作业参考答案级线性反馈移位寄存器在c=时可有种
第二章作业参考答案1．3级线性反馈移位寄存器在c3＝1时可有4种线性反馈函数，设其初始状态为(a1,a2,a3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。
解：此时线性反馈函数可表示为f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3当c1＝0，c2＝0时，f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3＝a1，输出序列为101101…，周期＝3当c1＝0，c2＝1时，f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3＝a1?a2，…，周期＝7当c1＝1，c2＝0时，f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3＝a1?a3，…，周期＝7当c1＝1，c2＝1时，f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3＝a1?a2?a3，有输出序列为1010…，周期＝22．设n级线性反馈移位寄存器的特征多项式为p(x)，初始状态为(a1,a2,…,a n-1,a n)=(00…01)，证明输出序列的周期等于p(x)的阶证：设p(x)的阶为p，由定理2-3，由r|p，所以r?p设A(x)为序列{a i}的生成函数，并设序列{a i}的周期为r，则显然有A(x)p(x)＝?(x)又A(x)＝a1+a2x+…+a r x r-1+x r(a1+a2x+…+a r x r-1)+(x r)2(a1+a2x+…+a r x r-1)+…＝a1+a2x+…+a r x r-1/(1-x r)＝a1+a2x+…+a r x r-1/(x r-1)于是A(x)=(a1+a2x+…+a r x r-1)/(x r-1)＝?(x)/p(x)又(a1,a2,…,a n-1,a n)=(00…01)所以p(x)(a n x n-1+…+a r x r-1)=?(x)(x r-1)即p(x)x n-1(a n+…+a r x r-n)=?(x)(x r-1)由于x n-1不能整除x r-1，所以必有x n-1|?(x)，而?(x)的次数小于n，所以必有?(x)＝x n-1所以必有p(x)|(x r-1)，由p(x)的阶的定义知，阶p?r综上所述：p＝r#3．设n＝4，f(a1,a2,a3,a4)=a1?a4?1?a2a3，初始状态为(a1,a2,a3,a4)＝(1,1,0,1)，求此非线性反馈移位寄存器的输出序列及周期。
解：由反馈函数和初始状态得状态输出表为(a4 a3 a2 a1)输出(a4 a3 a2 a1)输出101111111111011011111110010111（回到初始状态）所以此反馈序列输出为：11011…周期为54．设密钥流是由m＝2s级LFSR产生，其前m+2个比特是(01)s+1，即s＋1个01。
问第m+3个比特有无可能是1，为什么？解：不能是1。
可通过状态考察的方法证明以上结论。
首先m级LFSR的状态是一个m维的向量，则前m个比特构成一个状态S0，可表示为(01)s，第m＋1个比特是0，所以S0的下一个状态是S1＝(10)s，第m＋2个比特是1，所以S1的下一个状态是S2＝(01)s＝S0，回到状态S0，所以下一个状态应是S3=S1＝(10)s，也即第m+3个比特应该为0。
5．设密钥流是由n级LFSR产生，其周期为2n－1，i是任一正整数，在密钥流中考虑以下比特对(S i,S i+1),(S i+1,S i+2),…,(S i+2n－3,S i+2n－2),(S i+2n－2,S i+2n－1),问有多少形如(S j,S j+1)＝(1,1)的比特对？证明你的结论。
答：共有2(n-2) 证明：证明方法一：由于产生的密钥流周期为2n －1，且LFSR 的级数为n ，所以是m 序列以上比特对刚好是1个周期上，两两相邻的所有比特对，其中等于(1,1)的比特对包含在所有大于等于2的1游程中。
由m 序列的性质，所有长为i 的1游程(1?i ?n-2)有2n -i -1/2个，没有长为n －1的1游程，有1个长为n 的1游程。
长为i(i>1)的1游程可以产生i-1个(1,1)比特对，所以共有(1,1)比特对的数目N ＝2n -2-2×(2－1)＋2n -3-2×(3－1)＋…＋2n -i-2×(i －1)＋…＋2n -(n －2)－2×(n －2－1)＋n －1＝∑-=---222)1(2n i i n i ＋n －1＝2(n-2)证明方法2：考察形如11*…*的状态的数目，共有2(n-2)个 6设该三级线性反馈移位寄存器的反馈函数为f (a 1,a 2,a 3)=c 3a 1?c 2a 2?c 1a 3 取其前6比特可建立如下方程(a 4a 5a 6)＝(c 3,c 2,c 1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡543432321a a a a a a a a a ， 即(c 3,c 2,c 1)＝(a 4a 5a 6)1543432321-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a a a a a ＝(010)1101011111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=(010)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101111=(101) 所以f (a 1,a 2,a 3)=a 1?a 3，即流密码的递推关系式为a i +3=a i +2?a i7．若GF(2)上的二元加法流密码的密钥生成器是n 级线性反馈移位寄存器，产生的密钥是m 序列。
