03_基本运算符号
黃彬華著
輸出結果 未滿18歲：true
範例說明 • 第5行：「age>=18」為false，前面冠上「!」運算符號便會得到true。因為第4行題意是
「未滿18歲」，所以使用「!(age>=18)」會非常符合題意。
第3章 基本運算符號- 18
文字。
輸出結果 12310 126.12 123 3.12 i = 123, d = 3.12
第3章 基本運算符號- 8
3-4 指派運算符號
第1章 SCJP認證考試介紹 - 9
黃彬華著
指派運算符號可以和其他運算符號結合，成為 結合指派運算符號。
結合指派運算符號
說明
+=
x += y 相當於 x = x + y
輸出結果 false true true false false
範例說明 • 第6行：i與j的值相等，所以得到true。 • 第7行：i與j的值相等，不符合「!=」的要求，所以得到false。 • 第8行：「false」，「11.11/0.1111」的結果為99.999...，而非預期的100！
第3章 基本運算符號- 11
第3章 基本運算符號- 7
3-3 文字串接符號
可以讓字串與字串或數字串接在一起。
第1章 SCJP認證考試介紹 - 8
黃彬華著
範例說明 • 第4行：str1是文字，10是數字，所以會將10轉成文字後與str1串接，然後指派給
str2。所以第7行會印出「12310」文字。 • 第10行：無論是「i」或是「=」、「,」符號，只要放在雙引號內，都會變成單純
-=
x -= y 相當於 x = x - y
*=
x *= y 相當於 x = x * y
/=
x /= y 相當於 x = x / y
%=
x %= y 相當於 x = x % y
第3章 基本運算符號- 9
第1章 SCJP認證考試介紹 - 10
黃彬華著
輸出結果 3 12 範例說明 • 第4行：i與2相加後的值再指派回給i，所以i的值為3。 • 第6行
第3章 基本運算符號- 10
第1章 SCJP認證考試介紹 - 11
3-5 比較運算符號
黃彬華著
比較運算符號共有「>」（大於）、「>=」（大於或等於）、 「<」（小於）、「<=」（小於或等於）、「==」（等於）、 「!=」（不等於）等6種；而比較運算的結果不是成立（true）， 就是不成立（false）。
範例說明 • 第6行：因為「MassageChair」和「skylight」的值都為true，在「^」運算
下，會得到最後的結果為false。
輸出結果 成交：false
第3章 基本運算符號- 17
第1章 SCJP認證考試介紹 - 18
Not運算符號
當true碰到Not運算符號會變成false；false碰到Not運算符號 會變成true。
黃彬華著
Xor運算符號 車商推出買車就可選擇贈送按摩椅或是天窗，但不能2項都選。
送按摩椅 true true false false
送天窗 true false true false
成交 false true true false
第3章 基本運算符號- 16
第1章 SCJP認證考試介紹 - 17
黃彬華著
+ 加（addition） - 減（subtraction） + 文字串接（string concatenation）
< 小於（less than） <= 小於或等於（less than or equal to） > 大於（greater than） >= 大於或等於（greater than or equal to）
== 等於（equal to） != 不等於（not equal to）
& And && And速算（short-circuit And） ^ Xor | Or || Or速算（short-circuit Or）
= 指派（assignment） +=, -=, *=, /=, %= 整合性指派（combinated assignment）
黃彬華著
輸出結果 5 1 12.0 1 1.5 1
範例說明 • 第8行：「i1/i2」是整數相除，所以會得到整數1，而不會得到小數。 • 第9行：因為d1是double類型，所以「i1/d1」會得到小數值1.5。 • 第10行：「%」是取餘數符號。
第3章 基本運算符號- 5
第1章 SCJP認證考試介紹 - 6
黃彬華著
第3章 基本運算符號- 14
第1章 SCJP認證考試介紹 - 15
黃彬華著
輸出結果 購買汽車：true 範例說明 • 第6行：因為「isDiesel」為true，在「||」運算下，直接得到最後的結果為 true，而不會運算「cc<=1500」。
第3章 基本運算符號- 15
第1章 SCJP認證考試介紹 - 16
第3章 基本運算符號- 13
第1章 SCJP認證考試介紹 - 14
Or運算符號
為了節省油錢，買車的時候會選擇柴油車，或者排氣量在 1500 cc.以內的小型車。
柴油車 true true false false
排氣量 <= 1500 true false true false
購買汽車 true true true false
黃彬華著
遞增、遞減符號 • 前置遞增：變數先自行加1後，再做其他運算。 • 後置遞增：先做其他運算，之後變數再自行加1。 • 遞減（--）：觀念與遞增相同，差別在於變數會自行減1。
/* 下面第2行，num1會先自行加1，所以num1為2；之後再將值指 派給num2，所以num2也為2。結果num1=2，num2=2。 */ int num1 = 1; int num2 = ++num1; /* 下面第2行，num1會先將值指派給num2，所以num2為1；之後 num1再自行加1，所以num1為2。結果num1=2，num2=1。 */ int num1 = 1; int num2 = num1++;
第1章 SCJP認證考試介紹 - 12
3-6 邏輯運算符號
共有「&」（And）、「|」（Or）、「^」（Xor）、「!」 （Not）等4種；其中And運算有速算符號「&&」，Or運算也 有速算符號「||」。
黃彬華著
And運算符號 假設需要40000元現金以及7天的假期才能參加澳洲旅行團。
錢 >= 40000 true true false false
假期 >= 7 true false true false
澳洲團成行 true false false false
