第3章 MATLAB的符号运算_微分方程求解_符号代数方程
Matlab中的符号计算与代数运算技巧
Matlab中的符号计算与代数运算技巧Matlab是一种强大的数值计算软件，广泛应用于数学、工程、科学等领域。
除了数值计算以外，Matlab还提供了符号计算和代数运算功能，使得用户可以进行高效、精确的数学推导和研究。
本文将介绍Matlab中的符号计算与代数运算技巧，帮助读者更好地利用这些功能。
首先，我们来了解一下Matlab中的符号表示方式。
Matlab使用符号对象来表示数学表达式，并可以进行各种数学运算。
符号对象可以用来表示方程、函数等复杂的数学结构，同时还可以进行求导、积分、求解方程等操作。
要创建一个符号对象，只需使用符号工具箱提供的`sym`函数即可，例如：```syms x y; % 创建符号变量x和ya = sym('a'); % 创建名为a的符号变量f = symfun(a*x^2 + y, [x,y]); % 创建一个符号函数对象```创建了符号对象后，我们就可以进行各种符号计算和代数运算。
下面介绍一些常用的符号计算技巧。
1. 简化表达式在Matlab中，我们可以使用`simplify`函数对表达式进行简化。
这个函数可以自动化简表达式，消除冗余的项、合并相同的项，并尝试将结果以最简形式展示出来。
例如，我们可以将表达式`(x+1)^2 - x^2 - 2*x - 1`简化为`0`：```expr = (x+1)^2 - x^2 - 2*x - 1;simple_expr = simplify(expr);disp(simple_expr);```2. 展开表达式使用`expand`函数可以将一个表达式展开为多项式的形式。
展开表达式有助于进行进一步的计算和分析。
例如，我们可以将`(x+y)^3`展开为`x^3 + 3*x^2*y +3*x*y^2 + y^3`：```expr = (x+y)^3;expanded_expr = expand(expr);disp(expanded_expr);```3. 因式分解对于一个多项式表达式，我们可以使用`factor`函数将其进行因式分解。
Matlab中的符号计算方法
Matlab中的符号计算方法在数学和科学领域，符号计算是一个重要的工具。
它可以帮助我们进行精确的数学计算和推理，而不仅仅是依赖计算机的数值近似。
Matlab作为一个强大的数值计算软件，也提供了丰富的符号计算功能，用于代数运算、微积分和代数方程求解等方面。
本文将介绍Matlab中的一些常用的符号计算方法和技巧。
一、符号变量在Matlab中，我们可以通过声明符号变量来表示符号对象。
符号变量通常用小写字母表示，例如x、y、z等。
使用符号变量，我们可以进行各种代数运算，例如加法、减法、乘法和除法等。
下面是一些示例：syms x y zf = x^2 + y^2 - z^2;g = (x + y + z)^3;h = sin(x) * cos(y);通过声明符号变量，并使用这些变量进行计算，我们可以得到精确的结果，而不是使用数值近似。
二、符号表达式在Matlab中，符号表达式是由符号变量和运算符组成的一种数据类型。
使用符号表达式，我们可以构建复杂的代数表达式和方程。
例如，我们可以定义一个符号表达式f表示一个多项式函数，并对其进行运算：f = x^3 - 2*x^2 + x - 1;我们可以对符号表达式进行加减乘除等运算，并得到一个新的符号表达式。
三、代数方程求解在解决数学问题时，我们经常需要求解代数方程。
Matlab提供了强大的符号求解工具，可以帮助我们求解各种类型的代数方程。
例如，我们可以使用solve函数求解一元方程：syms xeqn = x^2 - 3*x + 2 == 0;sol = solve(eqn, x);通过solve函数，我们可以找到满足方程eqn的所有解，并将其存储到sol变量中。
除了一元方程，Matlab还支持多元方程的求解。
例如，我们可以使用solve函数求解一个二元方程组：syms x yeqn1 = x + 2*y == 5;eqn2 = x - y == 1;sol = solve([eqn1, eqn2], [x, y]);通过solve函数，我们可以找到满足方程组eqn1和eqn2的所有解，并将其存储到sol变量中。
Matlab符号计算
s=log(2*x/y);
simplify(s)
ans =
log(2)+log(x/y)
s=(-a^2+1)/(1-a)
simplify(s)
ans =
a+1
函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结果中含有最少字符的那种形式。如下例：
syms x y;
syms x y;
V=3*x^2-5*y+2*x*y+6
V =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
二．基本的符号运算
1．四则运算：
符号表达式的加减乘除可以分别利用函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
例：
f=‘2*x^2+3*x-5’ %定义符号表达式