2.5节已知，敌手若知道一段长为2n 的明密文对就可破译密钥流生成器。
如果敌手仅知道长为2n －2的明密文对，问如何破译密钥流生成器。
解：破译n －LFSR 所产生的m 序列，需要2n 个连续比特，现在仅有2n －2个连续的密钥比特(由长为2n －2的明密文对逐位异或得到)，因此需要猜测后两个比特。
这有00，01，10，11四种情况，对这些情况按下式逐一试破译(a n+1a n+2..a 2n )＝(c n c n -1..c 1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++12113221n n nn n a a a a a a a a a ΛM ΛΛ=(c n c n -1..c 1)X 首先验证矩阵X 的可逆性，如果不可逆则可直接排除此情况其次对于可逆的情况，求解出(c n c n -1..c 1)，然后验证多项式p (x )=1+c 1x +…+c n x n 是否是本原多项式，如果是，则是一解。
结果可能会多余1个。
8.设J-K 触发器中{a k }和{b k }分别为3级和4级m 序列，且{a k }… {b k }…求输出序列{c k }及周期。
解：由于gcd(3，4)=1且a 0＋b 0＝1所以序列{c k }的周期为(23-1)(24-1)=105又由J-K 触发器序列的递推式c k =(a k +b k +1))c k -1+a k ，令c -1=0可得输出序列为： {c k }…9．设基本钟控序列产生器中{a k }和{b k }分别为2级和3级m 序列，且{a k }＝101101… {b k }…求输出序列{c k}及周期。
解：序列{a k}的周期p1＝22－1＝3，序列{b k}的周期p2＝23－1＝7，w1＝a0＋a1＋a2＝2 而gcd(w1,p2)=1。
所以序列{c k}的周期p＝p1p2＝3×7＝21记LFSR2(产生序列{b k})的状态向量为σk，则σ0＝(100)，在LFSR1(产生序列{a k})的控制下，状态转移为：{a k}101101101101101(100),(001),(001),(011),(110),(110),(101),(011),(011),(110),(100),(100),(001),(011),(011),(110) 1000111001110001{a k}101101101(101),(101),(011),(110),(110),(100),(001),(001),(011)1101110001000…复习题4.3.已知一有限状态自动机的状态转移图如图所示，则当初始状态为s1，且输入字符序列为A1(1)A2(1)A1(1)A3(1)A3(1)A1(1)时，输出的状态序列和输出符号序列分别是什么？解：根据有限状态机转移图有(1)输出的状态序列s1,s2,s2,s3,s2,s1,s2(2)输出的符号序列A1(2)A1(2)A2(2)A1(2)A3(2)A1(2)5.3n次不可约多项式p(x)的周期为r，试证A(x)=1/p(x)的充要条件是0的n－1游程出现在一个周期的最后n-1bit证：由于p(x)是不可约多项式，则由p(x)生成的非0序列的周期等于p(x)的周期r 由A(x)＝a1+a2x+…+a r x r-1+x r(a1+a2x+…+a r x r-1)+(x r)2(a1+a2x+…+a r x r-1)+…＝a1+a2x+…+a r x r-1/(1-x r)＝a1+a2x+…+a r x r-1/(x r-1)于是A(x)=(a1+a2x+…+a r x r-1)/(x r-1)＝1/p(x)所以p(x)(a1+a2x+…+a r x r-1)=x r+1由于p(x)的次数为n，所以(a1+a2x+…+a r x r-1)的最大次数为r-1-n，也就是说从x r-1-n+1开始系数都为0即从x r-n到x r-1共n-1个系数都为0，由0的最大游程长度是n-1，所以0的n-1游程出现在一个周期的最后n-1bit必要性：如果0的n-1游程出现在最后n-1bit，我们考察p(x)(a1+a2x+…+a r x r-1)＝?(x)(x r-1)，其中?(x)满足A(x)p(x)＝?(x)，由于p(x)次数为n，而根据0的n-1游程出现在最后n-1bit知(a1+a2x+…+a r x r-1)的最大次数是r-1-(n-1)，所以方程左边p(x)(a1+a2x+…+a r x r-1)的次数为n+r-1-(n-1)=r，所以方程右边?(x)=1，即A(x)=1/p(x)#6.2已知一序列的前10比特为(1)试用B-M算法求出产生该序列极小多项式和线性复杂度(2)给出产生该序列的LFSR的递推式、结构图和周期(3)破译该序列最少需要知道多少连续的密钥流比特解：(1)产生该序列的极小多项式和线性复杂度分别是1+x+x4和4递推式a k+4=a k+3 a k周期：由于是本原多项式，所以周期为24-1=15 (3)需要知道至少2x4=8个连续的密钥流比特。