第3章 基本運算符號- 12
第1章 SCJP認證考試介紹 - 13
黃彬華著
輸出結果 澳洲團成行：false 範例說明 • 第6行：因為「money>=40000」得到false，在「&&」運算下，直接得到最後 的結果為false，而不會運算「day>=7」。
第1章 SCJP認證考試介紹 - 3
結合性 右 左 左 左
黃彬華著
左 左
右 第3章 基本運算符號- 3
第1章 SCJP認證考試介紹 - 4
Java常用運算符號依功能可分成：
黃彬華著
算數運算符號（Arithmetic Operator）
文字串接符號（String Concatenation Operator）
第3章 基本運算符號- 6
第1章 SCJP認證考試介紹 - 7
黃彬華著
輸出結果 1 0 2 0 範例說明 • 第4行：因為「i1++」是後置遞增，所以會先印出i1的值1，然後i1才會自行加 1。第6行i1的值是2，是加1後的結果。 • 第5行：因為「--i2」是前置遞減，所以i2會先自行減1，然後才會印出i2的值0。
黃彬華著
第3章 基本運算符號- 2
下表將常用的基本運算符號列出：
優先序
1 2 3 4 5 6 7
運算符號
++ 遞增（pre- or postfix increment） -- 遞減（pre- or postfix decrement） ! Not
* 乘（multiplication） / 除（division） % 取餘數（modulo）
指派運算符號（Assignment Operator）
比較運算符號（Comparison/Relational Operator）
邏輯運算符號（Logical Operator）
第3章 基本運算符號- 4
第1章 SCJP認證考試介紹 - 5
3-2 算數運算符號
四則運算符號 共有「+」（加）、「-」（減）、「*」（乘）、 「/」（除）、「%」（取餘數）等5種。
第3章 基本運算符號
3-1 運算符號介紹 3-2 算數運算符號 3-3 文字串接符號 3-4 指派運算符號 3-5 比較運算符號 3-6 邏輯運算符號
黃彬華著
第3章 基本運算符號- 1
第1章 SCJP認證考試介紹 - 2
3-1 運算符號介紹
int i = 3; int j = 5; int sum = i + j; /* CPU會先將i與j的值從記憶體內取出，計 算完總和後再將值存回sum變數內。*/
整式的基本概念与运算
括号前面是加 号或乘号时， 去掉括号，括 号内的各项不
变
括号前面是减 号时，去掉括 号，括号内各
项都变号
括号前面是除 号时，去掉括 号，把括号内 各项乘以除数
的倒数
括号在乘方运 算中，先进行 乘方运算，再
去括号
确定未知数： 明确需要解 决的问题， 并确定未知 数。
列出方程： 根据问题描 述，列出整 式方程。
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01 整 式 的 定 义 与 分 类 02 整 式 的 加 减 运 算 03 整 式 的 乘 法 运 算 04 整 式 的 除 法 运 算 05 整 式 的 幂 运 算 06 整 式 的 混 合 运 算
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等运算符号和括号组成的代数式
除法运算的注意事项：注意结果的符号，以及余数的次数不能高于除数的次数
除法运算的应用：在代数、几何等领域有广泛的应用
幂的定义：一个数的n次方表示该数与自身相乘n次 幂的性质：a的0次方等于1，a的负数次方等于a的倒数的正数次方，幂的乘法满足结合律和分配律
幂的乘法：同底 数幂相乘时，指 数相加
幂的除法：同底 数幂相除时，指 数相减
添加标题
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添加标题
添加标题
举例：2x^3y与3xy^2相乘得到 6x^4y^3。
运算性质：单项式乘以单项式的 运算是整式运算中的基本运算之 一，掌握其运算法则对于后续学 习多项式乘法、除法等具有重要 意义。
定义：将单项式中 的每一个字母因数 与多项式中的每一 项相乘，得到新的 多项式
举例：如(a+b+c) 乘以x得到 ax+bx+cx
注意事项：注意 符号的运算，负 负得正
Mathematica 教程03mathematica基本符号运算
注意:上例中表明，当第2个参数有多个变量时，答案 与第2个参数中变量的次序有关。
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► Down ◙ Main
表达式的展开
将表达式展开的函数有: Expand[expr] ExpandAll[expr] 这两个函数都可用于乘积的展开，也可以展开分式。后
注意:可以看到，乘法和除法其实什么也没做，需 要用前面介绍的化简函数将结果再化简。
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► Down ◙ Main
介绍四个常用函数: PolynomialQuotient[pl, p2,x] 求x的多项式p1被p2除的商。 PolynomialRemainder[pl, p2,x] 求x的多项式p1被p2除的余。 PolynomialGCD[p1,p2,…] 求多个多项式的最大公因式。 PolynomialLCM[pl,p2,…] 求多个多项式的最小公倍式。
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► Down ◙ Main
三角函数式的化简
三角函数专用的分解、展开、化简函数 TrigExpand[expr] 将三角函数式展开。 TrigFactor[expr] 将三角函数式因式分解。 TrigReduce[expr] 用倍角化简三角函数式。 TrigToExp[expr] 将三角函数式转换成指数形。 ExpToTrig[expr] 前一个函数的逆变换。
► Down ◙ Main
NSolve[eqns,vars] 求代数方程(组)的全部数值解。
FindRoot[eqns,{x,x0},{y,y0},…] 从(x0，y0,…，)出发找 方程(组)的一个解。
