初三数学中考一轮复习新定义问题教案(含练习)

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15新定义

§15-1

新定义计算对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点()1,a b ，()21,a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．

（1）写出函数21y x =-的限减系数；

（2）0m >，已知()11,0y x m x x

=

-≤≤≠是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围；

（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．1

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在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点()1,x y 和()2,x y 关于点(),x x 中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线y x =上，所以称这两个函数为关于直线y x =的特别对称函数．例如：12y x =和32

y x =为关于直线y x =的特别对称函数．（1）若32y x =+和()0y kx t k =+≠为关于直线y x =的特别对称函数，点()1,M m 是32y x =+上一点．

①点()1,M m 关于点()1,1中心对称的点坐标为．

②求k ，t 的值．

（2）若3y x n =+和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，求n 的值．

（3）若二次函数2y ax bx c =++和2y x d =+为关于直线y x =的特别对称函数．

①直接写出a ，b 的值．

②已知点()3,1P -，点()2,1Q ，连接PQ ，直接写出2y ax bx c =++和2y x d =+两条抛物线与线段PQ 恰好有两个交点时d 的取值范围．

§15-2新定义几何定义：如图1

，点M

，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股点．

（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股点，若

1AM =，2MN =，求BN 的长；

（2）如图2，点(),P a b 是反比例函数()20y x x

=>图象上的动点，直线2y x =-+与坐标轴分别交于A ，B 两点，过点P

分别向x ，y 轴作垂线，垂足为C ，D ，且交线段AB 于

点E ，F ．证明：E ，F 是线段AB 的勾股点；

（3）如图3，已知一次函数3y x =-+的图象与坐标轴交于A ，

B 两点，与二次函数24y x x m =-+的图象交于

C ，

D 两点，

若C ，D 是线段AB 的勾股点，求m 的值．

知解求参

1

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在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1M ，()1,1N -，经过某

点且平行于OM ，ON 或MN 的直线，叫该点关于OMN △的

“关联线”．

例如，如图1，点()3,0P 关于OMN △的“关联线”是：

3y x =+，3y x =-+，3x =．

（1）在以下3条线中，是点()4,3关于OMN △的“关联线”（填出所有正确的序号）：①4x =；②5y x =--；③1y x =-．

（2）如图2，抛物线()214

y x m n =-+经过点()4,4A ，顶点B 在第一象限，且B 点有一条关于OMN △的“关联线”是

5y x =-+，求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，点E 是

线段AC 上除点C 外的任意一点，连接OE ，将OCE △沿

着OE 折叠，点C 落在点C '的位置，当点C '在B 点关于

OMN △的平行于MN 的“关联线”上时，满足（2）中条件

的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在OE 上?

2

在平面直角坐标系xOy 中，对于半径为()0r r >的O 和

点P ，给出如下定义：若32r PO r ≤≤

，则称P 为O 的“近外点”．

（1）当O 的半径为2时，点()4,0A ，5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，()0,3C ，()1,1D -中，O 的“近外点”是；

（2）若点()3,4E 是O 的“近外点”，求O 的半径r

的取值范围；

（3）当O 的半径为2时，直线()3

03y x b b =+≠与

x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上

存在O 的“近外点”，直接写出b 的取值范围．

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设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ．对于一点与等边三角形，给出如下定义：满足r d R ≤≤的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC △的三个顶点的坐标分别为

()0,2A ，()3,1B --，)3,1C -．

（1）已知点()2,2D ，)

3,1E ，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．在点D ，E ，F 中，是等边ABC △的中心关联点的是

；

（2）如图1，①过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使30AMO ∠= ．若线段AM 上存在等边ABC △的中心关联点(),P m n ，求m 的取值范围；

②将①中直线AM 向下平移得到直线y kx b =+，当b 满足什么条件时，直线y kx b =+上总存在等边ABC △的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）

（3）如图2，点Q 为直线1y =-上一动点，Q 的半径为12

．当点Q 从点()4,1--出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒．是否存在某一时刻t ，使得Q 上所有点都是等边ABC △的中心关联点?如果存在，请直接写出所有符合题意得t 得值；如果不存在，请说明理由．