线性移位寄存器
密码学补充：线性反馈移位寄存器
19
Berlekamp-Massey算法
已知序列a = (a0,a1,a2,…,an-1) a的线性复杂度是最短的能够产生a的LFSR a的连接多项式形如f(x) = c0 + c1x + c2x2 + …
线性移位寄存器
密码学补充：线性反馈移位寄存器
1
主要内容
移位寄存器 线性移位寄存器的综合 线性等价量的概念
密码学补充：线性反馈移位寄存器
2
移位寄存器-1
传统的，流密码基于移位寄存器，如今也 有更广泛的各类设计方法
移位寄存器包括
级，每级有1个比特 反馈函数
线性反馈移位寄存器(LFSR)的反馈函数是 线性的
定义：能产生该序列的线性移位寄存器的 最小长度
多项式及其解空间的关系
极小特征多项式的唯一性
极小特征多项式的次数称为其线性等价量 或递归长度
线性等价量相同的序列，周期为多少？
密码学补充：线性反馈移位寄存器
25
密码学补充：线性反馈移位寄存器
17
LFSR 输出序列的特点
LFSR 的输出由特征多项式唯一确定 对于给定的多项式，有2n个不同的寄存器的
初态，包括全零
生成最大长度序列的多项式一定是本原的
本原多项式的输出是遍历的，全零除外
密码学补充：线性反馈移位寄存器
18
LFSR 的综合
问题提出：对于长度为N的二元序列，求出产生 这一序列的技术最小的LFSR ，即最短的线性移 位寄存器的特征多项式
现代密码学_清华大学_杨波着+习题答案
一、古典密码（1,2,4）解：设解密变换为m=D(c)≡a*c+b (mod 26)由题目可知密文ed 解密后为if，即有：D(e)=i ：8≡4a+b (mod 26) D(d)=f ：5≡3a+b (mod 26) 由上述两式，可求得a=3，b=22。
因此，解密变换为m=D(c)≡3c+22 (mod 26)密文用数字表示为：c=[4 3 18 6 8 2 10 23 7 20 10 11 25 21 4 16 25 21 10 23 22 10 25 20 10 21 2 20 7] 则明文为m=3*c+22 (mod 26)=[8 5 24 14 20 2 0 13 17 4 0 3 19 7 8 18 19 7 0 13 10 0 19 4 0 7 2 4 17]= ifyoucanreadthisthankateahcer4. 设多表代换密码C i≡ AM i + B (mod 26) 中，A是2×2 矩阵，B是0 矩阵，又知明文“dont”被加密为“elni”，求矩阵A。
解：dont = (3,14,13,19) => elni = (4,11,13,8)二、流密码 （1,3,4）1. 3 级 线 性 反 馈 移 位 寄 存 器 在 c 3=1 时 可 有 4 种 线 性 反 馈 函 数 ， 设 其 初 始 状 态 为 (a 1,a 2,a 3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。
解：设反馈函数为 f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕c 2a 2⊕c 1a 3当 c1=0，c2=0 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1，输出序列为 101101…，周期为 3。
当 c1=0，c2=1 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕a 2，输出序列如下 10111001011100…，周期为 7。
当 c1=1，c2=0 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕a 3，输出序列为 10100111010011…，周期为 7。
作业参考答案3级线性反馈移位寄存器在c3=1时可有4种
1. 3级线性反馈移位寄存器在 C 3 = 1时可有4种线性反馈函数，设其初始状态为(a i , a 2, a 3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。
解：此时线性反馈函数可表示为 f (a 1, a 2, a 3)= a C 2a 2 C 1 a 3 当 C 1 = 0, C 2= 0 时， f (ai, a 2, a 3)= :a 1 C 2a 2 C £3= a 1,输出序列为 101101 …， 周期=3 当 C 1 = 0, C 2= 1 时， f (ai,a 2, a 3)= :a 1 C 2a 2 C 1 a 3= a 1 a 2,输出序列为 0……，周期=7当 C 1= 1, C 2= 0 时，f (ai,a 2, a 3)= :a 1 C 2a 2 oa 3= a 1 a 3,输出序列为 1……，周期=7当 C 1= 1, C 2= 1 时， f (ai,a 2, a 3)= :a 1 C 2a 2 C 1 a 3= a 1 82 a 3,有输出序列为 1010 …， 周期=22. 设n 级线性反馈移位寄存器的特征多项式为 p (x )，初始状态为(a i ,a 2,…,a n-i , a n )=(00…01)，证明输出序列的周期等于 p (x )的阶证：设p (x )的阶为p ,由定理2-3，由r | p ，所以r p设A (x )为序列｛a 。