注意:上例中In[1]说明，如果方程中出现小数，则Solve 也求近似解. 还有求多项式根的函数Roots，通常可用 Solve代替，这里就不介绍了。
【第1部分】专题03《运算定律》数学四升五衔接精编讲义(学生版)人教版
人教版数学四升五衔接讲义（复习进阶）专题03 运算定律知识互联网知识导航知识点一：.加法运算定律1.加法交换律（1）两个数相加.交换加数的位置.它们的和不变。
这叫做加法交换律。
用字母表示：a+b=b+a。
（2）加法交换律中变化的只是两个加数的位置.不变的是这两个加数及它们的和。
2.加法结合律三个数相加.先把前两个数相加.或者先把后两个数相加.和不变。
这叫做加法结合律。
用字母表示；：（a+b）+c=a+（b+c）。
3.运用加法运算定律进行简便计算在计算几个数连加的算式时.可以利用加法交换律和加法结合律.使计算简便。
4.连减的简便计算（1）一个数减去几个数的和.可以从这个数里依次减去各个加数。
用字母可表示：a-（b +c）=a-b-c。
（2）一个数连续减去几个数.可以先把所有的减数加起来.再从被减数里减去所有减数的和。
用字母可表示：a -b-c=a-（b+c）。
知识点二：.乘法交换律1.乘法交换律两个数相乘.交换两个因数的位置.积不变。
这叫做乘法交换律。
用字母表示：a×b=b×ag2.乘法结合律三个数相乘.先乘前两个数.或者先乘后两个数.积不变。
这叫做乘法结合律。
用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。
3.乘法分配律（两个数的和与一个数相乘.可以先把它们与这个数分别相乘.再相加。
这叫做乘法分配律。
用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c 知识点三：乘法及连除的简便计算1.同一道乘法算式的不同简算方法：计算某些特殊的乘法算式时.可以将其中一个因数折分成两个数的积.再运用乘法交换律和乘法结合律来进行简算；也可以将其中一个因数折分成两个数的和.再运用乘法分配律来进行简算。
2.连除的简便计算（1）一个数连续除以两个数.可以改为除以两个数的积。
用字母可表示为：a÷b÷c=a÷（b ×c）。
有理数的混合运算十技巧
点评 按照运算顺序 ， 先算乘方 ， 再算乘除 ． 因其中 两个因数互为倒数 ， 所以利用乘法结合律先把它们两个 相乘 ， 从而简化了运算 ． 将相加可得整数的数先进行运算 （ 其中包括互为相反数相加 ） ， 可以降低解题难度 ， 提高解 题效率 ． 希望同学们能从解题中总结出解题技巧和规律 四、 注意用字母代替数 例 4 计算： 2017 ˑ 20202020 － 2020 ˑ 20172017 ． 10000 （ a + 3 ） + （ a + 解 设 2017 = a ， 则原式 = a ˑ ［ 10000 a + a］ 3） ］－ （ a + 3 ） ˑ ［ = a ˑ 1001 （ a + 3 ） － （ a + 3 ） ˑ 10001 a = 10001 a （ a + 3 ） － 10001 a （ a + 3 ） = 0 ． 五、 注意灵活运用加法的交换律与结合律 6 2013 ） －（ + ） － （ － 2018 例 5 计 算 ： （ + 2018 2014 7 5 2013 2016 ） + （ － 2017 ）． 7 2014 分析 本题可应用结合律简化运算过程 ． 6 5 ） + （ － 2016 ） ］ + ［ + （ + 2018 解 原式 = ［ 7 7 1 1 2013 2013 +1 =3 ． ） + （ － 2017 ） ］= 2 2018 7 7 2014 2014 六、 注意灵活运用乘法的交换律与结合律 8 1 1 15 ː（ － ） ˑ2 ˑ（ －4 ） ː（ －1 例 6 计算 ： 31 81 15 2 1 4 1 ） ˑ（ － ） ． 2 2 分析 多个因数相乘时 ， 积的符号的确定是关键 ， 利 用乘法的交换律与结合律 ， 把易于约分的先相乘 ， 提高解 题的速度 ． 15 15 81 31 9 16 1 ˑ ˑ ˑ ˑ ˑ ˑ = －（ 解 原式 = － 31 8 15 2 81 2 31 31 81 16 1 ） ˑ（ ˑ ˑ ） = － 1． 15 8 81 2 七、 注意逆用乘法分配律 6 6 例 7 计算 ： （ － ） ˑ 90 + （ － ） ˑ （ － 13 ） － （ － 7 7 6 ） ˑ 21 ． 7 6 分析 每项含有 － ， 因此可逆用分配律来计算． 7 6 6 90 + （ － 13 ） － 21］ = （ － ） 解 原式 = （ － ） ˑ ［ 7 7 ˑ 56 = － 48 ．
C语言第03章--数据类型和表达式
char int
ch = 'a'; i = 1;
17
变量的属性
例：
int sum=10; 类型
内存存放说明： 内存存放说明： 存放说明 变量名 1001 sum 10 变量值
存储单元的地址
二、 变量
命名规则 在C中变量名 函数名 文件名 数组名 等均称标识符 变量名, 函数名, 文件名, 数组名, 变量名 标识符 (identifier)， 可由字母 数字 下划线 字母,数字 下划线组成,且第一个必 字母 数字和下划线 须为字母或下划线 字母或 字母 下划线,前8或32个有效。 注意: 字母大小写敏感; 注意 字母大小写敏感 不可用关键字; 不可用关键字 不可出现空格; 不可出现空格 见名知意; 见名知意 如: a1与A1为不同的变量名 如: int, for, if 等 如: stu 1, a 1等 如: sum, sort 等
e前必须有数 前必须有数 字，e后必须 后必须 有整数
合法：0.123、.123、123.0、123.、0.0 合法： 、 、 、 、 错误: 错误 - 2.0e2.5 e8
(3)字符常量 字符常量 —— 用单引号括起来的一个字符或转义字符 括起来的一个字符或转义字符 一个字符或转义字符. 例: ‘A’, ‘o’ , ‘1’, ‘#’, ‘a’ 等
float
必转
char, short long unsigned int 低
double 高
自动类型转换
34
例：
若：i 为 int ， f为float ，d 为 double e 为long
字节数
实数的运算大全