④limit(f,x,a,’right’)，求极限，’right’表示变量x从右边趋近于a。
⑤limit(f,x,a,’left’)，求极限，’left’表示变量x从左边趋近于a。
例：求下列极限
syms a m x;
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
g=‘x^2-x+7’
U=symadd(f,g) %求f+g
V=symsub(f,g) %求f-g
W=symmul(f,g) %求f*g
X=symdiv(f,g) %求f/g
Y=sympow(f,’3*x’) %求f^(3x)
另外，与数值运算一样，也可以用+ - * / ^运算符来实现符号运算。如：
①limit(f,x,a)求符号函数f(x)的极限。当x趋向于a时，f(x)的极限值。
Matlab中的符号及符号表达式计算方法介绍
Matlab中的符号及符号表达式计算方法介绍概述：在数字计算和科学工程领域，Matlab是一种非常常用的工具。
它被广泛用于进行数据分析、数值计算和模拟。
除了传统的数值计算，Matlab还提供了符号计算功能，这使得用户可以进行符号表达式的建模和计算。
本文将介绍Matlab中的符号计算功能，包括符号和符号表达式的定义、建模和计算方法。
一、符号计算的定义和背景：符号计算是一种将数学问题表示为符号表达式进行求解的方法。
与传统的数值计算相比，符号计算不仅可以处理具体数值，还可以处理未知变量和符号表达式。
这意味着符号计算可以进行精确的数学求解，提供准确的符号化结果。
在Matlab中，符号计算可以通过Symbolic Math Toolbox实现。
通过该工具箱，用户可以定义符号变量、符号表达式和符号函数，并进行各种符号计算。
二、符号变量的定义和使用：在Matlab中，可以使用"syms"命令定义一个或多个符号变量。
符号变量是不具体数值的变量，可以代表任意数值或符号。
下面是一个示例：syms x y z; %定义符号变量x、y和z定义完成后，我们可以将符号变量用于构建符号表达式，并进行各种符号计算。
例如，可以定义一个简单的符号表达式，并计算其导数：f = x^2 + y^2 + z^2; %定义符号表达式fdf_dx = diff(f, x); %计算f对x的导数三、符号表达式的建模和操作：在Matlab中，可以使用定义的符号变量构建复杂的符号表达式，并进行各种符号操作。
例如，可以定义一个二次方程，并求解其根：syms a b c x;equation = a*x^2 + b*x + c; %定义二次方程roots = solve(equation, x); %求解方程的根除了求解方程的根，还可以进行符号表达式的展开、因式分解、合并等操作。
这些符号操作扩展了Matlab的数学建模能力，使得用户能够更加灵活和方便地进行符号计算。
Matlab_3_4
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
解非线性方程组的函数命令 解非线性方程组的函数命令fsolve 函数命令 其调用格式为： 其调用格式为： 解非线性方程组最简单的调用格式。 ◆ x=fsolve(fun,x0) ：解非线性方程组最简单的调用格式。
该式中除两个输入参数外，其余输入输出参数都可以缺省； 该式中除两个输入参数外，其余输入输出参数都可以缺省； ◆ [ x,fval,exitflag,output,jacob]=fsolve(fun,x0,options,P1,P2...)： 解 非 ：
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
d. 常微分方程的符号解 用来求常微分方程的符号解。 函数 dsolve 用来求常微分方程的符号解。
在符号方程中，用符号表达式中包含的字母“ 来代替微分运算， 在符号方程中，用符号表达式中包含的字母“ D”来代替微分运算，符 来代替微分运算 分别对应于第二、第三、 第 阶导数。 号 D2、D3、…DN 分别对应于第二、第三、…第 N 阶导数。因变量是 、 、 后面的变量， 位于 D后面的变量，缺省的自变量为 t。 后面的变量 。
10 − 1 0 A = − 1 10 − 2 0 − 2 10 9 B = 7 6
>> sym(A)\sym(B) ans = [ 473/475] [ 91/95] [ 376/475] >> vpa(ans,6) ans = [ .995789] [ .957895] [ .791579]
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
的根。 求方程组 x1 − 0.7 sin x1 − 0.2 cos x 2 = 0 的根。
x 2 − 0.7 cos x1 + 0.2 sin x 2 = 0
MATLAB符号运算运用
MATLAB符号运算运用1. 求解方程：MATLAB可以通过符号运算求解各种复杂方程。
例如，我们可以使用solve函数来求解一元一次方程，或者使用dsolve函数来求解微分方程。
