：（1）由排球运行的最大高度为28米，则顶点的坐标点G为（6，2.8），则设抛物线的解析式为p＝a（x﹣6）2+2.8 ∵点C坐标为（0，2），点C在抛物线上∴2＝a（0﹣6）2+2.8解得a＝﹣∴p＝（x﹣6）2+2.8则排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式：p＝（x﹣6）2+2.8（2）当x＝9时，p＝（9﹣6）2+2.8＝2.6＞2.24当x＝18时，p＝（18﹣6）2+2.8＝﹣0.4＜0故这次发球可以过网且不出边界4.解答：解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得a＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9解得x1＝3，x2＝﹣1所以B（3，0）．答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．解：（1）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2时，h取得最大值20米；答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；（2）由题意得：15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m.6.解答：解：由图象可知抛物线的对称轴为x＝＝20，所以顶点坐标为：(20，16)，可设此抛物线的解析式为：y＝a(x-20)2+16，①又此抛物线过(0，0)点，代入①式得：a(0-20)2+16＝0，解得：a＝-．所以此抛物线的解析式为：y＝-(x-20)2+16．解：如图，以CD所在直线为x轴，过点E的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据图象知点顶点E的坐标为（0，64），点B的坐标为B（25，﹣36），设解析式为y＝ax2+64，将点B（25，﹣36）代入得：﹣36＝625a+64，解得：a＝﹣，∴解析式为y＝﹣x2+64，令y＝0，得：y＝﹣x2+64＝0，解得：x＝±20，∴CD＝20﹣（﹣20）＝40，8.解答：解：∵水面宽CD为2m，y轴是对称轴，∴D点的横坐标为，∴D的纵坐标为y＝﹣×（）2＝﹣2，∵水位上涨1m时，水面宽CD为2m，∴B的纵坐标为﹣2﹣1＝﹣3，把x＝﹣3代入解析式y＝﹣x2得：∴B的横坐标为y＝﹣×（﹣3）2＝﹣3，∴桥下的水面宽AB为3×2＝6米，故答案为：6米.。
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九年级上册数学讲义姓名：电话：第二十一章 一元二次方程1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
●夯实基础例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）272y y =-（2）()()512152y y y +-=-（3）()m x n mx x 2210++-=（是未知数）例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．●能力提升例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数●培优训练例5 m 为何值时，关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．第一讲 一元二次方程的定义例6关于x 的方程（m+3）x m2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为例7（2000•兰州）关于x 的方程（m 2-m-2）x 2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ）A ．m≠-1B ．m≠2C ．m≠-1或m≠2D ．m≠-1且m≠2●课后练习1、m 为何值时，关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．4、若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________（1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。
2）计算式子b ac 24-的值。
3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
●夯实基础例1、（2012•鄂尔多斯）若a 是方程2x 2-x-3=0的一个解，则6a 2-3a 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．9 D ．-9例2（2011•哈尔滨）若x=2是关于x 的一元二次方程x 2-mx+8=0的一个解．则m 的值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．-6例3用直接开平方法解下列方程（1）()x +-=2302（2）231182()x += (3)2269(52)x x x -+=-例4先配方，再开平方解下列方程（1）x x 2440--= （2）2372x x =- (3) 211063x x +-= (4) 231y +=第二讲 一元二次方程的解与解法例5 用公式法解下列方程（1）x x 2320-+= （2）2122x x -=-（3）()x x +=-132 (4)1(61)432(2)2x x x x ++-=+例6 用因式分解法解下列方程（1）23302x x --= （2）24545002x x --= （3）t t 22220-+=●能力提升例7（2011•乌鲁木齐）关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或1例8关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+ax +a 2-1=0的一个根是0，则a 值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．±1例9已知a 、β是方程x 2-2x-4=0的两个实数根，则a 3+8β+6的值为（ ）A ．-1B ．2C ．22D ．30例10解方程：22(32)60mx m x m -++=●培优训练例11解方程：2x 2x 240++-=例12（新思维）设x 1、x 2是方程240x x +-=的两个实数根，求代数式3212510x x -+的值．例13已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同． （1）求k 的值；（2）求方程022=-+kx x 的另一个解．课后练习一、填空：1. 一元二次方程的一般形式是______________________。
2. 一元二次方程3562x x =+的一般形式是_________________________________，a=___________，b=___________，c=___________。
3. 关于x 的方程()m x mx ++-=12302是一元二次方程，则m 的取值范围是___________。
4. 关于x 的方程()()m x m x m 22420-+-+=是一元二次方程时，m 的取值范围是___________，是一元一次方程时，m 的取值范围是___________。
二、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）A ．x 2+3x=0B ．2x+y=3 CD ．x （x 2+2）=0三、解方程：1.x x 2560-+= 2. x x 2222-= 3. x x 23740--= 4. ()x x -+-=15302四、解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=．一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．第三讲 一元二次方程根的判别式●夯实基础例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。
（1）82525y y ()-=-例2如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ． 1k < B ． 0k ≠ C ．10k k <≠且 D ． 1k >例3已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根例4若关于x 的方程kx x 2690-+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
例5已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边的长，且方程22()()()0x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．●能力提高例6关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．例7已知关于x 的方程()()m x m x m ---++=221102在下列情况下，分别求m 的非负整数值。
（1）方程只有一个实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有两个不相等的实数根例8 （新思维）如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，∠B =90°，那么，关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定●课后练习1、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2、若关于z 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>-1 C ．m>l D ．m<-13、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <0 4、不解方程，判断下列各方程根的情况（1）. x 210+= （2）. 44102x x -+=5、k 为何值时，方程()()k x k x k ---++=1272202的两个根相等？6、已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -7、在等腰ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求ABC ∆的周长．第四讲一元二次方程的应用●夯实基础例1解方程例2一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。