交换律：ab=ba
结合律：(ab)c=a(bc)
分配律：a(b+c)=ab+ac
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
运算性质
交换律：ab=ba 结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 乘法与加法的结合律：a(b+c)=(a×b)+(a×c)
实数的除法
第四章
定义与性质
实数的除法定义：两个实数相除， 等于乘以另一个数的倒数
运算性质
实数的除法运算是乘法的逆运算 除数不能为0，否则无意义 实数的除法运算结果仍为实数 除法运算满足交换律和结合律
实数的幂运算
第五章
定义与性质
幂运算的定义：实数的幂运算是指 将一个实数自乘若干次，表示为指 数形式。
幂运算的运算顺序：先进行乘方运 算，再进行乘除运算，最后进行加 减运算。
添加标题
实数乘法的运算律：交换律、结合律和分配律。
运算规则
乘法交换律：a × b = b × a 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c 乘法与加法的结合律：(a + b) × c = a × c + b × c
运算律
实数的运算大全
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汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 实数的加法 02 实数的减法 03 实数的乘法 04 实数的除法 05 实数的幂运算
06 实数的开方运算
实数的加法
第一章
定义与性质
实数的加法定义：两个实数相加，得到另一个实数 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 加法的非消去律：如果a+b=a+c，那么b=c
03数据类型和表达式
GDI+ Windows的应用程
序的丰富用户
数据库
的各种对象
26
3.2.3 不同数据类型的转换
隐式转换： 运算结果的数据类型向精度高的数据类型靠 Integer<Long<Single<Double<Currency
优先级
算术运算符>=字符运算符>关系运算符>逻辑运算
显式转换： Ctype（表达式，转换到类型名） 例如：Ctype（123，string）
程序设计与实践 VISUAL
上海理工大学 信息基础教研室
第三章 语言基础
1 2 3 4 5
变量、常量与数据类型 运算符和表达式 常用函数 程序结构和编码规则 综合应用
2
3.1 数据类型、变量和常量
整数 数值型 浮点数 货币型 字节型 字符型 逻辑型 日期型 对象型 短整型 长整型 整型 单精度型 双精度型
18
1. 算术运算符
例
5+10 mod 10 \ 9 / 3意
对算术运算符两边的操作数应是数 值型，若是数字字符或逻辑型，则自 动转换成数值类型后再运算。
例
30-True 结果是31，逻辑量True转为数值-1， False转为数值0 False + 10 + “4” 结果是： 14
注 意
字符和字符串都必须是用西文的双引号引起 ""表示空字符串，而" "表示有一个空格的字符； 若 字 符 串 中 有 双 引 号 ， 例 如 ， 要 表 示 字 符 串 ： 123"abc ， 则 用 连 续 两 个 双 引 号 表 示 ， 即 ： "123""abc"。
初升高数学衔接教材 第01章 第03节 集合的基本运算(解析版)
第一章第三节集合的基本运算一、电子版教材二、教材解读知识点 集合的运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。
符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。
4. 交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。
符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。
【例题1】（2020·全国高一）已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,4,5B =，C A B =，则C 的子集共有（ ）A ．2个B ．3个C ．8个D ．4个【答案】D 【解析】{1,4}C AB ==，C 的子集有{}1，{}4，{}1,4，∅，共4个.【例题2】（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则AB =（ ）A ．[11]-，B ．[22]-，C ．{02}，D ．{202}-，， 【答案】D 【解析】{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，∴{202}A B =-，，，故选：D.【例题3】（2020·安徽省舒城中学高二月考（文））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【例题4】（2020·肥城市教学研究中心高三其他）已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥，则()U A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1x x <D ．{}11x x -≤<【答案】B 【解析】由题可知{}1U C B x x =<，则{}()1,0U C A B ⋂=-.【例题5】（2020·重庆高三月考（文））已知全集为R ，集合{}02M x x =<≤，{}1,0,1,2,3N =-，则()R C M N =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,3-D ．{}1,1,2,3-【答案】C 【解析】(](),02,R C M =-∞+∞，则(){}1,0,3R C M N =-.故选：C.【例题6】（2020·全国高一）设全集为R ，{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<. (1)求A B ；(2)求()R C A B ⋃.