航空公司机票预订策略

数学建模论文题目：航空公司机票预订策略组员1：姓名周跃班级车辆094学号200903641组员2：姓名王晶东班级车辆094学号200903926组员3：姓名武锡俊班级车辆094学号200904216组员4：姓名缪伟班级车辆094学号200904217组员5：姓名周晓琳班级车辆094学号200904801组别：第三十二组承诺书我们仔细阅读了兰州交通大学大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日航空公司机票预订策略摘要本文研究的是机票预定价格和数量的预测及优化设计问题。

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，根据实际情况，制定合理的预定策略需从经济利益最大化和社会声誉最好两方面来考虑。

社会声誉可以用定了票来登机因飞机满员而不能起飞的乘客不超过某一给定值来衡量。

这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解。

假设公司的经济利益用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量；社会声誉用持票按时前来登机、但因满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准，转化成经济利益、社会声誉这两个目标的优化问题，再建立合理的模型，通过 MATLAB 软件对问题进行分析求解。

最后通过模型改进对模型进行进一步优化。

关键词： MATLAB 软件模型转化模型改进订票策略实际平均利润一、问题的提出1.1 背景航空公司对机票一般采取预定策略。

电话或者互联网是航空公司为客户提供预定服务的两个渠道。

机票的预定在为乘客出行提供方便的同时也给航空公司带来一定的不确定性。

由于客户很可能由于各种原因取消预定，而该顾客已退还的机票并没有在飞机起飞前被卖出去，那么航空公司将蒙受损失。

因此，航空公司要获得更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。

为此，航空公司也采取了一些有效的措施。

首先，要求客户在预定机票的同时提供信用卡号，并预付一定数量的定金。

如果客户在飞机起飞前 48 小时内取消预定，那么定金将如数退还，否则定金将被没收。

此举虽然在一定程度上减少了航空公司的损失，但是也增加了乘客在预定机票时的手续。

另外，航空公司采用变动价格，根据市场需求情况调整机票价格，一般来说旺季机票价格比较高，淡季价格略低。

同时，在旺季航空公司往往可以预定超过实际座位数的机票数，保证在客户取消预定时，航空公司还可以保证机舱满员。

当然，超额的预定也就为超过座位数的客户出现提供了可能。

这种情况下，航空公司可能要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷，为此航空公司还会承担信誉风险。

因此合理的预定策略，也是航空公司需要解决的问题。

1.2 需要解决的问题在某航空公司某条航系一中机型有头等舱 20 座，经济舱 300 座的情况下，为该航线设计合理的预定策略，解决以预订票数量的限额时决策变量的以经济利益和社会声誉为两目标的优化问题。

二、基本假设问题的基本假设1、如果头等舱坐满，多出的持头等舱预订票的乘客不能进入经济舱，只能等待下一班飞机并获得赔偿；2、预订票数量的限额为常数m(>n)，每位乘客不按时前来登机的概率为 p，各位乘客是否按时前来登机是相互独立的，这适合于单独行动的商人、游客等；3、头等舱和经济舱的机票票价之比为 2；4、由题目知客户在预定时需要预付定金，假设定金为票价的 20%；5、每位被挤掉者获得的赔偿金为常数 b。

三、符号说明四、模型的建立与求解4.1 问题的分析：问题要求我们解决在飞机头等舱 20 座，经济舱 300 座的情况下，如何制定合理的预定策略的问题。

我们假设公司的经济利益用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量；社会声誉用持票暗示前来登机、但因满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准，而这两个问题的关键因素即预订票的乘客是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是个两目标的优化问题，决策变量是预订票数量的限额。

因此问题的求解在于建立合理的模型并用 MATLAB 软件对问题进行分析求解。

最后通过模型改进对模型进行进一步优化。

4.2 模型的建立及求解模型建立：1.公司的经济利益可以用平均利润 S 来衡量，每次航班的利润s 为从机票收入中减去飞行费用和可能发生的赔偿金。

当 m 位乘客中有 k 位不按时前来登机时：11111111111111111112222222222222222222212()()()()()()()()(1)K im k g k pg l m k n s n g m n k b k pg l m k n m k g k pg l m k n s n g m n k b k pg l m k n k -+-≤⎧=⎨---+->⎩-+-≤⎧=⎨---+->⎩头等舱：经济舱：总利润:s(m)=s +s -r由假设2，不按时登机且未在48小时之前退票的乘客数符从二项分布，于是概率：11111112222222111111111101222222222011220()(1)S S ()[()]()[()]()()(3)3i i ii i m k i m m n m k kk k m n m n m k k k k m n m i k k k k p k k C p q q p S m n g m k n b p m k g p n g m k n b p m k g p k g k g pl rk p p ---==---==-=====-=---+-+---+-++-∑∑∑∑平均利润（即的期望）为化简（）式，并注意到1112221111111110122222222011221,2()()()()()()(4),,,S(m)i m n k k m n k k i i i i m p i S m q m g g b m k n p q m g g b m k n p k g k g pl rn g r p m --=--====-+--+-+--++-∑∑∑，（）可得当给定后可以求得使得最大。