例如，对于一个一元一次方程3*x - 2 = 0，可以使用下面的代码来求解：syms xeqn = 3*x - 2 == 0;sol = solve(eqn, x);在解得的结果sol中，将会包含方程的解。
2. 求导与积分：MATLAB使用diff函数进行符号求导，使用int函数进行符号积分。
符号求导与积分可以帮助我们对复杂函数进行分析和计算。
例如，对于一个函数y = x^2，我们可以使用下面的代码求解其导数和积分：syms xy=x^2;dy = diff(y, x);inty = int(y, x);在求导和积分的结果dy和inty中，将会包含函数的导数和积分结果。
3. 矩阵运算：MATLAB符号运算也可以应用于矩阵运算。
符号矩阵可以帮助我们进行矩阵的运算和分析。
例如，我们可以使用syms函数定义一个符号矩阵A，然后进行矩阵的加法、乘法等运算。
代码示例如下：syms a b c dA=[ab;cd];B=A^2;矩阵B将会是矩阵A的平方。
4. 求极限：MATLAB符号运算还可以用于求解各种数学函数的极限。
通过使用limit函数，我们可以计算函数在其中一点或者趋于其中一点时的极限值。
例如，对于一个函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，我们可以使用下面的代码计算其在x趋于1时的极限值：syms xf=(x^2-1)/(x-1);limit(f, x, 1);此时，将会输出函数在x趋于1时的极限值。
5. 求和与积：MATLAB符号运算还可以用于计算各种数学函数的求和与积运算。
通过使用symsum和symsum函数，我们可以计算符号函数的求和与积。
例如，对于一个求和函数sum(x, n, 1, inf)，我们可以使用下面的代码计算其无穷级数求和结果：syms n xf = sum(x, n, 1, Inf);symsum(f, n, 1, Inf);其中，将会输出求和结果。
第3讲matlab的符号运算
第三讲 MATLAB 的符号运算（注：文中红色字体为命令执行的结果，在Command 窗口中显示）3-1 符号对象的创建和使用1．符号运算入门符号运算的特点是，运算过程中允许存在非数值的符号变量。
先看如下示例： 函数2)(sin )(x x f =，用MATLAB 求它的微积分，命令如下：f=’sin(x)^2’; %定义符号函数f(x)dfdx=diff(f) %求dxx df )(的指令 intf=int(f) %求⎰dx x f )(的指令显示的计算结果为：dfdx=2*sin(x)*cos(x)intf=-1/2sin(x)*cos(x)+1/2*x 所以，x x dx x df cos sin )(2=，x x x dx x f cos sin )(2121-=⎰。
此例中，首先定义符号函数f=’sin(x)^2’，然后由符号运算获得2)(sin )(x x f =的微分和积分。
2．定义符号变量在使用符号变量之前，应先声明某些要用到的变量是“符号”变量。
声明符号变量的语句：syms 变量名列表或： sym(‘变量名’)其中各个变量名应该用空格分隔，而不能用逗号分隔。
如创建符号变量x 和a ：x=sym(‘x ’)a=sym(‘alpha ’)或用： syms x a %定义符号变量x 和a这里，变量x 和a 的类型是符号对象，它们被定义后，即可参与符号运算。
3．定义符号表达式和符号方程符号表达式和符号方程是两种不同的操作对象。
区别在于：符号表达式不包含等号（=），而符号方程须带等号。
它们的创建方式相同。
如：要考虑二次函数f=ax^2+bx+c ，可以创建符号表达式，赋值给符号变量f 。
f=sym(‘a*x^2+b*x+c ’)或：f=‘a*x^2+b*x+c’此例中，将符号表达式赋给符号变量f，但这不是必需的，引入符号变量是为了以后调用方便。
在这种情况下，没有创建对应于表达式中a、b、c、x项的变量，为了执行符号数学运算（如微分、积分等），必须显式地创建这些变量，可用下列命令创建：syms a b c x如下例中创建了符号表达式和符号方程，分别赋给相应的符号对象。
第3章 MATLAB的符号运算_微分方程求解_符号代数方程
或syms a b c x
f='a*x^2+b*2+c'
9/46
数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym('[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]') m2=sym('[1 12;23 34]') 例：
– >>A=hilb(3) A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
dx dx2
例6：已知函数
f
= x2 sin 2 y 求
df
df ,
d2 f ,
dx dy dxdy
例7：已知函数
f
=
xe y y2
求
ff ,
xy
见example3_12
23/46
df
例8：已知导函数
= ax 求原函数
dx
b
例9：已知导函数 f (x) = x2 求 f (x)dx a
例10：计算重积分I = 2 d a r2 sin dr ?