【解析】（1）由题意{|37}A B x x =≤<；（2）由题意{|210}A B x x ⋃=<<， ∴(){|2RC A B x x ⋃=≤或10}x ≥．【例题7】（2020·全国高一）已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂． （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围.【解析】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤，∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02UA CB x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 三、素养聚焦1．已知集合{}{}2|1,|0A x x B x x ==<≤，则()R AB C =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x ≤≤C ．{|10}x x -≤<D ．【答案】D【解析】{|11},{|0}A x x B x x =-≤≤=<，所以 (){|1}R AB xC x =≤-.故选：D2．已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A ．{1} B ．{12}， C ．{0123}，，， D ．{10123}-，，，， 【答案】C【解析】集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C. 3．已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}1,3,5,7,9B =则A B =（ ）A ．{}1,2,3,5B ．{}0,1,3,5C ．{}1,3,5D ．{}0,1,2,3,4,5,7,9【答案】C【解析】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}1,3,5,7,9B =，故{}1,3,5A B =.故选：C4．若集合{}|03A x x =<<，{}|11B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}13x x -<< B ．{}10x x -<< C ．{}01x x << D ．{}13x x <<【答案】A【解析】由于集合{}|03A x x =<<，{}|11B x x =-<<，所以A B ={}13x x -<<5．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（ ） A ．{1，3} B ．{1，3，5}C ．{1，2，3，4}D ．{0，1，2，3，4，5} 【答案】A【解析】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故选：A.6．若集合{|2}M x x =<，{|01}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[1,2)D ．(,2]-∞【答案】A【解析】因为{|2}M x x =<，{|01}N x x =≤≤， 所以MN ={|01}x x ≤≤.7．已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）．A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-【答案】D【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}AB =-.8．满足条件{}{}1,31,3,5A ⋃=的所有集合A 的个数是 ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为{}{}1,31,3,5A ⋃=，所以，集合A 可能为{}{}{}{}5,1,5,5,3,1,3,5， 即所有集合A 的个数是4，故选D.9．已知集合P ，S 满足P S P ⋂=，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．P ⫋SB ．P S ⊆C ．P S =D ．S ⫋P【答案】B 【解析】集合P ，S 满足P S P ⋂=，∴P 中的元素都在集合S 中， ∴P S ⊆.10．已知集合I ，M ，N 的关系如图，则I ，M ，N 的关系为（ ）．A ．I I C M C N ⊇B ．I MC N ⊆C ．I I C M C N ⊆D ．I M C N ⊇【答案】C【解析】由韦恩图可知，N M I I I C M C N ∴⊆，11．设{}2(,)||1|(2)0A x y x y =++-=，{1,2}B =-，则必有（ ）． A ．A B ⊇ B ．A ⊆BC ．A B =D ．AB =∅【答案】D【解析】{}2(,)||1|(2)0{(1,2)}A x y x y =++-==-,{1,2}B =-,A B ∴⋂=∅12．设全集{,,,,}U a b c d e =，集合{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，那么()()U U C M C N 是（ ）． A ．∅ B ．{}dC ．{,}a cD ．{,}b e【答案】A【解析】因为全集{,,,,}U a b c d e =，集合{,,}M a c d =，{,,}N b d e =， 所以{,}U C M b e =，{,}U C N a c =，所以()()UU C M C N ∅=，13．已知集合{}2|1,M y y x x R ==-∈，集合{|N x y ==，MN =（ ）．A ．{}( B ．[- C ．D ．∅【答案】B【解析】[1,)M =-+∞，[N =，故[M N ⋂=-14．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋂=（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-15．