的生成函数，并设序列｛a ｝的周期为r ,则显然有A (x )p (x ) = (x )又 A (x ) = a+a 2x +…+ax +x (a 1+a 2x +…+a 「x )+( x ) (a+a 2x +…+ax )+ …r-1rr -1 r=a 1+a 2x +…+a r x /(1- x ) = a+a 2x +…+a 「x /( x -1)于是 A (x )=( a+a 2x +…+a r X r-1)/( x r -1) = (x )/ p (x )又(a 1, a 2,…,a n-1, a n )=(00 …01) 所以 p (x )( a n x +•• •+ a r x)=(x )(x -1) 即 p (x )x (a n +…+ a 「x )= (x )( x -1)由于x n-1不能整除x r -1，所以必有x n-1| (x )，而(x )的次数小于n ,所以必有 (x )= x n-1所以必有p (x ) | (x r -1)，由p (x )的阶的定义知，阶 p r综上所述：p = r #3. 设 n = 4, f ( a, a 2, a 3, a 4)=a 1 a 4 1a 2a 3，初始状态为(a, a 2, a 3, a 4)= (1,1,0,1),求此非线性反馈移位寄存器的输出序列及周期。
线性反馈移位寄存器
但对任意整数d，满足d整除2n-1，多项式不能整除xd+1。 用 本 原 多 项 式 x32+x7+x5+x3+x2+x+1 构 造 最 大 周 期 的
LFSR：
b32 … b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 输出位
加密算法的输入是上一个密文块 和下一个明文块的异或
一次处理J位，上一块密文作为加 密算法的输入，用产生一个伪随 机数输出与明文异或作为下一块 的输入(J=8) 与CFB基本相同，只是加密算法 的输入是上一次DES的输出
不能用于密码学
3
6.2 线性反馈移位寄存器
移位寄存器：一个二进制位序列。需要1位时， 所有位都向右移动一位，空出的最左边一位由 寄存器中其他位的一个函数来计算。 移位寄存器的输出为1位，通常是最低位。 周期为输出序列开始重复之前的长度。
反馈移位寄存器：由一个移位寄存器和一个反 馈函数组成。
64
选择 | 丢弃 j位 | 64－j位
···
64
选择 | 丢弃 j位 | 64－j位
jjjj来自+C1
+
C2
j
j
(b) 加P1密
P2
j
j
+
CM
j
PM
17
IV
移位寄存器 64－j位 | j位
移位寄存器 64－j位 | j位
OFB OM－1
移位寄存器 64－j位 | j位
K
DES加密
选择 | 丢弃 j位 | 64－j位
32位的最长周期的LFSR
线性反馈移位寄存器的设计与仿真
原多项式设计的线性反馈移位寄存器的序列周期数<2" - 1,为非M序列。通过使用ModelSim仿真器进行仿真，仿
真结果验证了本课题设计的正确性和有效性。
关键词:可测性设计;BIST测试;伪随机序列；反馈移位寄存器;M序列
中图分类号:TP309
文献标识码:A
文章编号:1674-6341 (2021 )04-0050-04
VLSI测试是确保由合成设计制造的物理设备没有制造 缺陷的一个步骤。要保证产品无缺陷,不仅仅是看测试技术 是否成熟、测试装置是否有效，而且还涉及到电路和系统的 设计、模拟和验证、制造等诸多过程，只有将集成电路的所有 步骤中的问题都变小并解决才能保证产品的质量⑷。所以 即便集成电路测试技术在集成电路的生产制造过程中有着 重要且不可忽视的地位,但其他步骤也尤为关键，相比之下 测试问题还是重中之重。测试集成电路不仅要测试电路的
Design and Simulation of Linear Feedback Shift Register
ZHANG Zhou
(Heilongjiang Vocational Institute of Ecological Engineering, Harbin 150025 , China)
Abstract: In this paper, the linear feedback shift register structure based on primitive polynomial is used to verify
又具有某种随机序列的随机特性，我们便称这种序列为伪随 机序列。 3.2.1同余伪随机序列
生成伪随机序列通常采用两种方法，第一种方法采用复 现关系：
兀=AXk_. +B (模为 M) (k = 1,2,3…)
应用密码学第三章分组密码体制习题参考答案道
第三章习题1简述分组密码算法的基本工作原理。
答分组密码在加密过程中不是将明文按字符逐位加密而是首先要将待加密的明文进行分组每组的长度相同然后对每组明文分别加密得到密文。
分组密码系统采用相同的加密密钥和解密密钥这是对称密码系统的显著特点。
