第十五章 比较与类比

合数
能被1和它自身以外数 4，6，8，9，10，12，
整除的自然数
14，15，16，18，…
偶数
能被2整除的整数
…，-4，-2，0，2，4， 6，8，10，12，…
【区别】⑴两概念的外延是交叉关系，合数中 不含负偶数、0和2，
而偶数中不含奇合数；
⑵两概念的内涵是交叉关系，合数规定能被1 和它自身以外数整除，而且是自然数；
• 无论是区分事物的质，还是区分事物的 量，都要通过比较这一思维方法才能达到。
• 区分事物的客观基础，就是事物本身所 具有的同一性和相异性。因此，我们可以 说，比较就是在认识事物的过程中，确定 思维对象的相同点和不同点的思维方法， 它是其他思维方法如分析综合、抽象概括、 归纳演绎等的基础。
• 因此，要有意识地学会比较这一思维方 法，把它作为数学思维的重点之一。
• ②适时归纳已学过的相关概念
• 数学概念体系中，
• 有一些相似概念（如数位和位数、质数与互质数、 比和比例、求比值与化简比、方程的解与解方程 等），
• 还有一些相近概念（如除尽与整除、数与数字、 质数与质因数、计数与记数等），
• 还有一些相反概念（如约数与倍数、扩大与缩小、 化法与聚法、正比例与反比例等），
总耕地面积的3/5，全村总耕地有多少亩? • 【比较】两题的数量关系都没变，都是 • 全村总耕地面积×3/5=全村棉田面积 • 不同的是已知条件与所求问题交换了。
• ⑵运用比较，发现规律 • 【例1】比较一组等式： • 6÷3=2，60÷30=2，600÷300=2， • 6000÷3000=2，60000÷30000=2， • 观察 6K÷3K=2 • 再考虑 (6×0)÷(3×0)=? • 总结运算规律：“被除数与除数同时乘以
【例】将四个分数
197 ,1987 , 987 ,18 198 1988 988 19
按照由小到大的
顺序排列。
【分析】这四个分数互不相同，若作通分后比较，将 非常麻烦。但经观察比较，得到一个共同特点是， 分子总比分母小1。其中：
197 1 1 ; 1987 1 1 ; 987 1 1 ; 18 1 1 198 198 1988 1988 988 988 19 19
【例】下面每组数中，请找出不同类的数来，并说 明理由。
⑴ 1，4，7，10 1，14，17，20，
2
⑵ 0，1，1.5，3，6，8，16， 【解】在⑴组数中， 10 1 不是自然数。
2
在⑵组数中， 1.5 不是整数。
【例】比较合数与偶数的区别。 【解】分别从内涵和外延两方面进行比较：
概念
内涵
外延
而偶数规定能被2整除的整数，而且是整数。
上述两例都是“同中见异”的比较。
“异中见同”和“同中见异”两类比较方法 在实际运用过程中，往往是综合进行的，并 配合其他思维方法，相辅相成。
• 3、比较方法举例 • ⑴运用比较，掌握数量关系 • 【例1】小营村有耕地面积180亩，其中棉
田占总耕地面积的3/5，全村棉田有多少亩? • 【例2】小营村有棉田面积180亩，棉田占
• 都是容易混淆的概念，
• 来自百度文库复习阶段把这些易混概念放在一起进行对比 辩析，归纳注意点，有利于使学习形成分化，达 到深化理解的目的。
• ⑷运用比较，开拓解题思路
• ①通过比较、沟通联系，变换思考角度
• 【例】一堆煤用去1200吨，比余下的多1/3，这堆 煤原有多少吨?
• 【分析】若按题目的思路进行思考，计算量大：
分子相同的分数仅比较分母即可，即由
1 1 1 1 可得到
19 198 988 1988
18 197 987 1987 19 198 988 1988
【例】用一条直线将一个长方形分为两等分，有几种画 法？
【分析】分法是很多的，画出几种并不难，难在需要 确定有几种画法。
在多种画法中，比较下面这种最特殊的一种画法： 即经过矩形两对角线交点——矩形的中心，所画的 直线都平分矩形；
• 设这堆煤原有x吨，用去1200吨，余下x-1200， 按题意，用去的与余下的比较，得
1200 1 1 x 1200 3
解得 x 2100
• 若换个角度进行思考，将余下的与用去的比较：
• 设这堆煤原有x吨，用去1200吨，余下x-1200， 为
x 1200 1200
• 2、比较类型 • ⑴相同点的比较 • 就是要确定我们的思维对象的共同属性。
有些貌似不同的事物，也可能存在一些共 同点，这些共同之处往往联系着它们的规 律。 • 因此，通过比较寻找相异事物的共同点， 可以开拓思路，探索规律，更深刻地认识 事物及其相互关系， • 这类比较方法可以概括为“异中见同”。
而且容易由平行截割定理证明其正确性； 而经过矩形两对角线交点可作无数条直线； 因此，用一条直线将一个长方形分为两等分，有无 数种画法。
• ⑵不同点的比较 • 不同点的比较就是要确定思维对象的不同
特性。 • 有些貌似相同或十分相似的事物，实际上
总是存在着某些差异，即使是相等的事物， 也只是彼此不相同、不同一的事物之间的 同一。 • 通过比较寻找相同或相似事物的不同点， 同样可以开拓思路，探寻规律，更深刻地 理解某些概念及其相互关系。 • 这类比较方法可以概括为“同中求异”。
相同的非零数值，商不变。”
• ⑶运用比较，突出概念的内涵和外延 • 概念学习中适当运用变式材料，借助比
较，促进理解概念的内涵，那么这个概念 的外延也就明确了。 • ①运用比较，辩析易混概念——恰当组 织正反对比 • 学习中，从正面揭示概念、法则、公式 等，无疑是重要的，但仅仅这样还不够， 对一些重要概念和典型问题，应抓住本质 进行正反对比，或从反面提出一些问题， 进行思索判断，加深理解。
第一节 比较概述与类型
• 1、比较概述 • 比较是人类认识客观事物的一种最基本
的思维方法。 • 比如，对事物集合量的最初的认识，正
是通过比较认识到事物集合量的“多”或 “少”或“同样多”，从而形成等价集合 类的概念，最终得到自然数的概念。 • 比较还使我们发现某类事物不同于它类 事物的共同的本质属性，从而形成概念， 达到对事物更深刻的认识。