已知集合{1A x x =<-或}2x >，集合{}03B x x =≤<，则()RA B =（ ）A ．{}02x x ≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】A【解析】依题意R C A {}12x x =-≤≤，所以()RA B ={}02x x ≤≤.16．已知函数()f x =A ，则R C A = （ ）A ．{|0x x ≤或}1x ≥B ．{|<0x x 或}>1xC ．{}|01x x ≤≤D ．{}|0<<1x x【答案】D【解析】已知函数2y x x =-的定义域为A ，所以20x x -≥，得01x x ≤≥，或，即{}01A x x x ，或=≤≥，故C A =R {}1|0x x <<.17．设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A ．(){}1,1 B ．(){}2,4-C ．()(){}1,1,2,4-D ．∅【答案】C【解析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩，从而集合{(1,1),(2,4)}AB =-，18．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC B ．()()A B A C C ．()()AB B CD ．()AB C【答案】A【解析】由已知中阴影部分所表示的集合元素满足 “是A 的元素且是B 的元素，或是C 的元素”， 故阴影部分所表示的集合是()()()CA B A C B C =19．集合A ，B ，C 满足A B A C ⋃=⋃，则成立的等式是（ ）． A ．B C =B ．()()R R A BC C C A ⋂=⋂C ．A B A C ⋂=⋂D ．R R A C B A C C ⋂=⋂【答案】B【解析】因为A B A C ⋃=⋃，所以B A ⊆且C A ⊆，而集合,B C 不一定相等， 所以选项A,C,D 错误； 又由A B A C ⋃=⋃可知()()RR A B A C =∅=，故B 做正确.20．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义*A B 表示阴影部分的集合，若x ,y ∈R ，2{|4}{|3,0}x A x y x x B y y x ==-==>，则A *B 为（ ）A ．{|04}x x <≤B ．{|01x x ≤≤或4}x >C ．{|01x x ≤≤或2}x ≥D ．{|01x x ≤≤或2}x >【答案】B【解析】依据定义，*A B 就是指将A B ⋃除去A B ⋂后剩余的元素所构成的集合； 对于集合A ，求的是函数24y x x =-的定义域， 解得：{|04}A x x =≤≤；对于集合B ，求的是函数3(0)xy x =>的值域，解得{}1B y y =；依据定义，借助数轴得：*{|01A B x x =≤≤或4}x >．21．设全集为U 定义集合A 与B 的运算：{*|A B x x A B =∈⋃且}x A B ∉⋂，则(*)*A B A =（ ） A ．A B ．BC ．U A C BD ．U B C A【答案】B 【解析】{*|A B x x A B =∈⋃且}x A B ∉⋂ ()()U UB C A A C B =(*)*[(*)][(*)]()()U U U A B A A C A B A B C A A B B C A B ∴===22．设集合{}2A x x a=>，{}32B x x a =<-，若AB =∅，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．()(),12,-∞⋃+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞【答案】D【解析】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥.23．设集合{}{}{|08},1,2,4,5,3,5,7U x N x S T =∈<≤==，则()U S C T ⋂=（ ） A ．{}1,2,4 B ．{}1,2,3,4,5,7C ．{}1,2D ．{}1,2,4,5,6,8【答案】A【解析】∵{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，∴{}1,2,4,6,8U C T =，∴{}()1,2,4U S C T ⋂= 24．已知集合A 4{|log (1)1}x x =+≤，{|21,}B x x k k Z ==-∈，则AB =（ ）A ．{}113-,, B ．{1,3} C ．{1,3}- D ．{1,1}-【答案】B【解析】由()411log x +≤可得：014x <+≤解得13x -<≤，即](13A =-， {}|21,B x x k k Z ==-∈， 则{}13A B ，⋂=25．设集合{|10}A x x =+>，{|210}B x x =+>，则()R AB C =（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,-+∞C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，集合(){|10}{|1}1,A x x x x =-=+>=>-+∞， 集合1{|210}{|}21(,)2B x x x x =+=->>-+=∞， 所以1,2B ∞-⎛⎤=- ⎥⎝⎦R ，所以()11,2A B ⎛⎤=--⎥⎝⎦R ． 故选：D.26．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件(){1,i A B ⋃=2，3，4，5，6}，A B φ⋂=； ()ii 若x A ∈，则1x B +∈．