例如将明文分为m块0121mPPPP每个块在密钥作用下执行相同的变换生成m个密文块0121mCCCC每块的大小可以任意长度但通常是每块的大小大于等于64位块大小为1比特位时分组密码就变为序列密码如图是通信双方最常用的分组密码基本通信模型。
加密算法解码算法明文x密文y明文x密钥k密钥kkExykDyxAliceBob不安全信道安全信道密钥k攻击者图分组密码基本通信模型图在图中参与通信的实体有发送方Alice、接收方Bob。
而攻击者是在双方通信中试图攻击发方或者收方信息服务的实体攻击者经常也称为敌人、对手、搭线者、窃听者、入侵者等并且攻击者通常企图扮演合法的发送方或者接收方。
2为了保证分组密码算法的安全对分组密码算法的要求有哪些答为了保证分组密码的安全强度设计分组密码时应遵循如下的基本原则1分组长度足够长防止明文穷举攻击例如DESData Encryption Standard、IDEAInternational Data Encryption Algorithm等分组密码算法分组块大小为64比特在生日攻击下用322组密文破解成功概率为0.5同时要求32152642bitsMB大小的存储空间故在目前环境下采用穷举攻击DES、IDEA等密码算法是不可能而AES明文分组为128比特同样在生日攻击下用642组密文破解成功概率为0.5同时要求存储空间大小为644821282bitsMB采用穷举攻击AES算法在计算上就更不可行。
2 密钥量足够大同时需要尽可能消除弱密钥的使用防止密钥穷举攻击但是由于对称密码体制存在密钥管理问题密钥也不能过大。
3密钥变换足够复杂能抵抗各种已知攻击如差分攻击、线性攻击、边信道攻击等即使得攻击者除了穷举攻击外找不到其它有效攻击方法。
数学思维与创新2016下半年考试答案
一、单选题（题数：50，共50.0 分）1长度为3的素数等差数列的共同的公差素因素是几？1.0 分A、6.0B、3.0C、2.0D、1.0我的答案：C2欧拉几时提出欧拉乘积恒等式1.0 分A、1735年B、1736年C、1737年D、1738年我的答案：C3设f(x),g(x)∈F[x]，则有什么成立？0.0 分A、deg(f(x)g(x))=deg(f(x)+g(x))B、deg(f(x)g(x))C、deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x)D、deg(f(x)+g(x))>degf(x)+degg(x))我的答案：D4设p(x)是数域F上的不可约多形式，若p(x)在F中有根，则p(x)的次数是1.0 分A、0.0B、1.0C、2.0D、3.0我的答案：B5不可约多项式f(x)的因式有哪些？1.0 分A、只有零次多项式B、只有零次多项式和f(x)的相伴元C、只有f(x)的相伴元D、根据f(x)的具体情况而定我的答案：B63阶递推关系ak+3=ak+1+ak在计算机上实现的硬件叫做什么？1.0 分A、三级非线性反馈移位寄存器B、三级记忆存储器C、三级线性反馈移位寄存器D、三级写入计算器我的答案：C7时间长河中的所有日记组成的集合与数学整数集合中的数字是什么对应关系？1.0 分A、交叉对应B、一一对应C、二一对应D、一二对应我的答案：B8若（a,b）=1,则a与b的关系是1.0 分A、相等B、大于C、小于D、互素我的答案：D9生成矩阵是可逆矩阵，当Ω其中的2n个矩阵都是非零矩阵，那么存在一对I,j满足什么等式成立？1.0 分A、Ai=AjB、Ai+Aj=1C、Ai+Aj=-1D、AiAj=1我的答案：A10《几何原本》的作者是1.0 分A、牛顿B、笛卡尔C、阿基米德D、欧几里得我的答案：D11特征为2的域是1.0 分A、ZB、Z2C、Z3D、Z5我的答案：B12设p是奇素数，则Zp的非零平方元a,有几个平方根？1.0 分A、2.0B、3.0C、4.0D、和p大小有关我的答案：A13黎曼几何认为过直线外一点有几条直线与已知直线平行？1.0 分A、无数条B、不存在C、2条D、1条我的答案：B14最早给出一次同余方程组抽象算法的是谁？1.0 分A、祖冲之B、孙武C、牛顿D、秦九识我的答案：D1514用二进制可以表示为1.0 分A、1001.0B、1010.0C、1111.0D、1110.0我的答案：D16不属于x^3-6x^2+11x-6在数域F中的根是1.0 分A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0我的答案：D17黎曼所求出的π（x）的公式需要在什么条件下才能成立？1.0 分A、Re（p）<1B、C、D、Re（p）<0我的答案：B18若p/q是f(x)的根，其中（p,q)=1，则f(x)=(px-q)g(x），当x=1时，f(1)/(p-q)是什么？1.0 分A、复数B、无理数C、小数D、整数我的答案：D19素数定理的式子是谁提出的1.0 分A、柯西B、欧拉C、黎曼D、勒让德我的答案：D20在数域F上x^2-3x+2可以分解成几个不可约多项式1.0 分A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0我的答案：B21群有几种运算1.0 分A、一B、二C、三D、四我的答案：A22Z9*的阶为1.0 分A、2.0B、3.0C、6.0D、我的答案：C23素数等差数列(5,17,29)的公差是1.0 分A、6.0B、8.0C、10.0D、12.0我的答案：D24(x+2)(x^2+1)的次数是1.0 分A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0我的答案：C25在F[x]中,有f(x)g(x)=h(x)成立，若将xy代替x可以得到什么？