– 例：>>rho=1+sqrt(5)/2; >>sym(rho,’d’); ans= 2.1180339887498949025257388711907
11/46
符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double()
这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa()
创建符号对象与函数命令（P50）
1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
2、函数命令syms格式 syms s1 s2 s3;创建3个符号对象
7/46
符号常量
符号常量是一种符号对象。数值常量如果作为函数命令 sym（）的输入参量，这就建立了一个符号对象——符 号 常量 例如：sym(1/8)
y + y sin(2x) + 0, y x=
1, y = 1 x
见example3_15
28/46
14
符号运算实现各种变换
ztrans(f) —— Z变换 例：>>zf=ztrans(2^n)
zf=1/2*z/(1/2*z-1) iztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 例：>>sf=laplace(t^5)
的反函数
见example3_10
20/46
10
Matlab符号微积分运算（P55）
符号极限运算limit（f，x，a） x->a 符号微分运算diff（f，x，n）
符号积分运算int（f）
函数命令findsym（f,n） 在微积分、函数表达式化简、解方程中，确定自变量 是必不可少的。在不指定自变量的情况下，按照数学 常规，自变量通常都是小写英文字母，并且为字母表 末尾的几个如t、w、x、y、z等等。在matlab中，用 此函数确定一个符号表达式中的自变量。
21/46
例1：试证明 lim(1+ 1 )n e
n
n
例2：试求
mx lim
ma =?
xa x a
例3：试求
sin x lim
=?
x0 x
1
1
例4：试求 lim e x = ?, lim e x ?
x0
x+ 0
见example3_11
22/46
11
例5：已知函数
f = ax 求
df d 2 f ,
第3章 MATLAB的符号运算
1
MATLAB符号运算入门
科学与工程技术的数值运算固然重要，但自然科学 理论分析各种各样的公式、关系式及其推导就是符 号运算要解决的问题。它与数值运算一样，都是科 学计算研究的重要内容。Matlab数值运算的对象是 数值，而matlab符号运算的对象则是非数值的符号 对象。符号对象就是代表非数值的符号字符串。
3/46
符号运算与数值运算的区别
例求解: f = 2
1
中f的值 。
其中 =（1 5）/ 2
数值运算 ：
>>rho=(1+sqrt(5))/2
rho=1.6180 >>f=rho^2-rho＋1 f=2.000
符号运算： >>rho=sym(‘(1+sqrt(5))/2
’) rh0= (1+sqrt(5))/2 >>f=rho^2-rho＋1 f=(1/2+1/2*5^(1/2))^2+1/2
16/46
8
符号表达式的化简 1、 factor()
符号表达式因式分解的函数命令 2、expand()
将符号表达式展开 3、collect()
符号表达式的合并 格式1：collect（E，v） 按v变量合并 格式2：collect（E）按默认变量合并 4、simplify() ,simple() 将将符号表达式运用多种恒等式变换进行综合化简 格式1：simplify（E） ,simple（E） 格式2：[R,HOW]＝simple（E）
-1/2*5^(1/2))
4/46
2
例1：求解一元二次方程x2 + 2x 2 + 0的解。
solve()
见example3_1
例2：对于数学表达式x2 y + yx x2 2x 合并关于
x 的同类项。
见example3_2
例3：对于数学表达式 (x2 +1)(x 2)(x + 3)
collect()
dx dx2
例6：已知函数
f
= x2 sin 2 y 求
df
df ,
d2 f ,
dx dy dxdy
例7：已知函数
f
=
xe y y2
求
ff ,
xy
见example3_12
23/46
df
例8：已知导函数
= ax 求原函数
dx
b
例9：已知导函数 f (x) = x2 求 f (x)dx a
例10：计算重积分I = 2 d a r2 sin dr ?