则有序集合对(),A B 的个数为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】A【解析】由题意分类讨论可得： 若{}1A =，则{2,B =3，4，5，6}； 若{}2A =，则{1,B =3，4，5，6}； 若{}3A =，则{1,B =2，4，5，6}； 若{}4A =，则{1,B =2，3，5，6}； 若{}5A =，则{2,B =3，4，1，6}； 若{}1,3A =，则{2,B =4，5，6}； 若{}1,4A =，则{2,B =3，5，6}； 若{}1,5A =，则{2,B =3，4，6}； 若{}2,4A =，则{1,B =3，5，6}； 若{}2,5A =，则{1,B =3，4，6}； 若{}3,5A =，则{1,B =2，4，6}； 若{1,A =3，5}，则{2,B =4，6}． 综上可得：有序集合对(),A B 的个数为12．27．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．28．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当b =c =e ＝0时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6.29．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =((),1,2,3,,i j i j k ≠∈、)，都有max ,max ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭({}max ,x y 表示两个数x ，y 中的较大者)，则k 的最大值是( )A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】根据题意，对于M ，含2个元素的子集有15个， 但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个； {1，3}、{2，6}只能取一个； {2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个；30．当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2017G ∈；③集合{}|2,P x x k k Z ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①：当0a =时，有0aG b=∈，所以0是任何数域的元素，正确； ②：取G 为实数域，令2016a G =∈，1b G =∈，则2017a b G +=∈，正确； ③：若{}|2,P x x k k Z ==∈为数域，取2a =，4b =，则12a Pb =∈不成立，错误； ④：取有理数1x ，2x ，令1a x =，2b x =，则()12a b x x +=+∈有理数集， ()12a b x x -=-∈有理数集，()12a b x x ⋅=⋅∈有理数集，且12x a b x =∈有理数集（20x ≠），所以有理数集是数域.正确的有：①②④.31．全集(){},Z,Z U x y x y =∈∈，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.下列命题： ①若()1,3S ∈，则()1,3S --∈； ②若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素； ③若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数；④若(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆，则(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆.其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.所以当(),x y S ∈，则有(),x y S -∈，(),x y S -∈，(),y x S ∈， 进而有：(),x y S --∈，(),y x S -∈，(),y x S -∈，(),y x S --∈ ①若()1,3S ∈，则()1,3S --∈，正确；②若()0,4S ∈，则()0,4S -∈，()4,0S ∈，()4,0S -∈，能确定4个元素，不正确；③根据题意可知，(),x y S ∈，若00x y =≠，能确定4个元素，当00x y ≠=，也能确定四个，当00x y ≠≠，也能确定8个所以()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数正确；④若(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆，由S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称可知，(){},4,Z,Z x y x y x y S -=∈∈⊆，(){},4,Z,Z x y x y x y S -+=∈∈⊆，(){},4,Z,Z x y x y x y S --=∈∈⊆，即(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆，故正确，综上：①③④正确. 故选C.32．已知集合{}{}2|4,|1A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A ．(][),32,-∞-⋃+∞ B ． C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：集合{}{}2|4|22A x y x x x ==-=-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C.33．（多选题）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有M b a ∈+，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{}3,M n n k k Z ==∈为闭集合 D ．