1.0 分A、f(xy)g(xy)=h(xy)B、f(xy)g(xy)=h(xy)C、f(xy)+g(xy)=h(xy)D、[f(x)+g(x)]y=h(xy)我的答案：B26实数域上一定不可约的多项式是什么？1.0 分A、三次多项式和二次多项式B、二次多项式和一次多项式C、一次多项式D、不存在我的答案：C27Z15的生成元是1.0 分A、B、10.0C、12.0D、13.0我的答案：D28星期日用数学集合的方法表示是什么？1.0 分A、{6R|R∈Z}B、{7R|R∈N}C、{5R|R∈Z}D、{7R|R∈Z}我的答案：D29x^2+4x+4=0的有理数根是1.0 分A、-2.0B、-1.0C、1.0D、2.0我的答案：A30次数为n，n>0的复系数多项式f(x)有多少个复根（重根按重数计算）？1.0 分A、至多n个B、恰好有n个C、至多n-1D、至少n个我的答案：B31环R与环S同构，若R是除环则S1.0 分A、可能是除环B、不可能是除环C、一定是除环D、不一定是除环我的答案：C32三次四次方程的什么时候被证明是可以用根式求解的？1.0 分A、公元1500年左右B、公元1600年左右C、公元1700年左右D、公元1800年左右我的答案：A33中国古代求解一次同余式组的方法是1.0 分A、韦达定理B、儒歇定理C、孙子定理D、中值定理我的答案：C34星期三和星期六所代表的集合的交集是什么？1.0 分A、空集B、整数集C、日期集D、自然数集我的答案：A35最小的数域是什么？1.0 分A、有理数域B、实数域C、整数域D、复数域我的答案：A36设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定的什么？0.0 分A、等价类B、等价转换C、等价积D、等价集我的答案：D37x^3+1=0的有几个有理根0.0 分A、0.0B、1.0C、2.0D、3.0我的答案：A38若（a,c）=1,(b,c)=1则（ab,c）=1.0 分A、1.0B、aC、bD、c我的答案：A39素数的特性总共有几条？1.0 分A、6.0B、5.0C、4.0D、3.0我的答案：C40星期一到星期日可以被统称为什么？1.0 分A、模0剩余类B、模7剩余类C、模1剩余类D、模3剩余类我的答案：B41给出了高于5次方程可以有解的充分必要条件的是哪位数学家？1.0 分A、阿贝尔B、伽罗瓦C、高斯D、拉格朗日我的答案：B42在复数域上的不可约多项式的次数是1.0 分A、0.0B、1.0C、2.0D、3.0我的答案：B43密钥序列1001011可以用十进制表示成1.0 分A、72.0B、73.0C、74.0D、75.0我的答案：D44Z2上周期为v的一个序列α是拟完美序列，那么α的支撑集D是Zv的什么的（4n-1,2n-1,n-1)-差集？1.0 分A、加法群B、C、乘法群D、除法群我的答案：A45如果～是集合S上的一个等价关系则应该具有下列哪些性质？1.0 分A、反身性B、对称性C、传递性D、以上都有我的答案：D46函数f(x）在x0附近有定义（在x0可以没有意义）若有一个常数C使得当x趋近于x0但不等于x0时有|f(x)-c|可以任意小，称C是当x趋近于x0时f(x)的什么？1.0 分A、微分值B、最大值C、极限D、最小值我的答案：C47域F的特征为p，对于任一a∈F，pa等于多少？1.0 分A、1.0B、pC、0.0D、a我的答案：C48不属于数域的是0.0 分A、CB、ＲC、ＱＺ我的答案：A49gcd(13,8)=1.0 分A、1.0B、2.0C、8.0D、13.0我的答案：A50若a,b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有几个？1.0 分A、5.0B、4.0C、3.0D、2.0我的答案：D二、判断题（题数：50，共50.0 分）1设域F的单位元e，对任意的n∈N有ne不等于0。
线性反馈移位寄存器
输入的位移寄存器
目录
01 简介
03 本原多项式
02 斐波那契 04 流密码
线性反馈移位寄存器（linear feedback shift register, LFSR）是指，给定前一状态的输出，将该输出 的线性函数再用作输入的移位寄存器。异或运算是最常见的单比特线性函数：对寄存器的某些位进行异或操作后 作为输入，再对寄存器中的各比特进行整体移位。
图1作为基于异或运算的LFSR的替换，LFSR也可以给予同或运算。与使用异或门的LFSR全零状态下为无效状 态相应的，使用同或门的LFSR在全“1”状态下也是无效的。有LFSR或者基于同或门的LFSR生成的序列可以被认 为是同格雷码或者自然二进制码同样有效的二进制序列。
在LFSR中，抽头的设定可以用有限域算数中模2的多项式来表示。这就意味着，多项式中的所有系数必须是 “1”或者“0”。这个多项式被称作回授多项式或特征多项式。例如图1中的抽头为在第16，14，13，11个比特， 则相应的特征寄存器是产生信号和序列的常用设备，它分为线性和非线性两大类，著名的一序列和序列就是分别由线 性和非线性反馈移位寄存器所生成的。线性反馈移位寄存器（Linear feedback shift register，LFSR）是