2、公司从社会声誉考虑，应该要求被挤掉的乘客尽量少。

而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标。

记被挤掉的乘客数超过j 人的概率为)(m pj，因为被挤掉的乘客数超过j ，等价于m 位预定票的乘客中不按时前来登机的不超过m-n-j-1人，所以：)5()(1∑---==j n m k kippm对于给定的n,j,显然当m=n+j 时不会有被挤掉的乘客，即)(m p j =0。

而当m 变大时)(m p j 单调增加。

综上，S(m)和)(m pj虽然是这个优化问题的两个目标，但是可以将)(m pj不超过某给定值作为约束条件，以S(m)为单目标函数来求解。

模型求解为了减少 S(m)中的参数， S(m)除以飞行费用 r 为新的目标函数 J(m)， 取其含义时单位费用获得的平均利润，注意到假设 1 中有 g=r/λn，由（2）式可得:(m − n −j)J(m) = S (m)/r = [qm −(1+b/g)∑(m − k − n)pk] −λn k =0（6）其中 b/g 式赔偿金占机票价格的比例。

问题化为给定λ,n,p,b/g，求 m 使 J(m)最大，而约束条件为:Pj (m) =(m − n − j)∑k =pk ≤ α（7）其中α是小于1的正数。

J(m)的经济意义是公司纯利润占固定损耗的比例。

模型不能求解，但可以通过 MATLAB 软件进行数值计算，求得最大值点。

根据假设不优先考虑头等舱乘客的利益，即如果头等舱已坐满，多出的头等舱的乘 客不能进入经济舱，只能等待下一班飞机并获得赔偿。

由此，我们便可把头等舱和经济舱分开考虑。

利用参考文献中的 数据 【2】，我们可以认为 λ = 0 .6p = 0.05bg= 0.4这些值是相对固定的。

1）经济舱情况 由题知经济舱座位数为 n1 = 300 计算 J (m), p10 (m) （详见附录 I ） ，得表1 如下：表1 由上表可知，当 m=316 时， J1max = 0.6517 m2)头等舱情况方法同经济舱一样。

取n2 = 20 λ = 0 .6 p = 0.05b2g= 0.2 带入基本模型中可得 m=22 时。

J 达到最大。

（详见附录 II） J 2 max = 0.6515 由上，我们得出结论总的收入最大的机票预定策略为：航空公司收益即收入是投入的 65.168% 此时，发出316 张经济舱票，22 张头等舱票。

五、优化模型考虑到不同客源的实际需求，如商业界、文艺界人士喜欢这种无约束条件的预订票业务，他们宁愿接受更高的票价，而不按时前来登机的可能性较大；游客与按时上下班的雇员，会愿意以不按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。

所以，航空公司为了降低风险，可以把上述第2类乘客作为基本客源，对他们降低票价，但购票时即付款，不能按时前来登机即机票作废。

设预订票数量m 中有t 张是专门预售给第二类乘客的，其折扣票价为1(1)g ββ<，（因为第二类乘客身份的特殊性，所以只考虑他们购买经济舱的情况）当m-t 位第1类乘客中有k 位不按时前来登机时每次航班的利润s 为（只对于经济舱）1(1)g ββ<111111111111111111111111111111111111m 111111*********()()()()(),1S S [[()]()()]k m k t k k m t m n m t k k m n t g m k t g m k n s t g n t g m k n b m k n k p C p q q pt t g m k t g n t g m k n b ββββ------==-+---≤⎧=⎨+----->⎩==-=++--+----∑∑（）位乘客不按时前来登机的概率为平均利润为1111111111111111111111111111111111[()]()()(1)/r [()]km t k k m n m n k k p t g m k t g p rqm g r g b m k n p p t g g g g r n t g n t g rβββλλλλλβ-=---=++---=--+-----=+-=∑∑正常票价，折扣票价，利润调节因子（ <1,且机票按照 来定价，如=60%就表示飞机60%的满员率就不亏本）与飞行费用间的关系为于是，单位费用111111111110111()[(1)(1/)()]1[(1)]t J m ()m n k k j j J m qm p t b g m k n p n t P m βλββ--==----+------∑获得的平均利润为约束条件被挤掉的乘客数超过j 人的概率p (m)不变取=0.75,t=50,100,150,其它结果同上，计算结果表明，当增加时（），和均有所减少。