若集合1A ，2A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合【答案】ABD【解析】A. 当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而24M +∉，所以集合M 不为闭集合. B.设,a b 是任意的两个正整数，当a b <时，0a b -<不是正整数, 所以正整数集不为闭集合. C ．当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈ 则123abk k M （？为∈），()123a b k k M -=-∈，所以集合M 是闭集合.D .设{}13,A n n k k Z ==∈,{}22,A n n k k Z ==∈由C 可知，集合1A ，2A 为闭集合，122,3A A ∈⋃，而1223A A +∉⋃，此时12A A ⋃不为闭集合. 所以说法中不正确的是ABD34．（多选题）集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{|}A B x x A x B -=∈∉且，*()()A B A B B A =-⋃-叫做集合的对称差，若集合{}2|(1)1,03A y y x x ==-+≤≤，{}2|1,13B y y x x ==+≤≤，则以下说法正确的是（ ） A ．[1,5]A =-B ．[2,10]B =C ．[1,2)A B -=D ．(5,10]B A -=E.*(1,2](5,10]A B =⋃ 【答案】BCD【解析】{}{}2|(1)1,0315A y y x x y y ==-+≤≤=≤≤，{}{}2|1,13210B y y x x y y ==+≤≤=≤≤，故{}{|}12A B x x A x B x x -=∈∉=≤<且，{}{|}510B A x x B x A x x -=∈∉=<≤且.[)*()()1,2(5,10]A B A B B A =--=.35．（多选题）已知集合{}|4A x Z x =∈<，B N ⊆，则（ ） A ．集合B N N ⋃= B ．集合AB 可能是{}1,2,3C ．集合AB 可能是{}1,1-D ．0可能属于B【答案】ABD【解析】∵B N ⊆，∴B N N ⋃=，故A 正确．∵集合{}4A x Z x =∈<，∴集合A 中一定包含元素1，2，3， ∵B N ⊆，∴集合AB 可能是{}1,2,3，故B 正确；∵1-不是自然数，∴集合AB 不可能是{}1,1-，故C 错误；∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合B ，故D 正确.。
专题03整式(精讲)
攻略4式子中出现除法时，写成分数的形式，如 ．
攻略5单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式．
攻略6字母的指数是1时，指数省略不写，如y的指数是1而不是0．
攻略7多项式的每一项都包括它前面的符号．
攻略8多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．
由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度＝乙的长度，
∴（a﹣x﹣2）+（a﹣y﹣3）＝a，
a﹣x﹣2+a﹣y﹣3＝a，
a+a﹣a＝x+y+2+3，
a＝x+y+5，
∴乙的长度为：（x+y+5）m．
故选：A．
3．（2022春•桓台县期末）某商品每次降价20%，连续两次降价后的价格为m元，则原价为（ ）
A．（x+y+5）mB．（x﹣y+5）mC．（2x+y﹣5）mD．（x+2y﹣5）m
【答案】解：设乙的长度为am，
∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差xm，乙、丙的长度相差ym，
∴甲的长度为：（a﹣x）m；丙的长度为：（a﹣y）m，
∴甲与乙重叠的部分长度为：（a﹣x﹣2）m；乙与丙重叠的部分长度为：（a﹣y﹣3）m，
（4）若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
攻略1数字与字母或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”；
攻略2数字因数是1或–1时，“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
异或门和同或门逻辑符号
04 异或门和同或门的工 作原理
异或门的基本工作原理
1 异或门的基本构成
异或门是由两个输入端和一个输出端构成的，这
异或门的工作原理
2
两个输入端可以是任何逻辑状态，包括0和1。
异或门的工作原理是：当两个输入状态相同时，
输出为0；当两个输入状态不同时，输出为1。
3
异或门的逻辑符号
在逻辑电路图中，异或门通常用符号“⊕”或者字
异或门在计算机硬件 中的应用
异或门是计算机硬件中的基 本逻辑单元之一，被广泛应 用于各种电路设计中，包括 存储、运算等关键部分。
异或门在电子设备中 的使用
异或门在电子设备中也有广 泛的应用，如电源管理、状 态控制等方面，它的存在大 大提升了设备的功能性和可 靠性。
同或门在实际工程中的应用
同或门在数字电路中的 应用
异或门的工作原理
异或门的工作原理是：当两个 输入信号相同时，输出为假； 当两个输入信号不同时，输出 为真。
异或门在电路设计中的应用
1 异或门在数据加密中的应用
异或门是数据加密中的重要工具，通过将输入数
异或门在数字逻辑电路中的运用
2
据与密钥进行异或运算，实现数据的加密和解密
在数字逻辑电路设计中，异或门常用于实现奇偶
同或门在电路设计中 的使用
同或门在电路设计中被广泛 采用，用于实现逻辑电路的 功能，如多路选择器、奇偶 校验等，提升电路的可靠性 和稳定性。
异或门与同或门在数 字逻辑中的对比
异或门和同或门在数字逻辑 中有着不同的特性和应用， 异或门可以实现两个输入值 的异或运算，而同或门则实 现两个输入值的同或运算， 两者在功能上有所区别。
异或门和同或门在实际应用 中有着不同的用途。异或门 常用于加密和解密算法，以 及数据校验等。而同或门则 常用于实现多路选择器和奇 偶校验等功能。