通常由动态或静态主从型触发器构成。反馈回路由异或门构成。其特性通常由一个特征多项式表征。使用二 输入异或门计算反馈函数的最大长度或近最大长度不纠立寄存器的特征多项式。这种电路的特点是结构简单，它 的上限移位速度取决于移位单元的延迟时间和二输入异或门的延迟时间，因此，能获得较高的速度 。线性反馈 移位寄存器中的移位单元是由主一从型边沿触发器构成的。在这种结构的移位单元中，主从两极锁存器在两相不 交叠时钟的控制下，使数据在时钟上升沿被采样，并一直保持到下一个时钟上升沿。电路中四个移位单元都是由 动态主从边沿型触发器构成的，每次移位的操作都需要数据串行依次经过两级锁存器。
现代密码学_清华大学_杨波着习题答案（精）
个
76
77
解： 根据题目条件，a可m知 2 初1始am状1 态2asm0 为：ma2 c2 j 1
sc02j1(a10, a2 ,L, am1, am ) (0,1,..., 0,1)
注：s个01
设该 LFSR 的输出序列满足如下递推关系：
Ri i1 F R ,i1 Ki
am k c1am k1 c2am1L cmak , 则第 m+1, m+(iv2) D个E比S 特的为轮：变换为
结合(1)可知，如果记子密钥为(K1,…,K16)，K 为初始密钥，KG 为密钥生成算法，则有 如下性质 ：
如果 (K1,…,K16)=KG(K)，那么 (K1',…,K16')=KG(K’) (iii) 对于任意两个比特 a 和 b，有 (a⊕b)’= a⊕b⊕1=(a⊕1)⊕b=a’⊕b（= a⊕(b⊕1)=a⊕b’），
状态(a1,…a2,∴a3,a解4)密变换 为
…
…
D(c)≡19*(c-23)≡19c+5 (mod
26)
am1 1am 对c2a密m文1LCcm进a2行1解密c：24j1 0 8
16
32
64
72
76
77
am 2 a1 m1 2am M’=mDa(C2)≡19Cc+2 j5(1mod 26)
k 1
'
' ''
'
'
s
根据 (iiia)m可1 知1caEm(Rci21a)m1KLicma(1E(Ri 1c)2j1Ki 0) (E( Ri 1 ))'Ki
'
'
4.2线性反馈移位寄存器序列
第二节线性反馈移位寄存器序列1基本概念和性质反馈移位寄存器, 特别线性反馈移位寄存器是许多密钥序列生成器的重要部件, 这一节引进线性反馈移位寄存器的模型, 并用数学(特别是代数)工具描述线性反馈移位寄存器.2设n是正整数, n级反馈移位寄存器的模型见下图a k+n−1 a k+n−2……… a k+1a k输出f (x n,…, x2, x1)反馈函数其中f(x1,…, x n)是一逻辑函数, 即f(x1,…, x n)∈2[x1,…, x n]这里2= {0, 1}表示二元域, n≥ 1.3当f(x1,…, x n)是线性函数时, 即f(x1, x2, … , x n) =c1x1+c2x2+ … +c n x n, c i∈2,称对应的反馈移位寄存器为线性反馈移位寄存器(简称LFSR), 所产生的序列称为线性(反馈)移位寄存器序列, 简记为LFSR序列.45此时所产生的序列适合关系式a n +k = 10n i −=∑c n −i a k +i , k = 0, 1, 2, ….并称序列a = (a 0, a 1,…)为n 级线性递归序列。
线性递归序列是LFSR 序列的数学描述, 但为书写简便, 以后在称谓上我们就用LFSR 序列.定义4.1 设a是LFSR序列, 称a的次数最小的特征多项式为a的极小多项式.定理4.1 设a是LFSR序列, 则a的极小多项式是唯一的.6进一步, 设m(x)是a的极小多项式, 则f(x)是a的一a(x)|f(x).个特征多项式当且仅当ma显然, LFSR序列的极小多项式刻画了生成该序列的最短LFSR,而定理4.1进一步说明, 这样的最短LFSR是唯一的.78设f (x )是F 2上n 次多项式, a =(a 0,a 1,a 2,…)是以f (x )为特征多项式的线性递归序列, 则a 由前n 比特a 0,a 1,…,a n −1唯一确定.例如: 设f (x )=x 3+x +1, a =(0,1,1,…)是以f (x )为特征多项式的线性递归序列, 则a =(0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,…).定义4.2 对于F上序列a, 若存在非负整数k和正2整数T, 使得对任意i≥k, 都有a=a i, 则称a是准周i+T期序列, 最小这样的T称为a的周期, 记为per(a); 若k=0, 则称a是(严格)周期序列.注4.1 设per(a)=T, R是正整数, 若对任意i≥k, 有a i+R=a i, 则T|R.9显然, LFSR是一种有限状态机, 因此, 由LFSR生成的序列必然是准周期的. 下面的定理表明反之也是成立的, 即所有的准周期序列都可用LFSR来生成.定理4.2 a是准周期序列当且仅当a是LFSR序列.10利用序列的极小多项式可以判断序列是否严格周期.(x)是a的极小多项定理4.3 设a是LFSR序列, ma(0)≠0.式, 则a是周期序列当且仅当ma11进一步, 序列的周期由其极小多项式的周期完全确定.