18/46
9
例5：试对 e1 = sin2 x cos2 x e2 = ecln( + )
进行综合化简。
例6：试对 e1 = ln x ln y e2 = 2 cos2 x sin2 x
e3 = cos x j sin x
e4 = x3 3x2 + 3x 1 e5 = cos2 x sin2 x
进行综合化简。
ab
例7：求以下矩阵行列式的值 p =
det()
cd
见example3_4 6
3
Matlab符号运算的几个基本概念
符号对象（P49）：
符号对象是symbolic math toolbox定义的一种新的数据 类型（sym类型），用来存储代表非数值的字符符号（通 常是大小写的英文字母及字符串）。符号对象可以是符号 常量（符号形式的数），符号变量，符号函数以及各种符 号表达式（符号数学表达式，符号方程与符号矩阵）
例：f=sym('a*x^2+b*2+c')
或syms a b c x
f='a*x^2+b*2+c'
9/46
数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym('[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]') m2=sym('[1 12;23 34]') 例：
– >>A=hilb(3) A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
>> A=sym(A) A= [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5]
10/46
5
数值转化为符号
sym(‘数值变量‘,’f’)－返回浮点表示形式 sym(‘数值变量‘,’r’)－返回有理数表示形式[分式] sym(‘数值变量‘,’e’)－返回有理数表示形式[精确 误差] sym(‘数值变量‘,’d’)－返回十进制小数表示形式
Matlab符号微分方程的求解
dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…’初始条件部分’,’指定独立变量部分’)
25/46
例1：对以下方程联立方程组
y2 z2 x2 y+z a x2 bx c
求a＝1，b＝2，c＝3时的x，y，z
见example3_14
26/46
13
例2：求微分方程组的通解
dx + 2x dy + y t
0
0
4sin t
例11：计算广义积分 4xtdx = ? 2
见example3_13
24/46
12
Matlab符号方程求解
Matlab符号代数方程的求解
格式1：solve(‘eqn1’,’eqn2’,…’eqnN’,’v1’,’v2’,…’vN’) 对方程组eqn1,eqn2,…eqnN按照变量v1,v2,…vN联立求解
见example3_9 19/46
Matlab两种特性的符号运算
复合函数的运算与函数命令compose
求复合函数
例1：已知 f = ln( x ) 与 g = u cos y
求：f
(
g ( x)),
f
(
g
(
z
t
))
见example3_10 反函数的运算与函数命令finverse
例2：求 y = ax b
例1：已知 f = axn by + k 试对其进行符号变量替换：
a = sin(t),b ln(w).k = ce dt 符号常量替换：n = 5, k
与数组数值替换：k = 1:1: 4
见example3_6 15/46
例2：已知 f = a sin x k
试求当：a = 1:1: 2, x 0 : : 时函数f的值。 63 见example3_7
sympow(s,p), (s^p)
见example3_5
14/46
7
Matlab符号运算的基本内容
符号变量代换及其函数subs（P54）（重点）
格式：subs(s,old,new) 功能：将符号表达式S中的old变量替换为new。old一定 是符号表达式s中的符号变量，而new可以是符号变量、 符号常量、双精度数值与数值数组等。 格式：subs(s,new) 功能：用new置换符号表达式s中的自变量
dt
dt
dy + 5x 3y + t2 dt
dsolve()默认独立 自变量为t
例3：求微分方程组的通解以及满足所给初始条件的特解
dx dt
=
y,
x
t=0
0
dy = dt
x, y t=0
1
见example3_15
27/46
例4：求欧拉方程的通解