定理4.4 设a是周期序列, f(x)是它的极小多项式, 则per(a)=per(f(x)).12注4.2 若a是非严格周期序列, 定理4.4也成立. 由于非周期序列总可以转化成周期序列, 并且实际中使用的序列也都是周期序列, 故后面的讨论仅针对周期序列.13推论4.1 设f(x)是F上不可约多项式, 则以f(x)为2特征多项式的非零序列a有per(a)=per(f(x)).14最后, 我们给出LFSR序列的根表示.[x]是n次无重因子多项式,f(0)≠0, 定理4.5 设f(x)∈F2F2m是f(x)的分裂域, α1,α2,…,αn∈F2m是f(x)的全部根, 则,a1,…), 存在唯对任意以f(x)为特征多项式的序列a=(a一一组β,β2,…,βn∈F2m, 使得1a k=β1α1k+β2α2k+⋅⋅⋅+βnαn k, k≥0.15反之,设β,β2,…,βn∈F2m,若1a k=β1α1k+β2α2k+⋅⋅⋅+βnαn k∈F2, k≥0,,a1,…)以f(x)为特征多项式, 且f(x)是a的极则a=(a≠0, 1≤i≤n.小多项式当且仅当βi16m-序列注意到LFSR总是将0状态转化成0状态, 因此对于一个n级LFSR, 最多可输出周期为2n−1的周期序列.定义4.3 设a是n级LFSR序列, 若per(a)=2n−1, 则称a为n级最大周期序列, 简称为n级m-序列.17由定义显然有定理4.6 设a是n级LFSR序列, 则a是n级m-序列当且仅当a的极小多项式是n次本原多项式18定理4.7 若a是以n次本原多项式f(x)为极小多项式的m-序列, 则0, a, La,…, L2n−2a是以f(x)为特征多项式的序列全体.定理4.7说明, 由同一个本原多项式生成的两条m-序列彼此平移等价. 由定理4.7, 容易证明m-序列满足以下平移可加性.19定理4.8 设a是n级m-序列, 则对于非负整数s和t, 有L s a+L t a=L k a或0, 其中0≤k≤2n−2.注4.3 实际上, 定理4.8给出的平移可加性是m-序列的特有性质, 即对于周期为T的序列a, 非负整数s和t, 若L s a+L t a=L k a或0, 0≤k≤2n−2, 则a是m-序列.20m-序列是最重要的线性反馈移位寄存器序列, 不仅是因为m-序列的周期可达到最大, 而且因为m-序列的统计特性完全满足Golomb S.W.提出的三条随机性假设.2122(1) 元素分布设a 是周期为T 的序列, 将a 的一个周期依次排列在一个圆周上, 并且使得a 0和a T −1相邻, 我们称这样的圆为a 的周期圆.23引理4.1 设a 是n 级m-序列, 0 < k ≤ n , 则F 2上任意一个k 维向量(b 1,b 2,…,b k )在 a 的一个周期圆中出现的次数N (b 1,b 2,…,b k )为N (b 1,b 2,…,b k ) = 122, (,,,)(0,0,...,0)21,.n k k n k b b b −−⎧≠⎪⎨−⎪⎩…若，否则特别地, 分别取k=1和k=n, 有推论4.2 在n级m-序列的一个周期中1出现2n−1次, 0出现2n−1−1次.推论4.3 在n级m-序列的一个周期(圆)中每个(n维)非零状态出现且仅出现1次.2425(2) 游程分布设a 是周期序列, a 在一个周期圆中形如010...01全为 和 101...10全为的项分别叫做a 的0游程和1游程. 而0游程中连续0的个数及1游程中连续1的个数称为游程长度. m -序列具有非常理想的游程分布.定理4.9 设0<k≤n−2, 在n级m-序列的一个周期圆中, 长为k的0游程和1游程各出现2n−k−2次; 长度大于n的游程不出现; 长度为n的1游程和长度为n−1的0游程各出现一次; 长度为n的0游程和长度为n−1的1游程不出现; 游程总数为2n−1.2627(3) 自相关函数m-序列的自相关函数满足二值性, 即定理4.10 设a 是n 级m -序列, 则C a (t ) = 10(1)k k t T a a k +−+=−∑=1, 0(mod 21);21,0(mod 21).n n n t t ⎧−≠−⎪⎨−≡−⎪⎩若若.线性复杂度与Berlekamp-Massey算法线性复杂度的概念是针对LFSR结构提出的, 它衡量了用LFSR来生成给定序列的最小代价. 由于特征多项式完全刻画了生成序列的LFSR, 故自然有以下定义.28定义4.4 设a是周期序列, 称序列a的极小多项式的次数为a的线性复杂度, 记为LC(a).注4.4 对于周期序列a, 显然有LC(a)≤per(a)291969年提出的Berlekamp-Massey算法[14]解决了求序列极小LFSR的问题. 对于线性复杂度为L的序列a, 该算法在已知a的连续2L比特的前提下即可还原出整条序列, 计算时间复杂度仅为O(L2).30第四章序列密码因此, 好的伪随机序列必须具有高的线性复杂度. 对于上一小节介绍的n级m-序列, 其周期为2n−1, 是n 级LFSR能输出的最大周期序列, 但n级m-序列的极小多项式是n次本原多项式, 这意味着n级m-序列的线性复杂度等于n, 则在已知2n比特的条件下, 利用Berlekamp-Massey算法可还原出长为2n−1的原序列. 可见, n级m-序列绝不可单独作为密钥流序列使用.31。